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第5章 导数及其应用 单元检测卷(含答案)2021年秋苏教版高中数学选择性必修第一册

1、第第 5 5 章章 导数及其应用导数及其应用 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1函数 yf(x)在 xx0处的导数 f(x0) 的几何意义是( ) A在 xx0处的函数值 B在点(x0,f(x0)处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 C曲线 yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率 D点(x0,f(x0)与点(0,0)连线的斜率 答案 C 2已知函数 f(x)ln x,导函数为 f(x),那么 f(2)等于( ) A1 4 B 1 2 C. 1 2 D1 答案 C 解析 因为 f(x)ln x,则 f(x)1 x,

2、所以 f(2) 1 2. 3二次函数 yf(x)的图象过原点,且它的导函数 yf(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,则函 数 yf(x)的图象的顶点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 C 解析 yf(x)的图象过第一、二、三象限,故二次函数 yf(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原 点左侧,又其图象过原点,故顶点在第三象限 4以正弦曲线 ysin x 上一点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ) A. 0, 4 3 4 , B0,) C. 4, 3 4 D. 0, 4 2, 3 4 答案 A 解析 ycos x, cos

3、x1,1, 切线的斜率的取值范围是1,1, 倾斜角的范围是 0, 4 3 4 , . 5设曲线 y ln x x1在点(1,0)处的切线与直线 xay10 垂直,则 a 等于( ) A1 2 B. 1 2 C2 D2 答案 A 解析 由题意得,yln xx1ln xx1 x12 11 xln x x12 (x0),曲线在点(1,0)处的切线与直线 x ay10 垂直,2ln 1 4 a,解得 a1 2. 6函数 f(x)e |x| 3x的部分图象大致为( ) 答案 C 解析 f(x)e |x| 3x,定义域为(,0)(0,), f(x)e |x| 3xf(x),f(x)为奇函数,图象关于原点对

4、称,故排除 B;f(1) e 30 时,f(x)x1e x 3x2 ,又当 x1 时,f(x)0, f(x)在(1,)上是增函数,故排除 D. 7若函数 f(x) ax2 x1(x1)有最大值4,则实数 a 的值是( ) A1 B1 C4 D4 答案 B 解析 由函数 f(x) ax2 x1(x1), 得 f(x) 2axx1ax2 x12 axx2 x12 , 要使得函数 f(x)有最大值4, 则 a0,函数 f(x)在(1,2)上是增函数, 当 x(2,)时,f(x)0,得 x1, 令 f(x)0,得3 2x1, 所以 f(x)在 ,3 2 上是增函数,在 3 2,1 上是减函数,在(1,

5、)上是增函数, 且 f 3 2 3 2 9e ,f(1)e, 且当 x时,f(x)0, 令 3f(x)22f(x)10,得 f(x)1 或 f(x)1 3, 所以 f(x)1 有两个解,f(x)1 3有三个解, 所以函数 y3f(x)22f(x)1 零点的个数是 5. 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的 得 0 分) 9设三次函数 f(x)的导函数为 f(x),函数 yxf(x)的图象的一部分如图所示,则( ) A函数 f(x)有极大值 f(3) B函数 f(x)有极小值 f( 3) C函数 f(x)有极大值 f(

6、 3) D函数 f(x)有极小值 f(3) 答案 AD 解析 当 x0,即 f(x)0; 当3x3 时,f(x)0),则 yf(x)( ) A在区间 1 e,1 内无零点 B在区间 1 e,1 内有零点 C在区间(1,e)内无零点 D在区间(1,e)内有零点 答案 AD 解析 由题意得 f(x)x3 3x (x0), 令 f(x)0,得 x3; 令 f(x)0,得 0 x3; 令 f(x)0,得 x3, 故函数 f(x)在区间(0,3)上是减函数, 在区间(3,)上是增函数, 所以 f(x)的极小值为 f(3)1ln 30,f(e) e 310. 所以 f(x)在区间 1 e,1 内无零点,在

7、区间(1,e)内有零点 12已知函数 f(x)及其导函数 f(x),若存在 x0,使得 f(x0)f(x0),则称 x0是 f(x)的一个“巧值点”,则下 列函数中有“巧值点”的是( ) Af(x)x2 Bf(x)e x Cf(x)ln x Df(x)1 x 答案 ACD 解析 对于 A,f(x)2x,由 x22x,得 x0 或 x2,有“巧值点”; 对于 B,f(x)e x,exex 无解,无“巧值点”; 对于 C,f(x)1 x,方程 ln x 1 x有解,有“巧值点”; 对于 D,f(x) 1 x2,由 1 x 1 x2,得 x1,有“巧值点” 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5

8、分,共 20 分) 13若函数的导数为 f(x),且 f(x)2f(2)xx3,则 f(2)_. 答案 12 解析 由题意得 f(x)2f(2)3x2, f(2)2f(2)12, f(2)12. 14函数 g(x)x36x29x10 的零点有_个 答案 1 解析 g(x)x36x29x10, 故 g(x)3x212x93(x1)(x3), 故函数在(,1)和(3,)上是增函数,在1,3上是减函数, 则函数的极大值为 g(1)1691060, 函数的极小值为 g(3)27542710100, 当 x时,f(x),故函数共有 1 个零点 15若函数 yexax 在1,)上是单调函数,则 a 的最大

9、值是_ 答案 e 解析 yexa,由题意得 exa0 在区间1,)上恒成立, 即 aex在区间1,)上恒成立 ae,即 a 的最大值是 e. 16已知函数 f(x)的定义域为1,5,部分对应值如表所示,f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示下列 关于 f(x)的命题: x 1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 函数 f(x)的极大值点为 0,4; 函数 f(x)在0,2上是减函数; 如果当 x1,t时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; 当 1a0; 当 x(0,1)时,f(x)0, 所以函数 f(x)的增区间为(,0)和(1,) (2)当 x1,2时,f(x),f(x

10、)的变化情况如表所示: x 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f(x) 0 0 f(x) 1 极大值 极小值 8 当 x1 时,f(1)2(1)33(1)241; 当 x1 时,f(1)2343, 所以当 x1,2时,函数 f(x)的最小值为1. 19(12 分)设函数 f(x)x36x5,xR. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)a 有 3 个不同的实根,求实数 a 的取值范围 解 (1)f(x)3(x22), 令 f(x)0,得 x1 2,x2 2, 当 x 2时,f(x)0; 当 2x 2时,f(x)0, 54 2a0, 解得 54

11、 2a54 2, 当 54 2a0,得 x2 或 x1; 由 f(x)0,得 1x2, f(x)在(,1)和(2,)上是增函数,在(1,2)上是减函数, f(x)极大值f(1)5 2a,f(x)极小值f(2)2a. f(x)恰有一个零点,5 2a0, 即 a5 2. a 的取值范围为(,2) 5 2, . 21(12 分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 30 元,并且每件产品需向总公司缴纳 a 元(a 为 常数,2a5)的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为 x 元时,产品一年的销售量为 k ex (e 为自然对数的底数)万件已知当每件产品的售价为 40 元时,该产品

12、一年的销售量为 500 万件,经物价部 门核定,每件产品的售价 x 最低不低于 35 元,最高不超过 41 元 (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L(x)最大?并求出 L(x)的最大值 解 (1)设该产品一年的销售量为 Q(x) k ex, 则 k e40500,所以 k500e 40, 则该产品一年的销售量 Q(x)500e 40 ex , 则该产品一年的利润 L(x)(xa30)500e 40 ex 500e40 xa30 ex (35x41) (2)L(x)500e40 31ax

13、ex . 若 2a4,则 33a3135, 当 35x41 时,L(x)0,L(x)单调递减, 所以当 x35 时,L(x)取得最大值为 500(5a)e5; 若 4a5,则 35a3136, 令 L(x)0,得 xa31, 易知当 xa31 时,L(x)取得最大值为 500e9 a. 综上所述,当 2a4,且每件产品的售价为 35 元时,该产品一年的利润最大,最大利润为 500(5a)e5万 元; 当 40 时,x0, 2ax2xa0, f(x)0,则 f(x)在(0,)上是增函数; 当 a0, 故只需 0,从而得 a 2 4 , 此时 f(x)在(0,)上是减函数 综上可得,a , 2 4 0,)