1、2.3.1 平面向量基本定理,第二章 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示,学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 平面向量基本定理,思考1,如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？,答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.,答案,思考2,如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？,答案 不一
2、定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.,梳理,(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， _实数1，2，使a1e12e2. (2)基底： 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.,不共线,任意,有且只有一对,不共线,所有,思考1,知识点二 两向量的夹角与垂直,平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？,答案,答案 存在夹角，不一样.,思考2,ABC为等边三角形，ABC60， 则CBD120，故向量a与b的夹角为120.,答案,梳理,当0时，a与b ；当180时，a与b . (
3、2)垂直：如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.,非零向量,AOB,反向,同向,题型探究,类型一 对基底概念的理解,例1 如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个； 若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)； 若存在实数，使得e1e20，则0. A. B. C. D.,答案,解析,解析 由平面向量基本定理可知，是正确的； 对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数
4、对是唯一的； 对于，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个，故选B.,反思与感悟,考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.,答案,解析,跟踪训练1 若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 A.e1e2，e2e1 B.2e1e2，e1 e2 C.2e23e1，6e14e2 D.e1e2，e1e2,解析 选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2e1)，则e1e2，e2e1为共线向量； 选项B中，2e1e22(e1 e2)，也为共线向量； 选项C
5、中，6e14e22(2e23e1)，为共线向量. 根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.,类型二 向量的夹角,解答,例2 已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，设ab与a的夹角为，ab与a的夹角是，求.,以OA、OB为邻边作OACB，,因为|a|b|2，所以OAB为正三角形， 所以OAB60ABC， 即ab与a的夹角60. 因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形， 所以OCAB，所以COA906030， 即ab与a的夹角30，所以90.,反思与感悟,(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a
6、与b的夹角为，1a与2b(1、2是非零常数)的夹角为0，当120时，0.,答案,解析,90,且O是线段BC的中点，故线段BC是圆O的直径，,类型三 平面向量基本定理的应用,解答,解 四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，,解答,引申探究,解 取CF的中点G，连接EG. E、G分别为BC，CF的中点，,反思与感悟,将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.,解答,a，b不共线，,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,1.下列关于基底的说法正
7、确的是 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A. B. C. D. 解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确.,2,3,4,5,1,答案,解析,A.30 B.60 C.120 D.150,2,3,4,5,1,答案,解析,3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.,15,12,解析 向量e1，e2不共线，,答案,解析,2,3,4,5,1,ab,2ac,再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.,解
8、答,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,解 连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点， DC綊FB. 四边形DCBF为平行四边形.,规律与方法,1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.,2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.,本课结束,
