1、21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 要要设计一座设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像 的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部的高度比，雕像的下部应设计为多高？部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 【思考】上述上述所列的方程与我们以前学习的方程所列的方程与我们以前学习的方程 一样吗一样吗？这种？这种方程方程与以前
2、学习的方程有哪些联系？与以前学习的方程有哪些联系？ A B C 2m 设雕像下部高设雕像下部高x m，依题意得方程，依题意得方程 x2=2(2-x) 整理，得整理，得 x2+2x-4=0 导入新知导入新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 3.理解理解一元二次方程解（根）一元二次方程解（根）的概念，并能的概念，并能 解决相关问题解决相关问题. 1.理解理解一元二次方程一元二次方程的概念，根据一元二的概念，根据一元二 次方程的一般形式，确定各项系数次方程的一般形式，确定各项系数. 2.灵活应用灵活应用一元二次方程一元二次方程概念解决有关问题概念解决有关问题. 素养目标素养目标
3、21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 有一块矩形铁皮有一块矩形铁皮,长长100cm,宽宽50cm,在它的四角各切去一在它的四角各切去一 个正方形个正方形,然后将四周突出部分折起然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒就能制作一个无盖方盒, 如果要制作的方盒的底面积为如果要制作的方盒的底面积为3600平平 方厘米方厘米,那么铁皮各角应切去多大的那么铁皮各角应切去多大的 正方形正方形? 一元二次方程的概念一元二次方程的概念 知识点 1 探究新知探究新知 100cm 50cm 3600cm2 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 【分析】【分析】 设切去的正方形的边长
4、为设切去的正方形的边长为x cm, 则盒底的长为则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为宽为 (50-2x)cm. 根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3600cm2,得得 整理，得整理，得 （100-2x）（）（50-2x）=3600 x2-75x+350=0 x 100cm 50cm 3600cm2 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要 比赛一场比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，天， 每天安排每天安排4场比赛，比赛组织者
5、应邀请多少个队参赛？场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【分析】【分析】设应邀请设应邀请x个队参赛，每个队要与其他个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队个队 各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部 比赛比赛 x（x-1）场。场。 可列方程可列方程 整理，得整理，得 x2-x=56 1 2 1 (1)74 2 x x 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 【思考【思考】x2-75x+350=0和和x2-x-56=0这两个方程都不这两个方程都不 是一元一次方程是一元一次方程. .那么这两个方程与一
6、元一次方程那么这两个方程与一元一次方程 的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 区区 别别 特特 点点 （1）这两个方程的两边都是这两个方程的两边都是整式整式； （2）都只含都只含一个一个未知数未知数x； （3）它们的未知数的最高次数都是它们的未知数的最高次数都是 2 次的次的. 未 知 数 最未 知 数 最 高次数为高次数为2 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 像像上述两个方程式这上述两个方程式这样的样的等号两边都是整式等号两边都是整式, , 只含有一个未知数只含有一个未知数( (一元一元) )，并且，并且未知数的最高次未
7、知数的最高次 数是数是2(2(二次二次) )的方程，的方程，叫做一元二次方程（必须满叫做一元二次方程（必须满 足三个特征足三个特征）. . 一元二次方程的概念一元二次方程的概念 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 【想一想想一想】 是是一元二次方程吗？一元二次方程吗？ 2 1 109000 x x 答：答：不是不是。等号左边含有分式；化简整理后，。等号左边含有分式；化简整理后， 未知数的最高次数为未知数的最高次数为3次。次。 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 例例1 1 下列选项中，关于下列选项中，关于x的一元二次方程的是（
8、的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 整理x2-3x+2=0 a0 A. B. 3x2-5xy+y2=0 C.（x-1）（）（x-2）=0 D. ax2+bx+c=0 2 2 1 =0 x x 素养考点素养考点 1 一元二次方程的识别一元二次方程的识别 探究新知探究新知 方法总结：方法总结：判断判断一个方程是不是一元二次方程一个方程是不是一元二次方程，必须，必须将方程化简后将方程化简后 再进行判断再进行判断三三个条件个条件：方程：方程两边都是整式两边都是整式；只；只含有一个未知含有一个未知 数数；未知数；未知数的最高的最高次数是次数是2.2. 必须必须同时满足，缺一不可同时
9、满足，缺一不可 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 1. 判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？ 2 12 0 xx ( (2) ) x3+ x2=36 ( (3) ) x+3y=36 ( (5) ) x+1=0 2 6 3 x 22 41(23)xx 2 ()260 xx ( (1) ) x2+ x=36 ( (4) ) ( (6) ) ( (7) ) ( (8) ) 巩固练习巩固练习 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 例例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？为何值时，下列方程为一元二次方程？ ( (1) )ax2-x=2x2
10、( (2) ) (a1)x |a|+1 2x7=0. 解解：( (1) )将方程转化为一般形式，得将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当当a-20， 即即a2时，原方程是一元二次方程；时，原方程是一元二次方程； ( (2) )由由a +1 =2，且，且a-1 0知，当知，当a=-1时，原方程是一元时，原方程是一元 二次方程二次方程. 利用一元二次方程的定义求字母的值利用一元二次方程的定义求字母的值 素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 方法总结：方法总结：根据未知数根据未知数最高次数最高次数为为2，构造方程，解构造方程，解出字母出字母取值取值，并，并利用利用 二次项系数不二次项系
11、数不为为0排除排除使二次项系数使二次项系数为为0的的字母取值字母取值，从而，从而确定字母确定字母取值取值 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 2.方方程程(2a-4)x22bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：解：（1）当）当 2a-40，即，即a 2 时是一元二次时是一元二次 方程方程. （2）当）当a=2 且且 b 0 时是一元一次方程时是一元一次方程. 巩固练习巩固练习 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 一般地一般地,任
12、何一个关于任何一个关于x 的一元二次方程，经的一元二次方程，经 过整理，都可以化为过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式的形式,我们把我们把 ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，为常数，a0）称为一元二次方称为一元二次方 程的一般形式程的一般形式. 其中其中ax2是二次项，是二次项，a是二次项系是二次项系 数；数；bx是一次项，是一次项，b是一次项系数；是一次项系数；c是常数项是常数项. 探究新知探究新知 一元二次方程一元二次方程的一般形式的一般形式 知识点 2 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 一元二次方程的一元二次方程的一般形式一般形式 a x 2 + b
13、 x + c = 0 (a 0) 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 二次项二次项 一次项一次项 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 【思考】【思考】为什么要限制为什么要限制a0，b, ,c可以为零吗？可以为零吗？ 【结论】【结论】只要满足只要满足a0，a,b,c可以为可以为任意实数任意实数. . 探究新知探究新知 当当a=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a0，b=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a0，c=0时，时，ax2+bx+c=0 当当a0，b=0,c=0时，时，ax2+bx+c=0 一元一元 二次二次 方程方程 bx+c=0（一元一次一
14、元一次方程）方程） ax2+c=0 ax2+bx=0 ax2=0 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 【思考思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区一元一次方程与一元二次方程有什么区 别与联系？别与联系？ Ax+b=0 ( (a0) ) ax2+bx+c=0 ( (a0) ) 整式方程，只含有整式方程，只含有一个一个未知数未知数 未知数最高次数是未知数最高次数是1 未知数最高次数是未知数最高次数是2 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 例例3 3 将方程将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成
15、一元二次）化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数和常数项项系数和常数项. 一元二次方程一般形式的有关概念一元二次方程一般形式的有关概念 解：解： 去去括号，得括号，得 3x2-3x=5x+10 整理，得整理，得 3x2-8x-10=0 其其中中二次项系数是二次项系数是3，一次项系数是，一次项系数是-8，常数项是，常数项是-10. 二次项、二二次项、二 次项系数、一次次项系数、一次 项、一次项系数、项、一次项系数、 常数项都是常数项都是包括包括 符号符号的的. . 素养考点素养考点 3 探究新知探究新知 21.1 21.1
16、一元二次方程一元二次方程/ / 方法点拨 （1）一元二次方程的一般形式不是唯一）一元二次方程的一般形式不是唯一 的，但习惯上都把的，但习惯上都把二次项的系数二次项的系数化为正整数化为正整数. . （2）一元二次方程的二次项、二次项系一元二次方程的二次项、二次项系 数、一次项、一次项系数、常数项等都是针数、一次项、一次项系数、常数项等都是针 对对一般形式一般形式而言的而言的. . （3）指出一元二次方程各项系数时，不）指出一元二次方程各项系数时，不 要漏掉前面的要漏掉前面的符号符号. . 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 3. .将将下列方程化成一般形式，并写
17、出其中的二次下列方程化成一般形式，并写出其中的二次 项系数、一次项系数、常数项：项系数、一次项系数、常数项： （1）5x2-1=4x; ( (2) )4 x2=81 解：解：( (1) )把把5x2-1=4x化为一般形式化为一般形式5x2-4x-1=0 ， 二次项系数为二次项系数为5，一次项系数为，一次项系数为-4，常数项为，常数项为-1. ( (2) )把把4 x2 =81化为一般形式化为一般形式4x2-81=0 ，二次，二次 项系数为项系数为4，一次项系数为，一次项系数为0，常数项为，常数项为-81 巩固练习巩固练习 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / （3）4x(x+2)
18、=25 ( (4) )(3x-2)(x+1)=8x-3 解解：( (3) )把把4x(x+2)=25 化为一般形式化为一般形式4x2+8x-25=0 ， 二次项系数为二次项系数为4，一次项系数为，一次项系数为8，常数项为，常数项为-25 ( (4) )把把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式化为一般形式3x2-7x+1=0 ， 二次项系数为二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为-7，常数项为，常数项为1 巩固练习巩固练习 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 一元二次方程解的概念一元二次方程解的概念 知识点 3 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值使一元二次方程等号
19、两边相等的未知数的值 叫做叫做一元二次方程的解一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫，一元二次方程的解也叫 做一元二次方程的根做一元二次方程的根. . 探究新知探究新知 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 例例4 4 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 (m-1)x23x-5m4=0 有一个根为有一个根为2，求，求m. 分析分析: : 一个根为一个根为2，即，即x=2,只需把只需把x=2代入原方程代入原方程. 解：解：依题意把依题意把x2代入原方程，得代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0, 整理，整理，得得 -m+6=0, 解解，得，得 m=6. 素养考点
20、素养考点 4 利用一元二次方程的解确定字母的值利用一元二次方程的解确定字母的值 探究新知探究新知 方法总结：方法总结：方程方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方 程根的题目中程根的题目中，我们，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系 数的方程来数的方程来解决问题解决问题. . 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 4. .已知已知关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+a=0的一个的一个 根是根是3，求，求a的值的值. 解：解：依题意把依题意把x=3代入原
21、方程，得代入原方程，得 32+3a+a=0 9+4a=0， 9 4 a 巩固练习巩固练习 整理，整理， 即即 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 1.已知已知一元二次方程一元二次方程x2+k-3=0有一个根为有一个根为1，则，则k的 的 值为（值为（ ） A2 B2 C4 D4 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 B 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 2.宾馆宾馆有有50间房供游客居住，当每间房每天定价为间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾 元时，宾 馆会住满；当每间房每天的定价每增加馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲
22、一间元时，就会空闲一间 房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的元的 费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为费用当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房元？设房 价定为价定为x元则有（元则有（ ） 解解析析：设房价定为设房价定为x元。依元。依 题意，得题意，得 A.（180+x-20）（）（50- ）=10890 B.（x-20）（）（50- ）=10890 C. x（50- ）-5020=10890 D.（x+180）（）（50- ）-5020=10890 10 x 10 180 x 180 10 x 10 x 巩固
23、练习巩固练习 （x-20）（）（50- ）=10890 180 10 x B 连 接 中 考连 接 中 考 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 1. 下列哪些是一元二次方程？下列哪些是一元二次方程？ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 2.填空填空： 课堂检测课堂检测 方程方程 一般形式一般形式 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 常数项常数项 2 320 xx 2 3
24、12 3yy 2 45x (2)(34)3xx 2 320 xx 2 32 310yy -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 2 450 x 2 3250 xx 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 3.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当k 时，是一元一次方程当时，是一元一次方程当 k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 1 1 课堂检测课堂检测 4.已知方程已知方程5x +mx-6=0的一个根为的一个根为4，则则m的的 值为值为_ 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 21.1 21.1
25、 一元二次方程一元二次方程/ / (1) 如图如图，已知一矩形的长为已知一矩形的长为200cm,宽宽150cm.现在矩形现在矩形 中挖去一个圆中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之 三三.求挖去的圆的半径求挖去的圆的半径x cm应满足的方程应满足的方程（其中其中取取3）. 150cm 200cm 解：解：设由于圆的半径为设由于圆的半径为x cm，则它，则它 的面积为的面积为 3x2 cm2. 整理，得整理，得 x2-2500=0 课堂检测课堂检测 根据题意，得根据题意，得 200150-3x2=200150 4 3 能 力 提 升 题能 力 提
26、升 题 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / (2) 如图如图，据某市交通部门统计据某市交通部门统计，前年该市汽车拥前年该市汽车拥 有量为有量为75万辆万辆，两年后增加到两年后增加到108万辆万辆.求该市两年来汽求该市两年来汽 车拥有量的年平均增长率车拥有量的年平均增长率x应满足的方程应满足的方程. 解：解：该市该市两年来汽车拥有量的年两年来汽车拥有量的年 平均增长率为平均增长率为x. 整理，得整理，得 25x2+50 x-11=0. 根据题意有根据题意有 75（1+x）2 =108 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 21.1 21.1 一元二次方程一元二次
27、方程/ / 已知已知关于关于x的一元二次方程的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一一 个根为个根为1, 求求a+b+c的值的值. 解解：依题意把依题意把x=1代入原方程，得代入原方程，得 a12+b1+c=0, 即即 a+b+c=0. 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 【思考思考】1.若若 a+b+c=0,你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程 ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗的一个根吗? 解：解：a+b+c=0可转化为可转化为 a12+b1+c=0 因此，因此，方程方程ax2+bx+c=0 (a0
28、)的一个根是的一个根是1. 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 2. 若若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察，你能通过观察,求出求出 方程方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根吗的一个根吗? 课堂检测课堂检测 解：解：a-b+c=0可转化为可转化为 a（-1）2+b（-1）+c=0 因此，因此，方程方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根是的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为可转化为 a22+b2+c=0 因此，方程因此，方程ax2+bx+c=0 (a0)的一个根是的一个根是2. 拓
29、广 探 索 题拓 广 探 索 题 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 课堂小结课堂小结 一元二次一元二次 方程方程 概念概念 是整式方程；是整式方程； 含一个未知数；（一元）含一个未知数；（一元） 最高次数是最高次数是2. .（二次）（二次） 一般形式一般形式 ax2+bx+c=0 (a 0) 其中其中(a0)是一元二次方程的必要是一元二次方程的必要 条件；条件； 解解（根根） 使方程左右两边相等的未知数的值使方程左右两边相等的未知数的值. 定义定义 判断判断 等号两边都是整式，只含一个未知等号两边都是整式，只含一个未知 数且未知数的最高次数是数且未知数的最高次数是2 2的方程的方程 21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程/ / 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
