1、第 18 讲 解直角三角形一、选择题1(2017日照 )在 RtABC 中，C90，AB13，AC5，则 sin A 的值为( B )A. B. C. D.513 1213 512 1252(2017宜昌 )ABC 在网格中的位置如图所示 (每个小正方形边长为 1)，ADBC 于 D，下列选项中，错误的是( C )Asin cos Btan C2Csin cos Dtan 1第 2 题图 第 3 题图3(2017益阳 )如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直，CAB，则拉线 BC 的长度为(A，D，B 在同一条直线上 )( B )A. B. C. Dhcos hs
2、in hcos htan 4(2017聊城 )在 RtABC 中，cos A ，那么 sin A 的值是( B )12A. B. C. D.22 32 33 125(2017滨州 )如图，在ABC 中，ACBC ，ABC30 ，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BDBA，则 tanDAC 的值为( A )A2 B2 C3 D33 3 3 3第 5 题图 第 6 题图6(2017深圳 )如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60，然后在坡顶 D 处测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 20 m，DE 的长为
3、10 m，则树 AB 的高度是( )m( B )A20 B30 C30 D403 3二、填空题7(2017广州 )如图，Rt ABC 中，C90，BC15，tan A ，则 AB 15817 .8(2017烟台 )在 RtABC 中，C90，AB2，BC ，则 sin .3A2 129(2017德阳 )如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE，DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角 45，坡长 AB6 米，背水坡 CD 的坡度2i1 (i 为 DF 与 FC 的比值)，则背水坡 CD 的坡长为 12 米310(2017大连 )如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 60方向，距离灯
4、塔 86 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，此时，B 处与灯塔 P 的距离约为 102 n mile.(结果取整数，参考数据： 1.7， 1.4)3 211(2017大庆 )如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点 A，小明在岸边点 B 处测得点 A 在点 B 的北偏东 30方向上，小明沿河岸向东走 80 m 后到达点 C，测得点 A 在点 C 的北偏西 60方向上，则点 A 到河岸 BC 的距离为 20 m.3三、解答题12(2017海南 )为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：
5、水坝加高 2 米(即 CD2 米)，背水坡 DE 的坡度i11(即 DBEB 11)，如图所示，已知 AE4 米，EAC130，求水坝原来的高度 BC.(参考数据：sin 500.77，cos 500.64，tan 50 1.2)解：设水坝原来的高度 BC 为 x 米在 Rt ABC 中，CAB180EAC50，AB x.BCtan 50 BC1.2 56在 Rt EBD 中，iDBEB11，BD BE，CDBC AEAB ，即 2x 4 x，56解得 x12.答：水坝原来的高度 BC 约为 12 米13(2017濮阳一模 )小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，
6、C 两点的俯角分别为 45，35. 已知大桥 BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100 m，请求出热气球离地面的高度 (结果保留整数，参考数据：sin 35 ，cos 35 ，tan 35 )712 56 710解：过点 A 作 ADBC 交 CB 的延长线于点 D，如解图所示设 ADx.由题意得，ABD 45，ACD35.在 Rt ADB 中，ABD45，ADx ，DB x，CDBC BD100x.在 Rt ADC 中，ACD35，tanACD ，ADCD ，xx 100 710解得 x233.答：热气球离地面的高度约为 233 m.14(2017洛阳一模 )如图所示， “和谐号”高铁列
7、车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图 1，小桌板的边沿 O 点与收起时桌面顶端 A 点的距离 OA75 厘米，此时 CBAO，AOBACB37，且桌面宽 OB 与支架长 BC 的长度之和等于 OA 的长度(1)求CBO 的度数；(2)求小桌板桌面的宽度 OB.(参考数据：sin 370.6，cos 370.8，tan 370.75)解：(1)如解图所示，延长 CB 交 OA 于点 E.CBOA，BEO90.AOB37，CBOAOB BEO37 90127；(2)如解图所示，延长 OB 交 AC 于点 F.设 BCx.由题意知 OBOA BC 75x .AOB AC
8、B，OBECBF，AOBOBE90，ACBCBF90，BFC 是直角三角形在 Rt BFC 中，ACB37，BFBCsin 370.6x，OF OB BF750.4 x.在 Rt OAF 中，AOB37，cos 37 0.8，OFAO 75 0.4x75解得 x37.5.OB OA BC7537.5 37.5(厘米) 答：小桌板桌面的宽度 OB 约为 37.5 厘米1(2017青岛 )如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需要绕行 B 地，已知 B 地位于 A 地北偏东 67方向，距离 A 地 520 km，C地位于 B 地南偏东 30方向，若打通穿山隧道，建成两
9、地直达高铁，求 A 地到 C 地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin 67 ，cos 121367 ，tan 67 ， 1.73)513 125 3解：过点 B 作 BDAC 于点 D，如解图所示在 Rt ABD 中，ABD67，AB520，AD ABsin 67 520480，1213BDABcos 67 520200.513在 Rt BCD 中，CBD30，BD200，CDBDtan 30 200 .33 20033ACCD DA 480595.3595(km)20033答：A 地到 C 地之间高铁线路的长约为 595 km.2(2017凉山 )如图，若要在宽 AD 为 20
10、米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂 BC 长 2 米，且与灯柱 AB 成 120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 CO 与灯臂 BC 垂直，当灯罩的轴线 CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱高 AB 应该设计为多少米？(结果保留根号) 解：分别延长 OC，AB 交于点 P，如解图所示ABC120，PBC180120 60. OCB90 ，P18090 60 30.AD 20，OA AD 10.12在 Rt CPB 中，P30，BC2，PB 4.BCsin 30在 Rt AOP 中，AO10，P30，AP 10 .OAtan 30 1033 3ABPAPB (10 4)
11、(米)3答：路灯的灯柱高 AB 应该设计为(10 4)米33(2017荆州 )如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度，沿旗杆正前方 2 米处的点 C 出发，沿斜面坡度 i1 的斜坡 CD 前进 4 米到达点3 3D，在点 D 处安置测角仪，测得旗杆顶部 A 的仰角为 37，量得仪器的高DE 为 1.5 米已知 A，B ，C，D，E 在同一平面内，ABBC ，ABDE.求旗杆 AB 的高度( 计算结果保留根号，参考数据：sin 37 ，cos 3735 ，tan 37 )45 34解：延长 ED 交 BC 的延长线于点 F，过点 E 作 EGAB 于点 G，如解图所示则CFD90.it
12、anDCF ，13 33DCF30.在 Rt CDF 中，CD4，DF CDsin 30 42，CFCDcos 304 2 ，12 32 3BFBCCF2 2 4 .3 3 3EG AB，AB BC，EFBF，四边形 GBFE 是矩形，GE BF4 ，3GBEFEDDF1.5 23.5.在 Rt AGE 中，AEG37，AG GEtanAEG4 tan 373 ，3 3ABAGBG(3 3.5)(米)3答：旗杆 AB 的高度约为(3 3.5)米34(2017广安 )如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，BAAD，CDDA，垂足分别为 A，D.从 D 点测到 B 点的仰角 为 60
13、，从 C 点测得 B 点的仰角 为 30，甲建筑物的高 AB30 米(1)求甲、乙两建筑物之间的距离 AD；(2)求乙建筑物的高 CD.解：(1)在 RtABD 中，60，AB30，AD 10 (米)ABtan 60 3答：甲、乙两建筑物之间的距离 AD 为 10 米；3(2)过点 C 作 CEAB 于点 E，如解图所示ABAD，CDDA，CEAB ，四边形 CDAE 为矩形，CDAE ，CEAD10 .3在 Rt BCE 中，30，CE10 ，3BECEtan 30 10，CDAE AB BE 301020(米)答：乙建筑物的高度 CD 为 20 米5(2017郴州 )如图所示，C 城市在
14、A 城市正东方向，现计划在 A，C 两城市间修建一条高速公路(即线段 AC)，经测量，森林保护区的中心 P 在 A 城市的北偏东 60方向上，在线段 AC 上距 A 城市 120 km 的 B 处测得 P 在北偏东30方向上，已知森林保护区是以点 P 为圆心，100 km 为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：1.73)3解：计划修建的这条高速公路不会穿越保护区理由如下：过点 P 作 PHAC 于点 H，如解图所示由题意可知EAP60，FBP30，PAB 30，PBH 60.PBH PABAPB，BAP BPA30 ，BABP120.在 Rt PBH
15、中，sinPBH ，PHPBPH PBsin 60120 103.8.32103.8100，这条高速公路不会穿越保护区6(2017周口模拟 )如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆 PQ 的高度，他们在 A 处测得信号塔顶端 P 的仰角是 45，信号塔底端 Q 的仰角为31，沿水平地面向前走 100 米到 B 处，测得信号塔顶端 P 的仰角是 68，求信号塔 PQ 的高度(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin 680.93，cos 680.37，tan 68 2.48，tan 310.60，sin 31 0.52，cos 310.86)解：延长 PQ 交直线 AB 于点 M，如解图所示，则 PMA90.设 PM 的长为 x 米在 Rt PAM 中，PAM45 ，AMPMx，BMx100.在 Rt PBM 中，tan PBM ，PMBMtan 68 2.48，xx 100解得 x167.57.PM167.57.在 Rt QAM 中，tan QAM ，QMAMQM AMtanQAM167.57tan 31167.570.60100.54，PQ PMQM167.57 100.5467.0(米)答：信号塔 PQ 的高度约为 67.0 米
