1、六年级奥数精品讲义及常考易错题汇编六年级奥数精品讲义及常考易错题汇编-行程问题行程问题-环形跑道问题环形跑道问题 【知识点归纳】 1环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相 遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就 追上一次）第几次追上就多跑几圈 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长 2解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时 间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚
2、至更多 看方向是同向、背向还是相向；看事件指 的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很 大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断 追击问题中一个 重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差比如“用 10 秒钟快比慢多跑 100 米”我们立刻知道快慢的 速度差这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来相遇问题就找路程和，追 击问题就找路程差 【经典题型】 例 1：环绕小山一周的公路长 1920 米，甲、乙两人沿公路
3、竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙 走得快，12 分钟后两人相遇如果两人每分钟多走 16 米，则相遇地点与前次相差 20 米 （1）求甲乙两人原来的行走速度 （2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？ 分析：（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：192012=160 米/分；则提高速度后的速度之和就是 160+16+16=192 米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920192=10 分钟； 因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了 20 米，由此设甲原来的速 度是 x 米/分，则提高速度后，甲的速度是 x+
4、16 米/分，由此根据，即可列出方程，求出 x 的值即可解答 （2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时 间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离 解：（1）甲乙原来的速度之和是：192012=160（米）， 提高速度之后的速度之和是：160+16+16=192（米）， 所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920192=10（分钟）， 设甲原来的速度是 x 米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程： 12x-10（x+16）=20， 12x-10 x-160=20， 2x=180， x=90， 则乙原来的速度是：
5、160-90=70（米/分）， 答：甲原来的速度是 90 米/分，乙原来的速度是 70 米/分； （2）19202（90-70） =1920220 =192（分）， 192901920=9，说明正好在出发点 答：甲在出发点第二次追上乙 点评：本题考查了环形跑道问题解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从 而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题 【常考易错题】 一选择题 1一个圆的周长为 1.26 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行这两只蚂蚁每秒分别爬 行 5.5 厘米和 3.5 厘米，两只蚂蚁分别爬行 1 秒
6、、3 秒、5 秒（连续奇数），就掉头爬行那么，它们相 遇时，已爬行的时间是( )秒 A7 B49 C7 或 49 D以上答案都不对 2甲乙丙三人在圆形的跑道上跑步，甲跑完一周要用时 3 分，乙跑完一周要用时 4 分，丙跑完一周要用时 6 分如果他们同时从同一地点同向起跑，那么他们第二次相遇要经过多少分钟？( ) A7 B10 C12 D15 3甲和乙同时从A点背向出发沿 400 米环行跑道行走，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 50 米那么，这两 人最少用( )分钟再会在A点相遇 A8 B5 C40 D80 二填空题 4大雪后，小华和爸爸一前一后沿着一个圆形的水池，从同一起点朝同一方向跑步，爸
7、爸每步跑 50 厘米， 小华每步跑 30 厘米，雪地上脚印有时重合，一圈跑下来，共留下 1099 个脚印，这个水池一圈有 米 5如图，点P在圆O的圆周上顺时针匀速运动，现将圆O八等分，如果点P从A点开始经过 1 分钟，其位 置正好第一次在B点，那么点P从A点开始经过 45 分钟，其位置在 点（用图中的字母表示） 6有一条环形公路长 15 千米，甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行，0.5 小时后相遇；若他们同 时同地同向而行，经过 3 小时后，甲追上乙问：乙的速度是 千米/时 7甲、乙两人在 40 米的环形跑道上练习跑步，甲比乙快，甲的速度为 6 米/秒若两人同时同地同向出发， 经过 50
8、0 秒后他们第 2 次相遇，则乙的速度为 米/秒 8某人在 360 米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒钟跑 5 米，后一半时间每秒钟跑 4 米， 则他后一半路程跑了 秒钟 9甲、乙和丙三人沿着 400 米环形跑道进行 800 米跑比赛，当甲跑 1 圈时，乙比甲多跑 1 7 圈丙比甲少跑 1 7 圈如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面 米处 10小李在北江中学的 400 米环形跑道上跑了一圈，已知他开始跑得较快，后来较慢，在前一半时间里每 秒跑 6 米，后一半时间里每秒 4 米，那么，小李在后一半时间里一共跑了 米 11甲乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑
9、步，相向而行，每隔 24 秒相遇一次，已知甲跑完一圈用 40 秒；如果他们同向而行，每隔 秒钟相遇一次 三计算题 12甲、乙、丙三人绕着 400 米的跑道跑步，甲每分钟跑 50 米，乙每分钟跑 80 米，丙每分钟跑 100 米， 他们三人从同一起点出发，至少再过多少分钟，他们又能同时从同一起点出发？ 四应用题 13环形跑道长 400 米，莉莉和强强背向而行，莉莉的速度为 6 米/秒，强强的速度为 4 米/秒。当莉莉正 面和强强相遇时，立刻转向跑；当莉莉追上强强时，强强立即转向跑，两人第 11 次碰头时离起点多少米？ （按较短计算） 14甲、乙两人从周长为 1600 米的正方形水池ABCD相对的
10、两个顶点A、C同时出发绕水池的边沿 ABCDA的方向行走甲的速度每分钟 50 米，乙的速度是每分钟 46 米则甲、乙第一次在同一边 上行走发生在出发后的多少分钟？第一次在同一边上行走了多少分钟？ 15 甲、 乙两人沿着 600 米的环形跑道跑步， 他们同时从同一地点出发， 同向而行 甲的速度是 270 米/分， 乙的速度是 240 米/分经过多少分钟甲第一次追上乙？ 16假期里，依依和妈妈每天早晨在环湖路上跑步锻炼身体环湖路长 840 米，依依每分跑 108 米，妈妈 每分跑 92 米 （1）如果两人同时同地出发，相背而跑，多少分后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而跑，多少分后依依超出
11、妈妈一整圈？ 17运动场的环形跑道长 360 米，淘气跑了一整圈，所用时间的前一半速度是 5 米/秒，所用时间的后一半 速度是 4 米/秒那么他跑后半圈要用多少时间？ 18为改善环境，给广大市民提供休闲锻炼的地方，广州市政府新建了不少的绿道王叔叔和李叔叔每天 早晨都分别在家附近的一个长 2 千米的环形跑道上锻炼 （1） 王叔叔步行每小时走 5 千米， 李叔叔步行每小时走 4 千米， 他们同时从A处出发沿着跑道逆时针步行， 当王叔叔走完一圈时，李叔叔距离A处还有多少千米？ （2）这时李叔叔看到有共享单车，于是骑上单车继续沿跑道前行，经过 0.24 小时在B处第二次追上了王叔 叔，李叔叔骑单车每小
12、时走多少千米？ （3）这时李叔叔继续从B处骑车前行，在半路放下单车步行，王叔叔开始步行，看到李叔叔放下的单车， 就骑车继续前行，两人刚好又走了 2 圈后在B处相遇，已知王叔叔骑车每小时走 20 千米，李叔叔在距离B 处多少千米处放下单车？ 19如图，A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行(A顺时针方向，B逆时 针方向），他们在C点第一次相遇，C点离A点 100 米，在D点第二次相遇，D点离A点有 60 米，求这 个圆的周长。 20 如图是一个长为 400 米的环形跑道， 其中跑道沿线段AB所在直线对称，AB是一条 50 米长的直通道 甲 乙两人同时从A点处出发，甲按逆时
13、针方向以速度1V沿跑道跑步，当跑道B处时继续沿跑道前进，乙按 顺时针方向以速度2V沿跑道跑步， 当跑到B点处时沿直线通道跑步到A处 假设两人跑步时间足够长， 如果 12 :3:2V V ，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？ 五解答题 21在 400 米环形跑道上，A、B两点相距 100 米（如图），甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按 逆时针方向跑步，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 5 米，他们每人跑 100 米都停 5 秒那么，甲追上乙需要多 少秒？ 22如图，在长为 490 米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长 50 米，甲、乙两人同时从A、B两点出 发反向奔跑 两人相遇后， 乙
14、立刻转身与甲同向奔跑， 同时甲把速度提高了25%， 乙把速度提高了20% 结 果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一 开始算起，甲一共跑了多少米？ 23（1）爸爸和妈妈同时从起点出发，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？ （2）请你提出一个数学问题，并尝试解答 24如图，在长为 400 公尺的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长 100 公尺甲从A点、乙从B点同时 出发相背而跑两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时乙恰好跑到B继续跑若甲追上乙时， 甲从出发开始算起共跑了多少公尺？ 25 在一个 600 米长的环形跑道上， 兄妹两人同时在同
15、一起点都按顺时针方向跑步， 每隔 12 分钟相遇一次 若 两人速度不变，还是在原出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则每隔 4 分钟相遇一次两人跑 一圈各要几分钟？ 26甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，若同时同地同向出发，4 分钟后甲从后面超过乙一圈；若同时同地 反向出发，1 分钟后两人相遇问甲、乙跑完一圈各需多少分钟？ 27甲、乙两车绕周长为 400 千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5 小时相遇，如 果两车每小时各加快 10 千米，那么相遇点距离前一次相遇地点 3 千米，已知乙车比甲车快，求甲车原来每 小时行多少千米？ 28甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出
16、发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加 速跑第二圈跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2 3 ，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1 3 ，乙跑第二圈 时速度比第一圈提高了 1 5 ，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点 190 米，问这条椭圆形跑道长多 少米？ 参考答案参考答案 一选择题 1解：它们相遇时应是行了半个圆周，半个圆周长为： 1.2620.63（米)63（厘米）； 如不调头，它们相遇时间为： 63(3.55.5)7（秒)； 根据它们调头再返回的规律可知： 由于1357911 137（秒)， 所以13119753149 （秒)相遇 即它们相遇时已爬行的时间是 49 秒 答案
17、：B。 2解：甲乙第二次相遇用时3412（分) 甲丙第二次相遇用时2612（分) 乙丙第二次相遇用时46212（分) 甲乙丙第二次同时相遇用时2 1212x（分) 答：那么他们第二次相遇要经过 12 分钟. 答案：C。 3解：甲回到A点需要： 400805（分)； 乙回到A点需要： 400508（分)； 两人再在A点相遇需要： 5 840（分) 答：两人最少用 40 分钟会再在A点相遇 答案：C 二填空题 4解：50552 ，3023 5 50 和 30 的最小公倍数是：23 55150 ， 第一次两人脚印重合时，爸爸走的步数：150503（步)，小华走的步数：150305（步)， 即爸爸 3
18、 步与小华 5 步时脚印重合一次，此时有3517 个脚印，距离是 150 厘米， 总共有 1099 个脚印，应重合的次数：10997157（次) 所以这条路长是157 15023550（厘米） 23550 厘米235.5米 答：这个水池一圈有 235.5 米 答案：235.5 5解：因为45855 所以点P从A点开始经过 45 分钟，位置在F点 答案：F 6解：甲、乙的速度和是：150.530（千米/时）， 速度差是：1535（千米/时）， 乙的速度是：(305)2 252 12.5（千米/时） 答：乙的速度是 12.5 千米/时 答案：12.5 7解：(6 50040 2)500 29205
19、00 5.84（米/秒） 答案：5.84 8解：设跑完一圈所用时间的一半为x秒，可得方程： 54360 xx 93 6 0 x ， 40 x 则后一半时间他跑的路程为： 440160（米) 后一半路程用按每秒 5 米的速度跑的时间为： (3602 160)5 (180 160)5， 205， 4（秒)； 所以，后一半路程跑的时间为： 40444（秒) 答：后一半路程跑了 44 秒 答案：44 9解：三人速度不变，当甲跑 7 份时，乙就跑718 份，丙跑716 份； 当乙到达终点时跑了 800 米，则甲跑了 700 米，丙跑了 600 米； 700600100（米)； 即当乙到达终点时，甲在丙前
20、面 100 米处 答案：100 10解：设小李跑一圈用的时间是x秒 11 ()6()4400 22 xx 32400 xx 5400 x 80 x ； 小李前 40 秒跑的路程是：406240（米)， 后 40 秒跑的路程是：404160（米)， 答案：160 11解：设跑道一周的长度为 1， 乙跑一圈需要： 24(12440) 24(10.6)， 240.4， 60（秒) 则甲每秒跑 1 40 圈，乙每秒跑 1 60 圈， 11 1() 4060 1 1 120 ， 120（秒) 答：如果同向而行，两人每隔 120 秒相遇一次 三计算题 12解：400508（分钟） 400805（分钟） 4
21、001004（分钟） 8222 ，422 所以，222540 （分钟） 答：他们三人从同一起点出发，至少再过 40 分钟，他们又能同时从同一起点出发 四应用题 13解：400(64) 40010 40（秒) 400(64) 4002 200（秒) 2005640 1000240 1240（秒) 12406400 7440400 18（圈)240（米) 400240160（米) 答：两人第 11 次碰头时离起点 160 米。 14解：16004400（米) 400(5046)100（分钟） 50 1005000（米) 500040012（条)200（米) 200504（分钟） 1004104（分
22、钟） 故甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的 104 分钟 4002 104 (5046) 800416 384（米) 40038416（米) 8 1646 23 （分钟） 答：甲、乙第一次在同一边上行走发生在出发后的 104 分钟，第一次在同一边上行走了 8 23 分钟 15解：600(270240) 60030 20（分钟） 答：经过 20 分钟甲第一次追上乙 16解：（1）840(10892) 840200 4.2（分钟） 答：如果两人同时同地出发，相背而跑，4.2 分钟后相遇 （2）840(10892) 84016 52.5（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同向而跑，52.5 分
23、钟后依依超出妈妈一整圈 17解：设时间的一半是x秒，则： 54360 xx 93 6 0 x 40 x 405200（米) 3602180（米) (200 180)5 205 4（秒) 40444（秒) 答：他跑后半圈要用 44 秒 18解：（1）2(25 4) 21.6 0.4（千米） 答：当王叔叔走完一圈时，李叔叔距离A处还有 0.4 千米 （2）(20.4)0.245 105 15（千米/小时） 答：李叔叔骑单车每小时走 15 千米 （3）李叔叔在距离B处x千米处放下单车 44 415520 xxxx 6 01 541 21 23xxxx 2048x 2.4x 答：李叔叔在距离B处 2.
24、4 千米处放下单车 19解：100100260 10020060 360（米) 答：这个圆的周长是 360 米。 20解： 400250250（米) (4003):(2502)16:15 16，15240 400 (240 16)6000（米) 答：甲跑了 6000 路程后，两人首次在A点处相遇 五解答题 21解：假设不停，甲追上乙的时间是100(75)50（秒)； 甲走 100 米需要时间： 135 10075 7 （秒)， 135 502.59 7 （次)，即甲休息两次， 此时甲走(505 2)7280 （米)，停 2 次， 乙休息：50(10055)2 （次)，50 秒时刚好休息完第二次
25、， 乙走了：5 (505 2)200 （米)； 甲还跟乙相差100(280200)20（米)距离， 甲继续追，50 秒后甲再跑 20 米就到 300 米，休息 5 秒钟，再跑 100 米，用时120 1 522 77 （秒)， 50 秒后乙再跑 100 米，用时 20 秒， 1 22 7 秒时，乙在休息，被甲追上了； 所以甲追上乙用时 11 502272 77 （秒) 答：甲追上乙需要的时间是 1 72 7 秒 22解：乙速度变化前后的比为1:(120%)5:6， 所以所花时间的比为6:5 设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意得： 65125%490VV 甲甲 ， 651 . 2 54 9 0
26、VV 甲甲 ， 得：40V 甲 （米) 从A点到相遇点路程为： 406240（米)， 所以V乙为： (49050240)6， 2006， 100 3 （米) 两人速度变化后，甲的速度为： 40 (125%)50（米)， 乙的速度为： 100 (120%) 3 ， 100 1.2 3 ， 40（米)， 从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，所以甲一共跑了： 490(5040) 50240， 4901050240， 4950240， 2450240， 2690（米)； 答：甲一共跑了 2690 米 23解：（1）422，623 2、4、6 的最小公倍数是22312， 答：爸爸和妈妈同时从起点出
27、发，他们 12 分钟后可以在起点第一次相遇 （2）爸爸每分钟跑 200 米，他们第一次相遇时爸爸一共跑了多少米？ 122002400（米) 答：第一次相遇时爸爸一共跑了 2400 米 24解：400400(4002 100) 2 400400(200 100) 400400 100 2 400600 1000（米) 答：当甲追上乙时，甲共跑了 1000 米 25解：两人的速度差为：6001250（米)； 速度和为：6004150（米)； 则哥哥的速度为： (50 150)2 2002 100（米) 则妹妹的速度为：15010050（米) 哥哥跑一圈需要：6001006（分钟） 妹妹跑一圈需要：
28、6005012（分钟） 答：哥哥跑一圈需要 6 分钟，妹妹跑一圈需要 12 分钟 26解：甲、乙二个的速度和是1 1 1 ，速度差是 1 14 4 ， 因为甲，乙二人的速度和速度差2倍的甲速度， 所以 2 倍的甲速度 15 1 44 ， 所以甲的速度是 55 2 48 ， 因此，甲跑完全程所用的时间是 58 1 85 （分钟）， 乙的速度是 53 1 88 乙跑完全程所用的时间是 38 1 83 （分钟）， 答：甲跑完一圈需要 8 5 分钟，乙跑完一圈需要 8 3 分钟； 答案： 8 5 分钟， 8 3 分钟 27解：加速后两车的相遇时间为： 400(4005 10 2) 400(8020)，
29、 400100， 4（小时）； 甲车原来的速度： (403)(54) 371， 37（千米/小时） 答：原来甲车每小时行 37 千米 28解：乙的速度是甲的速度的 2 3 ，设甲速为 1，那么乙速是 2 3 ，他们的速度比是甲：乙 2 1:3:2 3 ； 相遇问题，第一次相遇在距甲出发点占全程的 3 3(23) 5 处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑 2 3 圈，也 就是距离甲出发点占全程的 21 1 33 处， 现在甲提速 1 3 ，那么速度变成了 14 1 33 ，现在他们的速度比为 4 2 :2:1 3 3 ，所以当乙跑完剩下的 1 3 时，甲 可以跑 1342 3233 ，也就是在距离甲出发点 21 1 33 处； 现在乙提速 1 5 ，变成了 214 (1) 355 ，所以他们的速度比是甲：乙 4 4 :5:3 3 5 ，现在他们的相遇在距离甲 出发点 11 3(53) 38 处，所以距离第一次相遇 3119 5840 ； 现在是 190 米，所以总长 19 190400 40 （米) 答：这条椭圆形跑道长 400 米
