1、章末检测(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.抛物线y28x的焦点到准线的距离是_.解析抛物线的焦点到准线的距离为p4.答案42.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是_.解析依题意知c1，e，a2，b2a2c23.故椭圆C的方程为1.答案13.已知M(2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_.解析点P的轨迹是以MN为直径的圆，又P为直角三角形的顶点，点P不能与M，N两点重合，故x2.答案x2y24(x2)4.直线ykx1与椭圆1总有公共点，
2、则m的取值范围是_.解析直线ykx1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，1，解得m1，又m5.答案5.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是_.解析设与直线4x3y80平行的直线方程为4x3yc0，与抛物线联立方程组得消去y得3x24xc0，(4)243(c)0，解得c，则抛物线与直线4x3y80平行的切线是4x3y0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d.答案6.椭圆1(ab0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1，2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为_.解析由椭圆的定义可知d1d22a，又由d1，2c，d2成等差数列，4
3、cd1d22a，e.答案7.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽_米.解析建立坐标系如图所示.则抛物线方程为x22py(p0).点(2，2)在抛物线上，p1，即抛物线方程为x22y.当y3时，x.水面下降1米后，水面宽为2 米.答案2 8.已知点A(0，2)，B(2，0).若点C在抛物线x2y的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为_.解析由已知可得AB2，要使SABC2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：xy20，所以有，所以x2x22，当x2x22时，有两个不同的C点；当x2x22时，亦有两个不同的C点.因此满足
4、条件的C点有4个.答案49.已知二次曲线1(k3，k0)与1，则下列说法正确的是_(填序号).不同的顶点；不同的准线；相同的焦点；相同的离心率.解析当0k3时，则03k3，1表示实轴为x轴的双曲线，a2b23c2.两曲线有相同焦点；当kk0，1表示焦点在x轴上的椭圆.a23k，b2k.a2b23c2，与已知椭圆有相同焦点.综上，二次曲线1与1有相同的焦点.答案10.已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为_.解析双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知得，即a2
5、b27，联立解得a24，b23，所求双曲线的方程为1.答案111.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_.解析设椭圆方程为1，由e知，.ABF2的周长为ABBF2AF2AF1AF2BF1BF24a16，a4，b28.椭圆C的方程为1.答案112.已知椭圆1上有一点P，它到左、右焦点距离之比为13，则点P到两准线的距离分别为_.解析设P(x，y)左、右焦点分别为F1，F2，由已知的椭圆方程可得a10，b6，c8，e，则PF1PF22a20.又3PF1PF2，PF15，PF21
6、5.设点P到两准线的距离分别为d1，d2，可得d1，d2，故点P到两准线的距离分别为，.答案，13.设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|_.解析F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，点P在双曲线上，且0，O为坐标原点，则|2|F1F22.答案214.设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60，则|_.解析依题意可设AF所在直线方程为y0(x)tan 60，y(x).联立解得x或，与x轴正向夹角为60，x，yp，|p.答案p二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
7、步骤)15.(本小题满分14分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程.解由共同的焦点F1(0，5)，F2(0，5)，可设椭圆的方程为1(a5)，双曲线方程为1(b0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B.求双曲线C的离心率e的取值范围.解由双曲线C与直线l相交于两个不同点，知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.解得0a且a1.双曲线的离心率e .0a且e.故离心率e的取值范围为(，)(，).17.(本小题满分14分)如图，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点
8、A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.解(1)由联立得x24x4b0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)即为x24x40，解得x2，代入x24y，得y1，故点A(2，1).因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2，所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.18.(本小题满分16分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，且过点(4，).(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求.
9、解(1)双曲线的一条渐近线方程为yx，设双曲线方程为x2y2(0).把(4，)代入双曲线方程得42()2，6，所求双曲线方程为x2y26.(2)由(1)知双曲线方程为x2y26，双曲线的焦点为F1(2，0)，F2(2，0).点M在双曲线上，32m26，m23.(23，m)(23，m)(3)2(2)2m2330.19.(本小题满分16分)已知椭圆G：1 (ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2).(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积.解(1)由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.
10、(2)设直线l的方程为yxm.由联立得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)的离心率e，且椭圆C上的点到点Q(0，2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由.解(1)由e，得a2c2.又a2b2c2，a23b2.故椭圆的方程为x23y23b2.又椭圆上的点P(x，y)到点Q(0，2)的距离d当y1时，d有最大值3，解得b1.椭圆的方程为y21.(2)SAOBOAOBsin AOBsin AOB，当AOB90，SAOB取最大值，此时点O到直线l距离d，m2n22.又n21，解得：m2，n2.点M的坐标为或或或.故存在点M，使AOB的面积为.
