1、2021 年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要 求）求） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C3 D 2下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是（ ） A B C D 4下列说法正确的有（ ） 绝对值等于本身的数是正数 连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离 若 ACBC，则点 C 就是线段 AB 的中点
2、不相交的两条直线是平行线 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5为了更好地迎接庐阳区排球比赛，某校积极准备， 从全校学生中遴选出 21 名同学进行相应的排球训练， 该训练队成员的身高如下表： 身高（cm） 170 172 175 178 180 182 185 人数（个） 2 4 5 2 4 3 1 则该校排球队 21 名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm） （ ） A185，178 B178，175 C175，178 D175，175 6实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ） Aa5b5 B6a6b Cab Dab0 7计算+，结果正确的是（ ）
3、A B C D 8如图所示，A、B 的坐标分别为（2，0） ， （0，1） ，且线段 A1B1AB，A1B1AB若 A1、B1的坐标分别 为（3，1） ， （a，b） ，则 a+b 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 9如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、 G、 H 分别是边 AD、AB、BC、 CD 的中点，连接 EF、FG、 GH HE 若 AD2AB，则下列结论正确的是（ ） AEFAB B C D 10如图，在 RtAOB 中，OAOB2，AOB90，以点 O 为圆心，OA 为半径作扇形 AOB，再以 AB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A2 B1 C D2 11
4、如图， 学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度， 他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60， 然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 10m，DE 的长为 5m，则树 AB 的高度 是（ ）m A10 B15 C15 D155 12已知二次函数 y2ax2+4ax+6a2+3（其中 x 是自变量） ，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，且2x1 时，y 的最小值为 15，则 a 的值为（ ） A1 或2 B或 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13多项式
5、 4xy2+12xyz 的公因式是 14一个多边形的边数是 10，则这个多边形的内角和是 15 如图， 数轴上两点A， B， 在线段AB上任取一点C， 则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是 16对于平面坐标系中任意两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）定义一种新运算“*”为： （x1，y1）*（x2，y2） （x1y2， x2y1） ， 根据这个规则， 若 A （x1， y1） 在第三象限， B （x2， y2） 在第四象限， 则 A*B 在第 象 限 17学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行 且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距
6、离 y（米）与时间 t（分钟）之间的函数关系如图所示；根 据图象信息知，AB 段的函数关系式是 18如图，四边形 ABCD 是边长为 m 的正方形，若 AFm，E 为 AB 上一点且 BE3，把AEF 沿着 EF 折叠，得到AEF，若BAE 为直角三角形，则 m 的值为 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 9 小题，共小题，共 78 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算： （2020）0+|sin45（） 2 20解不等式组：，并求不等式组的整数解 21如图，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，DEAB 于 E，DFBC 于
7、F，AB6，BC8，若 SABC28， 求 DE 的长 222020 年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论， 为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计 图如图，根据图中信息回答问题： （1）本次调查人数有 人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是 ； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习 方式的概率 23如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点 E 在O 外，连接 CE，ACB 的平分线交O 于点 D （1）若BC
8、EBAC，求证：CE 是O 的切线； （2）若 AD4，BC3，求弦 AC 的长 24大润发蔬菜超市从有机蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如下表： 蔬菜品种 西红柿 青椒 西兰花 豆角 批发价（元/kg） 3.6 5.4 8 4.8 零售价（元/kg） 5.4 8.4 14 7.6 请解答下列问题： （1）第一天，该超市批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300kg，用去了 1520 元钱，这两种蔬菜当天全部 售完一共能赚多少元钱？ （2）第二天，该超市仍然批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300kg，且西红柿的数量不少于西兰花的 1.5 倍，怎样进货才能获得更大的利润，最大利润
9、是多少？ 25如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 C 与原点 O 重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 A 在反 比例函数 y（x0）的图象上，点 D 的坐标为（4，3） （1）求 k 的值 （2）若将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移 m 个单位， 当菱形的顶点 B 落在反比例函数的图象上，求 m 的值； 在平移中，若反比例函数图象与菱形的边 AD 始终有交点，求 m 的取值范围 26如图 1，在 RtABC 中，C90，A30，BC1，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点CDE 绕点 C 顺时针旋转，设旋转角为 （0360） ，记直线 AD 与直线 BE 的交点为点 P
10、 （1）如图 1，当 0时，AD 与 BE 的数量关系为 ，AD 与 BE 的位置关系为 ； （2）当 0360时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图 2 的情形进行证明；若不成立，请说 明理由； （3）CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中 P 点运动轨迹的长度和 P 点到直线 BC 距 离的最大值 27抛物线 yax2+bx+4 交 x 轴于 A（3，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BCM 为线 段 OB 上的一个动点，过点 M 作 PMx 轴，交抛物线于点 P，交 BC 于点 Q （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PNBC，垂足为点
11、 N，设 M 点的坐标为 M（m，0） ，请用含 m 的代数式表示线段 PN 的 长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ （3） 试探究点 M 在运动过程中， 是否存在这样的点 Q， 使得以 A， C， Q 为顶点的三角形是等腰三角形 若 存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 13 的相反数是（ ） A3 B3 C3 D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案 【解答】解：3 的
12、相反数是 3 故选：B 2下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 3如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【解答】解：从上面看易得：有两列小正方形第一列有 3 个正方形，第二层最右边有一个正方形 故选：D 4下列说法正确的有（ ） 绝对值等于本身的数是正数 连接两点的线段的
13、长度，叫做这两点的距离 若 ACBC，则点 C 就是线段 AB 的中点 不相交的两条直线是平行线 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据两点之间的距离，绝对值，平行线，线段的中点的定义对各小题分析判断即可得解 【解答】解：绝对值等于本身的数是非负数，故不符合题意； 连接两点的线段的长度就是两点间的距离；故符合题意； 若 ACBC，则点 C 是线段 AB 的中点，错误，因为点 A、B、C 不一定共线；故不符合题意； 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故不符合题意； 故选：A 5为了更好地迎接庐阳区排球比赛，某校积极准备， 从全校学生中遴选出 21 名同学进行相应的排球训练，
14、该训练队成员的身高如下表： 身高（cm） 170 172 175 178 180 182 185 人数（个） 2 4 5 2 4 3 1 则该校排球队 21 名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm） （ ） A185，178 B178，175 C175，178 D175，175 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位 数；众数是一组数据中出现次数最多的数据 【解答】解：因为 175 出现的次数最多， 所以众数是：175cm； 因为第十一个数是 175， 所以中位数是：175cm 故选：D 6实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下
15、列关系式不成立的是（ ） Aa5b5 B6a6b Cab Dab0 【分析】根据数轴判断出 a、b 的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可 【解答】解：由图可知，b0a，且|b|a|， a5b5，6a6b，ab，ab0， 关系式不成立的是选项 C 故选：C 7计算+，结果正确的是（ ） A B C D 【分析】分式的加减混合运算先要确定最简公分母，然后进行通分，最后合并化简即可得到答案 【解答】解：原式 ， 故选：D 8如图所示，A、B 的坐标分别为（2，0） ， （0，1） ，且线段 A1B1AB，A1B1AB若 A1、B1的坐标分别 为（3，1） ， （a，b） ，则 a+b 的值为（
16、） A1 B2 C3 D4 【分析】根据点 A（2，0）平移后的对应点 A1的坐标为（3，1） ，得出平移方式，继而得出点 B（0，1） 平移后的对应点 B1的坐标求得 a、b 的值，即可得出答案 【解答】解：点 A（2，0）平移后的对应点 A1的坐标为（3，1） ， 平移的方式为向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位， 则点 B（0，1）平移后的对应点 B1的坐标为（1，2） ， 即 a1、b2， a+b3， 故选：C 9如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F、 G、 H 分别是边 AD、AB、BC、 CD 的中点，连接 EF、FG、 GH HE 若 AD2AB，则下列结论正确的是（ ）
17、 AEFAB B C D 【分析】连接 AC、BD，根据勾股定理求出 BD，根据三角形中位线定理进行计算，即可判断 【解答】解：连接 AC、BD， 设 ABa，则 AD2a， 由勾股定理得，BDa， E、F 分别是边 AD、AB 的中点， EFBDa， 故选：D 10如图，在 RtAOB 中，OAOB2，AOB90，以点 O 为圆心，OA 为半径作扇形 AOB，再以 AB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A2 B1 C D2 【分析】根据已知分别求出扇形和三角形 AOB 的面积，根据勾股定理求出 AB 长度，进而求出半圆的面 积，最后即可求得结果 【解答】解：， ， AB2， ，
18、S阴影S半圆（S扇形SAOB）（2）2 故选：A 11 如图， 学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度， 他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60， 然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡 CD 的长度为 10m，DE 的长为 5m，则树 AB 的高度 是（ ）m A10 B15 C15 D155 【分析】先根据 CD10m，DE5m 得出DCE30，故可得出DCB90，再由BDF30可 知DBE60，由 DFAE 可得出BGFBCA60，故GBF30，所以DBC30，再 由锐角三角函数的定义即可得出结论 【解答】解：在 RtCDE 中， CD10m，DE
19、5m， sinDCE， DCE30 ACB60，DFAE， BGF60 ABC30，DCB90 BDF30， DBF60， DBC30， BC10（m） ， ABBCsin601015（m） 故选：B 12已知二次函数 y2ax2+4ax+6a2+3（其中 x 是自变量） ，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，且2x1 时，y 的最小值为 15，则 a 的值为（ ） A1 或2 B或 C2 D1 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下 a0，然后由2x 1 时，y 的最小值为 15，可得 x1 时，y15，即可求出 a 【解答】解：二次函数 y2ax2+4
20、ax+6a2+3（其中 x 是自变量） ， 对称轴是直线 x1， 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小， a0， 2x10 时，y 的最小值为 15， x1 时，y2a+4a+6a2+315， 6a2+6a120， a2+a20， a1（不合题意舍去）或 a2 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13多项式 4xy2+12xyz 的公因式是 4xy 【分析】根据公因式的定义得出即可 【解答】解：多项式 4xy2+12xyz 的公因式是 4xy， 故答案为：4xy 14一个多边形的边数是 10，则这个多边形的内角和是 1440 【分析】根据 n 边形的内角和是（n2） 180
21、即可得到结论， 【解答】解：多边形的边数是 10， （n2） 180（102） 1801440 故答案为：1440 15 如图， 数轴上两点 A， B， 在线段 AB 上任取一点 C， 则点 C 到表示 1 的点的距离不大于 2 的概率是 【分析】先求出 AB 两点间的距离，再根据距离的定义找出符合条件的点即可 【解答】解：AB 间距离为 6，点 C 到表示 1 的点的距离不大于 2 的点是1 到 3 之间的点，满足条件 的点组成的线段的长是 4 其概率为 故答案为： 16对于平面坐标系中任意两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）定义一种新运算“*”为： （x1，y1）*（x2，y2） （
22、x1y2，x2y1） ，根据这个规则，若 A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限，则 A*B 在第 四 象限 【分析】直接利用已知运算公式结合各象限内点的坐标特点得出答案 【解答】解：A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）在第四象限， x10，y10，x20，y20，A*B（x1y2，x2y1） ， x1y20，x2y10， A*B 在第四象限 故答案为：四 17学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行 且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离 y（米）与时间 t（分钟）之间的函数关系如图所示；根 据图象信息知，AB 段的
23、函数关系式是 y40t（40t60） 【分析】根据图象信息，根据速度路程时间可得甲的速度，由 t24 分钟时甲乙两人相遇，可得甲、 乙两人的速度和为 240024100 米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时 间即 A 点的横坐标，用 A 点的横坐标乘以甲的速度得出 A 点的纵坐标，再将 A、B 两点的坐标代入，利 用待定系数法即可求出线段 AB 所表示的函数表达式 【解答】解：根据图象信息，当 t24 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 24006040（米/分钟） 甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t24 分钟时甲乙两人相 遇， 甲、乙
24、两人的速度和为 240024100 米/分钟， 乙的速度为 1004060（米/分钟） 乙从图书馆回学校的时间为 24006040 分钟， 40401600， A 点的坐标为（40，1600） 设线段 AB 所表示的函数表达式为 ykt+b， A（40，1600） ，B（60，2400） ， ，解得， 线段 AB 所表示的函数表达式为 y40t（40t60） 故答案为：y40t（40t60） 18如图，四边形 ABCD 是边长为 m 的正方形，若 AFm，E 为 AB 上一点且 BE3，把AEF 沿着 EF 折叠，得到AEF，若BAE 为直角三角形，则 m 的值为 或 12 【分析】根据题意可
25、得分两种情况讨论：当BAE90时，点 B、A、F 三点共线，当AEB 90时，证明四边形 AEAF 是正方形，进而可求得 BA的长 【解答】解：若BAE 为直角三角形， 分两种情况讨论： 当BAE90时，如图 1， 点 B、A、F 三点共线， 根据翻折可知： AFAF， ABm， BFm， BABFAFm， BE3， AEAEm3， AE2+AB2BE2， ， 解得，m，或 m0（舍） ， 故 m； 当AEB90时，如图 2， AEA90， 根据翻折可知： FAEA90， AFFA， 四边形 AEAF 是正方形， EAm， BEABAEm3， m12， 综上，m12 或， 故答案为：12 或
26、三解答题三解答题 19计算： （2020）0+|sin45（） 2 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+4 1+14 2 20解不等式组：，并求不等式组的整数解 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再确定其整数解 【解答】解：， 解不等式得 x3， 解不等式得 x1， 不等式组的解集为1x3， 不等式组的整数解为：0，1，2 21如图，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，DEAB 于 E，DFBC 于 F，AB6，BC8，若 SABC28， 求 DE 的长 【分析】根据角平分线性质得出
27、 DEDF，根据三角形的面积公式得出关于 DE 的方程，求出即可 【解答】解：BD 平分ABC 交 AC 于点 D，DEAB，DFBC， DEDF， AB6，BC8，SABC28， SABCSABD+SBCDABDE+BCDFDE （AB+BC）28， 即DE（6+8）28， DE4 222020 年疫情期间，某校为学生提供四种在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论， 为了解学生的需求，对学生进行了“你最喜欢哪种在线学习方式的调查，调查结果制成两幅不完整统计 图如图，根据图中信息回答问题： （1）本次调查人数有 100 人，在线答疑所在扇形的圆心角度数是 72 ； （2）补全条形
28、统计图； （3）甲、乙两位同学都参加了在线学习，请用画树状图或列表的方法求出两名同学喜欢同一种在线学习 方式的概率 【分析】 （1）样本中“在线阅读”的人数有 25 人，占调查人数的 25%，可求出调查人数；再求出“在线 答疑”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数即可； （2）补全条形统计图即可； （3）画出树状图表示所有可能出现的结果情况，进而求出甲、乙两个人选择同一种方式的概率 【解答】解： （1）2525%100（人） ，即本次调查人数有 100 人， “在线答疑”的人数为 10040251520（人） ，在扇形图中的圆心角度数为 36072； 故答案为：100，72； （2）补全
29、条形统计图如图所示： （3）四类在线学习方式在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论分别用 A、B、C、D 表示，画树状 图如图： 共有 16 个等可能的结果，其中甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的结果有 4 个， 甲、乙两名同学喜欢同一种在线学习方式的概率为 23如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，点 E 在O 外，连接 CE，ACB 的平分线交O 于点 D （1）若BCEBAC，求证：CE 是O 的切线； （2）若 AD4，BC3，求弦 AC 的长 【分析】 （1）连接 OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到OCE90，于是得到结论； （2）连接 BD，根据角平分线的定
30、义得到ACDBCD，求得，推出ADB 是等腰直角三角 形，求得 ABAD4，根据勾股定理即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OC， AB 是O 的直径， ACB90， ACO+BCO90， OAOC， OACOCA， BACBCE， ACOBCE， BCE+BCO90， OCE90， CE 是O 的切线； （2）解：连接 BD， ACB 的平分线交O 于点 D， ACDBCD， ， ADBD， AB 是O 的直径， ADB90， ADB 是等腰直角三角形， ABAD4， BC3， AC 24大润发蔬菜超市从有机蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如下表： 蔬菜品种 西
31、红柿 青椒 西兰花 豆角 批发价（元/kg） 3.6 5.4 8 4.8 零售价（元/kg） 5.4 8.4 14 7.6 请解答下列问题： （1）第一天，该超市批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300kg，用去了 1520 元钱，这两种蔬菜当天全部 售完一共能赚多少元钱？ （2）第二天，该超市仍然批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300kg，且西红柿的数量不少于西兰花的 1.5 倍，怎样进货才能获得更大的利润，最大利润是多少？ 【分析】 （1）设批发西红柿 xkg，西兰花 ykg，根据批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300kg，用去了 1520 元钱，列方程组求解； （2）设批发西红柿 akg，根据西
32、红柿的数量不少于西兰花的 1.5 倍，列不等式求解 【解答】解： （1）设批发西红柿 xkg，西兰花 ykg， 由题意得， 解得：， 故批发西红柿 200kg，西兰花 100kg， 则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚：2001.8+1006960（元） ， 答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚 960 元； （2）设批发西红柿 akg， 由题意得：a1.5（300a） ， 解得：a180， 最大利润是（148）（300180）+（5.43.6）1801044 元 25如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 C 与原点 O 重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 A 在反 比例函数 y（x
33、0）的图象上，点 D 的坐标为（4，3） （1）求 k 的值 （2）若将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移 m 个单位， 当菱形的顶点 B 落在反比例函数的图象上，求 m 的值； 在平移中，若反比例函数图象与菱形的边 AD 始终有交点，求 m 的取值范围 【分析】 （1）先由点 D 的坐标确定出 AD，从而求出点 A 坐标，最后求出 k， （2）由平移的性质确定出 B的纵坐标，根据解析式求出点 B的横坐标，即可； 由平移的性质求出点 D 落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边 AD 始终有交 点的 m 的取值范围 【解答】解： （1）过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，
34、 点 D 的坐标为（4，3） ， OF4，DF3， OD5， 菱形 ABCD AD5 A（4，8） ， 点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上， kxy4832， （2）将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移 m 个单位， 则平移后 B（m，5） ， 菱形的顶点 B 落在反比例函数 y的图象上， m， 如图， 将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移 m 个单位， 使得点 D 落在函数 y（x0）的图象 D处， 过点 D作 x 轴的垂线，垂足为 F， DF3， DF3， 点 D的纵坐标为 3， D落在函数 y（x0）的图象上， 3， x， OF， FF4 0m 26如图 1，在 RtABC 中
35、，C90，A30，BC1，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点CDE 绕点 C 顺时针旋转，设旋转角为 （0360） ，记直线 AD 与直线 BE 的交点为点 P （1）如图 1，当 0时，AD 与 BE 的数量关系为 ADBE ，AD 与 BE 的位置关系为 AD BE ； （2）当 0360时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图 2 的情形进行证明；若不成立，请说 明理由； （3）CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中 P 点运动轨迹的长度和 P 点到直线 BC 距 离的最大值 【分析】 （1）分别求出 AD，BE 的长，即可求解； （2）通过证明BCEACD，可得，CB
36、OCAD，可得结论； （3）利用锐角三角函数可求EBC30，由弧长公式可求 P 点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质 可求 P 点到直线 BC 距离的最大值 【解答】解： （1）在 RtABC 中，C90，A30，BC1， ACBC，AB2BC2，ADBE， 点 D，E 分别为 AC，BC 的中点， ADCDAC，BEECBC， ADBE， 故答案为：ADBE，ADBE； （2）结论仍然成立， 理由如下：AC，BC1，CD，EC， ， ， CDE 绕点 C 顺时针旋转， BCEACD， BCEACD， ，CBOCAD， ADBE， CBO+BOC90， CAD+AOP90， APO90， BE
37、AD； （3）APB90， 点 P 在以 AB 为直径的圆上， 如图 3，取 AB 的中点 G，作G，以点 C 为圆心，CE 为半径作C，当 BE 是C 切线时，点 P 到 BC 的距离最大，过点 P 作 PHBC，交 BC 的延长线于 H，连接 GP， BE 是C 切线， CEBE， sinEBC， EBC30， GBP30， GBGP， GBPGPB30， BGP120， 点 P 的运动轨迹为点 C点 P点 C点 B点 C， P 点运动轨迹的长度2， ABP30，BPAP， APAB1，BPAP， CBP30，PHBH， PHBP P 点到直线 BC 距离的最大值 27抛物线 yax2+b
38、x+4 交 x 轴于 A（3，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BCM 为线 段 OB 上的一个动点，过点 M 作 PMx 轴，交抛物线于点 P，交 BC 于点 Q （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PNBC，垂足为点 N，设 M 点的坐标为 M（m，0） ，请用含 m 的代数式表示线段 PN 的 长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？ （3） 试探究点 M 在运动过程中， 是否存在这样的点 Q， 使得以 A， C， Q 为顶点的三角形是等腰三角形 若 存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点 A、B
39、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）PNPQsin45（m2+m）（m2）2+，即可求解； （3）分 ACCQ、ACAQ、CQAQ 三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为：yx2+x+4； （2）由抛物线的表达式知，点 C（0，4） ， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：yx+4； 设点 M（m，0） ，则点 P（m，m2+m+4） ，点 Q（m，m+4） ， PQm2+m+4+m4m2+m， OBOC，故ABCOCB45， PQNBQM45， PNPQsin45（m2+m）（m2）2+， 0， 故当 m2 时，PN 有最大值为； （3）存在，理由： 点 A、C 的坐标分别为（3，0） 、 （0，4） ，则 AC5， 当 ACCQ 时，过点 Q 作 QEy 轴于点 E，连接 AQ， 则 CQ2CE2+EQ2，即 m2+4（m+4）225， 解得：m（舍去负值） ， 故点（，） ； 当 ACAQ 时，则 AQAC5， 在 RtAMQ 中，由勾股定理得：m（3）2+（m+4）225， 解得：m1 或 0（舍去 0） ， 故点 Q（1，3） ； 当 CQAQ 时，则 2m2m（3）2+（m+4）2， 解得：m（舍去） ； 综上，点 Q 的坐标为（1，3）或（，）
