1、2021 年山东省济南市市中区中考数学三模试卷年山东省济南市市中区中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）题目要求的） 1 （4 分）3 的倒数是（ ） A B C3 D3 2 （4 分）如图所示的是一个由 5 块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的主视图是（ ） A B C D 3 （4 分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路据统计，2019 年末全国农 村贫困人口比 2018 年末全国农
2、村贫困人口减少了 11090000 人， 其中数据 11090000 用科学记数法可表示 为（ ） A11.09105 B1.109107 C0.1109108 D1.109108 4 （4 分）将含 30角的三角板如图放置，已知 ab，165，则2 的度数为（ ） A30 B32 C33 D35 5 （4 分）济南地铁 2 号线 3 月 26 日正式运行，下面是几个城市的地铁标志，其中是轴对称但不是中心对 称的图形是（ ） A B C D 6 （4 分）下列计算正确的是（ ） Ax5x3x2 B （x+2）2x2+4 C （2x2）38x6 Dx2x3x6 7 （4 分）如图，是小明绘制的他
3、在一周内每天跑步圈数的折线统计图下列结论正确的是（ ） A众数是 9 B中位数是 9 C平均数是 8.5 D方差是 7 8 （4 分）如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（4，6） 、B（5，2） 、C（2，1） ，如果将ABC 绕点 B 按顺时 针方向旋转 90，得到ABC，将ABC向下平移 2 个单位，得ABC，那么点 C 的对 应点 C的坐标是（ ） A （3，2） B （3，3） C （4，3） D （4，2） 9 （4 分）在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 10 （4 分）如图，在 RtABC 中，以点 A 为圆心，以适
4、当长为半径作弧，分别交 AC，AB 于点 E，F，再 分别以 E、F 为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点 O，P 为射线 AO 上任意一点，过点 P 作 PMAC，交 AC 于点 M，连接 PC，若 AC2，BC，则 PM+PC 长度的最小值为（ ） A B C4 D 11 （4 分）如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上） ，再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点 （点 A，B，C，D，E 在同一平面内） ，在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的
5、仰角为 43，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度（或坡比）i1：2.4，则信号塔 AB 的高度约为（ ） （参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93） A23 米 B24 米 C24.5 米 D25 米 12 （4 分）抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+（b+2）x+3t0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A3t19 B2t15 C6t11 D2t6 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分.填空题请直接填写答案
6、）填空题请直接填写答案 ） 13 （4 分）分解因式：x2+2x+1 14 （4 分）小明把如图所示的正八边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板 的任何一个点的机会都相等） ，则飞镖落在阴影区域的概率是 15 （4 分）方程的解为 x 16 （4 分）如图，在ABC 中，AB5，AC3，BC4，将ABC 绕 A 逆时针方向旋转 40得到ADE， 点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分（ABC 以外的部分）的面积为 17 （4 分）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用 8000 元分两次购进口罩 6000 个免费发放给学生若两 次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的
7、单价是第二次购买口罩单价的 1.5 倍，则第二次购买口罩 的单价是 元 18 （4 分）已知：正方形 ABCD，BC6，点 M 是边 AB 的中点，连接 DM，DM 与 AC 交于点 O，等腰直 角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 D 处，使三角板绕点 D 旋转当三角板的一边 DF 与边 DM 重合 时（如图） ，若 OF，则 CN 的长 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分）计算： 20 （6 分）解不等式组：，并写出它的最小整数解 21 （6 分）如
8、图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 为对角线 BD 上的两点，且BAEDCF求证：BE DF 22 （8 分）为了促进学生积极进行体育锻炼，提高身体素质，完成体育中考达标率，某校对全校初三学生 的体育成绩进行摸底，随机抽取了一个班的学生进行体育测试，并根据测试结果绘制了表格和统计图： （1）这个班的总人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中， “B”等级对应的圆心角的度数是 ； （4）若该校初三有 800 名学生，根据抽样调查结果，请估计该校初三学生 45 分以上的人数 23 （8 分）如图，AB 是O 的直径，CD 切O 于点 C，BECD 于 E，连接 AC、BC，
9、（1）求证：BC 平分ABE （2）若ACD30，O 的半径为 2，求 CE 的长 24 （10 分） 2020 年 5 月， 全国两会召开以后， 应势复苏的 “地摊经济” 带来了市场新活力 某社区拟建 A， B 两类摊位以激活“地摊经济” ，1 个 A 类摊位和 2 个 B 类摊位共占地面积 14 平方米，2 个 A 类摊位和 3 个 B 类摊位共占地面积 24 平方米，建一个 A 类摊的费用为 50 元，建一个 B 类摊位的费用为 40 元 （1）求每个 A，B 类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社区拟建 A，B 两类摊位共 100 个，且 B 类摊位的数量不多于 A 类摊位数量的
10、3 倍，求如何建造 这 100 个摊位可以使费用最少？最少费用是多少？ 25 （10 分）如图，反比例函数 y（k0）的图象与正比例函数的图象交于 A、B 两点（点 A 在 第一象限） （1）当点 A 的横坐标为 2 时，求点 A 坐标以及 k 的值； （2）若点 A 的横坐标为 3 时，点 C 为 y 轴正半轴上一点，ACB90，求ACB 的面积； （3）在（2）的条件下，平面直角坐标系内是否存在点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点构成平行四边形， 若存在，求出 D 的坐标，若不存在，请说明理由 26 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACBC6，ACB90，正方形 BDEF 的边长为
11、，将正方形 BDEF 绕点 B 旋转一周，连接 AE、BE、CF （1）如图 1 所示，探究 AE 与 CF 的数量关系，并说明理由； （2）在正方形 BDEF 绕点 B 旋转过程中，当 A、E、F 三点共线时，求 CF 的长； （3）如图 2 所示，在正方形 BDEF 旋转过程中，设 AE 的中点为 M，连接 FM，请直接写出 FM 长度的 最大和最小值 27 （12 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 yx+3 与两坐标轴交于 A、 B 两点， 抛物线 yx2+bx+c 过点 A 和点 B，并与 x 轴交于另一点 C，顶点为 D点 E 在对称轴右侧的抛物线上 （1）求抛物线
12、的函数表达式和顶点 D 的坐标； （2）若点 F 在抛物线的对称轴上，且 EFx 轴，若以点 D，E，F 为顶点的三角形与ABD 相似，求出 此时点 E 的坐标； （3）若点 P 为坐标平面内一动点，满足 tanAPB3，请直接写出PAB 面积最大时点 P 的坐标及该三 角形面积的最大值 2021 年山东省济南市市中区中考数学三模试卷年山东省济南市市中区中考数学三模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
13、题目要求的）题目要求的） 1 （4 分）3 的倒数是（ ） A B C3 D3 【解答】解：3 的倒数是， 故选：B 2 （4 分）如图所示的是一个由 5 块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的主视图是（ ） A B C D 【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 故选：A 3 （4 分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路据统计，2019 年末全国农 村贫困人口比 2018 年末全国农村贫困人口减少了 11090000 人， 其中数据 11090000 用科学记数法可表示 为（ ） A11.09105 B1.109107 C0.1109
14、108 D1.109108 【解答】解：数据 11090000 用科学记数法可表示为 1.109107 故选：B 4 （4 分）将含 30角的三角板如图放置，已知 ab，165，则2 的度数为（ ） A30 B32 C33 D35 【解答】解：如图， ab， BAC165， CAD30， 2BACCAD653035， 故选：D 5 （4 分）济南地铁 2 号线 3 月 26 日正式运行，下面是几个城市的地铁标志，其中是轴对称但不是中心对 称的图形是（ ） A B C D 【解答】解：A是轴对称但不是中心对称的图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C
15、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； D不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 6 （4 分）下列计算正确的是（ ） Ax5x3x2 B （x+2）2x2+4 C （2x2）38x6 Dx2x3x6 【解答】解：Ax5和x3不能合并，故本选项不符合题意； B （x+2）2x2+4x+4，故本选项不符合题意； C （2x2）38x6，故本选项符合题意； Dx2x3x5，故本选项不符合题意； 故选：C 7 （4 分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图下列结论正确的是（ ） A众数是 9 B中位数是 9 C平均数是 8.5 D方差是 7 【解答】
16、解：A数据 10 出现的次数最多，即众数是 10，故本选项错误，不符合题意； B排序后的数据中，最中间的数据为 9，即中位数为 9，故本选项正确，符合题意； C平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）9，故本选项错误，不符合题意； D方差为（79）2+（89）2+（99）2+（99）2+（109）2+（109）2+（109）2， 故本选项错误，不符合题意； 故选：B 8 （4 分）如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（4，6） 、B（5，2） 、C（2，1） ，如果将ABC 绕点 B 按顺时 针方向旋转 90，得到ABC，将ABC向下平移 2 个单位，得ABC，那么点 C 的对 应点 C的
17、坐标是（ ） A （3，2） B （3，3） C （4，3） D （4，2） 【解答】解：如图， 由题意，C（2，1） ， 点 C 绕点 B 顺时针旋转 90得到 C（4，5） ，再向下平移 2 个单位得到 C（4，3） ， 故选：C 9 （4 分）在同一坐标系中，二次函数 yax2+bx 与一次函数 ybxa 的图象可能是（ ） A B C D 【解答】解：由方程组得 ax2a， a0 x21，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除 B A：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；但是一次函数 b 为一次项系数，图象 显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故
18、 A 错； C：二次函数开口向上，说明 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 b0；b 为一次函数的一次项系数，图象显 示从左向右下降，b0，两者相符，故 C 正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 D 错 故选：C 10 （4 分）如图，在 RtABC 中，以点 A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 AC，AB 于点 E，F，再 分别以 E、F 为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点 O，P 为射线 AO 上任意一点，过点 P 作 PMAC，交 AC 于点 M，连接 PC，若 AC2，BC，则 PM+PC 长度的最小值为（ ） A B C4 D 【解答】解：如图，过点 P 作 P
19、TAB 于 T，过点 C 作 CRAB 于 R 在 RtACB 中，ACB90，AC2，BC， AB， CRAB， ABCRACBC， CR， 由作图可知，AO 平分CAB， PMAC，PTAB， PMPT， PM+PBPC+PM， PC+PTCR， PM+PC， PM+PC 的最小值为， 故选：B 11 （4 分）如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上） ，再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点 （点 A，B，C，D，E 在同一平面内） ，在点 E 处测得
20、5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度（或坡比）i1：2.4，则信号塔 AB 的高度约为（ ） （参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93） A23 米 B24 米 C24.5 米 D25 米 【解答】解：过点 E 作 EFDC 交 DC 的延长线于点 F，过点 E 作 EMAC 于点 M， 斜坡 DE 的坡度（或坡比）i1：2.4，DECD78 米， 设 EFx，则 DF2.4x 在 RtDEF 中， EF2+DF2DE2，即 x2+（2.4x）2782， 解得，x30， EF30 米，DF72 米， CFDF
21、+DC72+78150 米 EMAC，ACCD，EFCD， 四边形 EFCM 是矩形， EMCF150 米，CMEF30 米 在 RtAEM 中， AEM43， AMEMtan431500.93139.5 米， ACAM+CM139.5+30169.5 米 ABACBC169.5144.525 米 故选：D 12 （4 分）抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+（b+2）x+3t0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A3t19 B2t15 C6t11 D2t6 【解答】解：抛物线 yx2+bx+3 的对称轴为直线 x1
22、， 1，解得 b2， 关于 x 的一元二次方程 x2+（b+2）x+3t0（t 为实数）化为 x2t3， 关于 x 的一元二次方程 x2+（b+2）x+3t0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根， t30 且4 或 t30 且1， 解得 3t19 或 3t4， 综上所述，t 的范围为 3t19 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分.填空题请直接填写答案 ）填空题请直接填写答案 ） 13 （4 分）分解因式：x2+2x+1 （x+1）2 【解答】解：x2+2x+1（x+1）2 故答案为： （x+1）2 14 （4 分）小明把如
23、图所示的正八边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板 的任何一个点的机会都相等） ，则飞镖落在阴影区域的概率是 【解答】解：正八边形纸板平均分为 8 等份，其中阴影区域占 3 等份， 飞镖落在阴影区域的概率是 故答案为： 15 （4 分）方程的解为 x 1 【解答】解：去分母得：2xx1， 解得：x1， 经检验 x1 是分式方程的解， 故答案为：1 16 （4 分）如图，在ABC 中，AB5，AC3，BC4，将ABC 绕 A 逆时针方向旋转 40得到ADE， 点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分（ABC 以外的部分）的面积为 【解答】解：将ABC 绕 A 逆时针方
24、向旋转 40得到ADE ACBAED，DAB40 ADAB5，SACBSAED S阴影SAED+S扇形ADBSACBS扇形ADB S阴影 故答案为 17 （4 分）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用 8000 元分两次购进口罩 6000 个免费发放给学生若两 次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的 1.5 倍，则第二次购买口罩 的单价是 元 【解答】解：800024000（元） 设第二次购买口罩的单价是 x 元，则第一次购买口罩的单价是 1.5x 元， 依题意得：+6000， 解得：x， 经检验，x是原方程的解，且符合题意 故答案为： 18 （4 分）已知：正方形
25、ABCD，BC6，点 M 是边 AB 的中点，连接 DM，DM 与 AC 交于点 O，等腰直 角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 D 处，使三角板绕点 D 旋转当三角板的一边 DF 与边 DM 重合 时（如图） ，若 OF，则 CN 的长 【解答】解：M 是 AB 的中点， MAABCD， ABCD， MAODCO， ， 在 RtDAM 中，AD6，AM3， DM3， DO2， OF， DF， DFNDCO45，FDNCDO， DFNDCO， ， ， DN， CNCDDN， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演
26、算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分）计算： 【解答】解：原式2+31+2 20 （6 分）解不等式组：，并写出它的最小整数解 【解答】解：由得 x1， 由得 x4， 不等式组的解集为 x1， 最小整数解是 1 21 （6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 为对角线 BD 上的两点，且BAEDCF求证：BE DF 【解答】证明：在平行四边形 ABCD 中，ABDC，ABCD， ABDCDB， 在ABE 和CDF 中， ABECDF（ASA） ， BEDF 22 （8 分）为了促进学生积极进行体育锻炼，提高身体素质，完成体育中考达标率，某校对全校初三
27、学生 的体育成绩进行摸底，随机抽取了一个班的学生进行体育测试，并根据测试结果绘制了表格和统计图： （1）这个班的总人数为 50 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中， “B”等级对应的圆心角的度数是 72 ； （4）若该校初三有 800 名学生，根据抽样调查结果，请估计该校初三学生 45 分以上的人数 【解答】解： （1）12%50（人） ， 故答案为：50； （2）A：5070%35（人） ，C：50351014（人） ， 如图： （3）36072， 故答案为：72； （4）80070%560， 答：估计该校初三学生 45 分以上的人有 560 人 23 （8 分）如图，AB
28、是O 的直径，CD 切O 于点 C，BECD 于 E，连接 AC、BC， （1）求证：BC 平分ABE （2）若ACD30，O 的半径为 2，求 CE 的长 【解答】 （1）证明： CD 是O 的切线，切点为 C， OCDE， BEDE， COBE， OCBEBC， 又且 OCOB， OCBOBC； OBCEBC， BC 平分ABE； （2）AB 是O 的直径， ACB90， ACD30， ABCCBE30， O 的半径为 2， AB4， AC2， BC2， BC 平分ABE， CBE30， CEBC 24 （10 分） 2020 年 5 月， 全国两会召开以后， 应势复苏的 “地摊经济” 带
29、来了市场新活力 某社区拟建 A， B 两类摊位以激活“地摊经济” ，1 个 A 类摊位和 2 个 B 类摊位共占地面积 14 平方米，2 个 A 类摊位和 3 个 B 类摊位共占地面积 24 平方米，建一个 A 类摊的费用为 50 元，建一个 B 类摊位的费用为 40 元 （1）求每个 A，B 类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社区拟建 A，B 两类摊位共 100 个，且 B 类摊位的数量不多于 A 类摊位数量的 3 倍，求如何建造 这 100 个摊位可以使费用最少？最少费用是多少？ 【解答】解： （1）设每个 A 类摊位占地 x 平方米，每个 B 类摊位占地 y 平方米， 依题意得：，
30、 解得： 答：每个 A 类摊位占地 6 平方米，每个 B 类摊位占地 4 平方米 （2）设建造 A 类摊位 m 个，则建造 B 类摊位（100m）个， 依题意得：100m3m， 解得：m25 设总费用为 w 元，则 w50m+40（100m）10m+4000， k100， w 随 m 的增大而增大， 当 m25 时，w 取得最小值，最小值1025+40004250， 当建造 A 类摊位 25 个，B 类摊位 75 个时，总费用最少，最少费用为 4250 元 25 （10 分）如图，反比例函数 y（k0）的图象与正比例函数的图象交于 A、B 两点（点 A 在 第一象限） （1）当点 A 的横坐标
31、为 2 时，求点 A 坐标以及 k 的值； （2）若点 A 的横坐标为 3 时，点 C 为 y 轴正半轴上一点，ACB90，求ACB 的面积； （3）在（2）的条件下，平面直角坐标系内是否存在点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点构成平行四边形， 若存在，求出 D 的坐标，若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）点 A 的横坐标为 2， 当 x2 时，y2， 点 A 坐标为（2，） ， 点 A 在反比例函数 y（k0）的图象上， k2； （2）点 A 的横坐标为 3， 当 x3 时，y32 点 A 坐标为（3，2） ， 由图象的对称性得，点 B（3，2） ， AOBO， 又ACB90， CO
32、AOBO， 点 C 在 y 轴的坐标轴上， 点 C（0，） ， SACBSAOC+SBOC3+33； （3）设点 D 坐标为（m，n） ， 由（1）知，A（3，2） ，B（3，2） ， 由（2）知，C（0，） ， 若 AB 为对角线，则四边形 ACBD 是平行四边形， AB 与 CD 互相平分， （3+3）（0+m） ，（2+2）（n+） ， m0，n， 点 D（0，） ； 若 AC 为对角线，则四边形 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 互相平分， （3+0）（3+m） ，（2+）（2+n） ， m6，n4+， 点 D（6，4+） ； 若 BC 为对角线，则四边形 ACDB 是平行四边
33、形， BC 与 AD 互相平分， （3+m）（3+0） ，（2+n）（2+） ， m6，n4+， 点 D（6，4+） ， 综上所述：点 D 坐标为（0，）或（6，4+）或（6，4+） 26 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACBC6，ACB90，正方形 BDEF 的边长为，将正方形 BDEF 绕点 B 旋转一周，连接 AE、BE、CF （1）如图 1 所示，探究 AE 与 CF 的数量关系，并说明理由； （2）在正方形 BDEF 绕点 B 旋转过程中，当 A、E、F 三点共线时，求 CF 的长； （3）如图 2 所示，在正方形 BDEF 旋转过程中，设 AE 的中点为 M，连接 FM，请
34、直接写出 FM 长度的 最大和最小值 【解答】解： （1）AECF， 理由如下：RtABC 中，ACBC， ABCB，ABC45， 四边形 BDEF 是正方形， BEBF，EBF45， ，ABCEBF45， ABECBF， ABECBF， ， ； （2）如图 21，当点 F 在 A、E 之间时， ACBC6，ACB90， AB， 又AFB90， AF8， AE8+， 由（1）知， CF； 如图 22，当点 E 在 A、F 之间时， 同理可得 AF8，AE， CF； 综上所述：CF或 42； （3）如图 2，延长 EF 至 G，使 EFFG，连接 AG，BG， EFGFBF2，GFB90， BG
35、4， 点 G 在以点 B 为圆心，BG 为半径的圆上， AMME，GFEF， AG2MF， 当点 G 在 AB 的延长线时，AG 有最大值为 6+4，即 MF 有最大值 3+2， 当点 G 在 AB 上时，AG 有最小值 64，即 MF 有最小值 32 27 （12 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 yx+3 与两坐标轴交于 A、 B 两点， 抛物线 yx2+bx+c 过点 A 和点 B，并与 x 轴交于另一点 C，顶点为 D点 E 在对称轴右侧的抛物线上 （1）求抛物线的函数表达式和顶点 D 的坐标； （2）若点 F 在抛物线的对称轴上，且 EFx 轴，若以点 D，E，F
36、为顶点的三角形与ABD 相似，求出 此时点 E 的坐标； （3）若点 P 为坐标平面内一动点，满足 tanAPB3，请直接写出PAB 面积最大时点 P 的坐标及该三 角形面积的最大值 【解答】解： （1）直线 yx+3 与 y 轴、x 轴分别交于 A、B 两点、 A（0，3） ，B（3，0） ， 将 A（0，3） 、B（3，0）代入 yx2+bx+c， 得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为 yx24x+3， yx24x+3（x2）21 抛物线的顶点 D 的坐标为（2，1） （2）A（0，3） ，B（3，0） ，D（2，1） ， AB232+3218，AD2（20）2+（3+1）220，BD2
37、（32）2+（0+1）22， AB2+BD2AD2， ABD 为直角三角形，且ABD90， 设点 E（m，m24m+3） （m2） EFx 轴， DFm24m+3+1m24m+4，FEm2，DFE90， DFEABD90， 如图 1，以点 D，E，F 为顶点的三角形与ABD 相似，且FDEBAD， 则， 由 AB232+3218，BD2（32）2+（0+1）22，得 AB3，BD， ， 解得 m15，m22（不符合题意，舍去） E（5，8） ； 如图 2，以点 D，E，F 为顶点的三角形与ABD 相似，且FDEBDA， 则， ， 解得 m1，m22（不符合题意，舍去） ， E（，） 综上所述，
38、点 E 的坐标为（5，8）或（，） （3）由（2）得，tanADB3， tanAPB3， APBADB， 点 P 在过 A、B、D 三点，即以 AD 为直径的圆上 如图 3，取 AD 的中点 Q，以点 Q 为圆心，以 QA 为半径作圆，连接 QB， QBADQA， 点 B 在Q 上； 连接并延长 OQ、QO 分别交 AB 于点 G、Q 于点 H，作 PRAB 于点 R，连接 PG、PQ QBPA，OBOA， HG 垂直平分 AB， 由 PGQG+PQ，得 PGGH， PRPG， PRGH； SPABABPR， 当点 P 与点 H 重合时，PAB 的面积最大，此时 SPABABGH 由 AD2（20）2+（3+1）220，得 AD2， ABQ90，AQAD，AGAB， QG， HQAQ， GH+， SPAB最大3（+）； 过点 H 作 HLx 轴于点 L， OHL90HOL90BOGOBA45， OLOHtan45OH； OGAB， OHGHOG+， HLOL（）， H（，） 此时点 P 与点 H 重合， P（，） 综上所述，PAB 面积最大值为，此时 P（，）
