1、2021 年湖南省长沙市雨花区年湖南省长沙市雨花区二校联考二校联考中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列实数中，为有理数的是（ ） A B C1 D 2 （3 分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ） A长方体 B正三棱柱 C球 D圆柱 3 （3 分）2021 年， “网红城市”长沙入围“五一黄金周十大热门旅游城市” 据统计，5 月 1 日至 5 日，长 沙 13 个主要景区接待游客约 1510000 人次将 1510000 用科学记数法表示应为（ ） A1.51106 B1.51107 C151104
2、D15.1105 4 （3 分）下列说法正确的是（ ） A “明天的降水概率是 80%”表示明天会有 80%的地方下雨 B为了解学生视力情况，抽取了 500 名学生进行调查，其中的样本是 500 名学生 C要了解我市旅游景点客流量的情况，采用普查的调查方式 D一组数据 5，1，3，6，9 的中位数是 5 5 （3 分）如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1：，堤高 BC2 米，则迎水坡宽度 AC 的长为（ ） A4 米 B2米 C米 D2米 6 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm Cm Dm 7 （3 分）如
3、图，直线 ab，直线 c 与直线 a，b 分别交于 A，B 两点，ACAB 于点 A，交直线 b 于点 C， 如果158，那么2 的度数为（ ） A32 B42 C58 D122 8 （3 分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作四元玉鉴中有一个“二果问价”问题，原题如下： “九百 九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意为： 用 999 文钱，可以买甜果和苦果共 1000 个，买 9 个甜果需要 11 文钱，买 7 个苦果需要 4 文钱，问买甜 果和苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数量分别为 x 个、y 个，则可列方程组为（ ） A B C D 9
4、 （3 分）下列关于二次函数 y4（x3）25 的说法，正确的是（ ） A对称轴是直线 x3 B当 x3 时有最小值5 C顶点坐标是（3，5） D当 x3 时，y 随 x 的增大而减少 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，点 F 分别是边 BC，边 CD 上的动点，且 BECF，AE 与 BF 相交于点 P 若点 M 为边 BC 的中点， 点 N 为边 CD 上任意一点， 则 MN+PN 的最小值等于 （ ） A B5 C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）化简： 12（3 分） 如图， 为了美化校园， 学校在一块
5、靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃， 其圆心角 AOB120， 半径为 6m，则扇形的弧长是 m （结果保留 ） 13 （3 分）某电视机制造商 2021 年一月份生产电视机 2000 台，2021 年三月份生产电视机 2420 台，设二、 三月份每月的平均增长率为 x，根据题意，可列方程为 14 （3 分）已知 ab4，a+b2，则 a2b+ab2的值为 15 （3 分） 九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB1.8 米，BD 1 米，BE0.2 米，
6、那么 AC 为 米 16 （3 分）如图，直线与 x 轴交于点 B，与双曲线（x0）交于点 A，过点 B 作 x 轴的垂线， 与双曲线（x0）交于点 C，且 ABAC，则 k 的值为 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，第小题，第 17、18、19 题每题题每题 6 分，第分，第 20、21 题每题题每题 8 分，第分，第 22、23 题每题题每题 9 分，第分，第 24、 25 题每题题每题 10 分，共分，共 72 分）分） 17 （6 分）计算： 18 （6 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 19 （6 分）如图，直线 MNPQ，直线 AB 分别与 MN，PQ 相交于点 A
7、，B （1）利用尺规作NAB 的平分线与 PQ 交于点 C； （2）若ABP70，求ACB 的度数 20 （8 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷某校数学兴趣小组设 计了一份调查问卷，要求每人选且只能选一种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计，并绘制成 两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1） 这次活动共调查了 人； 在扇形统计图中， 表示 “支付宝” 支付的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果某个社区共有 3600 个人，那么选择其他支付的人约有多少？ （4）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支
8、付宝” 、 “银行卡”三种支付方式中选一种方式，请 用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 21 （8 分）如图，E 是ABCD 的边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F （1）求证：ADEFCE （2）若BAF90，BC5，EF3，求 CD 的长 22 （9 分）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某实验中学为满足学生 的需求，准备再购买一些篮球和足球如果分别用 800 元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个 数少 2 个，已知足球的单价为篮球单价的 （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买篮球、足球共
9、 80 个，如果购买足球 m 个，总费用为 w 元，请写出 w 与 m 的函数关 系式； （3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于 7200 元，并且要求篮球数量不能低于 15 个，那么应如何 安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 23 （9 分） 如图， 在 RtABC 中，ACB90， D 为 AB 边上的一点， 以 AD 为直径的O 交 BC 于点 E， 过点 C 作 CGAB 交 AB 于点 G，交 AE 于点 F，过点 E 作 EPAB 交 AB 于点 P，EADDEB （1）求证：BC 是O 的切线； （2）连接 FP，试猜想四边形 CFPE 的形状，并加以证明； （3
10、）若，AC20，求四边形 CFPE 的面积 24 （10 分）定义：对于给定函数 yax2+bx+c（其中 a，b，c 为常数，且 a0） ，则称函数 为函数 yax2+bx+c（其中 a，b，c 为常数，且 a0）的“相依函数” ，此“相 依函数”的图象记为 G （1）已知函数 yx2+2x1 写出这个函数的“相依函数” ； 当1x1 时，此相依函数的最大值为 ； （2）若直线 ym 与函数 yx2+2x1 的相依函数的图象 G 恰好有两个公共点，求出 m 的取值范围； （3）设函数（n0）的相依函数的图象 G 在4x2 上的最高点的纵坐标为 y0，当 时，求出 n 的取值范围 25 （10
11、 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴分别交于点 A（1，0） 、点 B（3，0） ，交 y 轴于点 C （0，） （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图 1，连接 BC，取 BC 中点 Q，连接 AQ 并延长交抛物线于点 D，在直线 AD 下方的抛物线上是 否存在点 P，使 SADP5，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图 2，E、F 是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线 AE、AF 分别交 y 轴于 M、N 两点，若 OMON，求证：直线 EF 必经过一定点 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，
12、共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列实数中，为有理数的是（ ） A B C1 D 【解答】解：有理数是 1； 无理数是， 故选：C 2 （3 分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ） A长方体 B正三棱柱 C球 D圆柱 【解答】解：由三视图可知，这个几何体是圆柱， 故选：D 3 （3 分）2021 年， “网红城市”长沙入围“五一黄金周十大热门旅游城市” 据统计，5 月 1 日至 5 日，长 沙 13 个主要景区接待游客约 1510000 人次将 1510000 用科学记数法表示应为（ ） A1.51106 B1.51107 C151104 D15.1105 【解答】解：151
13、00001.51106， 故选：A 4 （3 分）下列说法正确的是（ ） A “明天的降水概率是 80%”表示明天会有 80%的地方下雨 B为了解学生视力情况，抽取了 500 名学生进行调查，其中的样本是 500 名学生 C要了解我市旅游景点客流量的情况，采用普查的调查方式 D一组数据 5，1，3，6，9 的中位数是 5 【解答】解：A、 “明天的降水概率是 80%”表示明天会有 80%的可能下雨，故 A 选项错误； B、为了解学生视力情况，抽取了 500 名学生进行调查，其中的样本是 500 名学生的视力情况，故 B 选 项错误； C、要了解我市旅游景点客流量的情况，采用抽查的调查方式，故
14、C 选项错误； D、一组数据 5，1，3，6，9 的中位数是 5，故 D 选项正确； 故选：D 5 （3 分）如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1：，堤高 BC2 米，则迎水坡宽度 AC 的长为（ ） A4 米 B2米 C米 D2米 【解答】解：迎水坡 AB 的坡比是 1：，即 tanA， 则， 又BC2 米， ACBC2（米） 故选：B 6 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm Cm Dm 【解答】解：根据题意得，b24ac（2m1）24m24m+10， 解得：m， 故选：B 7 （3 分）如图，直线 ab
15、，直线 c 与直线 a，b 分别交于 A，B 两点，ACAB 于点 A，交直线 b 于点 C， 如果158，那么2 的度数为（ ） A32 B42 C58 D122 【解答】解：如图： 直线 ab， 1+BAD180， ACAB 于点 A，158， 2180905832， 故选：A 8 （3 分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作四元玉鉴中有一个“二果问价”问题，原题如下： “九百 九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意为： 用 999 文钱，可以买甜果和苦果共 1000 个，买 9 个甜果需要 11 文钱，买 7 个苦果需要 4 文钱，问买甜 果和
16、苦果的数量各多少个？设买甜果、苦果的数量分别为 x 个、y 个，则可列方程组为（ ） A B C D 【解答】解：依题意，得： 故选：C 9 （3 分）下列关于二次函数 y4（x3）25 的说法，正确的是（ ） A对称轴是直线 x3 B当 x3 时有最小值5 C顶点坐标是（3，5） D当 x3 时，y 随 x 的增大而减少 【解答】解：由二次函数 y4（x3）25 可得对称轴为直线 x3，顶点为（3，5） ，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大， 则 A、C、D 错误， 故选：B 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，点 F 分别是边 BC，边 CD 上的动点，且 B
17、ECF，AE 与 BF 相交于点 P 若点 M 为边 BC 的中点， 点 N 为边 CD 上任意一点， 则 MN+PN 的最小值等于 （ ） A B5 C D 【解答】解：ABBC，ABEBCF90，BECF， ABEBCF（SAS） ， BAPBCP， APBBCP+PEBBAP+PEB90，即为定角， 而APB 所对线段为 AB，即为定弦 因为点 P 在以 AB 中点 O 为圆心，以 OA 为半径的圆弧上（如图） ， 作点 M 关于 DC 的对称点 M， 则 CMCM， 连接 OM交 BF 于点 P， 则 MN+PN 最小值即为 MP的长，即 OMOP的值 而 OM2， 而半径 OPAB2
18、， 故 OMOP的值22， 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）化简： 【解答】解：原式2 故答案为： 12（3 分） 如图， 为了美化校园， 学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃， 其圆心角 AOB120， 半径为 6m，则扇形的弧长是 4 m （结果保留 ） 【解答】解：由题意可得， 扇形的弧长为：4（m） ， 故答案为：4 13 （3 分）某电视机制造商 2021 年一月份生产电视机 2000 台，2021 年三月份生产电视机 2420 台，设二、 三月份每月的平均增长率为 x，根据题意，可列方程为 2000（1+x）224
19、20 【解答】解：依题意，得：2000（1+x）22420 故答案为：2000（1+x）22420 14 （3 分）已知 ab4，a+b2，则 a2b+ab2的值为 8 【解答】解：原式ab（a+b） ， 当 ab4，a+b2 时，原式8 故答案为：8 15 （3 分） 九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB1.8 米，BD 1 米，BE0.2 米，那么 AC 为 8 米 【解答】解：BDAB，ACAB， BDAC， ACEBDE， ， ， AC8（米
20、） ， 故答案为 8 16 （3 分）如图，直线与 x 轴交于点 B，与双曲线（x0）交于点 A，过点 B 作 x 轴的垂线， 与双曲线（x0）交于点 C，且 ABAC，则 k 的值为 60 【解答】解：由于 ABAC，BC 垂直于 x 轴，则点 A 在 BC 的垂直平分线上， 由直线，可得 B（6，0） ， A、C 均在双曲线（x0）上， 则 C（6，） ，A（12，） ， 将 A 点代入直线得：k60， 故答案为 60 故答案为：60 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，第小题，第 17、18、19 题每题题每题 6 分，第分，第 20、21 题每题题每题 8 分，第分，第 22、23
21、 题每题题每题 9 分，第分，第 24、 25 题每题题每题 10 分，共分，共 72 分）分） 17 （6 分）计算： 【解答】解：原式1+122 1+12 2 18 （6 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 【解答】解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x3， 则不等式组的解集是：1x3， 不等式组的解集在数轴上表示为： 19 （6 分）如图，直线 MNPQ，直线 AB 分别与 MN，PQ 相交于点 A，B （1）利用尺规作NAB 的平分线与 PQ 交于点 C； （2）若ABP70，求ACB 的度数 【解答】解： （1）如图所示： （2）MNPQ， NABABP70， AC 平分N
22、AB， BAC35， ABPBAC+ACB， ACB35 20 （8 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷某校数学兴趣小组设 计了一份调查问卷，要求每人选且只能选一种你最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计，并绘制成 两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1） 这次活动共调查了 200 人； 在扇形统计图中， 表示 “支付宝” 支付的扇形圆心角的度数为 81 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果某个社区共有 3600 个人，那么选择其他支付的人约有多少？ （4）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “银行卡”三种支
23、付方式中选一种方式，请 用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【解答】解： （1）本次活动调查的总人数为 5025%200（人） ， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 36081 故答案为：200，81； （2）微信人数为：20030%60（人） ， 银行卡人数为：20015%30（人） ， 补全图形如下： （3）3600270（人） ， 答：选择其他支付的人约有 270 人； （4）将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C，画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种， 则两人恰好选择同一种支付方式的概率为 21
24、 （8 分）如图，E 是ABCD 的边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F （1）求证：ADEFCE （2）若BAF90，BC5，EF3，求 CD 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD， DAEF，DECF， E 是ABCD 的边 CD 的中点， DECE， 在ADE 和FCE 中， ， ADEFCE（AAS） ； （2）ADEFCE， AEEF3， ABCD， AEDBAF90， 在ADE 中，ADBC5， DE4， CD2DE8 22 （9 分）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某实验中学为满足学生
25、的需求，准备再购买一些篮球和足球如果分别用 800 元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个 数少 2 个，已知足球的单价为篮球单价的 （1）求篮球、足球的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买篮球、足球共 80 个，如果购买足球 m 个，总费用为 w 元，请写出 w 与 m 的函数关 系式； （3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于 7200 元，并且要求篮球数量不能低于 15 个，那么应如何 安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？ 【解答】解： （1）设篮球每个 x 元，足球每个元，由题意得：， 解得：x100， 经检验：x100 是原方程的解且符合题意， 则足球的单价为：10
26、080（元） ， 答：篮球每个 100 元，足球每个 80 元； （2）由题意得，w80m+100（80m）20m+8000， 即 w 与 m 的函数关系式为 w20m+8000； （3）由题意可得：， 解得，40m65， 由（2）得：w20m+8000， 200， w 随 m 的增大而减小， 当 m65 时，w 取得最小值，此时 w6700 元，80m15， 答：当篮球购买 15 个，足球购买 65 个时，费用最少，最少为 6700 元 23 （9 分） 如图， 在 RtABC 中，ACB90， D 为 AB 边上的一点， 以 AD 为直径的O 交 BC 于点 E， 过点 C 作 CGAB
27、交 AB 于点 G，交 AE 于点 F，过点 E 作 EPAB 交 AB 于点 P，EADDEB （1）求证：BC 是O 的切线； （2）连接 FP，试猜想四边形 CFPE 的形状，并加以证明； （3）若，AC20，求四边形 CFPE 的面积 【解答】解： （1）证明：连接 OE， OEOD， OEDADE， AD 是直径， AED90， EAD+ADE90， 又DEBEAD， DEB+OED90， BEO90， OEBC， BC 是O 的切线； （2）如下图，连接 FP，则四边形 CFPE 是菱形，理由如下： BEOACB90， ACOE， CAEOEA， OAOE， EAOAEO， CAE
28、EAO， 又EPAB，ACB90， CEEP； CAEEAP， AECAFGCFE， CFCE， CFPE， CGAB，EPAB， CFEP， 四边形 CFPE 是平行四边形， 又CFPF， 四边形 CFPE 是菱形； （3）sinABCsinACG， AC20， AG12， CG， 由（2）可得CAEEAP， 又ACEAPE90，AEAE， ACEAPE（AAS） ， APAC20， PG8， FP2FG2+PG2， FP2（16FP）2+82， 解得：FP10， CFFP10， 四边形 CFPE 的面积2CFGP210880 24 （10 分）定义：对于给定函数 yax2+bx+c（其中
29、a，b，c 为常数，且 a0） ，则称函数 为函数 yax2+bx+c（其中 a，b，c 为常数，且 a0）的“相依函数” ，此“相 依函数”的图象记为 G （1）已知函数 yx2+2x1 写出这个函数的“相依函数” ； 当1x1 时，此相依函数的最大值为 2 ； （2）若直线 ym 与函数 yx2+2x1 的相依函数的图象 G 恰好有两个公共点，求出 m 的取值范围； （3）设函数（n0）的相依函数的图象 G 在4x2 上的最高点的纵坐标为 y0，当 时，求出 n 的取值范围 【解答】 解：（1） 函数 yax2+bx+c （其中 a， b， c 为常数， 且 a0） ， 则称函数 为函数
30、yax2+bx+c 的“相依函数” ， yx2+2x1 的“相依函数”是； 故答案为：； 当1x0 时，yx22x+1（x+1）2+2，故当 x1 时，y 有最大值为 2， 当 0 x1 时，yx2+2x1（x1）2，故 x1 时，y 有最大值为 0， 综上所述，当1x1 时，函数 yx2+2x1 的“相依函数”最大值是 2， 故答案为：2； （2）函数 yx2+2x1 的“相依函数”的图象如图： 由 yx22x+1 可得顶点 B（1，2） ，与 y 轴交点 C（0，1） （函数 yx2+2x1 的“相依函数”图 象不包含 C） ， 由 yx2+2x1 可得顶点 D（1，0） ，与 y 轴交点
31、 A（0，1） ， 当直线 ym 与图象 G 恰好有两个公共点，由图象知：m1 或 m0 或 1m2； （ 3 ） 由 题 意 知 ， 函 数y x2+nx+1 （ n 0 ） 的 “ 相 依 函 数 ” 为 ，且n2+1n21， （1）当 n4 时，y （x+n） 2+ n21 图象的对称轴在直线 x4 左侧，y （xn） 2+ n2+1 图象的对称轴在 x4 右侧， 当 x2 时，y2+2n+12n1， 当 x4 时，y8+4n14n9， n4， 2n14n9， 又y09， 4n99， n， 4n， （2）当 2n4 时， 当 x2 时，y2+2n+12n1， 2n4， 2n1n21， 此
32、时由y09，可得2n19，有n5， 2n4， （3）当 0n2 时， 而n2+1n21， n2+19， 1n4， 1n2， 综上所述，n 的取值范围是 1n 25 （10 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴分别交于点 A（1，0） 、点 B（3，0） ，交 y 轴于点 C （0，） （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图 1，连接 BC，取 BC 中点 Q，连接 AQ 并延长交抛物线于点 D，在直线 AD 下方的抛物线上是 否存在点 P，使 SADP5，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图 2，E、F 是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线
33、AE、AF 分别交 y 轴于 M、N 两点，若 OMON，求证：直线 EF 必经过一定点 【解答】解： （1）根据题意，可设该抛物线解析式为 ya（x1） （x3） ， 把 C（0，）代入，得a（01） （03） ， 解得 a 故该抛物线解析式为：y（x1） （x3）或； （2）由（1）知，B（3，0） ，C（0，） ， BQCQ， Q（，） ， A（1，0） ， 直线 AD 的解析式为：， 联立抛物线解析式得： 解得：或， D（6，） 如图 1，过 P 作 PSx 轴交 AD 于 S 点， SADPPS （xDxA）（xx2+x）5 整理，得 x27x+140， 0，则方程无解 即：在直线 AD 下方的抛物线上不存在点 P，使 SADP5 （3）如图 2，过 E，F 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 G，H， 设 E（a，a2a） ，F（b，b2b） ， EGx 轴， EGOM， EAGMAO， ， 即， OM（a3） ， 同理可得：ON（b3） OMON（a3） （b3）， ab3（a+b）+50， 令直线 EF 的解析式为 ykx+m， 联立直线 EF 的解析式与抛物线解析式联立，得x2（k+1）x+m0， a+b4+4k，ab34m，即 34m3（4+4k）+50， m3k1， 直线 EF 的解析式为 ykx3k1k（x3）1， 所以必经过定点（3，1）
