1、必考部分 第四第四章章 平面平面向量、数系的扩充与复数的引入向量、数系的扩充与复数的引入 第三讲 平面向量的数量积 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点一 向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作 OA a， OB b，则_叫做向 量a与b的夹角；范围是_. a与b的夹角为_时，则a与b垂直，记作ab. AOB 0， 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点二 平面向量的数量积 (1)定义：
2、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a b，即a b_， 规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 a0. (2)几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积 |a|b|cos 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标表示 (1)设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角 数量积：a b|a|b|cos _. 模：|a| a a_. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|A
3、B | x1x22y1y22. 夹角：cos _ x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2. x1x2y1y2 x2 1y 2 1 a b |a|b| 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 已知两非零向量 a 与 b，aba b0_；a ba b |a|b|.(或|a b|a| |b|) |a b|a|b|( 当 且 仅 当a b时 等 号 成 立 ) |x1x2 y1y2| x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2. x1x2y1y20 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)平
4、面向量数量积的运算律 a bb a(交换律) a b(a b)a (b)(结合律) (ab) ca cb c(分配律) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1两个向量的数量积是一个实数0 a0 而 0 a0. 2数量积不满足结合律(a b) ca (b c) 3a b 中的“ ”不能省略a aa2|a|2. 4两向量 a 与 b 的夹角为锐角a b0 且 a 与 b 不共线；两向量 a 与 b 的夹角为钝角a b0，则 a 与 b 的夹角为锐角；a b0，则 a 与 b 的夹角为钝角 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面
5、向量、数系的扩充与复数的引入 (4)两向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结 果是向量 ( ) (5)在等边三角形 ABC 中，向量AB 与BC 的夹角为 60 . ( ) (6)若 a b0，则 a0 或 b0. ( ) (7)(a b) ca (b c) ( ) (8)若 a ba c(a0)，则 bc. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组二 走进教材 2(必修4P107T2改编)向量a(2，1)，b(1,2)，则(2ab) a ( ) A6 B5 C1 D6 解析 由题意知2ab(3,0)，(2ab) a(3,
6、0) (2，1)6， 故选A. A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(必修 4P106T5 改编)已知向量 a 与 b 的夹角为 3，|a| 2，则 a 在 b 方向上的投影为 ( ) A. 3 B 2 C 2 2 D 3 2 C 解析 a 在 b 方向上的投影为|a| cos a，b 2cos 3 2 2 .选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4(必修 4P108T4 改编)在圆 O 中，长度为 2的弦 AB 不经过圆心， 则AO AB 的值为_. 1 解析 设向量AO ，AB 的
7、夹角为 ，则AO AB |AO |AB | cos |AO |cos |AB |1 2|AB | |AB |1 2( 2) 21. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组三 走向高考 5(2020 课标，14,5分)设向量a(1，1)，b(m1，2m 4)，若ab，则m_. 解析 由ab得a b0，即m1(2m4)0，解得m5. 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 6(2020 课标，14,5分)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|a b|_. 解析 由|ab|1，得|ab|21，即 a2b
8、22a b1，而|a|b| 1，故 a b1 2，|ab| |ab| 2 a2b22a b 111 3. 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 7(2019 全国卷，5 分)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab) b，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. 6 B 3 C2 3 D5 6 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 解法一：由题意得，(ab) b0a b|b|2， |a|b| cos a，b|b|2， |a|2|b|， 2|b|2cos a，b|b|2cos a，b
9、1 2， a，b 3，故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解法二：如图所示，设OA a，OB b， 则BA ab，B 2，|OA |2|OB |， AOB 3，即a，b 3. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)(2019 全国卷，5 分)已知AB (2,3)，AC (3，t)，|BC | 1，则AB BC ( ) A3 B2 C2 D3 (2)(2020 北京， 13,5 分)已知正方形 ABCD 的边长为 2， 点 P 满足AP 1 2(AB A
10、C )，则|PD |_；PB PD _. 考点一 平面向量数量积的运算师生共研 例 1 C 1 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)因为BC AC AB (1， t3)， 所以|BC | 1t321， 解得 t3，所以BC (1,0)，所以AB BC 21302，故选 C. (2)如图，在正方形 ABCD 中，由AP 1 2(AB AC )得点 P 为 BC 的中 点，|PD | 5，PB PD PB (PC CD )PB PC PB CD PB PC 11cos 180 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平
11、面向量、数系的扩充与复数的引入 一题多解 AP 1 2(AB AC )，P 为 BC 的中点以 A 为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知 A(0,0)， B(2,0)， C(2,2)， D(0,2)， P(2,1)，|PD | 202122 5，PB (0，1)，PD (2,1)， PB PD (0，1) (2,1)1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 向量数量积的四种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a b|a|b|cos . (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b (x
12、2，y2)，则a bx1x2y1y2. (3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基 底来表示要求数量积的向量求解 (4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而 求其数量积(如本例(2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练 1 (1)(2021 江西名校高三质检)已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ， 且 a( 2，6)，|b| 10，则 a b_. (2)在菱形ABCD中， 对角线AC4， E为CD的中点， 则AE AC ( ) A8 B10 C12 D14 10 C 返回导航 高考一轮总复习 数
13、学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)因为 a(2，6)，所以|a| 22622 10， 又|b| 10， 向量 a 与 b 的夹角为 60 ， 所以 a b|a|b|cos 60 2 10 10 1 210. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)解法一：转化法：注意到菱形的对角线 ACBD.故用AC 、BD 表 示AE ，由题意知AE AC CE AC 1 2CD AC 1 4(BD AC )3 4AC 1 4 BD ， AE AC 3 4AC 1 4BD AC 3 4|AC |21 4BD AC 3 4|A
14、C| 212，故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解法二：坐标法：如图建立平面直角坐标系，则 A(2,0)，C(2,0)， 不妨设 D(0,2a)，则 E(1，a) AE (3，a)，AC (4,0) AE AC (3，a) (4,0)12，故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 角度 1 向量的模 (1)(2021 四川双流中学月考)若平面向量 a、b 的夹角为 60 ， 且 a(1， 3)，|b|3，则|2ab|的值为 ( ) A13 B 37 C 13 D1 考点二 向量的
15、模、夹角多维探究 例 2 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)(2021 黄冈调研)已知平面向量 m，n 的夹角为 6，且|m| 3，|n| 2，在ABC 中，AB 2m2n，AC 2m6n，D 为 BC 的中点，则 |AD |_. 2 分析 (1)求出|a|，再由|2ab| 2ab2求解； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)a(1， 3)，|a|2. a b|a|b|cos 60 3， |2ab| 2ab2 4a24a bb2 13.故选 C. (2)由题意知 m n 32
16、cos 63. ABC 中，D 为 BC 的中点， AD 1 2(AB AC )1 2(2m2n2m6n)2m2n. |AD |2m2n|2 mn2 2 m22m nn22 32342. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量的模的解题方法 (1)若向量 a 是以坐标(x，y)形式出现的，求向量 a 的模可直接利用|a| x2y2. (2)若向量 a，b 是非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2 a2a a，或|a b|2(a b)2a2 2a bb2，先求向量模的平方，再通过向 量数量积的运算求解即“模的问题平方求解” 返回
17、导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 例 3 角度 2 向量的夹角 (1)(2021 新高考八省联考)已知单位向量 a，b 满足 a b0， 若向量 c 7a 2b，则 sin ( ) A. 7 3 B 2 3 C 7 9 D 2 9 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)(2020 全国理，6)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，a b6， 则 cosa，ab ( ) A31 35 B19 35 C17 35 D19 35 分析 (1)利用夹角公式求解 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（
18、新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)设 a(1,0)，b(0,1)，则 c( 7， 2)， cos a c |a|c| 7 13 7 3 ， sin 2 3 ，故选 B. (2)|a|5，|b|6，a b6，a (ab)|a|2a b19.又|ab| a22a bb2 2512367， cosa，aba ab |a|ab| 19 57 19 35.故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 求两向量夹角的方法及注意事项 (1)一般是利用夹角公式：cos a b |a|b|. (2)注意：数量积大于 0 说明不共线的
19、两向量的夹角为锐角，数量积 等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向 量的夹角为钝角 (3)a 在 b 方向上的投影等于|a|cos a b |b| ；b 在 a 方向上的投影等于 |b|cos a b |a| . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 角度3 平面向量的垂直 (1)(2020 全国，5)已知单位向量a，b的夹角为60，则在 下列向量中，与b垂直的是 ( ) Aa2b B2ab Ca2b D2ab 例 4 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)(2
20、021 安徽宣城调研)已知在ABC 中，A120 ，且 AB3，AC 4，若AP AB AC ，且AP BC ，则实数 的值为 ( ) A.22 15 B10 3 C6 D12 7 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)本题考查向量的数量积由题意得 a b|a|b|cos 60 1 2， b2|b|21.对于 A，(a2b) ba b2b21 22 5 20，故 A 错；对于 B， (2ab) b2a bb21120， 故 B 错； 对于 C， (a2b) ba b2b2 1 22 3 20，故 C 错；对于 D，(2ab) b2a
21、 bb 2110，所 以(2ab)b，故选 D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)因为AP BC ，所以AP BC (AB AC ) (AC AB )AB 2AC2 (1)AC AB 0， 因此3242(1)34cos 120 0， 所以 22 15.故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量垂直问题的解题思路 解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a b0求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练 2 (1)(角度
22、 3)(2020 全国，13)已知单位向量 a，b 的夹角为 45 ，ka b 与 a 垂直，则 k_. (2)(角度 1)(2021 山西康杰中学五校期中)已知向量 a、b 满足|b|2|a| 2，a 与 b 的夹角为 120 ，则|a2b| ( ) A. 13 B 21 C13 D21 B 2 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)(角度 2)(2021 江西七校联考)已知向量 a(1， 3)，b(3，m)， 且 b 在 a 上的投影为3，则向量 a 与 b 的夹角为_. 解析 (1)本题考查平面向量的数量积运算由题意知|a|b|1，
23、 所以 a b|a|b|cos 45 2 2 .因为 kab 与 a 垂直，所以(kab) a0，即 ka2a b0，即 k 2 2 0，得 k 2 2 . 2 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)|a|1，|b|2，a b1， |a2b| a2b2 |a|24a b4|b|2 21.故选 B. (3)由题意可知a b |a| 3， 3 3m 2 3. m3 3， |b| 323 326， 记 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos a b |a|b| 3 |b| 1 2， 又 0，2 3 . 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高
24、考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)(2017 全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则PA (PB PC )的最小值是 ( ) A2 B3 2 C4 3 D1 例 5 B 有关数量积的最值(范围)问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 思维导引 思路一： 利用中线公式写出 PB PC 2PD 将PA PB PC 变形为 2PE 2EA2 当点P与点E重合 时，求出最小值 思路二： 建立平面直角坐标系，根据 三角形ABC的特点写出点的坐标 利用向量数量积的 坐标表
25、示进行求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 解法一：结合题意画出图形，如图所示，设 BC 的中点为 D， AD 的中点为 E， 连接 AD， PE， PD， 则有PB PC 2PD ， 则PA (PB PC ) 2PA PD 2(PE EA ) (PE EA ) 2(PE 2EA2) 而EA 2 3 2 23 4， 当点 P 与点 E 重合时，PE 2 有最小值 0，故此时PA (PB PC )取得最 小值，最小值为2EA 223 4 3 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解法二：
26、如下图所示，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以边 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)， B(1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则PA (x， 3y)，PB (1x，y)， PC (1x，y)，所以PA (PB PC )(x， 3y) (2x，2y)2x22(y 3 2 )23 2，当 x0， y 3 2 时，PA (PB PC )取得最小值，最小值为3 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义
27、先将问题转化为平面几 何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数 中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函 数、不等式、方程的有关知识来解决 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练3 (2020 全国新高考，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的 一点，则AP AB 的取值范围是 ( ) A(2,6) B(6,2) C(2,4) D(4,6) A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 本题考查平面向量数量积的取值范围 如图， 以正六边形的 中心为坐标原点 O，线段 FC 所在直线为 x 轴，线段 FC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 F(2,0)，C(2,0)，A(1， 3)，B(1， 3)设 P(x，y)，x(2,2)，则AP AB (x1，y 3) (2,0)2x2(2,6)故选 A. 谢谢观看
