1、一元二次方程（二）：根的判别式及根与系数的关系一元二次方程（二）：根的判别式及根与系数的关系 1. 若关于 x 的一元二次方程 2 (1)220axx 有实数根， 则整数 a 的最大值为 （ ） A1 B0 C1 D2 2.（1） 052 2 xx （2） 015 2 yy 3.（1） 0454 2 yy （2） 08)3(2)3( 222 xxxx 知识点一：配方法的运用 1：用配方法解方程： 2 210 xx 2：利用配方法比较代数式大小：若代数式 22 1078Maba ， 22 51Naba ， 则M N 的值（ ） 、一定是负数 、一定是正数 、一定不是负数 、一定不是正数 3：配方
2、法在求最大值、最小值中的应用：若x为任意实数，求 74 2 xx 的最小值 进门测进门测 同步知识点巩固同步知识点巩固 知识点二：一元二次方程的根的判别式知识点二：一元二次方程的根的判别式 基础知识归纳：基础知识归纳： 一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程对于一元二次方程 0 2 cbxax （a a0 0）：）： 2 b 4ac4ac0 0 方程有两个不相等的实数根；方程有两个不相等的实数根； （2 2） 2 b 4ac4ac0 0 方程有两个的实数根；方程有两个的实数根； （3 3） 2 b 4ac4ac0 0 方程没有实数根方程没有实数根 基本方法归纳：若只
3、是判断方程解得情基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可 注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足 a a0 0；一元二次方程有解；一元二次方程有解 分两种情况：分两种情况：1 1、有两个相等的实数根；、有两个相等的实数根；2 2、有两个不相等的实数根、有两个不相等的实数根 知识点三：根与系数的关系知识点三：根与系数的关系 基础知识归纳：基础知识归纳： 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程若一元二次方程 0 2 cbxax
4、 （a a0 0）的两根分别为）的两根分别为 x1x1，x2x2，则有，则有 21 xx ， 21x x 1已知 P2m3，Qm21（m 为任意实数），则 P、Q 的大小关系为（ ） APQ BPQ CPQ D不能确定 【解答】解：QPm21（2m3） m212m+3 m22m+2 m22m+1+1 b a c a 同步训练同步训练 （m1）2+1， （m1）20， ，（m1）2+10， QP0， PQ， 故选：C 2对于代数式：x22x+2，下列说法正确的是（ ） A有最大值 1 B有最小值 1 C有最小值 2 D无法确定最大最小值 【解答】解：x22x+2 x22x+1+1 （x1）2+1
5、， （x1）20， （x1）2+11，即 x22x+2 有最小值 1， 故选：B 3已知实数 x、y 满足等式：3x2+4xy+4y24x+20，则 x+y 的值为（ ） A2 B C2 D 【解答】解：3x2+4xy+4y24x+20， x2+4xy+4y2+2x24x+20， （x+2y）2+2（x1）20， 则 x+2y0，x10， 解得，x1，y， 则 x+y， 故选：D 4已知关于 x 的方程（m+3）x2+x+m2+2m30 的一根为 0，另一根不为 0，则 m 的值 为（ ） A1 B3 C1 或3 D以上均不对 【解答】解：关于 x 的方程（m+3）x2+x+m2+2m30 的
6、一根为 0， （m+3）02+0+m2+2m30， 即 m2+2m30， 解得：m1 或3 又关于 x 的方程的另一根不为 0， 所以0， 即 14（m+3）（m2+2m3）0， 解得：m（，+），当 m3 时，m+30，此方程不可能有两根， 故选：A 5 已知实数 x1， x2 满足 x1+x27， x1x212， 则以 x1， x2 为根的一元二次方程是 （ ） Ax27x+120 Bx2+7x+120 Cx2+7x120 Dx27x120 【解答】解：以 x1，x2 为根的一元二次方程 x27x+120， 故选：A 6.已知关于 x 的一元二次方程 kx2（k1）x+k0 有两个不相等的
7、实数根，求 k 的 取值范围 【解答】解：根据题意知（k1）24kk0 且 k0， 解得：k且 k0 故答案为：k且 k0 7.关于 x 的方程（k1）x2+2x+10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的最大整数值 为 【解答】解：关于 x 的方程（k1）x2+2x+10 有两个不相等的实数根， 0 且 k10，即44（k1）0 且 k1， k2 且 k1， k 的最大整数值为 0 故答案为：0 8.关于 x 的方程 mx24x+10 有实数根，则 m 的取值范围是 【解答】解：当关于 x 的方程 mx24x+10 是一次方程，则 m0，有实数根， 当是一元二次方程，根据题意得（4）24m1
8、0， 解得 m4 故答案为 m4 9已知关于 x 的一元二次方程：x2+（k5）x+4k0 （1）求证：无论 k 为何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根是 2，求另一个根及 k 的值 【解答】解：（1）（k5）241（4k）k22k+1（k3）20， 无论 k 取任何值，方程总有实数根 （2）x2 是方程 x2+（k5）x+4k0 的一个根， 22+（k5）2+4k0， 解得：k2， 设方程的另一个根为 x1，则 xx14k， 即 2x12， x11， 则方程的另一个根为 1 10有一边长为 3 的等腰三角形，它的另两边长分别是关于 x 的方程 x212x+k0 的 两根，求 k 的值
9、 【解答】解：若边长 3 为等腰三角形的腰长， 则 3 是方程 x212x+k0 的一个根， 把 x3 代入得：936+k0， 解得：k27， 解方程 x212x+270 得：x3 或 x9， 由于长为 3，3，9 的线段不能构成等腰三角形，故应舍去， 若边长 3 为等腰三角形的底边， 则方程 x212x+k0 有两个相等的实根， 则1444k0， 解得：k36， 这时方程 x212x+360 有两个相等的解为 6，且符合题意， 故 k36 1 已知关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+2m0 （1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个实数根； （2）若直角ABC 的两直角边 AB、A
10、C 的长是该方程的两个实数根，斜边 BC 的长为 3， 求 m 的值 【解答】（1）证明：（m+2）242m（m2）20， 不论 m 为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：AB、AC 的长是该方程的两个实数根， AB+ACm+2，ABAC2m， ABC 是直角三角形， AB2+AC2BC2， （AB+AC）22ABACBC2， 即（m+2）222m32， 解得：m， m 的值是 又ABAC2m，m 为正数， m 的值是 2已知关于 x 的一元二次方程 x2（k+3）x+2k+20 （1）求证：方程有两个实数根； （2）若ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根第三边 BC 的
11、长为 5，当 ABC 是等腰三角形时，求 k 的值 【解答】（1）证明：（k+3）24（2k+2）k22k+1（k1）20， 方程有两个实数根； （2）解：当 BC 为腰时：方程有一个根为 5，把 x5 代入方程得 525（k+3）+2k+2 专题精炼专题精炼 0，解得 k4； 当 BC 为底时：ABAC，方程有两个相等实数根，（k1）20，解得 k1，此时 ABAC2，不满足三边关系，舍去 综上所述：k 的值为 4 3已知：平行四边形 ABCD 的两条边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 2x22mx+m0 的两个实数根 （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长
12、； （2）若 AB2，求平行四边形 ABCD 的周长 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形， ABAD 又AB、AD 的长是关于 x 的方程 2x22mx+m0 的两个实数根， （2m）242（m）2（m1）20， m1， 当 m 为 1 时，四边形 ABCD 是菱形 当 m1 时，原方程为 2x22mx+m0，即（x）20， 解得：x1x2， 菱形 ABCD 的边长是 （2）把 x2 代入原方程，得：84m+m0， 解得：m 将 m代入原方程，得：2x25x+20， 方程的另一根 AD12， ABCD 的周长是 2（2+）5 基本方法归纳： 一元二次方程问题中， 出现方程的解得和与积时
13、常运用根与系数的关系 技巧提炼技巧提炼 注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a0 1如果 ax2（3x）2+m，那么 a，m 的值分别为（ ） A3，0 B9， C9， D，9 【解答】解：由 ax2（3x）2+m 9x22x+m 得：a9，+m1 所以：m 故选：B 2若 x 为任意有理数，则多项式 4x4x2 的值（ ） A一定为正数 B一定为负数 C不可能为正数 D可能为任意有理数 【解答】解：4x4x2 x2+4x4 （x24x+4） （x2）20 则多项式 4x4x2 的值不可能为正数， 故选：C 3在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c若
14、b2+c22b+4c5 且 a2b2+c2 bc，则ABC 的面积为（ ） A B C D 【解答】解：b2+c22b+4c5 （b22b+1）+（c24c+4）0 （b1）2+（c2）20， 综合训练综合训练 b10，c20， b1，c2 又a2b2+c2bc， a21+423， a或 a（舍） ， ABC 是以 1 和为直角边的直角三角形， ABC 的面积为：， 故选：B 4若 M（x1）（x5），N（x2）（x4），则 M 与 N 的关系为（ ） AMN BMN CMN DM 与 N 的大小由 x 的取值而定 【解答】解：MN（x1）（x5）（x2）（x4） x26x+5（x26x+8）
15、 30， MN， 故选：C 5.已知 a2+b2+4a8b+200则 ba 【解答】解：a2+b2+4a8b+200， a2+4a+4+b28b+160， （a+2）2+（b4）20， 则 a+20，b40， 解得，a2，b4， 则 ba42， 故答案为： 6.已知 Pm2m，Qm2（m 为任意实数），则 P、Q 的大小关系为 【解答】解：PQ（m2m）（m2） m2mm+2 m22m+2 m22m+1+1 （m1）2+1， （m1）20， （m1）2+10， PQ， 故答案为：PQ 7.无论 x 为何值，关于 x 的代数式 x2+2ax3b 的值都是非负数，则代数式 a+b 的最大 值为 【
16、解答】解：x2+2ax3b0 4a2+12b0 b a+b+a+ a+b 的最大值为 故答案为 8.已知 x，y 为实数，求代数式 x2+y2+2x4y+7 的最小值 【解答】解：x2+y2+2x4y+7 x2+2x+1+y24y+4+2 （x+1）2+（y2）2+2， （x+1）20，（y2）20， （x+1）2+（y2）2+2 的最小值是 2，即代数式 x2+y2+2x4y+7 的最小值是 2， 故答案为：2 9.已知 2 是方程 2x2+mx40 的一个根，则该方程的另一个根是 【解答】解：设方程的另一根为 x1， 由根据根与系数的关系可得：x122， x11 故答案为：1 10.设 m
17、，n 分别为一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根，则 m+n+mn 【解答】解：m，n 分别为一元二次方程 x2+2x10 的两个实数根， m+n2，mn1， 则 m+n+mn213 故答案为：3 11.已知二次方程 x2+ax+b0 有两个连续的整数根，二次方程 x2+bx+a0 有整数根， 求 a，b 的值 【解答】解：设 x2+ax+b0 的两根为 n，n+1（n 是整数），则 2n+1a，n（n+1） b，则方程 x2+bx+a0 可以改写为 x2+n（n+1）x（2n+1）0， （1）若 n0，则方程有一正一负两根， 设其正整数根为 m，则 m2+n（n+1）m（2n+1）0，
18、 即 mn2+（m2）n+（m21）0， n 是整数， （m2）24m（m21）0， 整理为 4m+1， 若 m2，则上式不成立，故 0m2， 则 m1， 将 m1 代入方程得 n2n0， 解得 n0，1 当 n0 时，a1，b0； 当 n1 时，a3，b2； （2）若 n1，则方程有两个负整数根， 即n2（n+1）2+4（2n+1）应为完全平方数，且为偶数， 由于 n1，则 n2（n+1）2+4（2n+1）n（n+1）2， 故 n2（n+1）2+4（2n+1）n（n+1）22， 因此 n2+3n0，即 n3，2，1， 经检验，n2，1 时，方程无实根， 当 n3 时，方程为 x2+6x+50， 其两根为1，5，此时 a5，b6， 综合（1）（2）可知，a，b 的值为1，0 或3，2 或 5，6 12.关于 x 的一元二次方程（m1）x22x10 （1）方程有实数根，求 m 的范围； （2）求方程两根的倒数和 【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程（m1）x22x10 有两个不相等的实 数根，（2）24（m1）（1）0 且 m10， 解得：m0 且 m1 m 的范围为：m0 且 m1； （2）设此方程的两个根分别为：x1，x2， x1+x2，x1x2， +（）2
