1、 2.4 平面向量的数量积平面向量的数量积 24.1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景， 即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角 以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 知识点一 平面向量数量积的定义 非零向量 a， b 的夹角为 ， 数量|a|b|cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作 a b， 即 a b |a|b|cos ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于 0. 思
2、考 若 a0，且 a b0，是否能推出 b0. 答案 在实数中，若 a0，且 a b0，则 b0；但是在数量积中，若 a0，且 a b0，不 能推出 b0.因为其中 cos 有可能为 0. 知识点二 平面向量数量积的几何意义 1条件：向量 a 与 b 的夹角为 . 2投影 向量 b 在 a 方向上的投影 |b|cos 向量 a 在 b 方向上的投影 |a|cos 3.a b 的几何意义： 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 思考 向量 a 在 b 方向上的投影是向量吗？ 答案 a 在 b 方向上的投影是一个数量(可正，可为 0，可负)，不是
3、向量 知识点三 平面向量数量积的性质 设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为 . 1aba b0. 2当 ab 时，a b |a|b|，a与b同向， |a|b|，a与b反向. 3a a|a|2或|a| a a. 4cos a b |a|b|. 5|a b|a|b|. 知识点四 平面向量数量积的运算律 1a bb a(交换律) 2(a) b (a b)a (b)(数乘结合律) 3(ab) ca cb c(分配律) 思考 若 a bb c，是否可以得出结论 ac? 答案 不可以 已知实数 a，b，c(b0)，则 abbcac，但是 a bb c 推不出 ac.理由如下： 如图，a b|a|
4、b|cos |b|OA|， b c|b|c|cos |b|OA|. 所以 a bb c，但是 ac. 1向量 a 在向量 b 上的投影一定是正数( ) 2若 a b0，则 a 与 b 的夹角为钝角( ) 3向量的数量积运算满足(a b) ca (b c)( ) 4已知 a0，且 a ca b，则 bc.( ) 题型一 求两向量的数量积 例 1 已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)AB AC；(2)AB BC；(3)BC AC. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (1)AB 与AC的夹角为 60 . AB AC|AB|AC|cos 60 111 2 1
5、 2. (2)AB 与BC的夹角为 120 ， AB BC|AB|BC|cos 120 11 1 2 1 2. (3)BC 与AC的夹角为 60 ， BC AC|BC|AC|cos 60 111 2 1 2. 反思感悟 求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a b|a|b|cos . 运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否 则，要通过平移使两向量符合以上条件 (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何 意义求 a b. 跟踪训练 1 已知|a|4，|b|7，且向量 a
6、 与 b 的夹角为 120 ，求(2a3b) (3a2b) 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (2a3b) (3a2b) 6a24a b9b a6b2 6|a|25a b6|b|2 642547 cos 120 672 268. 题型二 求向量的模 例 2 已知|a|b|5，向量 a 与 b 的夹角为 3，求|ab|，|ab|. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 a b|a|b|cos 551 2 25 2 . |ab|ab2 |a|22a b|b|2 25225 2 255 3. |ab|ab2 |a|22a b|b|2 25225
7、2 255. 引申探究 若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|. 解 a b|a|b|cos 551 2 25 2 ， |2ab| 2ab2 4|a|24a b|b|2 425425 2 255 7. |a2b| a2b2 |a|24a b4|b|2 25425 2 4255 3. 反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用 a2|a|2，即|a| a2，勿忘记开方 跟踪训练 2 已知|a|1，|b|3，且|ab|2，求|ab|. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 方法一 |ab|2(ab)2a22a bb2 192a b4，a b3. |ab|2(ab)2a22a
8、 bb2 192316，|ab|4. 方法二 |ab|2(ab)2a22a bb2， |ab|2(ab)2a22a bb2， |ab|2|ab|22a22b2212920. 又|ab|2，|ab|216，|ab|4. 题型三 求向量的夹角 例 3 (1)设 n 和 m 是两个单位向量， 其夹角是 60 ， 求向量 a2mn 与 b2n3m 的夹角 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 |n|m|1 且 m 与 n 夹角是 60 ， m n|m|n|cos 60 111 2 1 2. |a|2mn| 2mn2 4114m n 41141 2 7， |b|2n3m| 2n3
9、m2 419112m n 4191121 2 7， a b(2mn) (2n3m)m n6m22n2 1 26121 7 2. 设 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos a b |a|b| 7 2 7 7 1 2. 又0，2 3 ，故 a 与 b 的夹角为2 3 . (2)已知非零向量 a，b 满足|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角及 a 与 ab 的夹角 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 如图所示， 在平面内取一点 O，作OA a，OB b， 以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，使|OA |OB |， 四边形 OACB 为菱形，OC 平分AOB，
10、 这时OC ab，BA ab. 由于|a|b|ab|，即|OA |AC |OC |， AOC60 ，即 a 与 ab 的夹角为 60 . AOC60 ，AOB120 ， 又|OA |OB |，OAB30 ， 即 a 与 ab 的夹角为 30 . 反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式 cos a b |a|b|求出夹角的余弦值，从而求得夹 角可以直接求出 a b 的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a b 三者之间 的关系，然后代入求解 (2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解 (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是
11、0， 跟踪训练 3 已知|a|b|2，(a2b) (ab)2，求 a 与 b 的夹角 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 (a2b) (ab)|a|22|b|2a b2. |a|b|2，a b2， 设 a 与 b 的夹角为 ，cos a b |a|b| 1 2， 又0， 3. 向量的夹角与垂直问题 典例 (1)已知向量 a， b 满足(2ab) (ab)6， 且|a|2， |b|1， 则 a 与 b 的夹角为_ 答案 3 解析 设 a 与 b 的夹角为 ，依题意有：(2ab) (ab)2a2a bb272cos 6，所以 cos 1 2，因为 0，故 3. (2)已知
12、向量 a，b，且|a|1，|b|2，(a2b)(3ab)， 求向量 a 与 b 夹角的大小； 求|a2b|的值 解 设 a 与 b 的夹角为 ， 由已知得(a2b) (3ab)3a25a b2b2 310cos 80， 所以 cos 1 2，又 0 180 ， 所以 60 ，即 a 与 b 的夹角为 60 . 因为|a2b|2a24a b4b2141613，所以|a2b| 13. 素养评析 向量既有大小又有方向，我们可以通过代数运算来求解夹角、模等，这正是数 学核心素养数学运算的具体体现 1已知|a|1，|b|2，a 与 b 的夹角为 3，则 a b 等于( ) A1 B2 C3 D4 考点
13、平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 A 解析 a b12cos 31，故选 A. 2在等腰直角三角形 ABC 中，若C90 ，AC 2，则BA BC的值等于( ) A2 B2 C2 2 D2 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 B 解析 BA BC|BA|BC|cosABC2 2cos 45 2. 3已知|a|8，|b|4， a，b120 ，则向量 b 在 a 方向上的投影为( ) A4 B4 C2 D2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 D 解析 向量 b 在 a 方向上的投影为 |b|cosa，b4cos 120 2.
14、 4已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60 ，则BD CD 等于( ) A3 2a 2 B3 4a 2 C.3 4a 2 D.3 2a 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 D 解析 如图所示，由题意，得 BCa，CDa，BCD120 . BD CD (BC CD ) CD BC CD CD 2 a a cos 60 a23 2a 2. 5已知向量 a，b 的夹角为 60 ，且|a|2，|b|1，若 c2ab，da2b， 求：(1)c d；(2)|c2d|. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 (1)c d(2ab) (a2b)2
15、a22b23a b 24213211 29. (2)|c2d|2(4a3b)216a29b224a b 1649124211 297， |c2d| 97. 1 两向量 a 与 b 的数量积是一个实数， 不是一个向量， 其值可以为正(当 a0， b0,0 90 时)，也可以为负(当 a0，b0,90 180 时)，还可以为 0(当 a0 或 b0 或 90 时) 2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是 有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆 3求投影有两种方法 (1)b 在 a 方向上的投影为|b|cos ( 为 a，b 的夹角)，a 在 b 方向上的投影为|a|cos . (2)b 在 a 方向上的投影为a b |a| ，a 在 b 方向上的投影为a b |b| . 4对于两非零向量 a，b，aba b0. 5求向量模时要灵活运用公式|a| a2.
