1、6.3 平面向量的数量积最新考纲 考情考向分析1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模长以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作 a， b，则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角OA OB 的范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 ，则数量
2、|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab投影|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积3.向量数量积的运算律(1)ab ba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab )ca cb c.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，a 与 b 的夹角为 .结论 几何表示 坐标表示模 |a| aa |a| x21 y21夹角 cos ab|a|b|cos x1x2 y1y2x21 y21 x2
3、 y2ab 的充要条件 ab0 x1x2y 1y20|ab|与|a|b|的关系 |ab|a|b| |x1x2y 1y2| x21 y21x2 y2概念方法微思考1a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相同吗？提示 不相同因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ，而 b 在 a 方向上的投影为|b|cos ，其中 为 a 与 b 的夹角2两个向量的数量积大于 0，则夹角一定为锐角吗？提示 不一定当夹角为 0时，数量积也大于 0.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( )(2)两个向量的数量积是一
4、个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量( )(3)由 ab0 可得 a0 或 b 0.( )(4)(ab)ca( bc)( )(5)两个向量的夹角的范围是 .( )0，2(6)若 ab0 ”是“a 与 b 的夹角为锐角”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义式可知，若 ab0，则 a 与 b 的夹角为锐角或零角，若 a 与 b 的夹角为锐角，则一定有 ab0，所以 “ab0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选 B.2(2018台州调研)已知向量 a(2,1)，b(1,3)，则向量 2ab 与 a
5、的夹角为( )A135 B60 C45 D30答案 C解析 由题意可得 2ab2(2,1)(1,3)(3 ，1) ，则|2 a b| ，32 12 10|a| ，22 12 5且(2ab)a(3，1)(2,1)615，设所求向量的夹角为 ，由题意可得cos ，2a ba|2a b|a| 5105 22则向量 2ab 与 a 的夹角为 45.3已知向量 a，b 满足|a| 1 ，|b|2，且 ab( ， )，则|2 ab|等于( )3 2A2 B. C. D22 17 15 5答案 A解析 根据题意，|ab| ，3 2 5则(ab) 2a 2b 22a b 52a b5，可得 ab0，结合|a|
6、 1，|b|2，可得(2ab) 24a 2b 24a b448，则 2 ，故选 A.|2a b| 24(2018宁波质检)在ABC 中，| | |，AB2，AC1，E，F 为 BC 的三AB AC AB AC 等分点，则 等于( )AE AF A. B. C. D.89 109 259 269答案 B解析 由| | |，化简得 0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，它们AB AC AB AC AB AC 的长不可能为 0，所以 AB 与 AC 垂直，所以 ABC 为直角三角形以 A 为原点，以 AC 所在直线为 x 轴，以 AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(
7、0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令 E 为 BC 的靠近 C 的三等分点，则 E ，F ，(23，23) (13，43)所以 ， ，AE (23，23) AF (13，43)所以 .AE AF 23 13 23 43 1095已知两个单位向量 a 和 b 的夹角为 60，则向量 ab 在向量 a 方向上的投影为( )A1 B1 C D.12 12答案 D解析 由题意可得 |a|b| 1，且 ab| a|b|cos 60 ，12a(ab)a 2 ab1 ，12 12则向量 ab 在向量 a 方向上的投影为 .故选 D.a ba|a| 121 126(2018温州“十五校联合体”联考) 已
8、知向量 a，b 的夹角为 ，|ab|6，| ab|2 ，3则 的取值范围是 ( )A0 B. 3 3 2C. D06 2 23答案 A解析 由|ab |6，得|a |2 2ab|b| 236，由|a b |2 ，3得|a |2 2ab|b| 212，由得|a| 2 |b|224，且 ab6，从而有 cos ，ab|a|b| 2ab|a|2 |b|2 12又 0，故 0 .37若平面向量 a，b 满足 b7，|a| ，|b| 2，则向量 a 与 b 的夹角为_(a b) 3答案 6解析 (ab) babb 27，ab7b 23.设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 cos .ab|a|b| 323
9、 32又 0， ，6即向量 a 与 b 的夹角为 .68已知 a( ，2 )，b(3 ， 2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是_答案 ( ， 43) (0，13) (13， )解析 a 与 b 的夹角为锐角， 则 ab0 且 a 与 b 不共线， 则 Error!解得 ，所以 的取值范围是43 13 13 .( ， 43) (0，13) (13， )9(2018浙江名校协作体试题) 已知在ABC 中，AB3，BC ，AC 2，且 O 是ABC7的外心，则 _ ， _.AO AC AO BC 答案 2 52解析 因为 O 是ABC 的外心，所以向量 在向量 上的投影 1，向量
10、在向量AO AC AO AC |AC | AO 上的投影为 ，所以 2， ，所AB AO AB |AB | 32 AO AC AO AB 92以 2 .AO BC AO AC AO AB 92 5210(2018温州市高考适应性测试) 若向量 a，b 满足(ab) 2b 2|a|3，且| b|2，则 a 在b 方向上的投影的取值范围是_答案 32，0)解析 由(ab) 2b 2|a|3，得 (ab) 2b 2|a| 22ab|b| 2|b| 292ab3，解得ab3，又因为|b| 2，则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 .ab|b| 32，0)11已知|a| 4 ，|b|3，(2a3b)(
11、2ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求|ab| ；(3)若 a， b，求ABC 的面积AB BC 解 (1)因为(2 a3b)(2 ab)61，所以 4|a|24ab 3|b| 261.又|a |4 ，|b|3，所以 644ab2761，所以 ab6，所以 cos .ab|a|b| 643 12又 0，所以 .23(2)|ab| 2(ab) 2|a| 22ab | b|24 22(6)3 213，所以|a b| .13(3)因为 与 的夹角 ，AB BC 23所以ABC .23 3又| | |a|4，| |b|3，AB BC 所以 SABC | | |sinABC12AB BC
12、 43 3 .12 32 312已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，求 ( )的最小PA PB PC 值解 方法一 设 BC 的中点为 D，AD 的中点为 E，则有 2 ，PB PC PD 则 ( )2 PA PB PC PA PD 2( )( )PE EA PE EA 2( 2 2)PE EA 而 2 2 ，AE ( 32) 34当 P 与 E 重合时， 2有最小值 0，PE 故此时 ( )取最小值，PA PB PC 最小值为2 22 .EA 34 32方法二 以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则 A(1,0) ，B(
13、1,0)，C(0， )，3设 P(x，y)，取 BC 的中点 D，则 D .(12，32)( )2 PA PB PC PA PD 2(1x， y)(12 x，32 y)2 x 1(x 12) y(y 32)2 .(x 14)2 (y 34)2 34因此，当 x ，y 时，14 34( )取最小值，为 2 .PA PB PC ( 34) 3213(2018浙江名校联盟联考) 已知在ABC 中，AB4，AC 2，ACBC，D 为 AB 的中点，点 P 满足 ，则 ( )的最小值为( )AP 1aAC a 1a AD PA PB PC A2 B C D289 258 72答案 C解析 由 知点 P
14、在直线 CD 上，以点 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴，AP 1aAC a 1a AD CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0,2)，B(2 ，0)，C(0,0)，D( ，1)，3 3直线 CD 的方程为 y x，33设 P ，则 ，(x，33x) PA ( x，2 33x) ， ，PB (23 x， 33x) PC ( x， 33x) ，PB PC (23 2x， 233x) ( )x (2 2 x) x2 xPA PB PC 3 23 433 x2 x 2 ，83 1033 83(x 538) 258当 x 时 ， ( )取得最小值 .538 PA
15、PB PC 25814(2018杭州质检)记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin.若平面向量 a，b，c 满足|a|b| a bc(a2b2c) 2.则( )A|a c|max3 72B|ac| max3 72C|ac| min3 72D|a c|min .3 72答案 A解析 由题意，建立平面直角坐 标系(图略)，不妨取 a(2,0)，b(1， )，则3a2b(4,2 )设 c(x，y)，3由 c(a2b2c) 2 得(x 1) 2 2 ，(y 32) 34即 c 对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上，(1，32) 32则|a c| max .故选 A.2 12 (0 32)
16、2 32 3 7215已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点集OP OQ OM 1m 1OP mm 1OQ AError!，当 F1，F 2A 时，若对于任意的 m3，当 F1，F 2 不在直线 PQ 上时，不等式k 恒成立，则实数 k 的最小值为_|F1F2 | |PQ |答案 34解析 由 (m3)，OM 1m 1OP mm 1OQ 可得 P，Q，M 三点共线，且(m 1) m ，OM OP OQ 即 m m ，即 m ，所以 m ，OM OM OP OQ QM MP PMQM由 AError!，可得 cos PFM cosQFM ，|FM | |FM |即PFM QFM，则 FM 为
17、PFQ 的角平分线，由角平分线的性质定理可得 m，PFQF PMQM以 P 为坐标原点，PQ 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系(图略) ，则P ，Q ，F(x，y)，(0，0) (1 m，0)于是 m，x2 y2(x 1 m)2 y2化简得 2y 2 2，(x m21 m) ( mm 1)故点 F(x，y)是以 为圆 心， 为半径的圆要使得不等式 对 m3(m2m 1，0) mm 1 |F1F2 | k|PQ |恒成立，只需 2 k ，即 k mm 1 (m 1) 2mm2 1 2m 1m对 m3 恒成立，k .23 13 3416(2019嘉兴质检)已知| c|2，向量 b 满足 2|
18、bc|bc.当 b，c 的夹角最大时，求|b| 的值解 设 b， c，则BOC 即向量 b，c 的夹角， b c .由 2|bc|bc，OB OC CB 可知 2| |2| |cosBOC，BC OB 从而 cosBOC 0.|BC |OB |若| | 0，则BOC0，不符合题意；BC 若| |0，则BOC 为锐角，BC 设 OBm，BCn，则 cosBOC ，在OBC 中，nm由余弦定理可知 cosBOC ，OC2 OB2 BC22OCOB 4 m2 n24m所以 ，4 m2 n24m nm即 m2n 24n4，从而 cos2BOC n2m2 n2n2 4n 4 ，1 (2n 1)2 2所以当 n2 时，cos 2BOC 取得最小值 ，BOC 取得最大值，为 ，此时12 4|b|m 2 .n2 4n 4 2
