1、必考部分 第四第四章章 平面平面向量、数系的扩充与复数的引入向量、数系的扩充与复数的引入 第四讲 平面向量的综合应用 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点 共线等问题 共线向量 定理 ab_，其中a (x1，y1)，b(x2，y2)，b0 垂直问题 数量积的 运算性质 ab_， 其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零 向量 知识点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧
2、： ab x1y2x2y10 a b0 x1x2y1y20 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 问题类型 所用知识 公式表示 夹角问题 数量积的 定义 cos _(为向量a，b的夹角)，其中a， b为非零向量 长度问题 数量积的 定义 |a|_，其中a(x，y)，a为 非零向量 a b |a|b| a2 x2y2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决几 何问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
3、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 知识点二 向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向 量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置 关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体 知识点三 向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常 通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1若G是ABC的重心，则GA GB GC 0. 2若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向 量(B
4、，A)与直线l平行 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若AB AC ，则A，B，C三点共线 ( ) (2)在ABC中，若AB BC 0，y0，且xy1，则CD BE 的最大值为 ( ) A5 8 B3 8 C3 2 D3 4 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 由题意可知CD AD AC (1x)AB AC ， BE AE AB (1y)AC AB ，又xy1， BE AB xAC ，又|AB |AC |1，AB
5、AC 1 2， CD BE (1x)AB AC (AB xAC ) x 2x1 2 x1 2 23 4 2 3 8(当且仅当x 1 2时取等号)故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 若点O和点F分别为椭圆 x2 4 y2 3 1的中心和左焦点，点P为 椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为_. 考点二 向量在解析几何中的应用师生共研 例 2 6 解析 由题意，得F(1,0)，设P(x0，y0)， 则有x 2 0 4 y 2 0 3 1，解得y2 03 1x 2 0 4 ， 因为FP (x01，y0)，OP (x0，y0)， 返回导航
6、高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 所以OP FP x0(x01)y2 0 x 2 0 x03 1x 2 0 4 x 2 0 4 x03，对应的抛 物线的对称轴方程为x02， 因为2x02， 故当x02时，OP FP 取得最大值2 2 4 236. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 向量在解析几何中的“两个”作用：载体作用，向量在解析几何 问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意 义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解 决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；工
7、具作用，利用 aba b0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平 行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂 直、平行问题常常是比较优越的方法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练2 已知直线xya与圆x2y22交于A，B两点，O是原点，C是圆 上一点，若OA OB OC ，则a的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 2 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 因为A，B，C均为圆x2y22上的点， 故|OA |OB |OC | 2， 因为OA
8、OB OC ，所以(OA OB )2OC 2， 即OA 22OA OB OB 2OC2， 即44cos AOB2，故AOB120 . 则圆心O到直线AB的距离d 2 cos 60 2 2 |a| 2，则|a|1，即a 1.故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 考点三 向量与其他知识的交汇师生共研 例 3 (2020 吉林省实验中学高三上第四次月考)已知向量a(sin x，1)，b 3cos x，1 2 ，函数f(x)(ab) a2. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，
9、 a 3，c1，且f(A)1，求ABC的面积S. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)f(x)(ab) a2|a|2a b2sin2x1 3sin xcos x 1 22 1cos 2x 2 3 2 sin 2x1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 ， 则 22k2x 6 22k(kZ) 解得 6kx 3k(kZ) 函数f(x)的单调递增区间为 k 6，k 3 (kZ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)f(A)sin 2A 6 1， A 0， 2 ，2
10、A 6 6， 5 6 ， 2A 6 2，A 3. 又a2b2c22bccos A，b2， 从而S1 2bcsin A 3 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线 或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向 量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内 的有界性，求得值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
11、变式训练3 在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m cos B，2cos2C 2 1 ，n(c，b2a)，且m n0. (1)求C的大小； (2)若点D为边AB上一点，且满足AD DB ，|CD | 7，c2 3，求 ABC的面积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)因为m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，m n0，所以 ccos B(b2a)cos C0， 在ABC中，由正弦定理得， sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，sin A2sin Acos C， 又sin A0，所以co
12、s C1 2，而C(0，)，所以C 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)由AD DB 知，CD CA CB CD ，所以2CD CA CB ， 两边平方得 4|CD |2b2a22bacosACBb2a2ba28. 又c2a2b22abcosACB， 所以a2b2ab12. 由得ab8，所以SABC1 2absinACB2 3. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (1)点P是ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则点P是ABC的
13、 ( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 例 4 D 三角形的四“心”及三角形形状的判定 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | ，(0，)，则点P的轨迹一定通过 ABC的 ( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足 OP OA AB |AB |cos B AC |AC |cos C ，(0，)，
14、则动点P的轨迹一定通过ABC 的 ( ) A重心 B垂心 C内心 D外心 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (4)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足 OP OA AB |AB |sin B AC |AC |sin C ，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC 的 ( ) A重心 B垂心 C内心 D外心 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)由PA PB PB PC ，得PA PB PB PC 0，即PB (PA PC ) 0，即PB CA 0，则PBCA. 同理PA
15、BC，PCAB，所以P为ABC的垂心故选D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)因为 AB |AB | 是向量AB 方向上的单位向量，设AB 与AC 方向上的单位 向量分别为e1和e2，又OP OA AP ，则原式可化为AP (e1e2)，则由 菱形的基本性质可知AP平分BAC，选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (3)由条件，得AP AB |AB |cos B AC |AC |cos C 从而AP BC AB BC |AB |cos B AC BC |AC |cos C |AB |
16、BC |cos180 B |AB |cos B |AC | |BC |cos C |AC |cos C (|BC |BC |)0，得AP BC ，则动点P的轨迹一定通过ABC 的垂心故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 另解：作ADBC于D，则 AB |AB |cos B AC |AC |cos C AD DB |BD | AD DC |CD | AD |BD | AD |CD | 1 |BD | 1 |CD | AD . AP 与AD 共线，故点P必过ABC的垂心 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与
17、复数的引入 (4)由正弦定理得 |AB | sin C |AC | sin B， 即|AB | sin B|AC |sin C， OP OA AB |AB |sin B AC |AB |sin B ， 即AP |AB |sin B (AB AC ) 2 |AB |sin B AM (其中M为BC的中点)， PAM，则动点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 另解：作ADBC于D，则 AB |AB |sin B AC |AC |sin C 1 |AD | (AB AC ) 2 |AD | AM (其中M为BC的
18、中点)， 即AP 与AM 共线，动点P的轨迹一定过ABC的重心，选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 三角形各心的概念介绍 (1)重心：三角形的三条中线的交点；O是ABC的重心 OA OB OC 0； (2)垂心：三角形的三条高线的交点；O是ABC的垂心OA OB OB OC OC OA ； (3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆 心) O是ABC的外心|OA |OB |OC |(或OA 2OB2OC2)； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (4)内心：三角形的三个内
19、角角平分线的交点(三角形内切圆的圆 心)；O是ABC的内心 OA AB |AB | AC |AC | OB BA |BA | BC |BC | OC CA |CA | CB |CB | 0. 注意：向量 AB |AB | AC |AC | (0)所在直线过ABC的内心(是BAC的 角平分线所在直线) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2020 驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足 (OB OC ) (OB OC 2OA )0，则ABC的形状为 ( ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 分析 通过向量运算从算
20、式中消掉O. 例 5 C 解析 由题意知CB (AB AC )0.所以(AB AC ) (AB AC )0，即 |AB |AC |，所以ABC是等腰三角形，故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 引申 (1)若条件改为“|OB OC |OB OC 2OA |”结果如何？ (2)若条件改为“AB 2AB AC BA BC CA CB ”结果如何？ 解析 (1)OB OC 2OA OB OA OC OA AB AC ，OB OC CB AB AC ，|AB AC |AB AC |AB AC |2|AB AC |2 AB AC 0，三角形为直角三
21、角形，故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)AB 2AB AC BA BC CA CB ， AB (AB AC )BC (BA CA )， AB CB BC 2， BC (BC AB )0，即BC AC 0 BC AC ，即C 2. ABC为直角三角形，故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 三角形形状的判断 在ABC中，若|AB |AC |，则ABC为等腰三角形；若AB AC 0，则ABC为直角三角形；若AB AC 0，BA BC 0，且CA CB 0，则ABC为锐角三角形；若
22、 |AB AC |AB AC |，则ABC为直角三角形；若(AB AC ) BC 0， 则ABC为等腰三角形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 变式训练4 (1)若P为ABC所在平面内一点 若( OP OA ) ( AB AC )0，则动点P的轨迹必过ABC的 _. 若 OP OA ( AB AC )(0)，则动点P的轨迹必过ABC的 _. 若CA 2CB22AB CP ，则动点P的轨迹必过ABC的_. 垂心 重心 外心 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)已知非零向量AB 与AC 满足 A
23、B |AB | AC |AC | BC 0且 AB |AB | AC |AC | 1 2，则 ABC为 ( ) A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 (1)由题意知AP CB 0，APBC，动点P必过ABC 的垂心； 由题意知AP (AB AC )2AM (M为BC中点)P、A、M共线， P必过ABC的重心； 2AB CP CB 2CA2(CB CA ) (CB CA )AB (CB CA )，即 2AB CP AB (CB CA )，AB (2CP CB CA )AB (BP AP )0.以 BP ，AP 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直点P在线段AB的中垂 线上，P必过ABC的外心 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (2)因为非零向量AB 与AC 满足 AB |AB | AC |AC | BC 0，所以BAC的平 分线垂直于BC，所以ABAC. 又cos BAC AB |AB | AC |AC | 1 2，所以BAC 3.所以ABC为等边三角 形故选D. 谢谢观看
