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2022版新高考数学人教版一轮课件:第4章 第5讲 数系的扩充与复数的引入

1、必考部分 第四第四章章 平面平面向量、数系的扩充与复数的引入向量、数系的扩充与复数的引入 第五讲 数系的扩充与复数的引入 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点一 复数的有关概念 (1)复数的定义:形如abi(a,bR)的数叫做复数其中a叫做复数 的实部,b叫做复数的虚部i是虚数单位规定i21. 由此可知: i4k1,i4k 1i,i4k21,i4k3i,1 i i, 全体复数所成的集合C叫复数集 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章

2、 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)复数相等:abicdi(a,b,c,dR)ac且bd. (3)共轭复数:若zabi(a,bR),则z_. (4)复数的模:在复平面内,若点Z的坐标为(a,b),则向量OZ 的模r 叫做复数zabi的模,记作_或_,即|z|abi| r_(r0,rR) abi |z| |abi| a2b2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点二 复数的几何意义 (1)复平面的概念:建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复 平面,x轴叫做_,y轴叫做_. (2)实轴上的点都表示_;除了原点外,虚轴上的点都表示 _.

3、(3)复数的几何表示:复数zabi(a,bR) 一一 对应 复平面内的点 Z(a,b) 一一 对应 向量OZ . 实轴 虚轴 实数 纯虚数 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点三 复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则 加法:z1z2(abi)(cdi)_; 减法:z1z2(abi)(cdi)_; 乘法:z1 z2(abi) (cdi)_; 除法: z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi acbdbcadi c2d2 ;(c di0) (ac)(bd)i (ac)(b

4、d)i (acbd)(adbc)i 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)复数的运算律:复数加法满足交换律、结合律,即 交换律:z1z2_; 结合律:(z1z2)z3_. z2z1 z1(z2x3) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1两个虚数不能比较大小,但虚数的模可以比较大小 2(1 i)2 2i;1i 1ii; 1i 1ii. 3z z|z|2|z|2. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号

5、中打“”或“”) (1)方程x2x10没有解 ( ) (2)复数z32i中,虚部为2i. ( ) (3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小,如43i3 3i,34i33i等 ( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点 ( ) (5)若aC,则|a|2a2. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组二 走进教材 2(必修12P106A组T2改编)若复数(a23a2)(a1)i是纯虚 数,则实数a的值为 ( ) A1 B2 C1或2 D1 B 解析 依题意,有 a23a20, a10, 解得a2.故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学(

6、新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(选修12P112A组T5改编)设i为虚数单位,若复数z满足z 1i2 1i ,则z ( ) A1i B1i C1i D1i D 解析 由题意,得z1i 2 1i 2i1i 1i1i 22i 2 1i. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4(选修12P105T3改编)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复 数z,则表示复数 z 1i的点是 ( ) AE BF CG DH D 解析 由图知复数z3i,则 z 1i 3i 1i 3i1i 1i1i2i,所 以复数 z 1i所对应的点是H,故选D.

7、 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组三 走向高考 5(2019 全国卷)设z32i,则在复平面内 z 对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 C 解析 由题意,得 z 32i,其在复平面内对应的点为(3, 2),位于第三象限,故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 6(2020 课标,2,5分)复数 1 13i的虚部是 ( ) A 3 10 B 1 10 C 1 10 D 3 10 D 解析 利用复数除法法则得 1 13i 13i 13i13i 13i 10

8、 ,所以虚 部为 3 10,选D. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 7(2020 课标,2 ,5分)若z12ii3,则|z| ( ) A0 B1 C 2 D2 C 解析 z12ii312ii1i,|z|1i|1212 2,故选C. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点一 复数的基本概念自主练透 (1)(2020 浙江,2,4分)已知aR,若a1(a2)i(i为虚数 单位)是实数,则a ( ) A1 B1 C2 D2 (2)(2020 江苏,2,5分)已知i是虚

9、数单位,则复数z(1i)(2i)的实 部是_. 例 1 C 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(2021 辽宁鞍山一中模拟)在复平面内,复数23i 34i 所对应的点位 于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (4)(2020 课标,1,5分)若z1i,则|z22z| ( ) A0 B1 C 2 D2 B D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)因为a1(a2)i为实数,aR,所以a20.解得a 2,故选C. (2)z(1i)(2i)2i2i13i,z的实

10、部为3. (3)设z 23i 34i ,则z 18 25 1 25 i,所以复数 23i 34i 在复平面内所 对应的点位于第二象限故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (4)z1i, z22z(1i)22(1i)12ii222i2, |z22z|2|2.故选D. 易错点 (4)复数zabi(a,bR)为纯虚数的充要条件为 a0, b0, 做题时容易忽略b0,从而造成错误. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 角度1 复数的乘法运算 (1)(2020 课标,2,5分)(1i)4 ( ) A4

11、 B4 C4i D4i (2)(2019 北京)已知复数z2i,则z z ( ) A. 3 B 5 C3 D5 考点二 复数的运算多维探究 例 2 A D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(2021 长春质检)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对 称,z12i,则z1z2等于 ( ) A5 B5 C4i D4i A 解析 (1)(1i)4(1i)22(2i)24i24,故选A. (2)解法一:因为z2i,所以 z 2i,所以z z (2i)(2i)4 2i2ii24(1)5,故选D. 解法二:z z |z|222125,故选D.

12、 (3)z22i,z1 z2(2i)(2i)5,故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 角度2 复数的除法运算 (1)(2020 新高考,2,5分) 2i 12i ( ) A1 B1 Ci Di (2)(2017 天津)已知aR,i为虚数单位,若 ai 2i 为实数,则a的值为 _. 例 3 D 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1) 2i 12i 2i12i 12i12i 5i 5 i.故选D. (2) ai 2i ai2i 2i2i 2a1a2i 5 2a1 5 a2 5 i

13、为实数,则 a2 5 0,a2.故填2. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 角度3 复数的综合运算 (1)(2020 课标,2,5分)若 z (1i)1i,则z( ) A1i B1i Ci Di (2)(2020 浙江期末联考)已知i是虚数单位,若复数z满足 4 1z 1 i,则z z ( ) A4 B5 C6 D8 例 4 D B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(2020 课标,15,5分)设复数z1,z2满足|z1|z2|2,z1z23 i,则|z1z2|_. 解析 (1) z (

14、1i)1i, z 1i 1i 1i2 1i1i 2i 2 i,zi,故选D. (2)由 4 1z1i,得z 4 1i112i,则z z |z|25,故选B. 2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)设复数z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),则a2b24,c2 d24,又z1z2(ac)(bd)i 3i,ac 3,bd1,则(a c)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd4, 82ac2bd4,即2ac2bd4, |z1z2| ac2bd2 a2b2c2d22ac2bd 842 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第

15、四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 复数运算的技巧 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是 分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式 (2)记住以下结论,可提高运算速度 (1 i)2 2i; 1i 1ii; 1i 1ii; abi i bai; 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 简单的复数方程的解法 (1)利用复数的四则运算求解即可 (2)待定系数法:设zabi(a、bR)代入方程,利用复数相等的条 件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平

16、面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练1 (1)(角度1)(2020 新高考,2,5分)(12i)(2i) ( ) A5i B5i C5 D5 (2)(角度2)(2020 天津,10,5分)i是虚数单位,复数8i 2i_. B 32i 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(角度3)(2020 北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的坐标是 (1,2),则i z ( ) A12i B2i C12i D2i (4)(角度1)(2020 安徽毛坦厂中学模拟)设复数z的共轭复数是 z ,若 复数z134i,z2ti,且z1 z2是实数,则实数t等

17、于_. B 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)(12i)(2i)24ii25i,故选B. (2)8i 2i 8i2i 2i2i 1610i1 5 1510i 5 32i. (3)由复数的几何意义可知,z12i,所以i zi (12i)2i, 故选B. (4)z1z2(34i)(ti)(3t4)(4t3)i是实数,则4t30,t 3 4. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)(2019 全国卷)设复数z满足|zi|1,z在复平面内对应 的点为(x,y)则 ( ) A(x1)

18、2y21 B(x1)2y21 Cx2(y1)21 Dx2(y1)21 考点三 复数的几何意义师生共研 例 5 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)在复平面内,复数z与 6 zi对应的点关于实轴对称,则复数 z ( ) A2i B3i C2i或3i D2i或3i C 解析 (1)解法一:z在复平面内对应的点为(x,y),zx yi(x,yR)|zi|1,|x(y1)i|1,x2(y1)21.故选C. 解法二:|zi|1表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1) 的距离为1,x2(y1)21.故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数

19、学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解法三:在复平面内,点(1,1)所对应的复数z1i满足|zi|1, 但点(1,1)不在选项A,D的圆上,排除A,D;在复平面内,点(0,2)所 对应的复数z2i满足|zi|1,但点(0,2)不在选项B的圆上,排除B.故 选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)设zabi,a,bR, 6 zi 6 ab1i 6a a2b12 6b1 a2b12i, 由已知得 a 6a a2b12 b 6b1 a2b12 ,解得 a0 b3或2 , z2i或3i, z 2i或3i,故选C. 返回导航

20、高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 复数几何意义及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ 相互联系,即zabi(a,bR) Z(a,b)OZ . (2)|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离;|z1z2|表示复平面 内复数z1、z2对应的两点间的距离 (3)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复 数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问 题的解决更加直观 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练2 (1)(2021 广西柳州摸底)已知复数z在复平面内对应点

21、是(1,2),i 为虚数单位,则z2 z1 ( ) A1i B1i C13 2i D13 2i D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)设复数z(x1)yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为( ) A.3 4 1 2 B1 2 1 C1 2 1 D1 4 1 2 D 解析 (1)由题知z12i, z2 z1 12i2 12i1 32i 2i 32i2i 4 13 2i. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)由|z|1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆 心,1为半

22、径的圆及其内部,如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满 足yx的区域,该区域的面积为 1 4 1 2 11 1 4 1 2 ,故满足yx的概 率为 1 4 1 2 12 1 4 1 2.故选D. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)若复数z满足|z|1,则|z34i|的最大值为_. (2)若复数z1,z2满足|z1|z2|1,|z1z2| 2,则|z1z2|_. (3)若复数z满足|zi|zi|4,则点z的轨迹方程为_. 分析 利用复数模的几何意义求解 例 6 6 与复数模有关问题的解法 2 x2 3 y

23、2 4 1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)令zxyi(x,yR), |z|1,x2y21, |z34i|表示圆x2y21上的点到Z(3,4)的距离, |OZ|5, |z34i|的最大值为6. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)由题意知|OZ1 |OZ2 |1,|OZ1 OZ2 | 2, 即|OZ1 |22OZ1 OZ2 |OZ2 |22, OZ1 OZ2 0,即OZ1 OZ2 , |OZ1 OZ2 |22,|OZ1 OZ2 | 2, |z1z2| 2. (3)|zi|zi|

24、4表示复平面内复数z对应的点Z到(0,1)、(0,1)距 离的和为4,故其轨迹是以(0,1)、(0、1)为焦点的椭圆又a2,c 1,b2a2c23,故点Z的轨迹方程为x 2 3 y 2 4 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 |z|OZ |;|z1z2|OZ1 OZ2 |;|z1z2|OZ1 OZ2 |Z2Z1 |. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练3 (1)已知复数z112i,z21i,z332i,它们所对应的点分 别为A,B,C,若OC xOA yOB ,则xy_. (2)复数z满足|z33 i|3 ,则|z|的最大值和最小值分别是 _ 5 3 3、 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)由OC xOA yOB ,得32ix(12i)y(1i)(x y)(2xy)i, xy3, 2xy2. 解得 x1, y4, 故xy5. (2)由题意可知复平面内复数z对应的点在以C(3,3 )为圆心,以 3为半径的圆上,由|CO|2 3知,圆上的点Z到 原点距离的最大值、最小值分别为3 3, 3,故 |z|的最大值为3 3,最小值为 3. 谢谢观看