1、 湖南省长沙市雨花区湖南省长沙市雨花区二校联考二校联考九年级上第一次阶段性九年级上第一次阶段性数学数学试题试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，共个小题，共 30 分）分） 1在下列关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ay3x Bxy2 Cyax2+bx+c Dy2x2+5 2 2022 年 2 月 10 日 19 时 52 分， 中国首次火星探测任务 “天问一号” 探测器成功 “刹车” 被火星 “捕获” 在制动捕获过程中， 探测器距离地球的距离为1920000000公里 数字1920000000用科学记数法表示为 （ ） A19.2107 B19.2108
2、C1.92108 D1.92109 3如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 180后所得到的图案是（ ） ABCD 4下列运算中正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 Ba3a2a5 Ca6a3a2 D2a+3b5ab 5如表是某校女子羽毛球队 12 名队员的年龄分布： 年龄/岁 13 14 15 16 人数 1 5 4 2 则关于这 12 名队员的年龄的说法正确的是（ ） A平均数是 14 岁 B中位数是 15 岁 C众数是 14 岁 D众数是 5 岁 6不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 7如图，一边靠墙（墙有足够长） ，其它三边用 12m 长的篱笆围成一个矩形（ABCD
3、）花园，这个花园的最大面积是（ ） A16m2 B12 m2 C18 m2 D以上都不对 8一副直角三角板如图摆放，点 F 在 CB 的延长线上，CDFE90，若 DECF，则BEF 的度数为（ ） A10 B15 C20 D25 9已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数 yax2与一次函数 ybx+c 的图象如图所示，则二次函数 yax2+bx+c 的图象可能是（ ） A B C D 10数学课上，老师把一个二次函数图象给甲、乙、丙、丁四位同学看后，四位同学分别进行了如下描述，甲说：该函数的图象经过点（1，0） ；乙说：该函数的图象经过点（3，0） ；丙说：该函数的图象与 x 轴的交点位于
4、y 轴的两侧；丁说：该函数的图象的对称轴为直线 x1，老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了，请你判断说错的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 18 分）分） 11已知点 A（2，a）和点 B（b，1）关于原点对称，则 ab 12若关于 x 的一元二次方程 x2ax+60 的一个根是 x2，则 a 的值为 13 如图， 在平行四边形 ABCD 中， BC8， CD5， BE 平分ABC 交 AD 于点 E， 则 DE 的长为 14 AOB50， 以 O 为圆心， 任意长为半径画弧， 交 OA， OB 于 M， N； 分别以 M
5、， N 为圆心， 大于的长为半径画弧，两弧交于 P；作射线 OP则AOP 15如果抛物线 yx2+2x+m1 的顶点在 x 轴上，那么 m 的值是 16根据指令s，A（s0，0A180） ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度 A，再朝其面对的方向沿直线行走距离 s现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 x 轴正方向若给机器人下了一个指令4，120，机器人将移动到点 B，则点 B 的坐标为 三、解答飓（本大题共三、解答飓（本大题共 9 个小题，共个小题，共 72 分。分。 17计算：|4|（）1（）2+（3.14）0 18先化简，再求值：（x+2） ，其中 x2 19如图，在平面
6、直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为：A（1，4） ，B（5，4） ，C（4，1） （1）将ABC 经过平移得到A1B1C1，若点 A 的对应点 A1的坐标为（2，1） ，则点 B 的对应点 B1的坐标为 （2）画出ABC 关于原点 O 成中心对称的图形A2B2C2 （3）A2B2C2的面积为 20为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操” 、B“跳绳” 、C“剪纸” 、D“书法” 为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整； （2）
7、C 组所对应的扇形圆心角为 度； （3）若该校共有学生 1400 人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 ； （4）现选出了 4 名跳绳成绩最好的学生，其中有 1 名男生和 3 名女生要从这 4 名学生中任意抽取 2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到 1 名男生与 1 名女生的概率 21如图，菱形 ABCD 的对角线相交于 O 点，DEAC，CEBD，连接 OE （1）求证：四边形 OCED 是矩形； （2）若 AC6，BD8，求 OE 的长 22某商家购进了 A，B 两种类型的冬奥吉祥物纪念品，已知 5 套 A 型纪念品与 4 套 B 型纪念品的价钱一样，2 套 A 型纪念品
8、与 1 套 B 型纪念品共 260 元 （1）求 A，B 两种类型纪念品的进价； （2）该商家准备再购进一批 A 型纪念品售出，设售价为 p 元/套，每天 A 型纪念品的销量为 q 套，且 q与 p 之间的关系满足 qp+80问：如何确定售价才能使每天 A 型纪念品销售利润最大？最大利润为多少？ 23如图，BADCAE90，ABAD，AEAC，AFCB，垂足为 F （1）求证：ABCADE； （2）求FAE 的度数； （3）若 AC4，BF1，求 DB 的长度 24新定义：我们把抛物线 yax2+bx（ab0）与抛物线 ybx2+ax 称为“友好抛物线” ，例如：抛物线 yx2+2x 的“友好
9、抛物线”为 y2x2+x； （1）抛物线 y4x2x 的“友好抛物线”的解析式为 ； “友好抛物线”的顶点坐标为 ； （2）若抛物线 M：yax2+bx（a0）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M 上有且只有三个点到 x 轴的距离为 2，求抛物线 M 的解析式 （3）已知抛物线 C：yax2+bx（其中 ab）经过其“友好抛物线”的顶点， 求抛物线 C 的对称轴； 当1x1 时，y 的最大值为 3，求 a 的值 25如图，已知二次函数 yax2+bx+c 图象与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，且 x10 x2，与 y 轴正半轴交于点 C，连接 AC、B
10、C （1）当 b2a，c3a 时，求此时 A、B 的坐标； （2）已知点 D 在线段 OC 上，连接 BD，若CAOBDO，且cx1，求证：AOCDOB； （3）在（2）的基础上，若 2ACOBCO，点 P 为 x 轴上方二次函数图象上一点，且APB 面积的最大值为 10+7，求 a，b，c 的值 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，共个小题，共 30 分）分） 1解：A、y3x 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、xy2 不是二次函数，故此选项不符合题意； C、a0 时不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y2x2+5 是二次函数，故此
11、选项符合题意； 故选：D 2解：19200000001.92109， 故选：D 3解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转 180后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是 C 故选：C 4解：（a+b）2a2+2ab+b2， A 不合题意 a3a2a3+2a5 B 符合题意 a6a3a63a3， C 不合题意 2a 和 3b 不是同类项，无法合并， D 不合题意 故选 B 5解：观察表格可知人数最多的有 5 人，年龄是 14 岁， 故众数是 14， 这组数据共 12 个，中位数是从小到大排列，排在第 6，7 个数据的平均数，因而中位数是 1
12、4.5， 故选：C 6解：由x23 得 x2， 由 4x2 得 x2， 所以2x2 故选：A 7解：设与墙垂直的矩形的边长为 xm， 则这个花园的面积是：Sx（122x）2x2+12x2（x3）2+18， 当 x3 时，S 取得最大值，此时 S18， 故选：C 8解：ABC 与DEF 为一副直角三角板， DEF45，EBC60， DECF， EBCDEB60， BEFDEBDEF604515 故选：B 9解：观察函数图象可知：a0，b0，c0， 二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向下，对称轴 x0，与 y 轴的交点在 y 轴正半轴 故选：B 10解：假设甲、乙两同学的说法正确，则抛物线与
13、 x 轴的交点在 y 轴的右侧，对称轴为直线 x2， 此时丙、丁两同学的说法都不正确，这与老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了矛盾， 假设甲、乙两同学的说法正确不成立， 可知甲、乙两同学的说法有一人不正确； 假设甲同学的说法正确，则乙同学的说法不正确， 该函数的图象经过点（1，0） ，称轴为直线 x1， 该抛物线与 x 轴只有一个公共点， 丙同学的说法不正确， 这与老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了矛盾， 假设甲同学的说法正确不成立， 甲同学的说法错误， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 18 分）分） 11解：点 A（2，a） 、点 B（
14、b，1）关于原点对称， b2，a1， 则 ab（2）（1）2 故答案为：2 12解：把 x2 代入可得 222a+60， 解得 a5， 故答案为：5 13解：四边形 ABCD 为平行四边形， AEBC，ADBC， AEBEBC， BE 平分ABC， ABEEBC， ABEAEB， ABAE， BC8，CD5， DEADAE853 故答案为：3 14解：由基本作图可知，OP 是AOB 的平分线， AOPAOB5025， 故答案为：25 15解：yx2+2x+m1（x+1）2+m2， 抛物线顶点坐标为（1，m2） ， 当抛物线顶点落在 x 轴上时，m20， m2 故答案为：2 16解：指令为4，1
15、20， 机器人原地逆时针旋转 120，再向前行走 4 个单位，如图所示： 根据题意得：OB4，BOC60， 过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 C， BCOBsinBOC4sin6042， OCOBcosBOC4cos6042 B（2，2） 故答案为： （2，2） 三、解答飓（本大题共三、解答飓（本大题共 9 个小题， ，共个小题， ，共 72 分）分） 17解：原式432+1 0 18解：原式（） ， 当 x2 时，原式1 19解： （1）如图，A1B1C1即为所求，B1（6，1） ； 故答案为： （6，1） ； （2）如图，A2B2C2即为所求； （3）A2B2C2的面积436 故答案为：
16、6 20解： （1）本次调查的学生总人数为 410%40（名） ，C 组人数为 40（4+16+12）8（名） ， 补全图形如下： 故答案为：40； （2）C 组所对应的扇形圆心角为 36072， 故答案为：72； （3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 1400560（人） ， 故答案为：560 人； （4）画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中选出的 2 名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有 6 种， 选出的 2 名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为 21 （1）证明：DEAC，CEBD， 四边形 OCED 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， COD90，A
17、BBCCDAD， 四边形 OCED 是矩形； （2）解：在菱形 ABCD 中，AC6，BD8，ACBD， OCAC63，ODBD84， CD5， 四边形 OCED 是矩形， OECD5 22解： （1）设 A 型纪念品的进价为 x 元，则 B 型纪念品的进价为x 元， 依题意得：2x+x260， 解得：x80， x80100 答：A 型纪念品的进价为 80 元，B 型纪念品的进价为 100 元 （2）设每天 A 型纪念品销售利润为 w 元，则 w（p80）q（p80） （p+80）p2+120p6400（p120）2+800， 0， 当 p120 时，w 取得最大值，最大值为 800 答：当售
18、价定为 120 元时，才能使每天 A 型纪念品销售利润最大，最大利润为 800 元 23 （1）证明：BADCAE90， BAC+CAD90，CAD+DAE90， BACDAE， 在BAC 和DAE 中， ， BACDAE（SAS） ； （2）解：CAE90，ACAE， E45， 由（1）知BACDAE， BCAE45， AFBC， CFA90， CAF45， FAEFAC+CAE45+90135； （3）解：在 RtACF 中，CAFACF45，AC4， AFCFAC2， BF1， AB3， 在 RtABD 中，ABAD， DB3 24解： （1）根据定义，抛物线 y4x2x 的“友好抛物线
19、”的解析式为 yx2+4x， yx2+4x（x2）2+4， “友好抛物线”的顶点坐标为（2，4） ， 故答案为：yx2+4x， （2，4） ； （2）抛物线 M：yax2+bx（a0）的“友好抛物线”解析式为 ybx2+ax， 抛物线 M：yax2+bx（a0）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， ab， 抛物线 M：yax2+bx（a0）上有且只有三个点到 x 轴的距离为 2， 抛物线 M：yax2+bx（a0）顶点纵坐标是 2，即2， 由可得 a8，b8， 抛物线 M 的解析式为 y8x2+8x； （3）“友好抛物线”ybx2+ax 的顶点为（，） ， 抛物线 C：yax2+b
20、x（其中 ab）经过其“友好抛物线”的顶点， a （）2+b （） ， 整理化简得： （）2+20， 解得2 或1， ab， a2b， y2bx2+bx， 对称轴为直线 x； 由知 ba，对称轴为直线 x， yax2ax， 当 a0 时， 1x1 时，y 的最大值为 3， x1 时，y3， 即 3a+a， 解得 a2， 当 a0 时， 1x1 时，y 的最大值为 3， x时，y3， 即 3a， 解得 a48， 综上所述，a 的值为 2 或48 25 （1）解：当 b2a，c3a 时，yax22ax3a， 令 y0 得 ax22ax3a0， a（x3） （x+1）0， a0， x30 或 x+1
21、0， x3 或 x1， A（1，0） ，B（3，0） ； （2）证明：二次函数 yax2+bx+c 图象与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点， x1+x2， cx1， c+x2， x2c， 在 yax2+bx+c 中，令 x0 得 yc， C（0，c） ， B（x2，0） ， OBOC， CAOBDO，AOC90BOD， AOCDOB（AAS） ； （3）解：过 D 作 DEBC 于 E，如图： 由（2）知，AOCDOB，OBOC， BCOCBO45，ACODBO，OAOD， 设 OAODm， 2ACOBCO45， ACODBO22.5DBC， ODDEm， CDDEm， OCOD+CDm+m（+1）mOB， A（m，0） ，B（ （+1）m，0） ，C（0， （+1）m） ， AB（+2）m， 设二次函数解析式为 ya（x+m）x（+1）m， 把 C（0， （+1）m）代入得（+1）mam（+1）m， am1， 当 P 为抛物线顶点时，APB 面积最大，由 ya（x+m）x（+1）m得此时 P（m，am2） ， （+2）m （am2）10+7， 把代入得： （+2）mm10+7， 解得 m2 或 m2， m0， m2， 把 m2 代入得 a， 二次函数解析式为 ya（x+m）x（+1）m（x2）x+2（+1）x2+x22， a，b，c22
