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第3章 圆锥曲线与方程 单元检测卷(含答案)2021年秋苏教版高中数学选择性必修第一册

1、第第 3 3 章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1抛物线 y26x 的焦点到准线的距离是( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 抛物线的焦点到准线的距离为 p3. 2椭圆x 2 9 y2 41 的离心率是( ) A. 13 3 B. 5 3 C.2 3 D. 5 9 答案 B 解析 因为椭圆方程为x 2 9 y2 41, 所以 a3,c a2b2 94 5. 所以 ec a 5 3 . 3抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y 2 31 的渐近线的距离是( ) A.1 2 B

2、. 3 2 C1 D. 3 答案 B 解析 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0), 双曲线的渐逝线方程为 3xy0 或 3xy0, 则焦点到渐近线的距离 d1 | 310| 3212 3 2 或 d2 | 310| 3212 3 2 . 4已知 F 是抛物线 y1 4x 2的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的轨迹方程是( ) Ax22y1 Bx22y 1 16 Cx2y1 2 Dx22y2 答案 A 解析 设 P(x0,y0),PF 的中点为(x,y), 则 y01 4x 2 0,又 F(0,1),所以 xx0 2, yy01 2 , 所以 x02x, y02y1, 代入 y

3、01 4x 2 0得 2y11 4(2x) 2,化简得 x22y1. 5 已知双曲线 x2y 2 31 的左顶点为 A1, 右焦点为 F2, P 为双曲线右支上一点, 则PA1 PF2 的最小值为( ) A1 B0 C2 D81 16 答案 C 解析 设点 P(x0,y0),则 x20y 2 0 31, 由题意得 A1(1,0),F2(2,0), 则PA1 PF2 (1x0,y0) (2x0,y0) x20 x02y20, 由双曲线方程得 y203(x201), 故PA1 PF2 4x20 x05(x01), 可得当 x01 时,PA1 PF2 有最小值2. 6已知椭圆 E:x 2 a2 y2

4、 b21(ab0),过点(4,0)的直线交椭圆 E 于 A,B 两点若 AB 的中点坐标为(2,1), 则椭圆 E 的离心率为( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 3 D. 2 3 3 答案 B 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x21 a2 y21 b21, x22 a2 y22 b21, 两式相减得x 2 1x 2 2 a2 y 2 1y 2 2 b2 0, 因为 AB 的中点坐标为(2,1), 所以 x1x24,y1y22, 所以y1y2 x1x2 x1x2b2 y1y2a2 2b2 a2 , 又 kABy1y2 x1x2 01 42 1 2, 所以2b 2 a2

5、1 2,即 a2b,所以 e c a 1 b a 2 3 2 . 7已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交椭圆 C 于点 D,且BF 2FD , 则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 3 B. 3 C.1 3 D3 答案 A 解析 如图, 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), B(0,b)为上顶点, F(c,0)为右焦点, 设 D(x,y),由BF 2FD , 得(c,b)2(xc,y),即 c2xc, b2y, 解得 x3c 2 , yb 2, 所以 D 3c 2 ,b 2 . 因为点 D 在椭圆上,所以 3 2c 2 a2 b 2 2

6、 b2 1, 解得 a23c2,即 e21 3,所以 e 3 3 . 8.如图所示,F1,F2是双曲线 C:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点,过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别 交于 A,B 两点若 ABBF2AF2345,则双曲线的离心率为( ) A2 B. 15 C. 13 D. 3 答案 C 解析 ABBF2AF2345, 不妨令 AB3,BF24,AF25, AB2BF22AF22,ABF290 , 又由双曲线的定义得 BF1BF22a,AF2AF12a, AF1345AF1, AF13,2aAF2AF12,a1,BF16. 在 RtBF1F2中,F1F22B

7、F21BF22361652, 又 F1F224c2,4c252,c 13,e 13. 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的 得 0 分) 9以直线 2xy10 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( ) Ay22x By24x Cx24y Dx22y 答案 AC 解析 直线 2xy10 与 x 轴的交点坐标是 1 2,0 , 即抛物线的焦点坐标是 1 2,0 , 此时抛物线的标准方程是 y22x, 与 y 轴的交点坐标是(0,1), 抛物线的焦点坐标是(0,1), 此时抛物线的标准方程是 x24y. 10 设抛

8、物线 C: y22px(p0)的焦点为 F, 准线为 l, A 为 C 上一点, 以 F 为圆心, FA 为半径的圆交 l 于 B, D 两点,若ABD90 ,且ABF 的面积为 9 3,则( ) ABF3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 答案 BCD 解析 由题意,得以 F 为圆心,FA 为半径的圆交 l 于 B,D 两点,且ABD90 , 由抛物线定义,可得 ABAFBF, ABF 是等边三角形, FBD30 , SABF 3 4 BF29 3,BF6. 又焦点 F 到准线的距离为 pBFsin 30 3, 则抛物线方程为 y26x,

9、 则 BCD 正确,A 错误 11已知双曲线 C:x 2 4 y2 91,则下列说法正确的是( ) A直线 y3 2x1 与双曲线有两个交点 B双曲线 C 与y 2 9 x2 41 有相同的渐近线 C双曲线 C 的焦点到一条渐近线的距离为 3 D双曲线的焦点坐标为(13,0),(13,0) 答案 BC 解析 A 错误,因为直线 y3 2x1 与渐近线 y 3 2x 平行,与双曲线只有一个交点;B 正确,两曲线渐近线 方程均为 y 3 2x;C 正确;右焦点( 13,0)到渐近线 y 3 2x 的距离为 3;D 错误,因为 c 2a2b213,所 以双曲线焦点坐标为( 13,0)和( 13,0)

10、 12已知椭圆x 2 4 y2 21 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,且不与椭圆的左、右顶点重合,则下 列关于PF1F2的说法正确的有( ) APF1F2的周长为 42 2 B当PF1F290 时,PF1F2中 PF12 C当F1PF260 时,PF1F2的面积为4 3 3 D椭圆上有且仅有 6 个点 P,使得PF1F2为直角三角形 答案 AD 解析 由椭圆的方程可得,a2,b 2,c 2, 对于选项 A,PF1F2的周长为 PF1PF2F1F22a2c42 2,故选项 A 正确; 对于选项 B,当PF1F290 时,PF1x 轴,令 x 2,可得 y 1,所以 PF11,故

11、选项 B 不正确; 当F1PF260 时,PF1F2的面积为 b2tan 30 2 3 3 2 3 3 ,故选项 C 不正确; 当点 P 位于椭圆的上、下顶点时,PF1PF2a2,而 F1F22c2 2,此时F1PF290 ,有 2 个直角 三角形,当 PF1F1F2时,PF1F290 ,此时点 P 位于第二或第三象限,有 2 个直角三角形,同理可得 PF2F1F2时,PF2F190 ,此时有 2 个直角三角形,所以共有 6 个直角三角形,故选项 D 正确 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13已知抛物线 y22mx(m0)的焦点为 F,过焦点 F 作直线交抛物线于

12、 A,B 两点,以 AB 为直径的圆的方 程为 x2y22x2tyt2150,则 m_. 答案 6 解析 由题意可知圆的方程为 x2y22x2tyt2150, 即(x1)2(yt)216, 可得弦 AB 的中点的横坐标为 1,圆的半径为 4, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x22, 所以 x1x2m8,可得 m6. 14已知双曲线 C:x2y 2 31 的左焦点为 F1,顶点 Q(0,2 3),P 是双曲线 C 右支上的动点,则 PF1PQ 的最小值等于_ 答案 6 解析 结合题意,绘制图象, 根据双曲线的性质可知 PF1PF22a2, 得到 PF1PF22, 所以 PF1P

13、QPF2PQ2QF22, 而 Q(0,2 3),F2(2,0), 所以 QF2222 324, 所以最小值为 6. 15设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若F1PF2为等腰直角三角 形,则椭圆的离心率为_ 答案 21 解析 设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0),F2 的坐标为(c,0),P 点坐标为 c,b 2 a (不妨取第一象限内点 P), 由题意知 PF2F1F2,所以b 2 a 2c,a2c22ac, c a 22 c a 10,解得c a 21,负值舍去,所以 e c a 21. 16设双曲线x 2 9 y2 161 的右顶点为

14、 A,右焦点为 F,过点 F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条 渐近线交于点 B,则AFB 的面积为_ 答案 10 3 解析 根据题意,得 a29,b216. 所以 c a2b25,且 A(3,0),F(5,0) 因为双曲线x 2 9 y2 161 的渐近线方程为 y 4 3x. 所以直线 BF 的方程为 y 4 3(x5) 若直线 BF 的方程为 y4 3(x5), 与渐近线 y4 3x 交于点 B 5 2, 10 3 , 此时 SAFB1 2AF |yB| 1 22 10 3 10 3 ; 若直线 BF 的方程为 y4 3(x5),与渐近线 y 4 3x 交于点 B 5 2, 10

15、 3 , 此时 SAFB1 2AF |yB| 1 22 10 3 10 3 . 因此,AFB 的面积为10 3 . 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)设 F1,F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P,满 足 PF2F1F2,且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长,求该双曲线的渐近线方程 解 设 PF1的中点为 M,连接 F2M(图略) 由 PF2F1F2, 故 F2MPF1,即 F2M2a. 在 RtF1F2M 中,F1M 2c22a22b, 故 PF14b. 根据双曲线的定义有 4b2c2a,即 2b

16、ac, 即(2ba)2a2b2,即 3b24ab0,即 3b4a, 故双曲线的渐近线方程是 y b ax,即 4x 3y0. 18(12 分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为 2 13,一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线 的实半轴长比椭圆的长半轴长小 4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为 73,求椭圆和双曲线的方程 解 焦点在 x 轴上,设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0),且 c 13, 设双曲线为 x2 m2 y2 n21(m0,n0),ma4. 因为e 双 e椭 7 3,所以 a m 7 3,解得 a7,m3. 因为椭圆和双曲线的半焦距为 13, 所以 b236,n2

17、4.所以椭圆方程为x 2 49 y2 361, 双曲线方程为x 2 9 y2 41. 焦点在 y 轴上,椭圆方程为x 2 36 y2 491,双曲线方程为 y2 9 x2 41. 19(12 分)给出下列条件:焦点在 x 轴上;焦点在 y 轴上;抛物线上横坐标为 1 的点 A 到其焦点 F 的距离等于 2;抛物线的准线方程是 x2. (1)对于顶点在原点 O 的抛物线 C: 从以上四个条件中选出两个适当的条件, 使得抛物线 C 的方程是 y24x, 并说明理由; (2)过点(4,0)的任意一条直线 l 与 C:y24x 交于 A,B 两点,试探究是否总有OA OB ?请说明理由 解 (1)因为

18、抛物线 C:y24x 的焦点 F(1,0)在 x 轴上,所以条件适合,条件不适合 又因为抛物线 C:y24x 的准线方程为 x1, 所以条件不适合题意 当选择条件时,AFxA1112, 此时适合题意 故选择条件时,可得抛物线 C 的方程是 y24x. (2)由题意得直线 l 的斜率不为 0, 设直线 l 的方程为 xty4,A(x1,y1),B(x2,y2) 由 y24x, xty4, 消 x 得,y24ty160, 所以 0 恒成立,y1y24t,y1y216, 则 x1x2(ty14)(ty24)t2y1y24t(y1y2)1616t216t21616, 所以OA OB x1x2y1y21

19、6160, 所以OA OB . 综上所述,无论 l 如何变化,总有OA OB . 20(12 分)已知抛物线顶点在原点,焦点在 x 轴上,又知此抛物线上一点 P(4,m)到焦点的距离为 6. (1)求此抛物线的方程; (2)若此抛物线方程与直线 ykx2 相交于不同的两点 A,B,且 AB 中点的横坐标为 2,求 k 的值 解 (1)由题意设抛物线方程为 y22px,p0,其准线方程为 xp 2, 因为 P(4,m)到焦点的距离等于 P 到其准线的距离, 所以 4p 26,所以 p4, 所以此抛物线的方程为 y28x. (2)由 y28x, ykx2, 消去 y 得 k2x2(4k8)x40,

20、 设直线 ykx2 与抛物线相交于不同的两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则有 k0, 0, 解得 k1,且 k0, 且 x1x24k8 k2 4,解得 k2 或 k1(舍去), 所以所求 k 的值为 2. 21(12 分)设有三点 A,B,P,其中点 A,P 在椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)上,A(0,2),B(2,0),且OA OB 6 2 OP . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的倾斜角为 45 ,直线 l 与椭圆 C 相交于 E,F 两点,求OEF 的面积 解 (1)由题意知,b2,椭圆方程为x 2 a2 y2 41,设 P

21、(x,y),A(0,2),B(2,0),由OA OB 6 2 OP , 得(2,2) 6 2 (x,y),则 x 4 6, y 4 6, 可得 16 6a2 16 241,即 a 28. 所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y2 41. (2)c a2b22.所以直线 l 的方程为 yx2,代入椭圆方程x 2 8 y2 41, 整理得 3x28x0,则 x0 或 x8 3. 所以交点坐标为(0,2)和 8 3, 2 3 , 所以 EF 8 3 2 2 32 28 2 3 , O 到直线 l 的距离 d|2| 2 2, 所以 SOEF1 2 2 8 2 3 8 3. 22(12 分)已知动点 P(

22、x,y)(其中 x0)到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过椭圆 C1:x 2 16 y2 121 的右顶点作直线交曲线 C 于 A,B 两点,其中 O 为坐标原点 求证:OAOB; 设 OA,OB 分别与椭圆相交于点 D,E,证明:原点 O 到直线 DE 的距离为定值 (1)解 设 P(x,y)(x0), 由题意, x12y2x1(x0), 两边平方,整理得 y24x. 所求点 P 的轨迹方程为 C:y24x. (2)证明 设过椭圆的右顶点(4,0)的直线 AB 的方程为 xmy4. 代入抛物线方程 y24x,得 y24my160. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1y24m, y1y216. x1x2y1y2(my14)(my24)y1y2(1m2)y1y24m(y1y2)160. OAOB. 设 D(x3,y3),E(x4,y4),直线 DE 的方程为 xty, 代入x 2 16 y2 121, 得(3t24)y26ty32480. 于是 y3y4 6t 3t24,y3y4 3248 3t24 . 从而 x3x4(ty3)(ty4)4 248t2 3t24 . ODOE,x3x4y3y40. 代入,整理得 7248(t21) 原点到直线 DE 的距离 d | 1t2 4 21 7 为定值