1、 第 1 页（共 26 页） 2021 年山东省济南市历城区中考数学一模试卷年山东省济南市历城区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1 （4 分） 1 6 的相反数是( ) A 1 6 B6 C6 D 1 6 2 （4 分）下列几何体由 5 个相同的小正方体搭成，其左视图是( ) A B C D 3 （4 分）世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼” ，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲 星的自转周期为 0.00519 秒数据 0.00519 用科学记数法可以表示为( ) A 3 5.19
2、 10 B 4 5.19 10 C 5 5.19 10 D 6 5.19 10 4 （4 分）如图，/ /ABCD，BDCF，垂足为B，55BDC，则ABF的度数为( ) A55 B45 C35 D25 5 （4 分）下面图形中，是轴对称图形的是( ) A B C D 6 （4 分） 某校举办体能比赛， 其中一项是引体向上， 每完成一次记录 1 分， 达到 10 个即为满分 10 分 甲、 乙两班各出代表 10 个人，比赛成绩分别如表，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是( ) 甲班成绩 7 8 9 10 人数 2 2 3 3 第 2 页（共 26 页） 乙班成绩 7 8 9 10 人数 1
3、 2 3 4 A甲班成绩的众数是 10 B乙班成绩的中位数是 9 C甲班的成绩的平均数是 8.6 D乙班成绩的方差是 2 7 （4 分）不等式组 25 3 3(1)2 x xx 的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C D 8 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0,6)A，( 3, 3)B 将线段AB平移后A点 的对应点是(10,10)A，则点B的对应点 B 的坐标为( ) A(10,10) B( 3, 3) C( 3,3) D(7,1) 9 （4 分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿元增加
4、到 7500 亿元设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( ) A5000(12 )7500 x B50002(1)7500 x C 2 5000(1)7500 x D 2 50005000(1)5000(1)7500 xx 10 （4 分）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2 3，C为OB边上一点，将AOC沿AC边折叠， 圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为( ) 第 3 页（共 26 页） A34 3 B32 3 C34 D2 11 （4 分）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图 1 为单车实物图，图 2 为单车 示意图
5、，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节已知， 70ABE，45EAB，车轮半径为30cm，40BEcm小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m 时骑着比较舒适，此时CE的长约为( )（结果精确到1cm，参考数据：sin700.94 ，cos700.34 ， tan701.41) A26cm B24cm C22cm D20cm 12 （4 分）函数 2 43yxx，当0 x m剟时，此函数的最小值为3，最大值为 1，则m的取值范围是( ) A02m B04m剟 C24m剟 D4m 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小
6、题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13 （4 分）分解因式： 2 2aa 14 （4 分）若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 15 （4 分）化简： 2 (3)(1)m mm 16 （4 分）在一个不透明的盒子中有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出 2 个球，则摸出的两个球都是红球的概率是 17 （4 分） 甲、 乙两人分别从A、B两地出发， 相向而行， 图中的 1 l、2l分别表示甲、 乙离B地的距离()y km 与甲出发后所用时间( )x h的函数关系图象，则甲出发 小时与乙相遇 第 4 页（共 26 页） 18
7、 （4 分）如图，矩形纸片ABCD，212ADAB，点E在线段BC上，将ECD沿DE向上翻折，点C 的对应点C落在线段AD上，点M、N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向下翻 折，点A恰好落在线段DE的中点 A 处则线段MN的长为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分）计算： 01 11 (23)( )sin45 32 20 （6 分）先化简，再求值： 2 24 () xx x xx ，其中3x 21 （6 分）已知：如图
8、，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CECF，求证：AEAF 22 （8 分）某学校九年级共 400 名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取 20 名学生的实心球成绩作 为样本，数据统计如下（单位：米）: 9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8 根据数据绘制了表格和统计图： 第 5 页（共 26 页） 换算为体考分数 成绩（米) 频数 10 9.6x 4 8 7.79.5x剟 a 6 5.37.6x剟 7 4 3.05.2x剟 b 合计 20 根据上面提供的信
9、息，回答下列问题： （1）统计表中的a ；b ； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中， “8 分”对应的圆心角的度数是 ； （4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于 8 分的有多少人？ 23 （8 分）如图，已知ABE，ABBE，以AB为直径作O，交AE于点D，过D点作O的切线交边 BE于点C，交BA的延长线于点P （1）求证：PCBE； （2）如果2 3PD ，60ABC，求BC的长 第 6 页（共 26 页） 24 （10 分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况 下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为
10、活动器材已知购买 2 根跳绳和 5 个毽子共需 32 元；购 买 4 根跳绳和 3 个毽子共需 36 元 （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是 54，且购买的总费用不能超过 260 元；若要求购买跳绳的数量多 于 20 根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案 25 （10 分）如图，直线yxb与双曲线(0) k yx x 的交点为(1, )Aa，与x轴的交点为( 1,0)B ，点C为 双曲线(0) k yx x 上的一点 （1）求a的值及反比例函数的表达式； （2）如图 1，当/ /OCAB时，求AOC的面积； （3）如图 2，当45AOC时
11、，求点C的坐标 26 （12 分）在ABC中，ABAC，BACa，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕 点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB、DC （1）如图 1，当60时，请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是 ，DCP为 度； （2）如图 2，当120时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理由； （3）如图 2，在（2）的条件下，当2 3AB 时，求 1 3 BPPC的最小值 第 7 页（共 26 页） 27 （12 分）如图，已知抛物线 2 3yaxbx经过点(1, 1)A、( 3,3)B ，与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2） 若点P为该
12、抛物线上位于直线AB下方的一点， 且点P的横坐标为m， 过点P作/ /PQy轴， 交线段AB 于点Q 当APQ为直角三角形时，求m的值； 当30m 时，若3PCAACO ，求m的值 2021 年山东省济南市历城区中考数学一模试卷年山东省济南市历城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1 （4 分） 1 6 的相反数是( ) A 1 6 B6 C6 D 1 6 【解答】解： 1 6 的相反数是 1 6 ， 故选：D 2 （4 分）下列几何体由 5 个相同的小正方
13、体搭成，其左视图是( ) 第 8 页（共 26 页） A B C D 【解答】解：从左面看，是一列两个小正方形 故选：A 3 （4 分）世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼” ，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲 星的自转周期为 0.00519 秒数据 0.00519 用科学记数法可以表示为( ) A 3 5.19 10 B 4 5.19 10 C 5 5.19 10 D 6 5.19 10 【解答】解： 3 0.005195.19 10 故选：A 4 （4 分）如图，/ /ABCD，BDCF，垂足为B，55BDC，则ABF的度数为( ) A55 B45 C35 D25 【解答】解：
14、BDCF， 90DBC， 90905535CBDC ， 又/ /ABCD， 35ABFC 故选：C 5 （4 分）下面图形中，是轴对称图形的是( ) A B C D 第 9 页（共 26 页） 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C 6 （4 分） 某校举办体能比赛， 其中一项是引体向上， 每完成一次记录 1 分， 达到 10 个即为满分 10 分 甲、 乙两班各出代表 10 个人，比赛成绩分别如表，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是( ) 甲班成绩
15、 7 8 9 10 人数 2 2 3 3 乙班成绩 7 8 9 10 人数 1 2 3 4 A甲班成绩的众数是 10 B乙班成绩的中位数是 9 C甲班的成绩的平均数是 8.6 D乙班成绩的方差是 2 【解答】解：甲班成绩的众数是 9 和 10，故A选项错误； 乙班成绩的中位数是 99 9 2 ，故B选项正确； 甲班成绩的平均数为 728293103 8.7 10 ，故C选项错误； 乙班成绩的平均数为 78293104 9 10 ， 则乙班成绩的方差为 2222 1 (79)2(89)3 (99)4(109) 1 10 ，故D选项错误； 故选：B 7 （4 分）不等式组 25 3 3(1)2 x
16、 xx 的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C D 【解答】解：解不等式25 3x ，得：1x， 解不等式3(1)2xx，得：3x ， 第 10 页（共 26 页） 故选：B 8 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0,6)A，( 3, 3)B 将线段AB平移后A点 的对应点是(10,10)A，则点B的对应点 B 的坐标为( ) A(10,10) B( 3, 3) C( 3,3) D(7,1) 【解答】解：点(0,6)A向右平移 10 个单位，向上平移 4 个单位得到(10,10)A， 点( 3, 3)B 向右平移 10 个单位，向上平移 4 个单位得到(7,1)B
17、， 故选：D 9 （4 分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( ) A5000(12 )7500 x B50002(1)7500 x C 2 5000(1)7500 x D 2 50005000(1)5000(1)7500 xx 【解答】解：设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得： 2 5000(1)7500 x， 故选：C 10 （4 分）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径
18、为2 3，C为OB边上一点，将AOC沿AC边折叠， 圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为( ) 第 11 页（共 26 页） A34 3 B32 3 C34 D2 【解答】解：连接OD， AOC沿AC边折叠得到ADC， OAAD，OACDAC ， 又OAOD， OAADOD， OAD是等边三角形， 30OACDAC ， 扇形AOB的圆心角是直角，半径为2 3， 2OC， 阴影部分的面积是： 2 90(2 3)2 32 (2)34 3 3602 ， 故选：A 11 （4 分）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图 1 为单车实物图，图 2 为单车 示意图，AB与地面平行，点
19、A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节已知， 70ABE，45EAB，车轮半径为30cm，40BEcm小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m 时骑着比较舒适，此时CE的长约为( )（结果精确到1cm，参考数据：sin700.94 ，cos700.34 ， tan701.41) A26cm B24cm C22cm D20cm 【解答】解：过点C作CNAB，交AB于M，交地面于N 第 12 页（共 26 页） 由题意可知30MNcm，当0.9CNm，即90CNcm时，60CMcm 在Rt BCM中，70ABE， sinsin700.94 CM ABE CB 64BCcm
20、644024()CEBCBEcm 故选：B 12 （4 分）函数 2 43yxx，当0 x m剟时，此函数的最小值为3，最大值为 1，则m的取值范围是( ) A02m B04m剟 C24m剟 D4m 【解答】解： 22 43(2)1yxxx ， 该函数的对称轴是直线2x ，当2x 时，该函数取得最大值 1，该函数图象开口向下， 当0 x m剟时，此函数的最小值为3，最大值为 1，当0 x 时，3y ， 24m 剟， 故选：C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13 （4 分）分解因式： 2 2aa (2)a
21、 a 【解答】解： 2 2(2)aaa a 14 （4 分）若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 八 【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 (2) 1803 360n ， 解得8n 则这个多边形的边数是八 第 13 页（共 26 页） 15 （4 分）化简： 2 (3)(1)m mm 1m 【解答】解：原式 22 3(21)mmmm 22 321mmmm 1m， 故答案是：1m 16 （4 分）在一个不透明的盒子中有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出 2 个球，则摸出的两个球都是红球的概率是 1 3 【解答】解：画树状图如图：
22、 共有 6 个等可能的结果，摸出的两个球都是红球的结果有 2 个， 摸出的两个球都是红球的概率为 21 63 ， 故答案为： 1 3 17 （4 分） 甲、 乙两人分别从A、B两地出发， 相向而行， 图中的 1 l、2l分别表示甲、 乙离B地的距离()y km 与甲出发后所用时间( )x h的函数关系图象，则甲出发 1.4 小时与乙相遇 【解答】解：由图象可得， 设 1 l对应的函数解析式为 111 yk xb， 1 11 60 20 b kb ， 第 14 页（共 26 页） 解得： 1 1 30 60 k b ， 1 l对应的函数解析式为 1 3060yx ， 设 2 l对应的函数解析式为
23、 222 yk xb， 22 22 0.50 3.560 kb kb ， 解得： 2 2 20 10 k b 2 l对应的函数解析式为 2 2010yx， 由方程组 3060 2010 yx yx ， 解得： 1.4 18 x y ， 即点A的坐标为(1.4,18)， 故答案为 1.4 18 （4 分）如图，矩形纸片ABCD，212ADAB，点E在线段BC上，将ECD沿DE向上翻折，点C 的对应点C落在线段AD上，点M、N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向下翻 折，点A恰好落在线段DE的中点 A 处则线段MN的长为 2 10 【解答】解：如图所示，作AGAD于G，连接AA
24、交MN于K，连接AN 第 15 页（共 26 页） 由题意可得，四边形DCEC是正方形，DGA是等腰直角三角形， 1 63 2 DGGA ，1239AGADDG， 设AMMAx ，则9MGx， 在Rt MGA中， 222 A MMGA G， 即 222 (9)3xx， 解得5x ， 5AM， 在RtAA G中， 22 393 10AA， 由折叠可得 13 10 22 AK AA ，AKNM， 11 22 MNAKAMAB， 5 6 2 10 3 10 2 AMAB MN AK ， 故答案为：2 10 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分，解答应写
25、出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分）计算： 01 11 (23)( )sin45 32 【解答】解：原式 22 13 22 4 20 （6 分）先化简，再求值： 2 24 () xx x xx ，其中3x 【解答】解：原式 2 (2)4 () x xx xx ， (2) (2)(2) x xx xxx ， 2 x x ， 第 16 页（共 26 页） 3x 时，原式 3 5 21 （6 分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CECF，求证：AEAF 【解答】证明：四边形ABCD是菱形， ABADBCCD，B
26、D， CECF， BEDF， 在ABE和ADF中， ABAD BD BEDF ， ()ABEADF SAS ， AEAF 22 （8 分）某学校九年级共 400 名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取 20 名学生的实心球成绩作 为样本，数据统计如下（单位：米）: 9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8 根据数据绘制了表格和统计图： 第 17 页（共 26 页） 换算为体考分数 成绩（米) 频数 10 9.6x 4 8 7.79.5x剟 a 6 5.37.6x剟 7 4 3
27、.05.2x剟 b 合计 20 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）统计表中的a 6 ；b ； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中， “8 分”对应的圆心角的度数是 ； （4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于 8 分的有多少人？ 【解答】解： （1）由题目中的数据可知， 6a ，3b ， 故答案为：6，3； （2）由（1）知，6a ，3b ， 补全的条形统计图如右图所示； （3）在扇形统计图中， “8 分”对应的圆心角的度数是 6 360108 20 ， 故答案为：108； （4） 9 400180 20 （人)， 即估计该校九年级学生实心球体考分数
28、不低于 8 分的有 180 人 23 （8 分）如图，已知ABE，ABBE，以AB为直径作O，交AE于点D，过D点作O的切线交边 第 18 页（共 26 页） BE于点C，交BA的延长线于点P （1）求证：PCBE； （2）如果2 3PD ，60ABC，求BC的长 【解答】 （1）证明：连接DO， PC与O相切， ODPC， ODOA， ODAOAD ， ABBE， EABE， ODAE ， / /ODBE， PCBE； （2）解：60ABC，90PCB， 30P， 90PDO，2 3PD ， 3 2 3 ODPD， 24OPOD， 6PB， 1 3 2 BCPB 第 19 页（共 26 页）
29、 24 （10 分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况 下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买 2 根跳绳和 5 个毽子共需 32 元；购 买 4 根跳绳和 3 个毽子共需 36 元 （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是 54，且购买的总费用不能超过 260 元；若要求购买跳绳的数量多 于 20 根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案 【解答】解： （1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元， 依题意，得： 2532 4336 xy xy ， 解得： 6 4 x y
30、 答：购买一根跳绳需要 6 元，购买一个毽子需要 4 元 （2）设购买m根跳绳，则购买(54)m个毽子， 依题意，得： 64(54) 260 20 mm m ， 解得：2022m 又m为正整数， m可以为 21，22 共有 2 种购买方案，方案 1：购买 21 根跳绳，33 个毽子；方案 2：购买 22 根跳绳，32 个毽子 25 （10 分）如图，直线yxb与双曲线(0) k yx x 的交点为(1, )Aa，与x轴的交点为( 1,0)B ，点C为 双曲线(0) k yx x 上的一点 （1）求a的值及反比例函数的表达式； （2）如图 1，当/ /OCAB时，求AOC的面积； 第 20 页（
31、共 26 页） （3）如图 2，当45AOC时，求点C的坐标 【解答】解： （1）直线AB过点( 1,0)B ， 10b ，解得：1b ， 直线AB的表达式为1yx 点(1, )Aa在直线AB上， 1 12a ， 点A的坐标为(1,2) 又双曲线(0) k yx x 过点(1,2)A， 1 22k ， 反比例函数的表达式为 2 (0)yx x （2）在图 1 中，过点C作CDx轴于点D，过点O作OEAB于点E，设直线AB于y轴交于点M 直线AB的表达式为1yx，/ /OCAB， 直线OC的表达式为yx 联立两函数表达式成方程组， 2 yx y x ， 解得： 2 2 x y 或 2 2 x y
32、 （不合题意，舍去） ， 点C的坐标为( 2，2)， 2ODCD， 22 2OCODCD 当0 x 时，011y ， 第 21 页（共 26 页） 点M的坐标为(0,1)， 1OMOB， BOM为等腰直角三角形， 22 112 222 OEBMOBOM， 1122 2. 2222 AOC SOC OE （3）在图 1 中，过点A作AFx轴于点F，则1( 1)2BF ，2AF ， 22 2 2ABBFAF， 23 2 2 2 22 AEABBE， 1 tan 3 OE OAE AE OBOM，90BOM， 45ABO 在图 2 中，过点C作CNx轴于点N AONABOBAO ，45AOCABO
33、，AONAOCCON ， CONBAO ， 1 tan 3 CON 设点C的坐标为 1 ( ,) 3 mm， 点C在反比例函数 2 (0)yx x 的图象上， 1 2 3 mm， 6m或6m （舍去） ， 点C的坐标为( 6， 6 ) 3 第 22 页（共 26 页） 26 （12 分）在ABC中，ABAC，BACa，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕 点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB、DC （1） 如图 1，当60时， 请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是 PACD ，DCP为 度； （2）如图 2，当120时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理
34、由； （3）如图 2，在（2）的条件下，当2 3AB 时，求 1 3 BPPC的最小值 【解答】解： （1）如图 1 中， 将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD， 第 23 页（共 26 页） PBPD， ABAC，PBPD，60BACBPD ， ABC，PBD是等边三角形， 60ABCPBD ， PBADBC ， BPBD，BABC， ()PBADBC SAS ， PADC 设BD交PC于点O PBADBC ， BPABDC ， BOPCOD ， 60OBPOCD ，即60DCP 故答案为：PADC；60； （2）结论：3CDPA 理由：如图 2 中， ABAC，PBPD，12
35、0BACBPD ， 2cos303BCABBA ，2cos303BDBPBP ， 3 BCBD BABP ， 30ABCPBD ， ABPCBD ， CBDABP， 3 CDBC PAAB ， 3CDPA 第 24 页（共 26 页） （3） 如图 3， 过点C在CA的上方作射线CH， 使得 1 sin 3 PCH，90PHC， 过点B作BTCH于T， 交CP于P，过点P作P HBC于H 则 1 3 PHPC， 1 3 PBPCPBPHBT， 设PTx，则3CPx ，2 2CTx， 3 2 P Hx， 3 3 2 CHx， P BHTBC ，90P HBBTC ， BP HBCT， BPP H
36、BH BCTCBT ， 3 2 62 2 x BPBH BPxx ， 9 2 4 P B ， 3 227 816 BHx， BHCHBC， 3 2273 3 6 8162 xx， 4 32 4 x ， 32 2BT 故 1 3 BPPC最小值为32 2 27 （12 分）如图，已知抛物线 2 3yaxbx经过点(1, 1)A、( 3,3)B ，与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2） 若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点， 且点P的横坐标为m， 过点P作/ /PQy轴， 交线段AB 于点Q 当APQ为直角三角形时，求m的值； 当30m 时，若3PCAACO ，求m的值 第 25 页
37、（共 26 页） 【解答】解： （1）抛物线 2 3yaxbx经过点(1, 1)A、( 3,3)B ， 30 9333 ab ab ， 1a，1b ， 抛物线的解析式为： 2 3yxx， （2）/ /PQy轴， 90APQ或90QAP， 当90APQ时， 点P的纵坐标为1， 点( 2, 1)P ， 2m ， 当90QAP时， 直线PA的解析式为2yx， 由 2 2 3 yx yxx ， 解得 1 1 x y 或 1 3 x y ， ( 1, 3)P ， 1m 综上所述：1m 或2， （2）连接AC、BC交x轴于F，延长CP交x轴于M，作FHCM于H， 第 26 页（共 26 页） (1, 1)A、( 3,3)B 、(0, 3)C， tantanACOBCO， ACOBCO ， 3PCAACO ， MCFFCO ， FHCH， ()HCFOCF AAS ， 3 2 FHOF，3CHCO， MHFMOC， 1 2 FHMH OCMO ， 设MHx，则2MOx， 在MHF中， 由勾股定理得： 222 33 ( )(2) 22 xx， 解得0 x 或 2， ( 4,0)M， 直线MC的函数关系式为： 3 3 4 yx ， 直线MC与抛物线表达式联立得： 2 3 33 4 xxx， 1 0 x， 2 5 4 x ， m的值为 5 4
