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2021年广东省东莞中考数学一模试卷(含答案解析)

1、2021 年广东省东莞中考数学一模试卷年广东省东莞中考数学一模试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1|的值是( ) A B C2 D2 2若代数式有意义,则实数 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx0 Cx0 Dx0 且 x1 32020 年 6 月 23 日 9 时 43 分,我国成功发射了北斗系统第 55 颗导航卫星,其授时精度为世界之最,不 超过 0.0000000099 秒数据“0.0000000099”用科学记数法表示为( ) A9910 10 B9.910 10 C9.910 9 D0.9910 8

2、4 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案, 其中既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是 ( ) A B C D 5点 P(2,1)关于原点对称的点 P的坐标是( ) A (2,1) B (2,1) C (1,2) D (1,2) 6在学校举行“阳光少年,励志青春”的演讲比赛中,五位评委给选手小明的评分分别为:90,85,90, 80,95,则这组数据的众数是( ) A95 B90 C85 D80 7点 A(1,y1) ,B(1,y2) ,C(2,y3)是反比例函数图象上的三个点,则 y1,y2,y3的大小关系 是( ) Ay3y2y1 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy3y1y2 8

3、正八边形的每个内角的度数是( ) A144 B140 C135 D120 9不等式组的解集是( ) Ax2 Bx2 C2x2 Dx2 或 x2 10二次函数 yax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(1,0) ,对称轴为直线 x2,下列结论: 4a+b0;ab+c0;当 y0 时,x 的取值范围是 x1 或 x5;5a+c0;当 x1 时,y 的值随 x 值的增大而增大其中正确的结论有( ) A B C D 二、填空愿(本大题二、填空愿(本大题 7 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 28 分)分) 11 (4 分)因式分解:ax24a 12 (4 分)若 2m+n4,则

4、代数式 62mn 的值为 13 (4 分)把抛物线 yx2向左平移 2 个单位,则平移后所得抛物线的解析式为 14 (4 分)如图,AB 为O 的直径,弦 CDAB 于点 H,若 AB10,CD8,则 OH 的长度为 15 (4 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,AC,BE 交于点 O,若 AE:ED1:2,则 S AOE:SCOB 16 (4 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB3,AD5,点 E 在 DC 上,将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,点 D 恰 好落在 BC 边上的点 F 处,则 CE 17 (4 分)如图 1,点 P 从ABC 的顶点 B 出发,沿

5、BCA 匀速运动到点 A,图 2 是点 P 运动时,线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象,其中 M 是曲线部分的最低点,则ABC 的面积是 三、解答题(一) (本大题三、解答题(一) (本大题 3 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 18 分)分) 18 (6 分)计算: (2021)0+|1|+() 12cos45 19 (6 分)先化简再求值,其中 20 (6 分)如图,在ABC 中, (1)尺规作图:作出ABC 的外接圆的圆心 O(不写作法,保留作图痕迹) ; (2)连接 OB,OC,若BAC42,求BOC 四、解答题(二) (本大题四、解答题(二) (本大题 3

6、小题。每小题小题。每小题 8 分,共分,共 24 分)分) 21 (8 分)为培养学生的阅读习惯,某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动为 了有效了解学生课外阅读情况,现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间,设被调查的每名学生每周 课外阅读的总时间为 x 小时,将它分为 4 个等级:A(0 x2) ,B(2x4) ,C (4x6) ,D(x 6) ,并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图: 请你根据统计图的信息,解决下列问题: (1)本次共调查了 名学生; (2)在扇形统计图中,等级 D 所对应的扇形的圆心角为 ; (3)请补全条形统计图; (4)在等级 D 中有甲、乙

7、、丙、丁 4 人表现最为优秀,现从 4 人中任选 2 人作为学校本次读书活动的 宣传员,用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率 22 (8 分)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染,请 你用学过的知识分析: (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑? (2)若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台? 23 (8 分)如图,ABC 中,D 是 AB 边上任意一点,F 是 AC 中点,过点 C 作 CEAB 交 DF 的延长线于 点 E,连接 AE,CD (1)求证:四边形 ADCE 是平行四边形; (2)若B3

8、0,CAB45,AC,CDBD,求 AD 的长 五、解答题(三) (本大题五、解答题(三) (本大题 2 小题,每小题小题,每小题 10 分,共分,共 20 分)分) 24 (10 分)如图,AB 为O 的直径,点 C、D 是O 上的点,AD 平分BAC,过点 D 作 AC 的垂 线,垂足为点 E (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若DAE30,DE2,求的长; (3)延长 AB 交 ED 的延长线于点 F,若O 半径的长为 3,tanAFE,求 CE 的长 25 (10 分)如图 1,在平面直角坐标系中,一次函数 yx2 的图象与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C, 抛物线 yx

9、2+bx+c 的图象经过 B、C 两点,且与 x 轴的负半轴交于点 A (1)求二次函数的表达式; (2)若点 D 在直线 BC 下方的抛物线上,如图 1,连接 DC、DB,设四边形 OCDB 的面积为 S,求 S 的 最大值; (3)若点 D 在抛物线上,如图 2,过点 D 作 DMBC 于点 M,试问是否存在点 D,使得CDM 中的某 个角恰好等于ABC?若存在,请求点 D 的横坐标;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1|的值是( ) A B C2 D2

10、 【分析】 绝对值的性质: 一个正数的绝对值是它本身; 一个负数的绝对值是它的相反数; 0 的绝对值是 0 【解答】解:根据负数的绝对值是它的相反数,得| 故选:B 2若代数式有意义,则实数 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx0 Cx0 Dx0 且 x1 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义, 被开方数大于或等于 0, 分母不等于 0, 可以求出 x 的范围 【解答】解:根据题意得:, 解得:x0 且 x1 故选:D 32020 年 6 月 23 日 9 时 43 分,我国成功发射了北斗系统第 55 颗导航卫星,其授时精度为世界之最,不 超过 0.0000000099 秒数据“0.000

11、0000099”用科学记数法表示为( ) A9910 10 B9.910 10 C9.910 9 D0.9910 8 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10 n,与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂,指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解:0.00000000999.910 9, 故选:C 4 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案, 其中既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是 ( ) A B C D 【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答 【解答】解:A、既是轴对称图形又是对称图

12、形,故此选项符合题意; B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意; D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意 故选:A 5点 P(2,1)关于原点对称的点 P的坐标是( ) A (2,1) B (2,1) C (1,2) D (1,2) 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可直接写出 答案 【解答】解:点 P(2,1)关于原点对称的点 P的坐标是(2,1) , 故选:A 6在学校举行“阳光少年,励志青春”的演讲比赛中,五位评委给选手小明的评分分别为:90,85,90, 8

13、0,95,则这组数据的众数是( ) A95 B90 C85 D80 【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据,根据众数的定义就可以求解 【解答】解:数据 90 出现了两次,次数最多,所以这组数据的众数是 90 故选:B 7点 A(1,y1) ,B(1,y2) ,C(2,y3)是反比例函数图象上的三个点,则 y1,y2,y3的大小关系 是( ) Ay3y2y1 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy3y1y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限,再根据各点横坐标的特点进行解答即 可 【解答】解:中,k20, 反比例函数图象在一、三象限,并且在每一象限内 y 随 x 的增大而

14、减小, 10, A 点在第三象限, y10, 210, B、C 两点在第一象限, y2y30, y1y3y2 故选:B 8正八边形的每个内角的度数是( ) A144 B140 C135 D120 【分析】根据 n 边形的外角和为 360得到正八边形的每个外角的度数45,然后利用补角 的定义即可得到正八边形的每个内角18045135 【解答】解:正八边形的外角和为 360, 正八边形的每个外角的度数45, 正八边形的每个内角18045135 故选:C 9不等式组的解集是( ) Ax2 Bx2 C2x2 Dx2 或 x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中

15、间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解:解不等式 x+12x+3,得:x2, 解不等式 12x3,得:x2, 则不等式组的解集为2x2, 故选:C 10二次函数 yax2+bx+c(a0)的部分图象如图,图象过点(1,0) ,对称轴为直线 x2,下列结论: 4a+b0;ab+c0;当 y0 时,x 的取值范围是 x1 或 x5;5a+c0;当 x1 时,y 的值随 x 值的增大而增大其中正确的结论有( ) A B C D 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断;图象经过(1,0)即可判断;由抛物线的对称轴为直线 x2,与 x 轴的一个交点为(1,0) ,得出抛物线与 x 轴的另外一个

16、交点为(5,0) ,再根据抛物线开 口向下得出当函数值 y0 时,自变量 x 的取值范围是 x1 或 x5 即可判断;根据对称轴得到 b 2a,且 ab+c0 即可判断;由于对称轴为直线 x2,根据二次函数的性质得到当1x2 时,y 的值随 x 值的增大而增大,当 x2 时,y 随 x 的增大而减小,即可判断 【解答】解:抛物线的对称轴为直线 x2, b4a,即 4a+b0,故本结论正确; 图象过点(1,0) , ab+c0,故本结论错误; 抛物线与 x 轴的一个交点为(1,0) ,对称轴为直线 x2, 抛物线与 x 轴的另一个交点为(5,0) , 抛物线开口向下, 当 y0 时,x 的取值范

17、围是 x1 或 x5,故本结论正确; 对称轴为直线 x2, b4a, ab+c0, 5a+c0,故本结论正确; 对称轴为直线 x2, 当1x2 时,y 的值随 x 值的增大而增大, 当 x2 时,y 随 x 的增大而减小,故本结论错误 故选:D 二、填空愿(本大题二、填空愿(本大题 7 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 28 分)分) 11 (4 分)因式分解:ax24a a(x+2) (x2) 【分析】先提公因式,再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案 【解答】解:ax24a a(x24) a(x2) (x+2) 故答案为:a(x2) (x+2) 12 (4 分)若 2m+n

18、4,则代数式 62mn 的值为 2 【分析】将 62mn 化成 6(2m+n)代值即可得出结论 【解答】解:2m+n4, 62mn6(2m+n)642, 故答案为 2 13 (4 分)把抛物线 yx2向左平移 2 个单位,则平移后所得抛物线的解析式为 yx2+4x+4 【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式 【解答】 解: 把抛物线 yx2向左平移 2 个单位, 得到的抛物线解析式是: y (x+2) 22, 即 yx2+4x+4 故答案为:yx2+4x+4 14 (4 分)如图,AB 为O 的直径,弦 CDAB 于点 H,若 AB10,CD8,则 OH 的长度为 3 【分析】根据垂

19、径定理由 CDAB 得到 CHCD4,再根据勾股定理计算出 OH3 【解答】解:连接 OC, CDAB, CHDHCD84, 直径 AB10, OC5, 在 RtOCH 中,OH3, 故答案为:3 15 (4 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,AC,BE 交于点 O,若 AE:ED1:2,则 S AOE:SCOB 1:9 【分析】本题通过平行四边形的性质可以得到 ABCD 且 ABCD,进而得到AOECBO,在通过 AE:ED1:2,得到 AE:BC1:3,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD 且 A

20、BCD, AOECBO, AE:ED1:2, AE:AD1:3, AE:BC1:3, 因为相似三角形的面积比等于相似比的平方, 所以 SAOE:SCOB1:9, 故答案为:1:9, 16 (4 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB3,AD5,点 E 在 DC 上,将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,点 D 恰 好落在 BC 边上的点 F 处,则 CE 【分析】由折叠求出 BF 和 CF,再设 CFx,在CEF 中用勾股定理列方程即可得答案 【解答】解:矩形 ABCD 沿 AE 折叠,AB3,AD5, AFAD5,BC90,DEEF, BF4, CFBCBF1, 设 CEx,则 EFDE3x, 在

21、 RtCEF 中,CE2+CF2EF2, x2+12(3x)2,解得 x, CE 故答案为: 17 (4 分)如图 1,点 P 从ABC 的顶点 B 出发,沿 BCA 匀速运动到点 A,图 2 是点 P 运动时,线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象,其中 M 是曲线部分的最低点,则ABC 的面积是 48 【分析】由图 2 知,ABBC10,当 BPAC 时,y 的值最小,即ABC 中,AC 边上的高为 8(此时 BP8) ,即可求解 【解答】解:根据图象可知点 P 在 BC 上运动时,此时 BP 不断增大, 由图象可知:点 P 从 B 向 C 运动时,BP 的最大值为 10, 即

22、 BC10, 由于 M 是曲线部分的最低点, 此时 BP 最小, 即 BPAC,BP8, 由勾股定理可知:PC6, 由于图象的曲线部分是轴对称图形, 图象右端点函数值为 10, ABBC10, PAPC6(三线合一) , AC12, ABC 的面积为:12848, 故答案为:48 三、解答题(一) (本大题三、解答题(一) (本大题 3 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 18 分)分) 18 (6 分)计算: (2021)0+|1|+() 12cos45 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别 化简得出答案 【解答】解:原式1+1+

23、32 1+1+3 3 19 (6 分)先化简再求值,其中 【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分,并准确代值计算 【解答】解:原式x+1+x+12x+2, 把中代入 原式 20 (6 分)如图,在ABC 中, (1)尺规作图:作出ABC 的外接圆的圆心 O(不写作法,保留作图痕迹) ; (2)连接 OB,OC,若BAC42,求BOC 【分析】 (1)作线段 AB,BC 的垂直平分线交于点 O,即为所求作 (2)利用圆周角定理解决问题即可 【解答】解: (1)如图,O 即为所求作 (2)BOC2BAC,BAC32, BOC64 四、解答题(二) (本大题四、解答题(二) (本大题 3 小题

24、。每小题小题。每小题 8 分,共分,共 24 分)分) 21 (8 分)为培养学生的阅读习惯,某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动为 了有效了解学生课外阅读情况,现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间,设被调查的每名学生每周 课外阅读的总时间为 x 小时,将它分为 4 个等级:A(0 x2) ,B(2x4) ,C (4x6) ,D(x 6) ,并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图: 请你根据统计图的信息,解决下列问题: (1)本次共调查了 50 名学生; (2)在扇形统计图中,等级 D 所对应的扇形的圆心角为 108 ; (3)请补全条形统计图; (4)在等级 D

25、中有甲、乙、丙、丁 4 人表现最为优秀,现从 4 人中任选 2 人作为学校本次读书活动的 宣传员,用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率 【分析】 (1)由 B 等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数; (2)用 360乘以 D 等级人数所占比例即可得; (3)根据四个等级人数之和等于总人数求出 C 等级人数,从而补全图形; (4)画树状图展示所有 12 种等可能的结果数,找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数,然后根据 概率公式求解 【解答】解: (1)本次共调查学生50(名) , 故答案为:50; (2)扇形统计图中,等级 D 所对应的扇形的圆心角为 360108, 故答案为:10

26、8; (3)C 等级人数为 50(4+13+15)18(名) , 补全图形如下: (4)画树状图为: 共有 12 种等可能的结果数,其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为 2, 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率 22 (8 分)某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染,请 你用学过的知识分析: (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑? (2)若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台? 【分析】 (1)本题可设每轮感染中平均一台会感染 x 台电脑,则第一轮后共有(1+x)台被感染,第二轮 后共有(1+x)+x(1

27、+x)即(1+x)2台被感染,利用方程即可求出 x 的值; (2)3 轮后共有(1+x)3台被感染,比较该数同 700 的大小,即可作出判断 【解答】解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑,依题意得:1+x+(1+x)x81, 整理得(1+x)281, 则 x+19 或 x+19, 解得 x18,x210(舍去) , 答:每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑; (2) (1+x)2+x(1+x)2(1+x)3(1+8)3729700 答:3 轮感染后,被感染的电脑会超过 700 台 23 (8 分)如图,ABC 中,D 是 AB 边上任意一点,F 是 AC 中点,过点 C 作

28、CEAB 交 DF 的延长线于 点 E,连接 AE,CD (1)求证:四边形 ADCE 是平行四边形; (2)若B30,CAB45,AC,CDBD,求 AD 的长 【分析】 (1)根据平行线的性质得到CADACE,ADECED根据等腰三角形的性质得到 AD CE,于是得到四边形 ADCE 是平行四边形; (2) 过点 C 作 CGAB 于点 G 根据等腰三角形的性质得到DCBB30, 求得CDA60 解 直角三角形即可得到结论 【解答】 (1)证明:ABCE, CADACE,ADECED F 是 AC 中点, AFCF 在AFD 与CFE 中, AFDCFE(AAS) , ADCE, 四边形

29、ADCE 是平行四边形; (2)解:过点 C 作 CGAB 于点 G CDBD,B30, DCBB30, CDA60 在ACG 中,AGC90,CAG45, 在CGD 中,DGC90,CDG60, GD1, 五、解答题(三) (本大题五、解答题(三) (本大题 2 小题,每小题小题,每小题 10 分,共分,共 20 分)分) 24 (10 分)如图,AB 为O 的直径,点 C、D 是O 上的点,AD 平分BAC,过点 D 作 AC 的垂 线,垂足为点 E (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若DAE30,DE2,求的长; (3)延长 AB 交 ED 的延长线于点 F,若O 半径的长为 3,

30、tanAFE,求 CE 的长 【分析】 (1)连接 OD,证明 ODDE 即可; (2)连接 BD,求出BOD 和O 的半径即可; (3)连接 BC 交 OD 于 M,ABC 中求出 AC,再求出 OM,进而得到 MD 即可得答案 【解答】解: (1)连接 OD,如答图 1: AEDE, AED90, ADE+DAE90, AD 平分BAC, DAEDAO, ADE+DAO90, OAOC, DAOODA, ADE+ODA90,即ODE90, ODDE, DE 是O 的切线; (2)连接 BD,如答图 2: DAE30,DE2,AEDE, AD4, AD 平分BAC, BADDAE30, BO

31、D2BAD60, AB 为O 的直径, BDA90, RtABD 中,AB8, OAOB4, 的长为; (3)连接 BC 交 OD 于 M,如答图 3: AB 为直径, ACB90, 而ODEAED90, BCEF,四边形 DECM 是矩形, ABCAFE,MDCE,ODBC, tanAFE, tanABC, sinABC,即, O 半径的长为 3, AB6, AC, OMAC, MDODOM, CE 25 (10 分)如图 1,在平面直角坐标系中,一次函数 yx2 的图象与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C, 抛物线 yx2+bx+c 的图象经过 B、C 两点,且与 x 轴的负半轴交于

32、点 A (1)求二次函数的表达式; (2)若点 D 在直线 BC 下方的抛物线上,如图 1,连接 DC、DB,设四边形 OCDB 的面积为 S,求 S 的 最大值; (3)若点 D 在抛物线上,如图 2,过点 D 作 DMBC 于点 M,试问是否存在点 D,使得CDM 中的某 个角恰好等于ABC?若存在,请求点 D 的横坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)用待定系数法即可求解; (2)由 SSODC+SODBOCxD+BO(yD) ,即可求解; (3)分DCMABC、MDCABC 两种情况,利用解直角三角形的方法,分别求解即可 【解答】解: (1)对于 yx2,令 yx20,解得 x4

33、,令 x0,则 y2, 故点 B、C 的坐标分别为(4,0) 、 (0,2) ; 将点 B、C 的坐标代入抛物线表达式得,解得, 故抛物线的表达式为 yx2x2; (2)连接 OD,点 D 的坐标为(x,x2x2) , 则 SSODC+SODBOCxD+BO (yD) 2x+4 (x2x2) x2+4x+4, 10,故 S 有最大值, 当 x2 时,S 有最大值 8; (3)存在,理由: 当DCMABC 时, 当点 M 在线段 BC 时,如题干图 2, 则 CDOB, 抛物线的对称轴为直线 x, 则根据函数的对称性点 D、C 关于抛物线对称轴对称,故点 D 的坐标为(3,2) ; 当点 M 在

34、 CB 的延长线时,如图 2, DCMABC, 故 TBTC, 设 TBxCT,则 OT4t, 在 RtOTC 中,CT2OT2+OC2,即 t2(4t)2+22,解得 t2.5, 故点 T 的坐标为(,0) , 由点 C、T 的坐标得,直线 CT 的表达式为 yx2, 联立并解得 x0(舍去)或; 故点 D 的横坐标为 3 或; 当MDCABC 时,如图 3, 过点 D 作 x 轴的平行线交 BC 于点 Q,交 y 轴于点 P, 则QABC, MDCABC, DMCBOC, 则, 故设 MD2k,则 CMk,CDk, 在 RtMAD 中,tanQtanABC,则 QM4k, 则 CQ3k,DQ2k, 在 RtPQC 中,tanQ,则 sinQ,cosQ, 则 CPCQsinQk,同理可得 PQk, 则 PDDQPQ2kkk, 设点 D 的坐标为(x,x2x2) ,则 DPx,CPx2+x, ,解得 x0(舍去)或 1.5, 故点 D 的横坐标为 1.5; 综上,点 D 的横坐标为 1.5 或 3 或