【同步知识点讲义】苏科版2021-2022学年七上第4单元第6课时:一元一次方程之数轴动点问题(学生版+教师版)

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1、【要点梳理】【要点梳理】 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于对这类问题的分析,不妨先 明确以下几个问题: 1 1数轴上两点间的距离数轴上两点间的距离,即为这两点所对应的坐标差的绝对值,也即用右边的数减去左 边的数的差。即数轴上两点间的距离即数轴上两点间的距离= =右边点表示的数右边点表示的数左边点表示的数。左边点表示的数。 2点在数轴上表示点在数轴上表示,由于数轴向右的方向为正方向,因此向右运动的速度看作正速度, 而向左作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得 到运动后点的坐标。即一个点表示的数为即一个点表示的数为 a a,向左运动,向左运动 b

2、 b 个单位后表示的数为个单位后表示的数为 a ab b;向;向 右运动右运动 b b 个单位后所表示的数为个单位后所表示的数为 a+ba+b。 3数轴是数形结合的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动点在数轴上运动 形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【典例精讲】【典例精讲】 1 1 ( (20202020 全国初一课时练习) 全国初一课时练习) 如图, 已知数轴上有三点A,B,C,2ACAB,60AB, 点A对应的数是 40动点P,Q同时从点C,A出发向右运动,同时动点R从点A出发 向左运动,已知点P的速度是点R的速度的 3 倍

3、,点Q的速度是点R速度的 2 倍少 4 个 单位长度/秒,经过 5 秒,点P,R之间的距离与点Q,R之间的距离相等,动点Q的速 度为_个单位长度/秒 2.2.(20192019 秋江汉区期中)秋江汉区期中)如图在以点O为原点的数轴上,点A表示的数是 3,点B在原 点的左侧, 且AB6AO(我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记, 比如,点A与点B之间的距离记作AB)(1)B点表示的数是 ;(2)若动点P 从O点出发,以每秒 2 个单位长度的速度匀速向左运动,问经过几秒钟后PA3PB?并 求出此时P点在数轴上对应的数;(3)若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发,匀速 向右运动

4、,其速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒,设运 动时间为t秒,请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间 课程类型:新授课课程类型:新授课衔接课衔接课 年级:新初一年级:新初一 学科:数学学科:数学 课程主题课程主题 第第 4 4 单元单元 第第 6 6 节:一元一次方程之数轴动点问题节:一元一次方程之数轴动点问题 3.3.(20192019江岸区校级月考)江岸区校级月考)已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b,且a、b满足 |4ab|+(a4) 20 (1)直接写出a、b的值; (2)P从A点出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴正方向运动,当PA

5、3PB时,求 P运动的时间和P表示的数; (3)数轴上还有一点C对应的数为 36,若点P从A出发,以每秒 3 个单位长度的速度 向点C运动,同时点Q从点B出发以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向正方向运动, 点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ10 时,求P点对应的数 4.(20194.(2019雨花区校级月考)雨花区校级月考)如图,在数轴上,点O为原点,点A表示的数为a,点B表 示的数为b, 且a,b满足|a+8|+ (b6) 20 (1) A,B两点对应的数分别为a b (2)若将数轴折叠,使得点A与点B重合则原点O与数 表示的点重 合:(3)若点A,B分别以 4 个单位/秒和 2

6、 个单位/秒的速度相向面行,则几秒后A,B 两点相距 2 个单位长度?(4)若点A,B以(3)中的速度同时向右运动,同时点P从原 点O以 7 个单位/秒的速度向右运动,设运动时间为t秒,请问:在运动过程中,AP+2OB OP的值是否会发生变化?若变化,请用t表示这个值:若不变请求出这个定值 5.5.(20202020永新县期末)永新县期末)【新定义】:A、B、C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C 到B的距离的 3 倍,我们就称点C是【A,B】的幸运点 【特例感知】(1)如图 1,点A表示的数为1,点B表示的数为 3表示 2 的点C到点 A的距离是 3,到点B的距离是 1,那么点C是【A,B】

7、的幸运点 【B,A】的幸运点表示的数是 ; A1; B.0; C.1; D.2 试说明A是【C,E】的幸运点 (2)如图 2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为2,点N所表示的数为 4,则【M, N】的幸运点表示的数为 【拓展应用】(3)如图 3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为20,点B所表示的 数为 40现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以 3 个单位每秒的速度向左运动,到达点A 停止当t为何值时,P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点? 6 6(20202020全国初一课时练习)全国初一课时练习)如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一 条“折线数轴”,图中点A表示-

8、12,点B表示 10,点C表示 20,我们称点A和点C在 数轴上相距 32 个长度单位动点P从点A出发,以 2 单位/秒的速度沿着“折线数轴” 的正方向运动, 从点O运动到点B期间速度变为原来的一半, 之后立刻恢复原速; 同时, 动点Q从点C出发,以 1 单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动,从点B运动到点O 期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速设运动的时间为t秒则: (1)动点P从点A运动至点C需要时间多少秒? (2)若P,Q两点在点M处相遇,则点M在折线数轴上所表示的数是多少? (3)求当t为何值时,P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长 度相等 【课后巩固】【课

9、后巩固】 1、(2020 七上京口月考)如图,有一根木棒 放置在数轴上,它的两端 M、N 分别 落在点 A、B.将木棒在数轴上水平移动,当点 M 移动到点 B 时,点 N 所对应的数为 20, 当点 N 移动到点 A 时,点 M 所对应的数为 5(单位: ),则木棒 长为_ . 2、 (2021 七上 昆山期末) 己知数轴上有 两点, 点 表示的数为-8, 且 , (1)点 表示的数为_; (2)如图 1,若点 在点 的右侧,点 以每秒 4 个单位的速度从点 出发向右匀 速运动 若点 同时以每秒 2 个单位的速度从点 出发向左匀速运动,经过多少秒后,点 与点 相距 个单位 若点 同时以每秒 2

10、 个单位的速度从点 出发向右匀速运动,经过多少秒后,在点 三点中,其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点 3、 (2021 七上 江阴期末) 有一科技小组进行了机器人行走性能试验, 在试验场地有 A、 B、C 三点顺次在同一笔直的赛道上,A、B 两点之间的距离是 90 米,甲、乙两机器人分 别从 A、B 两点同时同向出发到终点 C,乙机器人始终以 50 米分的速度行走,乙行走 9 分钟到达 C 点.设两机器人出发时间为 t(分钟),当 t3 分钟时,甲追上乙. 请解答下面问题: (1)B、C 两点之间的距离是_米. (2)求甲机器人前 3 分钟的速度为多少米/分? (3) 若前 4 分钟甲机

11、器人的速度保持不变, 在 4t6 分钟时, 甲的速度变为与乙相同, 求两机器人前 6 分钟内出发多长时间相距 28 米? (4) 若 6 分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度, 直接写出当 t6 时, 甲、 乙两机器人之间的距离 S.(用含 t 的代数式表示). 4、(2020 七上扬州期末)数轴上 A、B 两点对应的数分别是4、12,线段 CE 在数轴 上运动,点 C 在点 E 的左边,且 CE8,点 F 是 AE 的中点 (1)如图 1,当线段 CE 运动到点 C、E 均在 A、B 之间时,若 CF1,则 AB_, AC_,BE_; (2)当线段 CE 运动到点 A 在 C、E 之

12、间时, 设 AF 长为 x,用含 x 的代数式表示 BE 的值(结果需化简); 求 BE 与 CF 的数量关系; (3)当点 C 运动到数轴上表示数14 的位置时,动点 P 从点 E 出发,以每秒 3 个单位 长度的速度向右运动,抵达 B 后,立即以原来一半速度返回,同时点 Q 从 A 出发,以每 秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动,设它们运动的时间为 t 秒(t8),求 t 为何值 时,P、Q 两点间的距离为 1 个单位长度 【要点梳理】【要点梳理】 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于对这类问题的分析,不妨先 明确以下几个问题: 1 1数轴上两点间的距离数轴上两点间的

13、距离,即为这两点所对应的坐标差的绝对值,也即用右边的数减去左 边的数的差。即数轴上两点间的距离即数轴上两点间的距离= =右边点表示的数右边点表示的数左边点表示的数。左边点表示的数。 2点在数轴上表示点在数轴上表示,由于数轴向右的方向为正方向,因此向右运动的速度看作正速度, 而向左作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得 到运动后点的坐标。即一个点表示的数为即一个点表示的数为 a a,向左运动,向左运动 b b 个个单位后表示的数为单位后表示的数为 a ab b;向;向 右运动右运动 b b 个单位后所表示的数为个单位后所表示的数为 a+ba+b。 3数轴是数形结合

14、的产物,分析数轴上点的运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动点在数轴上运动 形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【典例精讲】【典例精讲】 1 1 ( (20202020 全国初一课时练习) 全国初一课时练习) 如图, 已知数轴上有三点A,B,C,2ACAB,60AB, 点A对应的数是 40动点P,Q同时从点C,A出发向右运动,同时动点R从点A出发 向左运动,已知点P的速度是点R的速度的 3 倍,点Q的速度是点R速度的 2 倍少 4 个 单位长度/秒,经过 5 秒,点P,R之间的距离与点Q,R之间的距离相等,动点Q的速 度为_个单位长度/秒 【答案】【答

15、案】4 或 36 课程类型:新授课课程类型:新授课衔接课衔接课 年级:新初一年级:新初一 学科:数学学科:数学 课程主题课程主题 第第 4 4 单元单元 第第 6 6 节:一元一次方程之数轴动点问题节:一元一次方程之数轴动点问题 2.2.(20192019 秋江汉区期中)秋江汉区期中)如图在以点O为原点的数轴上,点A表示的数是 3,点B在原 点的左侧, 且AB6AO(我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记, 比如,点A与点B之间的距离记作AB)(1)B点表示的数是 ;(2)若动点P 从O点出发,以每秒 2 个单位长度的速度匀速向左运动,问经过几秒钟后PA3PB?并 求出此时P点

16、在数轴上对应的数;(3)若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发,匀速 向右运动,其速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒,设运 动时间为t秒,请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间 【分析】(1)由OA3,得出AB6AO18,OBABOA15,即可得出结果; (2)设经过x秒钟后PA3PB,则PA2x+3,PBABPA152x,由题意得 2x+33 (152x),解得x,则PO2; (3)设运动时间为t秒时,PMPN,则 15t+2t4t+32t,解得t12 3.3.(20192019江岸区校级月考)江岸区校级月考)已知数轴上的A、B两点分别对应数字

17、a、b,且a、b满足 |4ab|+(a4) 20 (1)直接写出a、b的值;(2)P从A点出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴正方 向运动,当PA3PB时,求P运动的时间和P表示的数;(3)数轴上还有一点C对应的 数为 36,若点P从A出发,以每秒 3 个单位长度的速度向点C运动,同时点Q从点B出 发以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向正方向运动,点P运动到点C立即返回再沿数 轴向左运动当PQ10 时,求P点对应的数 【答案】(1)a=4,b=16 (2)时间为 2 秒,P 点对应的数。(3)7 或 4.(20194.(2019雨花区校级月考)雨花区校级月考)如图,在数轴上,点O为原点,点

18、A表示的数为a,点B表 示的数为b, 且a,b满足|a+8|+ (b6) 20 (1) A,B两点对应的数分别为a b (2)若将数轴折叠,使得点A与点B重合则原点O与数 表示的点重 合:(3)若点A,B分别以 4 个单位/秒和 2 个单位/秒的速度相向面行,则几秒后A,B 两点相距 2 个单位长度?(4)若点A,B以(3)中的速度同时向右运动,同时点P从原 点O以 7 个单位/秒的速度向右运动,设运动时间为t秒,请问:在运动过程中,AP+2OB OP的值是否会发生变化?若变化,请用t表示这个值:若不变请求出这个定值 2 43 【答案】解:(1)|a+8|+(b6) 20,|a+8|0,(b6

19、)20, 即a8,b6故答案为:8,6; (2)|AB|6(8)14,7,点A、点B距离折叠点都是 7 个单位 原点O与数2 表示的点重合故答案为:2 (3)法一:分两种情况讨论:设x秒后A,B两点相距 2 个单位长度 A,B两点相遇前相距 2 个单位长度,则 4x+2x6(8)2 解得:x2 A,B两点相遇后相距 2 个单位长度,则 4x+2x6(8)+2 解得:x 答:经过 2 秒或秒后,A,B两点相距 2 个单位长度 法二:设x秒后A,B两点相距 2 个单位长度 此时点A对应的数为8+4x,点B对应的数为 62x,则:|(8+4x)(62x)| 2 即:(8+4x)(62x)2 或(8+

20、4x)(62x)2; 解得:x或x2 答:经过 2 秒或秒后,A,B两点相距 2 个单位长度 (4)在运动过程中,AP+2OBOP的值不会发生变化 由题意可知:t秒后,点A对应的数为8+4t,点B对应的数为 6+2t,点P对应的数 7t,则:AP7t(8+4t)3t+8,OB6+2t,OP7t, 所以AP+2OBOP(3t+8)+2(6+2t)7t3t+8+12+4t7t20 5.5.(20202020永新县期末)永新县期末)【新定义】:A、B、C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C 到B的距离的 3 倍,我们就称点C是【A,B】的幸运点 【特例感知】(1)如图 1,点A表示的数为1,点B表示

21、的数为 3表示 2 的点C到点 A的距离是 3,到点B的距离是 1,那么点C是【A,B】的幸运点 【B,A】的幸运点表示的数是 ; A1; B.0; C.1; D.2 试说明A是【C,E】的幸运点 (2)如图 2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为2,点N所表示的数为 4,则【M, N】的幸运点表示的数为 【拓展应用】(3)如图 3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为20,点B所表示的 数为 40现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以 3 个单位每秒的速度向左运动,到达点A 停止当t为何值时,P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点? 【答案】解:(1)由题意可知,点 0 到B是到A点距

22、离的 3 倍,即EA1,EB3, 故选B 由数轴可知,AC3,AE1,AC3AE,A是【C,E】的幸运点 (2)设【M,N】的幸运点为P,T表示的数为p,PM3PN,|p+2|3|p4|, p+23(p4)或p+23(p4),p7 或p2.5;故答案为 7 或 2.5; (3)由题意可得,BP3t,AP603t, 当P是【A,B】的幸运点时,PA3PB,603t33t,t5; 当P是【B,A】的幸运点时,PB3PA,3t3(603t),t15; 当A是【B,P】的幸运点时,AB3PA,603(603t)t; 当B是【A,P】的幸运点时,AB3PB,6033t,t; t为 5 秒,15 秒,秒,

23、秒时,P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点 6 6(20202020全国初一课时练习)全国初一课时练习)如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一 条“折线数轴”,图中点A表示-12,点B表示 10,点C表示 20,我们称点A和点C在 数轴上相距 32 个长度单位动点P从点A出发,以 2 单位/秒的速度沿着“折线数轴” 的正方向运动, 从点O运动到点B期间速度变为原来的一半, 之后立刻恢复原速; 同时, 动点Q从点C出发,以 1 单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动,从点B运动到点O 期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速设运动的时间为t秒则: (1)动点P从点A运动至点C需

24、要时间多少秒? (2)若P,Q两点在点M处相遇,则点M在折线数轴上所表示的数是多少? (3)求当t为何值时,P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长 度相等 【答案】【答案】(1)21;(2)6;(3)当 2,8,14,17t 时,OP BQ 【课后巩固】【课后巩固】 1、(2020 七上京口月考)如图,有一根木棒 放置在数轴上,它的两端 M、N 分别 落在点 A、B.将木棒在数轴上水平移动,当点 M 移动到点 B 时,点 N 所对应的数为 20, 当点 N 移动到点 A 时,点 M 所对应的数为 5(单位: ),则木棒 长为_ . 【答案】 5 2、 (2021 七上 昆山期

25、末) 己知数轴上有 两点, 点 表示的数为-8, 且 , (1)点 表示的数为_; (2)如图 1,若点 在点 的右侧,点 以每秒 4 个单位的速度从点 出发向右匀 速运动 若点 同时以每秒 2 个单位的速度从点 出发向左匀速运动,经过多少秒后,点 与点 相距 个单位 若点 同时以每秒 2 个单位的速度从点 出发向右匀速运动,经过多少秒后,在点 三点中,其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点 【答案】 (1)12 或-28 (2)解:点 在点 的右侧, 点 B 所表示的数为 12 设经过 t 秒后,点 与点 相距 个单位 点 以每秒 个单位的速度从点 出发向右匀速运动,点 同时以每秒 2 个

26、单位 的速度从点 出发向左匀速运动 t 秒后,点 P 在数轴上所对应的数为-8+4t,点 Q 在数轴上所表示的数为 12-2t ,解得 或 经过 秒或 秒后,点 与点 相距 1 个单位; 点 同时以每秒 2 个单位的速度从点 出发向右匀速运动 点 Q 在数轴上所表示的数为 12+2t 当点 P 是线段 BQ 的中点时, ,解得:t= 当点 B 是线段 PQ 的中点时, ,解得:t= 当点 Q 是线段 BP 的中点时, ,方程无解 综上,经过 秒或 秒后,点 三点中,其中有一点是另外两个点连接所成线 段的中点 3、 (2021 七上 江阴期末) 有一科技小组进行了机器人行走性能试验, 在试验场地

27、有 A、 B、C 三点顺次在同一笔直的赛道上,A、B 两点之间的距离是 90 米,甲、乙两机器人分 别从 A、B 两点同时同向出发到终点 C,乙机器人始终以 50 米分的速度行走,乙行走 9 分钟到达 C 点.设两机器人出发时间为 t(分钟),当 t3 分钟时,甲追上乙. 请解答下面问题: (1)B、C 两点之间的距离是_米. (2)求甲机器人前 3 分钟的速度为多少米/分? (3) 若前 4 分钟甲机器人的速度保持不变, 在 4t6 分钟时, 甲的速度变为与乙相同, 求两机器人前 6 分钟内出发多长时间相距 28 米? (4) 若 6 分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度, 直接写出

28、当 t6 时, 甲、 乙两机器人之间的距离 S.(用含 t 的代数式表示). 【答案】 (1)450 (2)解:设甲机器人前 3 分钟的速度为 a 米/分, 3a90+350, 解得,a80, 答:机器人前 3 分钟的速度为 80 米/分 (3)解:前 4 分钟甲机器人的速度保持不变,在 4t6 分钟时,甲的速度变为与乙 相同, 前 4 分钟甲机器人的速度为 80 米/分,在 4t6 分钟时,甲的速度为 50 米/分, 设甲乙相遇前相距 28 米时出发的时间为 b 分钟, 80b+2890+50b, 解得,b , 设甲乙相遇后相距 28 米时出发的时间为 c 分钟, 80c2890+50c,

29、解得,c , 答:两机器人前 6 分钟内出发 分或 分时相距 28 米 (4)解:6 分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度, 6 分钟后甲机器人的速度是 80 米/分, 当 t6 时,甲乙两机器人的距离为:804+50(62)(90+506)60(米), 当甲到达终点 C 时,t(90+450)804+50(62)80+67.5(分), 当乙到达终点 C 时,t450509(分), 当 6t7.5 时,S60+(8050)(t6)30t120, 当 7.5t9 时,S450507.550(t7.5)50t+450, 由上可得,当 t6 时,甲、乙两机器人之间的距离 S 4、(2020

30、七上扬州期末)数轴上 A、B 两点对应的数分别是4、12,线段 CE 在数轴 上运动,点 C 在点 E 的左边,且 CE8,点 F 是 AE 的中点 (1)如图 1,当线段 CE 运动到点 C、E 均在 A、B 之间时,若 CF1,则 AB_, AC_,BE_; (2)当线段 CE 运动到点 A 在 C、E 之间时, 设 AF 长为 x,用含 x 的代数式表示 BE 的值(结果需化简); 求 BE 与 CF 的数量关系; (3)当点 C 运动到数轴上表示数14 的位置时,动点 P 从点 E 出发,以每秒 3 个单位 长度的速度向右运动,抵达 B 后,立即以原来一半速度返回,同时点 Q 从 A 出发,以每 秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动,设它们运动的时间为 t 秒(t8),求 t 为何值 时,P、Q 两点间的距离为 1 个单位长度 【答案】 (1)16;6;2 (2)解:点 F 是 AE 的中点,AF=EF,设 AF=EF=x,CF=8x,BE=162x=2(8 x),BE=2CF. 故答案为 16-2x, BE=2CF. (3)解:当 0t6 时,P 对应数:-6+3t,Q 对应数-4+2t, ,解得:t=1 或 3; 当 6t8 时,P 对应数 , Q 对应数-4+2t, , 解得: 或 ; 故答案为 t=1 或 3 或 或

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