1、2021 年广东省东莞中考数学一模试卷年广东省东莞中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1|的值是（ ） A B C2 D2 2若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx0 Dx0 且 x1 32020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国成功发射了北斗系统第 55 颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不 超过 0.0000000099 秒数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ） A9910 10 B9.910 10 C9.910 9 D0.9910 8
2、4 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案， 其中既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 （ ） A B C D 5点 P（2，1）关于原点对称的点 P的坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （1，2） D （1，2） 6在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90， 80，95，则这组数据的众数是（ ） A95 B90 C85 D80 7点 A（1，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay3y2y1 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy3y1y2 8
3、正八边形的每个内角的度数是（ ） A144 B140 C135 D120 9不等式组的解集是（ ） Ax2 Bx2 C2x2 Dx2 或 x2 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列结论： 4a+b0；ab+c0；当 y0 时，x 的取值范围是 x1 或 x5；5a+c0；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大其中正确的结论有（ ） A B C D 二、填空愿（本大题二、填空愿（本大题 7 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：ax24a 12 （4 分）若 2m+n4，则
4、代数式 62mn 的值为 13 （4 分）把抛物线 yx2向左平移 2 个单位，则平移后所得抛物线的解析式为 14 （4 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 H，若 AB10，CD8，则 OH 的长度为 15 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，AC，BE 交于点 O，若 AE：ED1：2，则 S AOE：SCOB 16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰 好落在 BC 边上的点 F 处，则 CE 17 （4 分）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿
5、BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点，则ABC 的面积是 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： （2021）0+|1|+（） 12cos45 19 （6 分）先化简再求值，其中 20 （6 分）如图，在ABC 中， （1）尺规作图：作出ABC 的外接圆的圆心 O（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）连接 OB，OC，若BAC42，求BOC 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3
6、小题。每小题小题。每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动为 了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周 课外阅读的总时间为 x 小时，将它分为 4 个等级：A（0 x2） ，B（2x4） ，C （4x6） ，D（x 6） ，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）在扇形统计图中，等级 D 所对应的扇形的圆心角为 ； （3）请补全条形统计图； （4）在等级 D 中有甲、乙
7、、丙、丁 4 人表现最为优秀，现从 4 人中任选 2 人作为学校本次读书活动的 宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率 22 （8 分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染，请 你用学过的知识分析： （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 23 （8 分）如图，ABC 中，D 是 AB 边上任意一点，F 是 AC 中点，过点 C 作 CEAB 交 DF 的延长线于 点 E，连接 AE，CD （1）求证：四边形 ADCE 是平行四边形； （2）若B3
8、0，CAB45，AC，CDBD，求 AD 的长 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，AB 为O 的直径，点 C、D 是O 上的点，AD 平分BAC，过点 D 作 AC 的垂 线，垂足为点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若DAE30，DE2，求的长； （3）延长 AB 交 ED 的延长线于点 F，若O 半径的长为 3，tanAFE，求 CE 的长 25 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 yx2 的图象与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C， 抛物线 yx
9、2+bx+c 的图象经过 B、C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 在直线 BC 下方的抛物线上，如图 1，连接 DC、DB，设四边形 OCDB 的面积为 S，求 S 的 最大值； （3）若点 D 在抛物线上，如图 2，过点 D 作 DMBC 于点 M，试问是否存在点 D，使得CDM 中的某 个角恰好等于ABC？若存在，请求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1|的值是（ ） A B C2 D2
10、 【分析】 绝对值的性质： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0 【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得| 故选：B 2若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx0 Cx0 Dx0 且 x1 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义， 被开方数大于或等于 0， 分母不等于 0， 可以求出 x 的范围 【解答】解：根据题意得：， 解得：x0 且 x1 故选：D 32020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国成功发射了北斗系统第 55 颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不 超过 0.0000000099 秒数据“0.000
11、0000099”用科学记数法表示为（ ） A9910 10 B9.910 10 C9.910 9 D0.9910 8 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000000999.910 9， 故选：C 4 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案， 其中既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答 【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图
12、形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：A 5点 P（2，1）关于原点对称的点 P的坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （1，2） D （1，2） 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出 答案 【解答】解：点 P（2，1）关于原点对称的点 P的坐标是（2，1） ， 故选：A 6在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90， 8
13、0，95，则这组数据的众数是（ ） A95 B90 C85 D80 【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解 【解答】解：数据 90 出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是 90 故选：B 7点 A（1，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则 y1，y2，y3的大小关系 是（ ） Ay3y2y1 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy3y1y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即 可 【解答】解：中，k20， 反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内 y 随 x 的增大而
14、减小， 10， A 点在第三象限， y10， 210， B、C 两点在第一象限， y2y30， y1y3y2 故选：B 8正八边形的每个内角的度数是（ ） A144 B140 C135 D120 【分析】根据 n 边形的外角和为 360得到正八边形的每个外角的度数45，然后利用补角 的定义即可得到正八边形的每个内角18045135 【解答】解：正八边形的外角和为 360， 正八边形的每个外角的度数45， 正八边形的每个内角18045135 故选：C 9不等式组的解集是（ ） Ax2 Bx2 C2x2 Dx2 或 x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
15、间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 x+12x+3，得：x2， 解不等式 12x3，得：x2， 则不等式组的解集为2x2， 故选：C 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0） ，对称轴为直线 x2，下列结论： 4a+b0；ab+c0；当 y0 时，x 的取值范围是 x1 或 x5；5a+c0；当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而增大其中正确的结论有（ ） A B C D 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断；图象经过（1，0）即可判断；由抛物线的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点为（1，0） ，得出抛物线与 x 轴的另外一个
16、交点为（5，0） ，再根据抛物线开 口向下得出当函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围是 x1 或 x5 即可判断；根据对称轴得到 b 2a，且 ab+c0 即可判断；由于对称轴为直线 x2，根据二次函数的性质得到当1x2 时，y 的值随 x 值的增大而增大，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，即可判断 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x2， b4a，即 4a+b0，故本结论正确； 图象过点（1，0） ， ab+c0，故本结论错误； 抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0） ，对称轴为直线 x2， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（5，0） ， 抛物线开口向下， 当 y0 时，x 的取值范
17、围是 x1 或 x5，故本结论正确； 对称轴为直线 x2， b4a， ab+c0， 5a+c0，故本结论正确； 对称轴为直线 x2， 当1x2 时，y 的值随 x 值的增大而增大， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，故本结论错误 故选：D 二、填空愿（本大题二、填空愿（本大题 7 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：ax24a a（x+2） （x2） 【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案 【解答】解：ax24a a（x24） a（x2） （x+2） 故答案为：a（x2） （x+2） 12 （4 分）若 2m+n
18、4，则代数式 62mn 的值为 2 【分析】将 62mn 化成 6（2m+n）代值即可得出结论 【解答】解：2m+n4， 62mn6（2m+n）642， 故答案为 2 13 （4 分）把抛物线 yx2向左平移 2 个单位，则平移后所得抛物线的解析式为 yx2+4x+4 【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式 【解答】 解： 把抛物线 yx2向左平移 2 个单位， 得到的抛物线解析式是： y （x+2） 22， 即 yx2+4x+4 故答案为：yx2+4x+4 14 （4 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 H，若 AB10，CD8，则 OH 的长度为 3 【分析】根据垂
19、径定理由 CDAB 得到 CHCD4，再根据勾股定理计算出 OH3 【解答】解：连接 OC， CDAB， CHDHCD84， 直径 AB10， OC5， 在 RtOCH 中，OH3， 故答案为：3 15 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，AC，BE 交于点 O，若 AE：ED1：2，则 S AOE：SCOB 1：9 【分析】本题通过平行四边形的性质可以得到 ABCD 且 ABCD，进而得到AOECBO，在通过 AE：ED1：2，得到 AE：BC1：3，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 且 A
20、BCD， AOECBO， AE：ED1：2， AE：AD1：3， AE：BC1：3， 因为相似三角形的面积比等于相似比的平方， 所以 SAOE：SCOB1：9， 故答案为：1：9， 16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰 好落在 BC 边上的点 F 处，则 CE 【分析】由折叠求出 BF 和 CF，再设 CFx，在CEF 中用勾股定理列方程即可得答案 【解答】解：矩形 ABCD 沿 AE 折叠，AB3，AD5， AFAD5，BC90，DEEF， BF4， CFBCBF1， 设 CEx，则 EFDE3x， 在
21、 RtCEF 中，CE2+CF2EF2， x2+12（3x）2，解得 x， CE 故答案为： 17 （4 分）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点，则ABC 的面积是 48 【分析】由图 2 知，ABBC10，当 BPAC 时，y 的值最小，即ABC 中，AC 边上的高为 8（此时 BP8） ，即可求解 【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大， 由图象可知：点 P 从 B 向 C 运动时，BP 的最大值为 10， 即
22、 BC10， 由于 M 是曲线部分的最低点， 此时 BP 最小， 即 BPAC，BP8， 由勾股定理可知：PC6， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， 图象右端点函数值为 10， ABBC10， PAPC6（三线合一） ， AC12， ABC 的面积为：12848， 故答案为：48 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： （2021）0+|1|+（） 12cos45 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别 化简得出答案 【解答】解：原式1+1+
23、32 1+1+3 3 19 （6 分）先化简再求值，其中 【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算 【解答】解：原式x+1+x+12x+2， 把中代入 原式 20 （6 分）如图，在ABC 中， （1）尺规作图：作出ABC 的外接圆的圆心 O（不写作法，保留作图痕迹） ； （2）连接 OB，OC，若BAC42，求BOC 【分析】 （1）作线段 AB，BC 的垂直平分线交于点 O，即为所求作 （2）利用圆周角定理解决问题即可 【解答】解： （1）如图，O 即为所求作 （2）BOC2BAC，BAC32， BOC64 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题
24、。每小题小题。每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动为 了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周 课外阅读的总时间为 x 小时，将它分为 4 个等级：A（0 x2） ，B（2x4） ，C （4x6） ，D（x 6） ，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生； （2）在扇形统计图中，等级 D 所对应的扇形的圆心角为 108 ； （3）请补全条形统计图； （4）在等级 D
25、中有甲、乙、丙、丁 4 人表现最为优秀，现从 4 人中任选 2 人作为学校本次读书活动的 宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率 【分析】 （1）由 B 等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用 360乘以 D 等级人数所占比例即可得； （3）根据四个等级人数之和等于总人数求出 C 等级人数，从而补全图形； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数，然后根据 概率公式求解 【解答】解： （1）本次共调查学生50（名） ， 故答案为：50； （2）扇形统计图中，等级 D 所对应的扇形的圆心角为 360108， 故答案为：10
26、8； （3）C 等级人数为 50（4+13+15）18（名） ， 补全图形如下： （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为 2， 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率 22 （8 分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染，请 你用学过的知识分析： （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 【分析】 （1）本题可设每轮感染中平均一台会感染 x 台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮 后共有（1+x）+x（1
27、+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出 x 的值； （2）3 轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同 700 的大小，即可作出判断 【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x81， 整理得（1+x）281， 则 x+19 或 x+19， 解得 x18，x210（舍去） ， 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑； （2） （1+x）2+x（1+x）2（1+x）3（1+8）3729700 答：3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台 23 （8 分）如图，ABC 中，D 是 AB 边上任意一点，F 是 AC 中点，过点 C 作
28、CEAB 交 DF 的延长线于 点 E，连接 AE，CD （1）求证：四边形 ADCE 是平行四边形； （2）若B30，CAB45，AC，CDBD，求 AD 的长 【分析】 （1）根据平行线的性质得到CADACE，ADECED根据等腰三角形的性质得到 AD CE，于是得到四边形 ADCE 是平行四边形； （2） 过点 C 作 CGAB 于点 G 根据等腰三角形的性质得到DCBB30， 求得CDA60 解 直角三角形即可得到结论 【解答】 （1）证明：ABCE， CADACE，ADECED F 是 AC 中点， AFCF 在AFD 与CFE 中， AFDCFE（AAS） ， ADCE， 四边形
29、ADCE 是平行四边形； （2）解：过点 C 作 CGAB 于点 G CDBD，B30， DCBB30， CDA60 在ACG 中，AGC90，CAG45， 在CGD 中，DGC90，CDG60， GD1， 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，AB 为O 的直径，点 C、D 是O 上的点，AD 平分BAC，过点 D 作 AC 的垂 线，垂足为点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若DAE30，DE2，求的长； （3）延长 AB 交 ED 的延长线于点 F，若O 半径的长为 3，
30、tanAFE，求 CE 的长 【分析】 （1）连接 OD，证明 ODDE 即可； （2）连接 BD，求出BOD 和O 的半径即可； （3）连接 BC 交 OD 于 M，ABC 中求出 AC，再求出 OM，进而得到 MD 即可得答案 【解答】解： （1）连接 OD，如答图 1： AEDE， AED90， ADE+DAE90， AD 平分BAC， DAEDAO， ADE+DAO90， OAOC， DAOODA， ADE+ODA90，即ODE90， ODDE， DE 是O 的切线； （2）连接 BD，如答图 2： DAE30，DE2，AEDE， AD4， AD 平分BAC， BADDAE30， BO
31、D2BAD60， AB 为O 的直径， BDA90， RtABD 中，AB8， OAOB4， 的长为； （3）连接 BC 交 OD 于 M，如答图 3： AB 为直径， ACB90， 而ODEAED90， BCEF，四边形 DECM 是矩形， ABCAFE，MDCE，ODBC， tanAFE， tanABC， sinABC，即， O 半径的长为 3， AB6， AC， OMAC， MDODOM， CE 25 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系中，一次函数 yx2 的图象与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C， 抛物线 yx2+bx+c 的图象经过 B、C 两点，且与 x 轴的负半轴交于
32、点 A （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 在直线 BC 下方的抛物线上，如图 1，连接 DC、DB，设四边形 OCDB 的面积为 S，求 S 的 最大值； （3）若点 D 在抛物线上，如图 2，过点 D 作 DMBC 于点 M，试问是否存在点 D，使得CDM 中的某 个角恰好等于ABC？若存在，请求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由 SSODC+SODBOCxD+BO（yD） ，即可求解； （3）分DCMABC、MDCABC 两种情况，利用解直角三角形的方法，分别求解即可 【解答】解： （1）对于 yx2，令 yx20，解得 x4
33、，令 x0，则 y2， 故点 B、C 的坐标分别为（4，0） 、 （0，2） ； 将点 B、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx2x2； （2）连接 OD，点 D 的坐标为（x，x2x2） ， 则 SSODC+SODBOCxD+BO （yD） 2x+4 （x2x2） x2+4x+4， 10，故 S 有最大值， 当 x2 时，S 有最大值 8； （3）存在，理由： 当DCMABC 时， 当点 M 在线段 BC 时，如题干图 2， 则 CDOB， 抛物线的对称轴为直线 x， 则根据函数的对称性点 D、C 关于抛物线对称轴对称，故点 D 的坐标为（3，2） ； 当点 M 在
34、 CB 的延长线时，如图 2， DCMABC， 故 TBTC， 设 TBxCT，则 OT4t， 在 RtOTC 中，CT2OT2+OC2，即 t2（4t）2+22，解得 t2.5， 故点 T 的坐标为（，0） ， 由点 C、T 的坐标得，直线 CT 的表达式为 yx2， 联立并解得 x0（舍去）或； 故点 D 的横坐标为 3 或； 当MDCABC 时，如图 3， 过点 D 作 x 轴的平行线交 BC 于点 Q，交 y 轴于点 P， 则QABC， MDCABC， DMCBOC， 则， 故设 MD2k，则 CMk，CDk， 在 RtMAD 中，tanQtanABC，则 QM4k， 则 CQ3k，DQ2k， 在 RtPQC 中，tanQ，则 sinQ，cosQ， 则 CPCQsinQk，同理可得 PQk， 则 PDDQPQ2kkk， 设点 D 的坐标为（x，x2x2） ，则 DPx，CPx2+x， ，解得 x0（舍去）或 1.5， 故点 D 的横坐标为 1.5； 综上，点 D 的横坐标为 1.5 或 3 或
