1、必考部分 第四第四章章 平面平面向量、数系的扩充与复数的引入向量、数系的扩充与复数的引入 第五讲 数系的扩充与复数的引入 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点一 复数的有关概念 (1)复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数其中a叫做复数 的实部，b叫做复数的虚部i是虚数单位规定i21. 由此可知： i4k1，i4k 1i，i4k21，i4k3i，1 i i， 全体复数所成的集合C叫复数集 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章
2、 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)复数相等：abicdi(a，b，c，dR)ac且bd. (3)共轭复数：若zabi(a，bR)，则z_. (4)复数的模：在复平面内，若点Z的坐标为(a，b)，则向量OZ 的模r 叫做复数zabi的模，记作_或_，即|z|abi| r_(r0，rR) abi |z| |abi| a2b2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点二 复数的几何意义 (1)复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复 平面，x轴叫做_，y轴叫做_. (2)实轴上的点都表示_；除了原点外，虚轴上的点都表示 _.
3、(3)复数的几何表示：复数zabi(a，bR) 一一 对应 复平面内的点 Z(a，b) 一一 对应 向量OZ . 实轴 虚轴 实数 纯虚数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点三 复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加法：z1z2(abi)(cdi)_； 减法：z1z2(abi)(cdi)_； 乘法：z1 z2(abi) (cdi)_； 除法： z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi acbdbcadi c2d2 ；(c di0) (ac)(bd)i (ac)(b
4、d)i (acbd)(adbc)i 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即 交换律：z1z2_； 结合律：(z1z2)z3_. z2z1 z1(z2x3) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小 2(1 i)2 2i；1i 1ii； 1i 1ii. 3z z|z|2|z|2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号
5、中打“”或“”) (1)方程x2x10没有解 ( ) (2)复数z32i中，虚部为2i. ( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如43i3 3i,34i33i等 ( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点 ( ) (5)若aC，则|a|2a2. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组二 走进教材 2(必修12P106A组T2改编)若复数(a23a2)(a1)i是纯虚 数，则实数a的值为 ( ) A1 B2 C1或2 D1 B 解析 依题意，有 a23a20， a10， 解得a2.故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（
6、新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(选修12P112A组T5改编)设i为虚数单位，若复数z满足z 1i2 1i ，则z ( ) A1i B1i C1i D1i D 解析 由题意，得z1i 2 1i 2i1i 1i1i 22i 2 1i. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4(选修12P105T3改编)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复 数z，则表示复数 z 1i的点是 ( ) AE BF CG DH D 解析 由图知复数z3i，则 z 1i 3i 1i 3i1i 1i1i2i，所 以复数 z 1i所对应的点是H，故选D.
7、 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组三 走向高考 5(2019 全国卷)设z32i，则在复平面内 z 对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 C 解析 由题意，得 z 32i，其在复平面内对应的点为(3， 2)，位于第三象限，故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 6(2020 课标，2,5分)复数 1 13i的虚部是 ( ) A 3 10 B 1 10 C 1 10 D 3 10 D 解析 利用复数除法法则得 1 13i 13i 13i13i 13i 10
8、 ，所以虚 部为 3 10，选D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 7(2020 课标，2 ,5分)若z12ii3，则|z| ( ) A0 B1 C 2 D2 C 解析 z12ii312ii1i，|z|1i|1212 2，故选C. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点一 复数的基本概念自主练透 (1)(2020 浙江，2,4分)已知aR，若a1(a2)i(i为虚数 单位)是实数，则a ( ) A1 B1 C2 D2 (2)(2020 江苏，2,5分)已知i是虚
9、数单位，则复数z(1i)(2i)的实 部是_. 例 1 C 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(2021 辽宁鞍山一中模拟)在复平面内，复数23i 34i 所对应的点位 于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (4)(2020 课标，1,5分)若z1i，则|z22z| ( ) A0 B1 C 2 D2 B D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)因为a1(a2)i为实数，aR，所以a20.解得a 2，故选C. (2)z(1i)(2i)2i2i13i，z的实
10、部为3. (3)设z 23i 34i ，则z 18 25 1 25 i，所以复数 23i 34i 在复平面内所 对应的点位于第二象限故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (4)z1i， z22z(1i)22(1i)12ii222i2， |z22z|2|2.故选D. 易错点 (4)复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件为 a0， b0， 做题时容易忽略b0，从而造成错误. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 角度1 复数的乘法运算 (1)(2020 课标，2,5分)(1i)4 ( ) A4
11、 B4 C4i D4i (2)(2019 北京)已知复数z2i，则z z ( ) A. 3 B 5 C3 D5 考点二 复数的运算多维探究 例 2 A D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(2021 长春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对 称，z12i，则z1z2等于 ( ) A5 B5 C4i D4i A 解析 (1)(1i)4(1i)22(2i)24i24，故选A. (2)解法一：因为z2i，所以 z 2i，所以z z (2i)(2i)4 2i2ii24(1)5，故选D. 解法二：z z |z|222125，故选D.
12、 (3)z22i，z1 z2(2i)(2i)5，故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 角度2 复数的除法运算 (1)(2020 新高考，2,5分) 2i 12i ( ) A1 B1 Ci Di (2)(2017 天津)已知aR，i为虚数单位，若 ai 2i 为实数，则a的值为 _. 例 3 D 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1) 2i 12i 2i12i 12i12i 5i 5 i.故选D. (2) ai 2i ai2i 2i2i 2a1a2i 5 2a1 5 a2 5 i
13、为实数，则 a2 5 0，a2.故填2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 角度3 复数的综合运算 (1)(2020 课标，2,5分)若 z (1i)1i，则z( ) A1i B1i Ci Di (2)(2020 浙江期末联考)已知i是虚数单位，若复数z满足 4 1z 1 i，则z z ( ) A4 B5 C6 D8 例 4 D B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(2020 课标，15,5分)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z23 i，则|z1z2|_. 解析 (1) z (
14、1i)1i， z 1i 1i 1i2 1i1i 2i 2 i，zi，故选D. (2)由 4 1z1i，得z 4 1i112i，则z z |z|25，故选B. 2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)设复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则a2b24，c2 d24，又z1z2(ac)(bd)i 3i，ac 3，bd1，则(a c)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd4， 82ac2bd4，即2ac2bd4， |z1z2| ac2bd2 a2b2c2d22ac2bd 842 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
15、四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 复数运算的技巧 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是 分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式 (2)记住以下结论，可提高运算速度 (1 i)2 2i; 1i 1ii； 1i 1ii; abi i bai； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 简单的复数方程的解法 (1)利用复数的四则运算求解即可 (2)待定系数法：设zabi(a、bR)代入方程，利用复数相等的条 件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平
16、面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练1 (1)(角度1)(2020 新高考，2,5分)(12i)(2i) ( ) A5i B5i C5 D5 (2)(角度2)(2020 天津，10,5分)i是虚数单位，复数8i 2i_. B 32i 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(角度3)(2020 北京，2,4分)在复平面内，复数z对应的坐标是 (1,2)，则i z ( ) A12i B2i C12i D2i (4)(角度1)(2020 安徽毛坦厂中学模拟)设复数z的共轭复数是 z ，若 复数z134i，z2ti，且z1 z2是实数，则实数t等
17、于_. B 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)(12i)(2i)24ii25i，故选B. (2)8i 2i 8i2i 2i2i 1610i1 5 1510i 5 32i. (3)由复数的几何意义可知，z12i，所以i zi (12i)2i， 故选B. (4)z1z2(34i)(ti)(3t4)(4t3)i是实数，则4t30，t 3 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)(2019 全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应 的点为(x，y)则 ( ) A(x1)
18、2y21 B(x1)2y21 Cx2(y1)21 Dx2(y1)21 考点三 复数的几何意义师生共研 例 5 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)在复平面内，复数z与 6 zi对应的点关于实轴对称，则复数 z ( ) A2i B3i C2i或3i D2i或3i C 解析 (1)解法一：z在复平面内对应的点为(x，y)，zx yi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选C. 解法二：|zi|1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1) 的距离为1，x2(y1)21.故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数
19、学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z1i满足|zi|1， 但点(1,1)不在选项A，D的圆上，排除A，D；在复平面内，点(0,2)所 对应的复数z2i满足|zi|1，但点(0,2)不在选项B的圆上，排除B.故 选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)设zabi，a，bR， 6 zi 6 ab1i 6a a2b12 6b1 a2b12i， 由已知得 a 6a a2b12 b 6b1 a2b12 ，解得 a0 b3或2 ， z2i或3i， z 2i或3i，故选C. 返回导航
20、高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 复数几何意义及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ 相互联系，即zabi(a，bR) Z(a，b)OZ . (2)|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离；|z1z2|表示复平面 内复数z1、z2对应的两点间的距离 (3)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复 数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问 题的解决更加直观 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练2 (1)(2021 广西柳州摸底)已知复数z在复平面内对应点
21、是(1，2)，i 为虚数单位，则z2 z1 ( ) A1i B1i C13 2i D13 2i D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为( ) A.3 4 1 2 B1 2 1 C1 2 1 D1 4 1 2 D 解析 (1)由题知z12i， z2 z1 12i2 12i1 32i 2i 32i2i 4 13 2i. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)由|z|1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆 心，1为半
22、径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满 足yx的区域，该区域的面积为 1 4 1 2 11 1 4 1 2 ，故满足yx的概 率为 1 4 1 2 12 1 4 1 2.故选D. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)若复数z满足|z|1，则|z34i|的最大值为_. (2)若复数z1，z2满足|z1|z2|1，|z1z2| 2，则|z1z2|_. (3)若复数z满足|zi|zi|4，则点z的轨迹方程为_. 分析 利用复数模的几何意义求解 例 6 6 与复数模有关问题的解法 2 x2 3 y
23、2 4 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)令zxyi(x，yR)， |z|1，x2y21， |z34i|表示圆x2y21上的点到Z(3，4)的距离， |OZ|5， |z34i|的最大值为6. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)由题意知|OZ1 |OZ2 |1，|OZ1 OZ2 | 2， 即|OZ1 |22OZ1 OZ2 |OZ2 |22， OZ1 OZ2 0，即OZ1 OZ2 ， |OZ1 OZ2 |22，|OZ1 OZ2 | 2， |z1z2| 2. (3)|zi|zi|
24、4表示复平面内复数z对应的点Z到(0，1)、(0,1)距 离的和为4，故其轨迹是以(0，1)、(0、1)为焦点的椭圆又a2，c 1，b2a2c23，故点Z的轨迹方程为x 2 3 y 2 4 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 |z|OZ |；|z1z2|OZ1 OZ2 |；|z1z2|OZ1 OZ2 |Z2Z1 |. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练3 (1)已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分 别为A，B，C，若OC xOA yOB ，则xy_. (2)复数z满足|z33 i|3 ，则|z|的最大值和最小值分别是 _ 5 3 3、 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)由OC xOA yOB ，得32ix(12i)y(1i)(x y)(2xy)i， xy3， 2xy2. 解得 x1， y4， 故xy5. (2)由题意可知复平面内复数z对应的点在以C(3，3 )为圆心，以 3为半径的圆上，由|CO|2 3知，圆上的点Z到 原点距离的最大值、最小值分别为3 3， 3，故 |z|的最大值为3 3，最小值为 3. 谢谢观看
