1、第第 3 3 章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1抛物线 y26x 的焦点到准线的距离是( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 抛物线的焦点到准线的距离为 p3. 2椭圆x 2 9 y2 41 的离心率是( ) A. 13 3 B. 5 3 C.2 3 D. 5 9 答案 B 解析 因为椭圆方程为x 2 9 y2 41， 所以 a3，c a2b2 94 5. 所以 ec a 5 3 . 3抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y 2 31 的渐近线的距离是( ) A.1 2 B
2、. 3 2 C1 D. 3 答案 B 解析 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐逝线方程为 3xy0 或 3xy0， 则焦点到渐近线的距离 d1 | 310| 3212 3 2 或 d2 | 310| 3212 3 2 . 4已知 F 是抛物线 y1 4x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是( ) Ax22y1 Bx22y 1 16 Cx2y1 2 Dx22y2 答案 A 解析 设 P(x0，y0)，PF 的中点为(x，y)， 则 y01 4x 2 0，又 F(0,1)，所以 xx0 2， yy01 2 ， 所以 x02x， y02y1， 代入 y
3、01 4x 2 0得 2y11 4(2x) 2，化简得 x22y1. 5 已知双曲线 x2y 2 31 的左顶点为 A1， 右焦点为 F2， P 为双曲线右支上一点， 则PA1 PF2 的最小值为( ) A1 B0 C2 D81 16 答案 C 解析 设点 P(x0，y0)，则 x20y 2 0 31， 由题意得 A1(1,0)，F2(2,0)， 则PA1 PF2 (1x0，y0) (2x0，y0) x20 x02y20， 由双曲线方程得 y203(x201)， 故PA1 PF2 4x20 x05(x01)， 可得当 x01 时，PA1 PF2 有最小值2. 6已知椭圆 E：x 2 a2 y2
4、 b21(ab0)，过点(4,0)的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(2，1)， 则椭圆 E 的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 3 D. 2 3 3 答案 B 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 两式相减得x 2 1x 2 2 a2 y 2 1y 2 2 b2 0， 因为 AB 的中点坐标为(2，1)， 所以 x1x24，y1y22， 所以y1y2 x1x2 x1x2b2 y1y2a2 2b2 a2 ， 又 kABy1y2 x1x2 01 42 1 2， 所以2b 2 a2
5、1 2，即 a2b，所以 e c a 1 b a 2 3 2 . 7已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交椭圆 C 于点 D，且BF 2FD ， 则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 3 B. 3 C.1 3 D3 答案 A 解析 如图， 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， B(0，b)为上顶点， F(c,0)为右焦点， 设 D(x，y)，由BF 2FD ， 得(c，b)2(xc，y)，即 c2xc， b2y， 解得 x3c 2 ， yb 2， 所以 D 3c 2 ，b 2 . 因为点 D 在椭圆上，所以 3 2c 2 a2 b 2 2
6、 b2 1， 解得 a23c2，即 e21 3，所以 e 3 3 . 8.如图所示，F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别 交于 A，B 两点若 ABBF2AF2345，则双曲线的离心率为( ) A2 B. 15 C. 13 D. 3 答案 C 解析 ABBF2AF2345， 不妨令 AB3，BF24，AF25， AB2BF22AF22，ABF290 ， 又由双曲线的定义得 BF1BF22a，AF2AF12a， AF1345AF1， AF13，2aAF2AF12，a1，BF16. 在 RtBF1F2中，F1F22B
7、F21BF22361652， 又 F1F224c2，4c252，c 13，e 13. 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的 得 0 分) 9以直线 2xy10 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( ) Ay22x By24x Cx24y Dx22y 答案 AC 解析 直线 2xy10 与 x 轴的交点坐标是 1 2，0 ， 即抛物线的焦点坐标是 1 2，0 ， 此时抛物线的标准方程是 y22x， 与 y 轴的交点坐标是(0，1)， 抛物线的焦点坐标是(0，1)， 此时抛物线的标准方程是 x24y. 10 设抛
8、物线 C： y22px(p0)的焦点为 F， 准线为 l， A 为 C 上一点， 以 F 为圆心， FA 为半径的圆交 l 于 B， D 两点，若ABD90 ，且ABF 的面积为 9 3，则( ) ABF3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 答案 BCD 解析 由题意，得以 F 为圆心，FA 为半径的圆交 l 于 B，D 两点，且ABD90 ， 由抛物线定义，可得 ABAFBF， ABF 是等边三角形， FBD30 ， SABF 3 4 BF29 3，BF6. 又焦点 F 到准线的距离为 pBFsin 30 3， 则抛物线方程为 y26x，
9、 则 BCD 正确，A 错误 11已知双曲线 C：x 2 4 y2 91，则下列说法正确的是( ) A直线 y3 2x1 与双曲线有两个交点 B双曲线 C 与y 2 9 x2 41 有相同的渐近线 C双曲线 C 的焦点到一条渐近线的距离为 3 D双曲线的焦点坐标为(13,0)，(13,0) 答案 BC 解析 A 错误，因为直线 y3 2x1 与渐近线 y 3 2x 平行，与双曲线只有一个交点；B 正确，两曲线渐近线 方程均为 y 3 2x；C 正确；右焦点( 13，0)到渐近线 y 3 2x 的距离为 3；D 错误，因为 c 2a2b213，所 以双曲线焦点坐标为( 13，0)和( 13，0)
10、 12已知椭圆x 2 4 y2 21 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下 列关于PF1F2的说法正确的有( ) APF1F2的周长为 42 2 B当PF1F290 时，PF1F2中 PF12 C当F1PF260 时，PF1F2的面积为4 3 3 D椭圆上有且仅有 6 个点 P，使得PF1F2为直角三角形 答案 AD 解析 由椭圆的方程可得，a2，b 2，c 2， 对于选项 A，PF1F2的周长为 PF1PF2F1F22a2c42 2，故选项 A 正确； 对于选项 B，当PF1F290 时，PF1x 轴，令 x 2，可得 y 1，所以 PF11，故
11、选项 B 不正确； 当F1PF260 时，PF1F2的面积为 b2tan 30 2 3 3 2 3 3 ，故选项 C 不正确； 当点 P 位于椭圆的上、下顶点时，PF1PF2a2，而 F1F22c2 2，此时F1PF290 ，有 2 个直角 三角形，当 PF1F1F2时，PF1F290 ，此时点 P 位于第二或第三象限，有 2 个直角三角形，同理可得 PF2F1F2时，PF2F190 ，此时有 2 个直角三角形，所以共有 6 个直角三角形，故选项 D 正确 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13已知抛物线 y22mx(m0)的焦点为 F，过焦点 F 作直线交抛物线于
12、 A，B 两点，以 AB 为直径的圆的方 程为 x2y22x2tyt2150，则 m_. 答案 6 解析 由题意可知圆的方程为 x2y22x2tyt2150， 即(x1)2(yt)216， 可得弦 AB 的中点的横坐标为 1，圆的半径为 4， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22， 所以 x1x2m8，可得 m6. 14已知双曲线 C：x2y 2 31 的左焦点为 F1，顶点 Q(0,2 3)，P 是双曲线 C 右支上的动点，则 PF1PQ 的最小值等于_ 答案 6 解析 结合题意，绘制图象， 根据双曲线的性质可知 PF1PF22a2， 得到 PF1PF22， 所以 PF1P
13、QPF2PQ2QF22， 而 Q(0,2 3)，F2(2,0)， 所以 QF2222 324， 所以最小值为 6. 15设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角 形，则椭圆的离心率为_ 答案 21 解析 设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，F2 的坐标为(c,0)，P 点坐标为 c，b 2 a (不妨取第一象限内点 P)， 由题意知 PF2F1F2，所以b 2 a 2c，a2c22ac， c a 22 c a 10，解得c a 21，负值舍去，所以 e c a 21. 16设双曲线x 2 9 y2 161 的右顶点为
14、 A，右焦点为 F，过点 F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条 渐近线交于点 B，则AFB 的面积为_ 答案 10 3 解析 根据题意，得 a29，b216. 所以 c a2b25，且 A(3,0)，F(5,0) 因为双曲线x 2 9 y2 161 的渐近线方程为 y 4 3x. 所以直线 BF 的方程为 y 4 3(x5) 若直线 BF 的方程为 y4 3(x5)， 与渐近线 y4 3x 交于点 B 5 2， 10 3 ， 此时 SAFB1 2AF |yB| 1 22 10 3 10 3 ； 若直线 BF 的方程为 y4 3(x5)，与渐近线 y 4 3x 交于点 B 5 2， 10
15、 3 ， 此时 SAFB1 2AF |yB| 1 22 10 3 10 3 . 因此，AFB 的面积为10 3 . 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)设 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满 足 PF2F1F2，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程 解 设 PF1的中点为 M，连接 F2M(图略) 由 PF2F1F2， 故 F2MPF1，即 F2M2a. 在 RtF1F2M 中，F1M 2c22a22b， 故 PF14b. 根据双曲线的定义有 4b2c2a，即 2b
16、ac， 即(2ba)2a2b2，即 3b24ab0，即 3b4a， 故双曲线的渐近线方程是 y b ax，即 4x 3y0. 18(12 分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为 2 13，一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线 的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为 73，求椭圆和双曲线的方程 解 焦点在 x 轴上，设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，且 c 13， 设双曲线为 x2 m2 y2 n21(m0，n0)，ma4. 因为e 双 e椭 7 3，所以 a m 7 3，解得 a7，m3. 因为椭圆和双曲线的半焦距为 13， 所以 b236，n2
17、4.所以椭圆方程为x 2 49 y2 361， 双曲线方程为x 2 9 y2 41. 焦点在 y 轴上，椭圆方程为x 2 36 y2 491，双曲线方程为 y2 9 x2 41. 19(12 分)给出下列条件：焦点在 x 轴上；焦点在 y 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点 A 到其焦点 F 的距离等于 2；抛物线的准线方程是 x2. (1)对于顶点在原点 O 的抛物线 C： 从以上四个条件中选出两个适当的条件， 使得抛物线 C 的方程是 y24x， 并说明理由； (2)过点(4,0)的任意一条直线 l 与 C：y24x 交于 A，B 两点，试探究是否总有OA OB ？请说明理由 解 (1)因为
18、抛物线 C：y24x 的焦点 F(1,0)在 x 轴上，所以条件适合，条件不适合 又因为抛物线 C：y24x 的准线方程为 x1， 所以条件不适合题意 当选择条件时，AFxA1112， 此时适合题意 故选择条件时，可得抛物线 C 的方程是 y24x. (2)由题意得直线 l 的斜率不为 0， 设直线 l 的方程为 xty4，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 y24x， xty4， 消 x 得，y24ty160， 所以 0 恒成立，y1y24t，y1y216， 则 x1x2(ty14)(ty24)t2y1y24t(y1y2)1616t216t21616， 所以OA OB x1x2y1y21
19、6160， 所以OA OB . 综上所述，无论 l 如何变化，总有OA OB . 20(12 分)已知抛物线顶点在原点，焦点在 x 轴上，又知此抛物线上一点 P(4，m)到焦点的距离为 6. (1)求此抛物线的方程； (2)若此抛物线方程与直线 ykx2 相交于不同的两点 A，B，且 AB 中点的横坐标为 2，求 k 的值 解 (1)由题意设抛物线方程为 y22px，p0，其准线方程为 xp 2， 因为 P(4，m)到焦点的距离等于 P 到其准线的距离， 所以 4p 26，所以 p4， 所以此抛物线的方程为 y28x. (2)由 y28x， ykx2， 消去 y 得 k2x2(4k8)x40，
20、 设直线 ykx2 与抛物线相交于不同的两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 k0， 0， 解得 k1，且 k0， 且 x1x24k8 k2 4，解得 k2 或 k1(舍去)， 所以所求 k 的值为 2. 21(12 分)设有三点 A，B，P，其中点 A，P 在椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)上，A(0,2)，B(2,0)，且OA OB 6 2 OP . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的倾斜角为 45 ，直线 l 与椭圆 C 相交于 E，F 两点，求OEF 的面积 解 (1)由题意知，b2，椭圆方程为x 2 a2 y2 41，设 P
21、(x，y)，A(0,2)，B(2,0)，由OA OB 6 2 OP ， 得(2,2) 6 2 (x，y)，则 x 4 6， y 4 6， 可得 16 6a2 16 241，即 a 28. 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 41. (2)c a2b22.所以直线 l 的方程为 yx2，代入椭圆方程x 2 8 y2 41， 整理得 3x28x0，则 x0 或 x8 3. 所以交点坐标为(0，2)和 8 3， 2 3 ， 所以 EF 8 3 2 2 32 28 2 3 ， O 到直线 l 的距离 d|2| 2 2， 所以 SOEF1 2 2 8 2 3 8 3. 22(12 分)已知动点 P(
22、x，y)(其中 x0)到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过椭圆 C1：x 2 16 y2 121 的右顶点作直线交曲线 C 于 A，B 两点，其中 O 为坐标原点 求证：OAOB； 设 OA，OB 分别与椭圆相交于点 D，E，证明：原点 O 到直线 DE 的距离为定值 (1)解 设 P(x，y)(x0)， 由题意， x12y2x1(x0)， 两边平方，整理得 y24x. 所求点 P 的轨迹方程为 C：y24x. (2)证明 设过椭圆的右顶点(4,0)的直线 AB 的方程为 xmy4. 代入抛物线方程 y24x，得 y24my160. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y24m， y1y216. x1x2y1y2(my14)(my24)y1y2(1m2)y1y24m(y1y2)160. OAOB. 设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线 DE 的方程为 xty， 代入x 2 16 y2 121， 得(3t24)y26ty32480. 于是 y3y4 6t 3t24，y3y4 3248 3t24 . 从而 x3x4(ty3)(ty4)4 248t2 3t24 . ODOE，x3x4y3y40. 代入，整理得 7248(t21) 原点到直线 DE 的距离 d | 1t2 4 21 7 为定值
