1、第第 5 5 章章 导数及其应用导数及其应用 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1函数 yf(x)在 xx0处的导数 f(x0) 的几何意义是( ) A在 xx0处的函数值 B在点(x0，f(x0)处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 C曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率 D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率 答案 C 2已知函数 f(x)ln x，导函数为 f(x)，那么 f(2)等于( ) A1 4 B 1 2 C. 1 2 D1 答案 C 解析 因为 f(x)ln x，则 f(x)1 x，
2、所以 f(2) 1 2. 3二次函数 yf(x)的图象过原点，且它的导函数 yf(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函 数 yf(x)的图象的顶点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 C 解析 yf(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数 yf(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原 点左侧，又其图象过原点，故顶点在第三象限 4以正弦曲线 ysin x 上一点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ) A. 0， 4 3 4 ， B0，) C. 4， 3 4 D. 0， 4 2， 3 4 答案 A 解析 ycos x， cos
3、x1,1， 切线的斜率的取值范围是1,1， 倾斜角的范围是 0， 4 3 4 ， . 5设曲线 y ln x x1在点(1,0)处的切线与直线 xay10 垂直，则 a 等于( ) A1 2 B. 1 2 C2 D2 答案 A 解析 由题意得，yln xx1ln xx1 x12 11 xln x x12 (x0)，曲线在点(1,0)处的切线与直线 x ay10 垂直，2ln 1 4 a，解得 a1 2. 6函数 f(x)e |x| 3x的部分图象大致为( ) 答案 C 解析 f(x)e |x| 3x，定义域为(，0)(0，)， f(x)e |x| 3xf(x)，f(x)为奇函数，图象关于原点对
4、称，故排除 B；f(1) e 30 时，f(x)x1e x 3x2 ，又当 x1 时，f(x)0， f(x)在(1，)上是增函数，故排除 D. 7若函数 f(x) ax2 x1(x1)有最大值4，则实数 a 的值是( ) A1 B1 C4 D4 答案 B 解析 由函数 f(x) ax2 x1(x1)， 得 f(x) 2axx1ax2 x12 axx2 x12 ， 要使得函数 f(x)有最大值4， 则 a0，函数 f(x)在(1,2)上是增函数， 当 x(2，)时，f(x)0，得 x1， 令 f(x)0，得3 2x1， 所以 f(x)在 ，3 2 上是增函数，在 3 2，1 上是减函数，在(1，
5、)上是增函数， 且 f 3 2 3 2 9e ，f(1)e， 且当 x时，f(x)0， 令 3f(x)22f(x)10，得 f(x)1 或 f(x)1 3， 所以 f(x)1 有两个解，f(x)1 3有三个解， 所以函数 y3f(x)22f(x)1 零点的个数是 5. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的 得 0 分) 9设三次函数 f(x)的导函数为 f(x)，函数 yxf(x)的图象的一部分如图所示，则( ) A函数 f(x)有极大值 f(3) B函数 f(x)有极小值 f( 3) C函数 f(x)有极大值 f(
6、 3) D函数 f(x)有极小值 f(3) 答案 AD 解析 当 x0，即 f(x)0； 当3x3 时，f(x)0)，则 yf(x)( ) A在区间 1 e，1 内无零点 B在区间 1 e，1 内有零点 C在区间(1，e)内无零点 D在区间(1，e)内有零点 答案 AD 解析 由题意得 f(x)x3 3x (x0)， 令 f(x)0，得 x3； 令 f(x)0，得 0 x3； 令 f(x)0，得 x3， 故函数 f(x)在区间(0,3)上是减函数， 在区间(3，)上是增函数， 所以 f(x)的极小值为 f(3)1ln 30，f(e) e 310. 所以 f(x)在区间 1 e，1 内无零点，在
7、区间(1，e)内有零点 12已知函数 f(x)及其导函数 f(x)，若存在 x0，使得 f(x0)f(x0)，则称 x0是 f(x)的一个“巧值点”，则下 列函数中有“巧值点”的是( ) Af(x)x2 Bf(x)e x Cf(x)ln x Df(x)1 x 答案 ACD 解析 对于 A，f(x)2x，由 x22x，得 x0 或 x2，有“巧值点”； 对于 B，f(x)e x，exex 无解，无“巧值点”； 对于 C，f(x)1 x，方程 ln x 1 x有解，有“巧值点”； 对于 D，f(x) 1 x2，由 1 x 1 x2，得 x1，有“巧值点” 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5
8、分，共 20 分) 13若函数的导数为 f(x)，且 f(x)2f(2)xx3，则 f(2)_. 答案 12 解析 由题意得 f(x)2f(2)3x2， f(2)2f(2)12， f(2)12. 14函数 g(x)x36x29x10 的零点有_个 答案 1 解析 g(x)x36x29x10， 故 g(x)3x212x93(x1)(x3)， 故函数在(，1)和(3，)上是增函数，在1,3上是减函数， 则函数的极大值为 g(1)1691060， 函数的极小值为 g(3)27542710100， 当 x时，f(x)，故函数共有 1 个零点 15若函数 yexax 在1，)上是单调函数，则 a 的最大
9、值是_ 答案 e 解析 yexa，由题意得 exa0 在区间1，)上恒成立， 即 aex在区间1，)上恒成立 ae，即 a 的最大值是 e. 16已知函数 f(x)的定义域为1,5，部分对应值如表所示，f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示下列 关于 f(x)的命题： x 1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 函数 f(x)的极大值点为 0,4； 函数 f(x)在0,2上是减函数； 如果当 x1，t时，f(x)的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4； 当 1a0； 当 x(0,1)时，f(x)0， 所以函数 f(x)的增区间为(，0)和(1，) (2)当 x1,2时，f(x)，f(x
10、)的变化情况如表所示： x 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f(x) 0 0 f(x) 1 极大值 极小值 8 当 x1 时，f(1)2(1)33(1)241； 当 x1 时，f(1)2343， 所以当 x1,2时，函数 f(x)的最小值为1. 19(12 分)设函数 f(x)x36x5，xR. (1)求 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)a 有 3 个不同的实根，求实数 a 的取值范围 解 (1)f(x)3(x22)， 令 f(x)0，得 x1 2，x2 2， 当 x 2时，f(x)0； 当 2x 2时，f(x)0， 54 2a0， 解得 54
11、 2a54 2， 当 54 2a0，得 x2 或 x1； 由 f(x)0，得 1x2， f(x)在(，1)和(2，)上是增函数，在(1,2)上是减函数， f(x)极大值f(1)5 2a，f(x)极小值f(2)2a. f(x)恰有一个零点，5 2a0， 即 a5 2. a 的取值范围为(，2) 5 2， . 21(12 分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品需向总公司缴纳 a 元(a 为 常数，2a5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为 x 元时，产品一年的销售量为 k ex (e 为自然对数的底数)万件已知当每件产品的售价为 40 元时，该产品
12、一年的销售量为 500 万件，经物价部 门核定，每件产品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元 (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L(x)最大？并求出 L(x)的最大值 解 (1)设该产品一年的销售量为 Q(x) k ex， 则 k e40500，所以 k500e 40， 则该产品一年的销售量 Q(x)500e 40 ex ， 则该产品一年的利润 L(x)(xa30)500e 40 ex 500e40 xa30 ex (35x41) (2)L(x)500e40 31ax
13、ex . 若 2a4，则 33a3135， 当 35x41 时，L(x)0，L(x)单调递减， 所以当 x35 时，L(x)取得最大值为 500(5a)e5； 若 4a5，则 35a3136， 令 L(x)0，得 xa31， 易知当 xa31 时，L(x)取得最大值为 500e9 a. 综上所述，当 2a4，且每件产品的售价为 35 元时，该产品一年的利润最大，最大利润为 500(5a)e5万 元； 当 40 时，x0， 2ax2xa0， f(x)0，则 f(x)在(0，)上是增函数； 当 a0， 故只需 0，从而得 a 2 4 ， 此时 f(x)在(0，)上是减函数 综上可得，a ， 2 4 0，)
