1、【要点梳理】【要点梳理】 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于对这类问题的分析，不妨先 明确以下几个问题： 1 1数轴上两点间的距离数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左 边的数的差。即数轴上两点间的距离即数轴上两点间的距离= =右边点表示的数右边点表示的数左边点表示的数。左边点表示的数。 2点在数轴上表示点在数轴上表示，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度， 而向左作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得 到运动后点的坐标。即一个点表示的数为即一个点表示的数为 a a，向左运动，向左运动 b
2、 b 个单位后表示的数为个单位后表示的数为 a ab b；向；向 右运动右运动 b b 个单位后所表示的数为个单位后所表示的数为 a+ba+b。 3数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动点在数轴上运动 形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【典例精讲】【典例精讲】 1 1 （ （20202020 全国初一课时练习） 全国初一课时练习） 如图， 已知数轴上有三点A，B，C，2ACAB，60AB， 点A对应的数是 40动点P，Q同时从点C，A出发向右运动，同时动点R从点A出发 向左运动，已知点P的速度是点R的速度的 3 倍
3、，点Q的速度是点R速度的 2 倍少 4 个 单位长度/秒，经过 5 秒，点P，R之间的距离与点Q，R之间的距离相等，动点Q的速 度为_个单位长度/秒 2.2.（20192019 秋江汉区期中）秋江汉区期中）如图在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是 3，点B在原 点的左侧， 且AB6AO（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记， 比如，点A与点B之间的距离记作AB）（1）B点表示的数是 ；（2）若动点P 从O点出发，以每秒 2 个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA3PB？并 求出此时P点在数轴上对应的数；（3）若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发，匀速 向右运动
4、，其速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒，设运 动时间为t秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间 课程类型：新授课课程类型：新授课衔接课衔接课 年级：新初一年级：新初一 学科：数学学科：数学 课程主题课程主题 第第 4 4 单元单元 第第 6 6 节：一元一次方程之数轴动点问题节：一元一次方程之数轴动点问题 3.3.（20192019江岸区校级月考）江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足 |4ab|+（a4） 20 （1）直接写出a、b的值； （2）P从A点出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当PA
5、3PB时，求 P运动的时间和P表示的数； （3）数轴上还有一点C对应的数为 36，若点P从A出发，以每秒 3 个单位长度的速度 向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向正方向运动， 点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ10 时，求P点对应的数 4.(20194.(2019雨花区校级月考）雨花区校级月考）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表 示的数为b， 且a，b满足|a+8|+ （b6） 20 （1） A，B两点对应的数分别为a b （2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合则原点O与数 表示的点重 合：（3）若点A，B分别以 4 个单位/秒和 2
6、 个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B 两点相距 2 个单位长度？（4）若点A，B以（3）中的速度同时向右运动，同时点P从原 点O以 7 个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变请求出这个定值 5.5.（20202020永新县期末）永新县期末）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C 到B的距离的 3 倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点 【特例感知】（1）如图 1，点A表示的数为1，点B表示的数为 3表示 2 的点C到点 A的距离是 3，到点B的距离是 1，那么点C是【A，B】
7、的幸运点 【B，A】的幸运点表示的数是 ； A1； B.0； C.1； D.2 试说明A是【C，E】的幸运点 （2）如图 2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2，点N所表示的数为 4，则【M， N】的幸运点表示的数为 【拓展应用】（3）如图 3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为20，点B所表示的 数为 40现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以 3 个单位每秒的速度向左运动，到达点A 停止当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 6 6（20202020全国初一课时练习）全国初一课时练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一 条“折线数轴”，图中点A表示-
8、12，点B表示 10，点C表示 20，我们称点A和点C在 数轴上相距 32 个长度单位动点P从点A出发，以 2 单位/秒的速度沿着“折线数轴” 的正方向运动， 从点O运动到点B期间速度变为原来的一半， 之后立刻恢复原速； 同时， 动点Q从点C出发，以 1 单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速设运动的时间为t秒则： （1）动点P从点A运动至点C需要时间多少秒？ （2）若P，Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？ （3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长 度相等 【课后巩固】【课
9、后巩固】 1、（2020 七上京口月考）如图，有一根木棒 放置在数轴上，它的两端 M、N 分别 落在点 A、B.将木棒在数轴上水平移动，当点 M 移动到点 B 时，点 N 所对应的数为 20， 当点 N 移动到点 A 时，点 M 所对应的数为 5（单位： ），则木棒 长为_ . 2、 （2021 七上 昆山期末） 己知数轴上有 两点， 点 表示的数为-8， 且 ， （1）点 表示的数为_； （2）如图 1，若点 在点 的右侧，点 以每秒 4 个单位的速度从点 出发向右匀 速运动 若点 同时以每秒 2 个单位的速度从点 出发向左匀速运动，经过多少秒后，点 与点 相距 个单位 若点 同时以每秒 2
10、 个单位的速度从点 出发向右匀速运动，经过多少秒后，在点 三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点 3、 （2021 七上 江阴期末） 有一科技小组进行了机器人行走性能试验， 在试验场地有 A、 B、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B 两点之间的距离是 90 米，甲、乙两机器人分 别从 A、B 两点同时同向出发到终点 C，乙机器人始终以 50 米分的速度行走，乙行走 9 分钟到达 C 点.设两机器人出发时间为 t（分钟），当 t3 分钟时，甲追上乙. 请解答下面问题： （1）B、C 两点之间的距离是_米. （2）求甲机器人前 3 分钟的速度为多少米/分？ （3） 若前 4 分钟甲机
11、器人的速度保持不变， 在 4t6 分钟时， 甲的速度变为与乙相同， 求两机器人前 6 分钟内出发多长时间相距 28 米？ （4） 若 6 分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度， 直接写出当 t6 时， 甲、 乙两机器人之间的距离 S.（用含 t 的代数式表示）. 4、（2020 七上扬州期末）数轴上 A、B 两点对应的数分别是4、12，线段 CE 在数轴 上运动，点 C 在点 E 的左边，且 CE8，点 F 是 AE 的中点 （1）如图 1，当线段 CE 运动到点 C、E 均在 A、B 之间时，若 CF1，则 AB_， AC_，BE_； （2）当线段 CE 运动到点 A 在 C、E 之
12、间时, 设 AF 长为 x，用含 x 的代数式表示 BE 的值（结果需化简）； 求 BE 与 CF 的数量关系； （3）当点 C 运动到数轴上表示数14 的位置时，动点 P 从点 E 出发，以每秒 3 个单位 长度的速度向右运动，抵达 B 后，立即以原来一半速度返回，同时点 Q 从 A 出发，以每 秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，设它们运动的时间为 t 秒（t8），求 t 为何值 时，P、Q 两点间的距离为 1 个单位长度 【要点梳理】【要点梳理】 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于对这类问题的分析，不妨先 明确以下几个问题： 1 1数轴上两点间的距离数轴上两点间的
13、距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左 边的数的差。即数轴上两点间的距离即数轴上两点间的距离= =右边点表示的数右边点表示的数左边点表示的数。左边点表示的数。 2点在数轴上表示点在数轴上表示，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度， 而向左作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得 到运动后点的坐标。即一个点表示的数为即一个点表示的数为 a a，向左运动，向左运动 b b 个个单位后表示的数为单位后表示的数为 a ab b；向；向 右运动右运动 b b 个单位后所表示的数为个单位后所表示的数为 a+ba+b。 3数轴是数形结合
14、的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动点在数轴上运动 形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。 【典例精讲】【典例精讲】 1 1 （ （20202020 全国初一课时练习） 全国初一课时练习） 如图， 已知数轴上有三点A，B，C，2ACAB，60AB， 点A对应的数是 40动点P，Q同时从点C，A出发向右运动，同时动点R从点A出发 向左运动，已知点P的速度是点R的速度的 3 倍，点Q的速度是点R速度的 2 倍少 4 个 单位长度/秒，经过 5 秒，点P，R之间的距离与点Q，R之间的距离相等，动点Q的速 度为_个单位长度/秒 【答案】【答
15、案】4 或 36 课程类型：新授课课程类型：新授课衔接课衔接课 年级：新初一年级：新初一 学科：数学学科：数学 课程主题课程主题 第第 4 4 单元单元 第第 6 6 节：一元一次方程之数轴动点问题节：一元一次方程之数轴动点问题 2.2.（20192019 秋江汉区期中）秋江汉区期中）如图在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是 3，点B在原 点的左侧， 且AB6AO（我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记， 比如，点A与点B之间的距离记作AB）（1）B点表示的数是 ；（2）若动点P 从O点出发，以每秒 2 个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA3PB？并 求出此时P点
16、在数轴上对应的数；（3）若动点M、P、N分别同时从A、O、B出发，匀速 向右运动，其速度分别为 1 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒，设运 动时间为t秒，请直接写出PM、PN、MN中任意两个相等时的时间 【分析】（1）由OA3，得出AB6AO18，OBABOA15，即可得出结果； （2）设经过x秒钟后PA3PB，则PA2x+3，PBABPA152x，由题意得 2x+33 （152x），解得x，则PO2； （3）设运动时间为t秒时，PMPN，则 15t+2t4t+32t，解得t12 3.3.（20192019江岸区校级月考）江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字
17、a、b，且a、b满足 |4ab|+（a4） 20 （1）直接写出a、b的值；（2）P从A点出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴正方 向运动，当PA3PB时，求P运动的时间和P表示的数；（3）数轴上还有一点C对应的 数为 36，若点P从A出发，以每秒 3 个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出 发以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数 轴向左运动当PQ10 时，求P点对应的数 【答案】（1）a=4,b=16 (2)时间为 2 秒，P 点对应的数。（3）7 或 4.(20194.(2019雨花区校级月考）雨花区校级月考）如图，在数轴上，点O为原点，点
18、A表示的数为a，点B表 示的数为b， 且a，b满足|a+8|+ （b6） 20 （1） A，B两点对应的数分别为a b （2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合则原点O与数 表示的点重 合：（3）若点A，B分别以 4 个单位/秒和 2 个单位/秒的速度相向面行，则几秒后A，B 两点相距 2 个单位长度？（4）若点A，B以（3）中的速度同时向右运动，同时点P从原 点O以 7 个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：在运动过程中，AP+2OB OP的值是否会发生变化？若变化，请用t表示这个值：若不变请求出这个定值 2 43 【答案】解：（1）|a+8|+（b6） 20，|a+8|0，（b6
19、）20， 即a8，b6故答案为：8，6； （2）|AB|6（8）14，7，点A、点B距离折叠点都是 7 个单位 原点O与数2 表示的点重合故答案为：2 （3）法一：分两种情况讨论：设x秒后A，B两点相距 2 个单位长度 A，B两点相遇前相距 2 个单位长度，则 4x+2x6（8）2 解得：x2 A，B两点相遇后相距 2 个单位长度，则 4x+2x6（8）+2 解得：x 答：经过 2 秒或秒后，A，B两点相距 2 个单位长度 法二：设x秒后A，B两点相距 2 个单位长度 此时点A对应的数为8+4x，点B对应的数为 62x，则：|（8+4x）（62x）| 2 即：（8+4x）（62x）2 或（8+
20、4x）（62x）2； 解得：x或x2 答：经过 2 秒或秒后，A，B两点相距 2 个单位长度 （4）在运动过程中，AP+2OBOP的值不会发生变化 由题意可知：t秒后，点A对应的数为8+4t，点B对应的数为 6+2t，点P对应的数 7t，则：AP7t（8+4t）3t+8，OB6+2t，OP7t， 所以AP+2OBOP（3t+8）+2（6+2t）7t3t+8+12+4t7t20 5.5.（20202020永新县期末）永新县期末）【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C 到B的距离的 3 倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点 【特例感知】（1）如图 1，点A表示的数为1，点B表示
21、的数为 3表示 2 的点C到点 A的距离是 3，到点B的距离是 1，那么点C是【A，B】的幸运点 【B，A】的幸运点表示的数是 ； A1； B.0； C.1； D.2 试说明A是【C，E】的幸运点 （2）如图 2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2，点N所表示的数为 4，则【M， N】的幸运点表示的数为 【拓展应用】（3）如图 3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为20，点B所表示的 数为 40现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以 3 个单位每秒的速度向左运动，到达点A 停止当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 【答案】解：（1）由题意可知，点 0 到B是到A点距
22、离的 3 倍，即EA1，EB3， 故选B 由数轴可知，AC3，AE1，AC3AE，A是【C，E】的幸运点 （2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，PM3PN，|p+2|3|p4|， p+23（p4）或p+23（p4），p7 或p2.5；故答案为 7 或 2.5； （3）由题意可得，BP3t，AP603t， 当P是【A，B】的幸运点时，PA3PB，603t33t，t5； 当P是【B，A】的幸运点时，PB3PA，3t3（603t），t15； 当A是【B，P】的幸运点时，AB3PA，603（603t）t； 当B是【A，P】的幸运点时，AB3PB，6033t，t； t为 5 秒，15 秒，秒，
23、秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点 6 6（20202020全国初一课时练习）全国初一课时练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一 条“折线数轴”，图中点A表示-12，点B表示 10，点C表示 20，我们称点A和点C在 数轴上相距 32 个长度单位动点P从点A出发，以 2 单位/秒的速度沿着“折线数轴” 的正方向运动， 从点O运动到点B期间速度变为原来的一半， 之后立刻恢复原速； 同时， 动点Q从点C出发，以 1 单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速设运动的时间为t秒则： （1）动点P从点A运动至点C需
24、要时间多少秒？ （2）若P，Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？ （3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长 度相等 【答案】【答案】（1）21；（2）6；（3）当 2,8,14,17t 时，OP BQ 【课后巩固】【课后巩固】 1、（2020 七上京口月考）如图，有一根木棒 放置在数轴上，它的两端 M、N 分别 落在点 A、B.将木棒在数轴上水平移动，当点 M 移动到点 B 时，点 N 所对应的数为 20， 当点 N 移动到点 A 时，点 M 所对应的数为 5（单位： ），则木棒 长为_ . 【答案】 5 2、 （2021 七上 昆山期
25、末） 己知数轴上有 两点， 点 表示的数为-8， 且 ， （1）点 表示的数为_； （2）如图 1，若点 在点 的右侧，点 以每秒 4 个单位的速度从点 出发向右匀 速运动 若点 同时以每秒 2 个单位的速度从点 出发向左匀速运动，经过多少秒后，点 与点 相距 个单位 若点 同时以每秒 2 个单位的速度从点 出发向右匀速运动，经过多少秒后，在点 三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点 【答案】 （1）12 或-28 （2）解：点 在点 的右侧， 点 B 所表示的数为 12 设经过 t 秒后，点 与点 相距 个单位 点 以每秒 个单位的速度从点 出发向右匀速运动，点 同时以每秒 2 个
26、单位 的速度从点 出发向左匀速运动 t 秒后，点 P 在数轴上所对应的数为-8+4t，点 Q 在数轴上所表示的数为 12-2t ，解得 或 经过 秒或 秒后，点 与点 相距 1 个单位； 点 同时以每秒 2 个单位的速度从点 出发向右匀速运动 点 Q 在数轴上所表示的数为 12+2t 当点 P 是线段 BQ 的中点时， ，解得：t= 当点 B 是线段 PQ 的中点时， ，解得：t= 当点 Q 是线段 BP 的中点时， ，方程无解 综上，经过 秒或 秒后，点 三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线 段的中点 3、 （2021 七上 江阴期末） 有一科技小组进行了机器人行走性能试验， 在试验场地
27、有 A、 B、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B 两点之间的距离是 90 米，甲、乙两机器人分 别从 A、B 两点同时同向出发到终点 C，乙机器人始终以 50 米分的速度行走，乙行走 9 分钟到达 C 点.设两机器人出发时间为 t（分钟），当 t3 分钟时，甲追上乙. 请解答下面问题： （1）B、C 两点之间的距离是_米. （2）求甲机器人前 3 分钟的速度为多少米/分？ （3） 若前 4 分钟甲机器人的速度保持不变， 在 4t6 分钟时， 甲的速度变为与乙相同， 求两机器人前 6 分钟内出发多长时间相距 28 米？ （4） 若 6 分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度， 直接写出
28、当 t6 时， 甲、 乙两机器人之间的距离 S.（用含 t 的代数式表示）. 【答案】 （1）450 （2）解：设甲机器人前 3 分钟的速度为 a 米/分， 3a90+350， 解得，a80， 答：机器人前 3 分钟的速度为 80 米/分 （3）解：前 4 分钟甲机器人的速度保持不变，在 4t6 分钟时，甲的速度变为与乙 相同， 前 4 分钟甲机器人的速度为 80 米/分，在 4t6 分钟时，甲的速度为 50 米/分， 设甲乙相遇前相距 28 米时出发的时间为 b 分钟， 80b+2890+50b， 解得，b ， 设甲乙相遇后相距 28 米时出发的时间为 c 分钟， 80c2890+50c，
29、解得，c ， 答：两机器人前 6 分钟内出发 分或 分时相距 28 米 （4）解：6 分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度， 6 分钟后甲机器人的速度是 80 米/分， 当 t6 时，甲乙两机器人的距离为：804+50（62）（90+506）60（米）， 当甲到达终点 C 时，t（90+450）804+50（62）80+67.5（分）， 当乙到达终点 C 时，t450509（分）， 当 6t7.5 时，S60+（8050）（t6）30t120， 当 7.5t9 时，S450507.550（t7.5）50t+450， 由上可得，当 t6 时，甲、乙两机器人之间的距离 S 4、（2020
30、七上扬州期末）数轴上 A、B 两点对应的数分别是4、12，线段 CE 在数轴 上运动，点 C 在点 E 的左边，且 CE8，点 F 是 AE 的中点 （1）如图 1，当线段 CE 运动到点 C、E 均在 A、B 之间时，若 CF1，则 AB_， AC_，BE_； （2）当线段 CE 运动到点 A 在 C、E 之间时, 设 AF 长为 x，用含 x 的代数式表示 BE 的值（结果需化简）； 求 BE 与 CF 的数量关系； （3）当点 C 运动到数轴上表示数14 的位置时，动点 P 从点 E 出发，以每秒 3 个单位 长度的速度向右运动，抵达 B 后，立即以原来一半速度返回，同时点 Q 从 A 出发，以每 秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，设它们运动的时间为 t 秒（t8），求 t 为何值 时，P、Q 两点间的距离为 1 个单位长度 【答案】 （1）16；6；2 （2）解：点 F 是 AE 的中点，AF=EF，设 AF=EF=x,CF=8x，BE=162x=2（8 x），BE=2CF. 故答案为 16-2x， BE=2CF. （3）解：当 0t6 时，P 对应数：-6+3t，Q 对应数-4+2t， ，解得：t=1 或 3； 当 6t8 时，P 对应数 ， Q 对应数-4+2t， ， 解得： 或 ； 故答案为 t=1 或 3 或 或