1、 1 / 19 第第 1 章章 解直角三角形单元测试解直角三角形单元测试(A 卷基础篇）卷基础篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2020滨湖区二模）锐角三角函数 tan30的值是（ ） A1 B C D 【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值得出答案 【答案】解：tan30 故选：B 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 2 （3 分） （2020龙泉驿区模拟）如图，在 RtABC 中，C90，AB13，BC12，AC5，则下列 三角函数表示正确的是
2、（ ） AsinA BcosA CtanA DtanB 【思路点拨】根据锐角三角函数定义分别表示即可 【答案】解：A、sinA，故原题说法正确； B、cosA，故原题说法错误； C、tanA，故原题说法错误； D、tanB，故原题说法错误； 故选：A 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：我们把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫 做A 的正弦，记作 sinA余弦：锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A 的余弦，记作 cosA正切：锐 角 A 的对边 a 与邻边 b 的比叫做A 的正切，记作 tanA 2 / 19 3 （3 分） （2020雅安）如图，在 RtAC
3、B 中，C90，sinB0.5，若 AC6，则 BC 的长为（ ） A8 B12 C6 D12 【思路点拨】根据锐角三角函数的边角间关系，先求出 AB，再利用勾股定理求出 BC 【答案】解：法一、在 RtACB 中， sinB0.5， AB12 BC 6 故选：C 法二、在 RtACB 中， sinB0.5， B30 tanB， BC6 故选：C 【点睛】本题考查了解直角三角形掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键 4 （3 分） （2020拱墅区校级模拟）在锐角ABC 中，则A（ ） A30 B45 C60 D75 【思路点拨】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质结合特殊角的三角函数值得
4、出C60，B 45，进而得出答案 【答案】解：， tanC，sinB， C60，B45， A75 3 / 19 故选：D 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 5 （3 分） （2020如皋市一模）如图，一辆小车沿倾斜角为 的斜坡向上行驶 13m，若 sin，则小 车上升的高度是（ ） A5m B6m C6.5m D12m 【思路点拨】根据正弦的定义列式计算，得到答案 【答案】解：设小车上升的高度是 xm， sin， ， 解得，x5， 故选：A 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键 6 （3
5、 分） （2020丰泽区校级模拟）如图，在四边形 ABCD 中，BD90，AB3，BC2，tanA ，则 CD 的值为（ ） A B C D2 【思路点拨】延长 AD、BC，两线交于 O，解直角三角形求出 OB，求出 OC，根据勾股定理求出 OA， 求出ODCOBA，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可 4 / 19 【答案】解：延长 AD、BC，两线交于 O， 在 RtABO 中，B90，tanA，AB3， OB4， BC2， OCOBBC422， 在 RtABO 中，B90，AB3，OB4，由勾股定理得：AO5， ADC90， ODC90B， OO， ODCOBA， ， ， 解得：
6、DC， 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线 （构造出直角三角形）是解此题的关键 7 （3 分） （2020宿迁模拟）如图，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA 的值为（ ） A B C2 D 【思路点拨】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出 tanA，进而得出答案 【答案】解：如图所示：连接 BD， 5 / 19 BD， AD2， AB， BD2+AD22+810AB2， ADB 为直角三角形， ADB90， 则 tanA 故选：A 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键 8 （3 分） （202
7、0松北区二模） 如图， 在 A 处测得点 P 在北偏东 60方向上， 在 B 处测得点 P 在北偏东 30 方向上，若 AP6千米，则 A，B 两点的距离为（ ）千米 A4 B4 C2 D6 【思路点拨】证明 ABPB，在 RtPAC 中，求出 PC3千米，在 RtPBC 中，解直角三角形可求 出 PB 的长，则可得出答案 【答案】解：由题意知，PAB30，PBC60， APBPBCPAB603030， PABAPB， ABPB， 在 RtPAC 中，AP6千米， PCPA3千米， 在 RtPBC 中，sinPBC， 6 / 19 PB6 千米 故选：D 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用
8、，掌握锐角三角函数的定义及方向角是解题的关键 9 （3 分） （2019 秋金乡县期末） 如图， ABC 中， cosB， sinC， BC7， 则ABC 的面积是 （ ） A B12 C14 D21 【思路点拨】作 ADBC 于 D，直接利用特殊角的三角函数值得出B 的度数，再利用锐角三角函数关 系表示出 AD，BD，DC 的长，进而得出答案 【答案】解：作 ADBC 于 D，如图所示： cosB， B45， sinC， 设 AD3x，则 AC5x，DC4x，BD3x， BC7， BD+DC3x+4x7x7， 解得：x1， 故 AD3， 则ABC 的面积是：37 故选：A 7 / 19 【点
9、睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及三角形面积求法，正确表示出 AD，BD，DC 的长是解 题关键 10 （3 分） （2020 春罗湖区校级月考）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（OCOB，点 A，B，C， D，O 在同一平面内） ，已知 ABa，ADb，BCOx，则点 D 到 OB 的距离等于（ ） Aasinx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dacosx+bsinx 【思路点拨】如图，过点 D 作 DEOC 于点 E，则点 D 到 OB 的距离等于 OE 的长根据矩形性质及解 直角三角形可得 OCBCcosxbcosx，CECDsinxasi
10、nx，进而可得点 D 到 OB 的距离 【答案】解：如图，过点 D 作 DEOC 于点 E，则点 D 到 OB 的距离等于 OE 的长 四边形 ABCD 是矩形， BCD90，CDABa，ADBCb， CDEBCOx， OCBCcosxbcosx， CECDsinxasinx， OEOC+CEbcosx+asinx 则点 D 到 OB 的距离等于 bcosx+asinx 故选：C 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分） （2020宁波模拟）已知 sin（
11、为锐角） ，则 tan 【思路点拨】根据 sin2+cos21，tan计算 【答案】解：sin2+cos21， 8 / 19 cos， tan， 故答案为： 【点睛】本题考查的是同角的三角函数的关系，掌握 sin2+cos21，tan是解题的关键 12 （4 分） （2020天河区模拟）在 RtABC 中，C90，sinB，若斜边上的高 CD2，则 AC 【思路点拨】首先证明ACDB，推出，设 AD3k，AC5k，则 CD4k2，求出 k 即可 解决问题 【答案】解：如图， CDAB， CDB90， ACB90， ACD+DCB90，B+DCB90， ACDB， sinACBsinB， ，设
12、AD3k，AC5k，则 CD4k2， k， AC， 故答案为 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考 常考题型 13 （4 分） （2020奉贤区一模）小明从山脚 A 出发，沿坡度为 1：2.4 的斜坡前进了 130 米到达 B 点，那么 9 / 19 他所在的位置比原来的位置升高了 50 米 【思路点拨】小明所在的位置比原来的位置升高了 x 米，根据坡度的概念用 x 表示出小明前进的水平宽 度，根据勾股定理计算，得到答案 【答案】解：设小明所在的位置比原来的位置升高了 x 米， 坡度为 1：2.4， 小明前进的水平宽度为 2.4 米， 由勾
13、股定理得，x2+（2.4x）21302， 解得，x50，即小明所在的位置比原来的位置升高了 50 米， 故答案为：50 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比是解题的关键 14 （4 分） （2020德阳） 如图， 海中有一小岛 A， 它周围 10.5 海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行 在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上， 航行 12 海里到达 D 点， 这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上 如 果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 4.5 海里就开始有触礁的危险 【思路点拨】过 A 作 ACBD 于
14、点 C，求出CAD、CAB 的度数，求出BAD 和ABD，根据等角对 等边得出 ADBD12，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 CD，根据勾股定理求出 AC 即可 【答案】解：只要求出 A 到 BD 的最短距离是否在以 A 为圆心，以 10.5 海里的圆内或圆上即可， 如图，过 A 作 ACBD 于点 C，则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离， CAD30，CAB60， BAD603030，ABD906030， ABDBAD， BDAD12 海里， CAD30，ACD90， CDAD6 海里， 由勾股定理得：AC6（海里） ， 如图，设渔船还需航行 x 海里就开始有触礁的危险，即到
15、达点 D时有触礁的危险， 10 / 19 在直角ADC 中，由勾股定理得： （6x）2+（6）210.52 解得 x4.5 渔船还需航行 4.5 海里就开始有触礁的危险 故答案是：4.5 【点睛】考查了勾股定理的应用和解直角三角形，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将 解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想 15 （4 分） （2019 秋靖江市校级月考）等腰三角形的面积为，一条边长为 5，则底角的正切值等于 3 或或 【思路点拨】 由题意知腰和底边不确定， 应分两种情况进行讨论腰长为 5； 底边为 5； 进行求解即可 【答案】解：在ABC 中，ABAC， B
16、C， 当ABC 是锐角三角形，AB5 时，过 C 作 CDAB 于 D，如图 1 所示： SABCABCD， 5CD， CD3 在 RtACD 中，由勾股定理，得 AD4， BD541， tanB3； 当ABC 是钝角三角形，AB5 时，过 C 作 CDAB 于 D，如图 2 所示： 11 / 19 同理得：CD3，AD4， 则 BDAB+AD9， tanB； 当 BC5 时，过 A 作 ADBC 于 D，如图 3 所示： ABAC， BDCD， SABCBCAD， 5AD， AD3 tanB； 综上所述，底角的正切值等于 3 或或； 故答案为：3 或或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正
17、切函数的定义以及勾股定理由于不确定腰长和底边，应分 情况进行讨论此题利用了分类讨论的思想 16 （4 分） （2020槐荫区二模）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，线段 AB 与 CD 交于点 E，则 cosCEA 12 / 19 【思路点拨】将线段 CD 平移到线段 AF，使 C 与 A 重合，那么 CDAF，根据平行线的性质得出CEA BAF利用勾股定理得出 AF，BF2，AB5，由勾股定理的逆定理可得AFB90，在 RtABF 中求出 cosBAF，那么 cosCEAcosBAF 【答案】解：如图，将线段 CD 平移到线段 AF，使 C 与 A 重合， CDAF， C
18、EABAF 由勾股定理得，AF，BF2，AB5， AF2+FB2AB2， AFB90， 在 RtABF 中，cosBAF， cosCEAcosBAF， 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数， 准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）在 RtABC 中，C90根据下列条件求A 的正弦、余弦、正切的值 （1）AC，BC2 （2）AB7，BC5 （3）ACBC （4）sinB 13 / 19 【思路点拨】 （1）利用勾股定理求出 AB 即可解决问题 （2
19、）利用勾股定理求出 AC 即可解决问题 （3）设 ACk，BCk，利用勾股定理求出 AB 即可解决问题 （4）设 AC5k，QAB13k，则 BC12k，由此即可解决问题 【答案】解： （1）C90，AC，BC2， AB， sinA，cosA，tanA （2） ）C90，AB7，BC5， AC2， sinA，cosA，tanA （3）ACBC， 可以假设 ACk，BCk， C90， AB2k， sinA，cosA，tanA （4）sinB， 可以假设 AC5k，QAB13k，则 BC12k， sinA，cosA，tanA 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
20、识，学会利用参数解 决问题，属于中考常考题型 18 （8 分）计算： （1）sin45cos60+tan60； （2）cos230+sin230tan45； （3）sin30tan30+cos45 【思路点拨】根据特殊角的三角函数值，代入计算即可 【答案】解： （1）原式+ 14 / 19 +； （2）原式（）2+（）21 +1 0； （3）原式+ 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键 19 （8 分） （2019 秋丽水期末）如图，在ABC 中，B45，AC5，cosC，AD 是 BC 边上的高 线 （1）求 AD 的长； （2）求ABC 的
21、面积 【思路点拨】 （1）由高的定义可得出ADCADB90，在 RtACD 中，由 AC 的长及 cosC 的值 可求出 CD 的长，再利用勾股定理即可求出 AD 的长； （2）由B，ADB 的度数可求出BAD 的度数，进而可得出BBAD，利用等角对等边可得出 BD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC 的面积 【答案】解： （1）ADBC， ADCADB90 在 RtACD 中，AC5，cosC， CDACcosC3， AD4 （2）B45，ADB90， BAD90B45， BBAD， BDAD4， SABCADBC4（4+3）14 15 / 19 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股
22、定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，解题的关键是： （1）通过解直角三角形及勾股定理，求出 CD，AD 的长； （2）利用等腰三角形的性质，找出 BD 的长 20 （10 分） （2020宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有 A，B 两个观测站，A 在 B 的正西方向，AB2km， 从观测站 A 测得船 C 在北偏东 45的方向，从观测站 B 测得船 C 在北偏西 30的方向求船 C 离观测 站 A 的距离 【思路点拨】如图，过点 C 作 CDAB 于点 D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直 角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可 【答案】解：如图，过点 C 作 C
23、DAB 于点 D， 则CADACD45， ADCD， 设 ADx，则 ACx， BDABAD2x， CBD60， 在 RtBCD 中，tanCBD， ， 解得 x3 经检验，x3是原方程的根 ACx（3）（3）km 16 / 19 答：船 C 离观测站 A 的距离为（3）km 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义 21 （10 分） （2020拱墅区校级模拟）已知：如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，E 是 AD 的中点，连接 CE 并延长交边 AB 于点 F，AC13，BC8，cosACB （1）求 tanDCE 的值； （2）求的值 【思路点拨
24、】 （1）由三角函数定义求出 CD5，由勾股定理得出 AD12，求出 EDAD6，由三角 函数定义即可得出答案； （2）过 D 作 DGCF 交 AB 于点 G，求出 BDBCCD3，由平行线分线段成比例定理得出 ，1，得出 AFFG，设 BG3x，则 AFFG5x，BFFG+BG8x，即可得出答案 【答案】解： （1）ADBC， ADC90， 在 RtADC 中，AC13，cosACB， CD5， 由勾股定理得：AD12， E 是 AD 的中点， EDAD6， tanDCE； （2）过 D 作 DGCF 交 AB 于点 G，如图所示： BC8，CD5， BDBCCD3， DGCF， 17 /
25、 19 ，1， AFFG， 设 BG3x，则 AFFG5x，BFFG+BG8x 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握解直角三角 形和平行线分线段成比例定理是解题的关键 22 （12 分） （2020吉州区一模） “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图 1 所 示的“三等分角仪”能三等分任一角其抽象示意图如图 2 所示，由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根 棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，OCCDDE5cm，点 D，E 可在槽中滑动 （1）求证：BDE3BOE （2）若 OD8cm 求BDE 的度数； 求点 D 到
26、 OA 的距离 （参考数据：sin360.60，cos360.80，tan360.75，sin660.92，cos660.40，tan66 2.24） 【思路点拨】 （1）根据等腰三角形的性质得到OCDO，DCECED，根据三角形外角的性质 即可得到结论； （2）过 C 作 CFCD 于 F，根据等腰三角形的性质得到 OFDFOD4，根据三角函数的定义即 可得到结论； 过 D 作 DHOA 于 H，根据三角函数的定义即可得到结论 【答案】 （1）证明：OCCDDE， 18 / 19 OCDO，DCECED， DCEO+CDO2O， CED2O， BDEO+DECO+2O3BOE； （2）解：过
27、 C 作 CFCD 于 F， COCD， OFDFOD4， OC5， cosBOE0.8， BOE36， BDE2BOE108； 过 D 作 DHOA 于 H， BOE36，OD8， DHODsin3680.64.8， 即点 D 到 OA 的距离 4.8cm 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线 构造直角三角形是解题的关键 23 （12 分） （2020海陵区一模）水坝的横截面是梯形 ABCD，现测得坝顶 DC4m，坡面 AD 的坡度 i 为 1： 1，坡面 BC 的坡角 为 60，坝高 3m， （1.73）求： （1）坝底 AB 的长（精
28、确到 0.1） ； （2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶 CD 不变的情况下降低 AD 的坡度（如图） ，使新坡面 DE 的坡 度 i 为 1：，原水坝底部正前方 2.5m 处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由 19 / 19 【思路点拨】 （1）分别过 C、D 作 CFAB，DHAB，垂足分别为 F、H，易得四边形 CDHF 是矩形， 从而 CDHF4m，DHCF3m，在 RtADH 中，由坡度 i1：1，易得 AHDH3m，在 RtBCF 中，坡面 BC 的坡角 为 60，坝高 3m，易得 BF，则 ABAH+HF+FB8.7m； （2）由题意得，RtEDH 中，由坡面
29、 DE 的坡度 i 为 1：，易得 AEEHAH 的值进而与 2.5m 比较 即可 【答案】解： （1）如图，分别过 C、D 作 CFAB，DHAB，垂足分别为 F、H， 得四边形 CDHF 是矩形， CDHF4m，DHCF3m， 在 RtADH 中，由坡度 i1：1， 得 AHDH3m， 在 RtBCF 中，B60，CF3m， 得 BFm， 则 ABAH+HF+FB7+1.78.7m； 则坝底 AB 的长约为 8.7m； （2）由题意得，RtEDH 中，DH：EH1：， EH3m， 则 AEEHAH332.2m， 2.2m2.5m， 所以没有影响 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义
