1、专题专题 09 函数之解答题函数之解答题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 67 小题）小题） 1 （2019上海） 在平面直角坐标系 xOy 中 （如图） ， 已知一次函数的图象平行于直线 y= 1 2x， 且经过点 A （2， 3） ，与 x 轴交于点 B （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点 C 在 y 轴上，当 ACBC 时，求点 C 的坐标 【答案】解： （1）设一次函数的解析式为：ykx+b， 一次函数的图象平行于直线 y= 1 2x， k= 1 2， 一次函数的图象经过点 A（2，3） ， 3= 1 2 2 +b， b2， 一次函数的解析式为
2、y= 1 2x+2； （2）由 y= 1 2x+2，令 y0，得 1 2x+20， x4， 一次函数的图形与 x 轴的解得为 B（4，0） ， 点 C 在 y 轴上， 设点 C 的坐标为（0，y） ， ACBC， (2 0)2+ (3 )2= (4 0)2+ (0 )2， y= 1 2， 经检验：y= 1 2是原方程的根， 点 C 的坐标是（0， 1 2） 【点睛】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关 键 2 （2019上海）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） ，已知抛物线 yx22x，其顶点为 A （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 A 的坐
3、标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” 试求抛物线 yx22x 的“不动点”的坐标； 平移抛物线 yx22x， 使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的 “不动点” ， 其对称轴与 x 轴交于点 C， 且四边形 OABC 是梯形，求新抛物线的表达式 【答案】解： （1）a10， 故该抛物线开口向上，顶点 A 的坐标为（1，1） ； （2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t） ，则 tt22t， 解得：t0 或 3， 故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3） ； 新抛物线顶点 B 为“不动点” ，则设点 B（m，m） ， 新抛物线的对称轴为
4、：xm，与 x 轴的交点 C（m，0） ， 四边形 OABC 是梯形， 直线 xm 在 y 轴左侧， BC 与 OA 不平行， OCAB， 又点 A（1，1） ，点 B（m，m） ， m1， 故新抛物线是由抛物线 yx22x 向左平移 2 个单位得到的， 新抛物线的表达式为：y（x+1）21 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通 常按照题设顺序，逐次求解即可 3 （2018上海）在平面直角坐标系 xOy 中（如图） 已知抛物线 y= 1 2x 2+bx+c 经过点 A（1，0）和点 B （0，5 2） ，顶点为 C，点 D 在其对称轴上且位
5、于点 C 下方，将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90， 点 C 落在抛物线上的点 P 处 （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段 CD 的长； （3）将抛物线平移，使其顶点 C 移到原点 O 的位置，这时点 P 落在点 E 的位置，如果点 M 在 y 轴上， 且以 O、D、E、M 为顶点的四边形面积为 8，求点 M 的坐标 【答案】解： （1）把 A（1，0）和点 B（0，5 2）代入 y= 1 2x 2+bx+c 得 1 2 + = 0 = 5 2 ，解得 = 2 = 5 2 ， 抛物线解析式为 y= 1 2x 2+2x+5 2； （2）y= 1 2（x2） 2+9 2， C（
6、2，9 2） ，抛物线的对称轴为直线 x2， 如图，设 CDt，则 D（2，9 2 t） ， 线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处， PDC90，DPDCt， P（2+t，9 2 t） ， 把 P（2+t，9 2 t）代入 y= 1 2x 2+2x+5 2得 1 2（2+t） 2+2（2+t）+5 2 = 9 2 t， 整理得 t22t0，解得 t10（舍去） ，t22， 线段 CD 的长为 2； （3）P 点坐标为（4，5 2） ，D 点坐标为（2， 5 2） ， 抛物线平移，使其顶点 C（2，9 2）移到原点 O 的位置， 抛物线向左平移 2 个单
7、位，向下平移9 2个单位， 而 P 点（4，5 2）向左平移 2 个单位，向下平移 9 2个单位得到点 E， E 点坐标为（2，2） ， 设 M（0，m） ， 当 m0 时，1 2 （m+ 5 2 +2） 28，解得 m= 7 2，此时 M 点坐标为（0， 7 2） ； 当 m0 时，1 2 （m+ 5 2 +2） 28，解得 m= 7 2，此时 M 点坐标为（0， 7 2） ； 综上所述，M 点的坐标为（0，7 2）或（0， 7 2） 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋 转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用
8、分类讨论的思想解决数学问 题 4 （2018上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程 x（千米）之间是一次 函数关系，其部分图象如图所示 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （不需要写定义域） （2）已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米 时，司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时 离加油站的路程是多少千米？ 【答案】解： （1）设该一次函数解析式为 ykx+b， 将（150，45） 、 （0，60）代入 ykx+b 中， 150 + = 45 = 6
9、0 ，解得： = 1 10 = 60 ， 该一次函数解析式为 y= 1 10 x+60 （2）当 y= 1 10 x+608 时， 解得 x520 即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升 53052010 千米， 油箱中的剩余油量为 8 升时，距离加油站 10 千米 在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是 10 千米 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征， 根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键 5 （2017上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案 甲公司方案：每月
10、的养护费用 y（元）与绿化面积 x（平方米）是一次函数关系，如图所示 乙公司方案：绿化面积不超过 1000 平方米时，每月收取费用 5500 元；绿化面积超过 1000 平方米时， 每月在收取 5500 元的基础上，超过部分每平方米收取 4 元 （1）求如图所示的 y 与 x 的函数解析式： （不要求写出定义域） ； （2）如果某学校目前的绿化面积是 1200 平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化 养护费用较少 【答案】解： （1）设 ykx+b，则有 = 400 100 + = 900， 解得 = 5 = 400， y5x+400 （2）绿化面积是 1200 平方米时，甲公
11、司的费用为 6400 元，乙公司的费用为 5500+42006300 元， 63006400 选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少 【点睛】本题主要考查一次函数的应用此题属于图象信息识别和方案选择问题正确识图是解好题目 的关键 6 （2019浦东新区一模）如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADCD，M 为腰 AB 上一动点，联结 MC、MD，AD10，BC15，cotB= 5 12 （1）求线段 CD 的长 （2）设线段 BM 的长为 x，CDM 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域 【答案】解： （1）如图，作 AHBC 于 H ADBC，ADCD， C
12、DBC， ADCDCHAHC90， 四边形 AHCD 是矩形， ADCH10，AHCD， BC15， BHBCHC5， cotB= = 5 12， AH12， CDAH12 （2）作 MECD 于 E，MFBC 于 F，则四边形 MECF 是矩形 在 RtABH 中，BH5，AH12， AB= 52+ 122=13， BMx， BF= 5 13x，CFEM15 5 13x， y= 1 2 CDME= 1 2 12（15 5 13x）90 30 13x（0 x13） 【点睛】本题考查直角梯形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中
13、考常考题型 7 （2019杨浦区三模）在女子 800 米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程 S（米）与所 用时间 t（秒）之间的函数关系分別如图中线段 OA 和折线 OBCD 所示 （1）谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？（请直接写出答案） （2）起跑后的 60 秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明 【答案】解： （1）小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点 200 米； （2）根据图象可以知道跑后的 60 秒内小梅领先， 小莹的速度为：800 180 = 40 9 （米/秒） ， 故线段 OA 的解析式为：y= 40 9 x， 设线段 BC 的解析式
14、为：ykx+b，根据题意得： 60 + = 300 180 + = 600，解得 = 2.5 = 150， 线段 BC 的解析式为 y2.5x+150， 解方程40 9 = 2.5 + 150，得 = 540 7 ， 故小梅在起跑后540 7 秒时被追及 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的 过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决需注意计算单位的统一 8 （2019静安区二模）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续 5 小时内 6 个时间点的 水位高度，其中 x 表示时间，y 表示水位高度 x （小时） 0 1 2 3 4
15、 5 y（米） 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 （1）通过观察数据，请写出水位高度 y 与时间 x 的函数解析式（不需要写出定义域） ； （2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到 8 米时，水库报警系统会自动发出警报请 预测再过多久系统会发出警报 【答案】解： （1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b， = 3 + = 3.3，得 = 0.3 = 3 ， 即 y 与 x 之间的函数解析式为 y0.3x+3； （2）把 y8，代入 y0.3x+3，得 80.3x+3， 解得，x= 50 3 ， 50 3 5 = 35 3 ， 答：再过35 3 小时后系统会发
16、出警报 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答 9 （2019虹口区二模） 甲、 乙两组同时加工某种零件， 甲组每小时加工 80 件， 乙组加工的零件数量 y （件） 与时间 x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示 x（小时） 2 4 6 y（件） 50 150 250 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满 340 件装一箱，零件装箱的时间忽略不计， 求经过多长时间恰好装满第 1 箱？ 【答案】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0） 把（2，50） （4，15
17、0）代入， 得50 = 2 + ， 150 = 4 + . 解得 = 50， = 50. y 与 x 之间的函数关系式为 y50 x50； （2）设经过 x 小时恰好装满第 1 箱， 根据题意得 80 x+50 x50340， x3， 答：经过 3 小时恰好装满第 1 箱 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，运用待定系数法求出 y 与 x 之间的函 数关系式 10 （2019长宁区二模）某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间 满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为 x（支） 、y（支） ，部分数据如表所示（下 表中每一列数据
18、表示甲、乙两种笔同一天的售出量） 甲种笔售出 x（支） 4 6 8 乙种笔售出 y（支） 6 12 18 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （不需要写出函数的定义域） （2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为 30 元和 120 元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每 支售价多 2 元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？ 【答案】解： （1）设函数关系式为 ykx+b（k0） ，由图象过点（4，6） ， （6，12） ， 得：4 + = 6 6 + = 12， 解之得： = 3 = 6， 所以 y 关于 x 的解析式为：y3x6 （2）设甲种笔售出 x 支，则乙种笔售出（3x6）支，由
19、题意可得： 120 3;6 30 = 2 整理得：x27x300 解之得：x110，x23（舍去）3x624 答：甲、乙两种这天笔各售出 10 支、24 支 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系，本题属于中等题型 11 （2019嘉定区二模）某乒乓球馆普通票价 20 元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： 金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费； 银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次 数设打乒乓 x 次时，所需总费用为 y 元 （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式
20、； （2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消 费方式更合算 【答案】解： （1）由题意可得， 选择银卡消费时，y 与 x 之间的函数关系式为：y10 x+150， 选择普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式为：y20 x； （2）当 10 x+15020 x 时，得 x15， 当 10 x+150600 时，得 x45， 答：当打球次数不足 15 次时，选择普通票最合算，当打球次数介于 15 次到 45 次之间时，选择银卡最合 算，当打球次数超过 45 次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为 15 次时，选择普通票或银卡同为最合 算，当打球
21、次数恰为 45 次时，选择金卡或银卡同为最合算 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答 12 （2019松江区二模）小明、小军是同班同学某日，两人放学后去体育中心游泳，小明 16：00 从学校 出发，小军 16：03 也从学校出发，沿相同的路线追赶小明设小明出发 x 分钟后，与体育中心的距离为 y 米如图，线段 AB 表示 y 与 x 之间的函数关系 （1）求 y 与 x 之间的函数解析式； （不要求写出定义域） （2） 如果小军的速度是小明的1.5倍， 那么小军用了多少分钟追上小明？此时他们距离体育中心多少米？ 【答案】解： （1）
22、设 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b， = 600 10 + = 0，得 = 60 = 600 ， 即 y 与 x 之间的函数解析式为 y60 x+600； （2）小明的速度为：6001060 米/分钟， 则小军的速度为：601.590 米/分钟， 设小军用了 a 分钟追上小明， 90a60（a+3） ， 解得，a6， 当 a6 时，他们距离体育中心的距离是 60090660 米， 答：小军用了 6 分钟追上小明，此时他们距离体育中心 60 米 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答 13 （2019徐汇区二模）某市植物园于
23、 2019 年 3 月5 月举办花展，按照往年的规律推算，自 4 月下旬起 游客量每天将增加 1000 人，游客量预计将在 5 月 1 日达到最高峰，并持续到 5 月 4 日，随后游客量每天 有所减少，已知 4 月 24 日为第一天起，每天的游客量 y（人）与时间 x（天）的函数图象如图所示，结 合图象提供的信息，解答下列问题： （1）已知该植物园门票 15 元/张，若每位游客在园内每天平均消费 35 元，试求 5 月 1 日5 月 4 日，所 有游客消费总额约为多少元？ （2）当 x11 时，求 y 关于 x 的函数解析式 【答案】解： （1）根据题意，得 5 月 1 日到 5 月 4 日每
24、天的游客量均为：33000+7100040000（人） ， 所有游客消费总额为： （15+35）4000048000000（元） ， 答：5 月 1 日到 5 月 4 日所有游客消费总额为 8000000 元； （2）设函数解析式为 ykx+b， 把（11，40000）和（18，34400）都代入，得 40000 = 11 + 34400 = 18 + ， 解得， = 800 = 48800， 函数的解析式为：y800 x+48800 【点睛】本题是一次函数函数图象与实际生活结合的题目，主要考查了列代数式，用待定系数法求一次 函数的解析式，关键是看懂函数图象，理解题意，正确运用待定系数法，较基
25、础 14 （2019金山区二模）某演唱会购买门票的方式有两种 方式一：若单位赞助广告费 10 万元，则该单位所购门票的价格为每张 0.02 万元； 方式二：如图所示 设购买门票 x 张，总费用为 y 万元，方式一中：总费用广告赞助费+门票费 （1）求方式一中 y 与 x 的函数关系式 （2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共 400 张，且乙单位购买超过 100 张，两单位共花费 27.2 万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？ 【答案】 解：（1） 方案一： 单位赞助广告费10万元， 该单位所购门票的价格为每张0.02万元， 则y10+0.02x； （2）方案二：当
26、x100 时，设解析式为 ykx+b 将（100，10） ， （200，16）代入， 得 100 + = 10 200 + = 16， 解得 = 0.06 = 4 ， 所以 y0.06x+4 设乙单位购买了 a 张门票，则甲单位购买了（400a）张门票，根据题意得 0.06a+4+10+0.02（400a）27.2， 解得，a130， 400a270， 答：甲、乙两单位购买门票分别为 270 张和 130 张 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，及一元一次方程解决实 际问题的运用，在解答的过程中求出一次函数的解析式 y0.06x+4是解答的关键，根据自变量不同
27、的 取值，对总门票费分情况进行探讨是解决本题的易错点 15 （2019闵行区二模）甲骑自行车以 10 千米/时的速度沿公路行驶，3 小时后，乙骑摩托车从同一地点出 发沿公路与甲同向行驶，速度为 25 千米/时设甲出发后 x 小时，甲离开出发地的路程为 y1千米，乙离 开出发地的路程为 y2千米试回答下列问题： （1）求 y1、y2关于 x 的函数解析式； （2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图象； （3）当 x 为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？ 【答案】解： （1）由题意，得 y110 x（x0） ； y225（x3） ，即 y225x75（x3） ； （2）
28、列表 描点、连线， （3）由题意，当乙追上甲时，有 y1y2，则 10 x25x75， 解得 x5 此时他们离出发地的路程是 10550（千米） ， 答：当 x5 小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为 50 千米 【点睛】本题是一次函数的应用，主要考查了从实际问题中列一次函数的解析式，作一次函数的图象， 求两个一次函数图象的交点问题 16 （2019普陀区二模）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为 20 吨，但不超过 60 吨时，每吨的成本 y （万元/吨）与生产数量 x（吨）之间是一次函数关系，其图象如图所示： （1）写出 y 与 x 的函数关系式； （2）如果每吨的成本是 4.8 万
29、元，求该产品的生产数量； （3）当生产这种产品的总成本是 200 万元时，求该产品的生产数量 【答案】解： （1）设 ykx+b（k0） ， 由图可知，函数图象经过点（20，6） ， （28，5.6） ，则 6 = 20 + 5.6 = 28 + ， 解得 = 1 20 = 7 ， 故 y= 1 20 x+7（20 x60） ； （2）当 y4.8 时， 1 20 x+74.8， 解得 x44 答：每吨成本为 4.8 万元时，该产品的生产数量 44 吨； （3）根据题意得，xy200，即 x（ 1 20 x+7）200， 解得，x100（舍去）或 x40， 答：当生产这种产品的总成本是 200
30、 万元时，该产品的生产数量为 40 吨 【点睛】 本题考查了一次函数的应用， 一元二次方程的应用 主要利用了待定系数法求一次函数解析式， 已知函数值求自变量的方法 17 （2019柯桥区模拟）A、B 两地相距 30 千米，已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从 A 地出发前往 B 地，途中乙因修车耽误了些时间，然后又继续赶路图中的线段 OM 和折线 OCDE 分别反映了甲、乙两 人所行的路程 y（千米）与时间 x（分）的函数关系，根据图象提供的信息回答下列问题： （1）甲骑自行车的速度是 1 4 千米/分钟； （2）两人第二次相遇时距离 A 地 20 千米； （3）线段 DE 反映了乙修好车后所
31、行的路程 y（千米）与时间 x（分）的函数关系请求出线段 DE 的表 达式及其定义域 【答案】解： （1）由图可得， 甲骑自行车的速度是：30120= 1 4千米/分钟， 故答案为：1 4； （2）两人第二次相遇时距离 A 地：1 4 8020 千米， 故答案为：20； （3）设线段 DE 的表达式为 ykx+b（k0） ， 线段 DE 经过点 D（50，10）和（80，20） ， 50 + = 10 80 + = 20， 解得， = 1 3 = 20 3 ， y= 1 3x 20 3 ， 当 y30 时，x110， = 1 3 20 3 (50 110) 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答
32、本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思 想解答 18 （2019杨浦区二模）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米，先到 终点的人原地休息已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（米）与甲出发 的时间 x（分）之间的关系如图中折线 OAABBCCD 所示 （1）求线段 AB 的表达式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）求乙的步行速度； （3）求乙比甲早几分钟到达终点？ 【答案】解： （1）根据题意得： 设线段 AB 的表达式为：ykx+b （4x16） ， 把（4，240） ， （16，0）代入得： 4 + = 24
33、0 16 + = 0 ， 解得： = 20 = 320 ， 即线段 AB 的表达式为：y20 x+320 （4x16） ， （2）又线段 OA 可知：甲的速度为：240 4 =60（米/分） ， 乙的步行速度为：240:(16;4)60 16;4 =80（米/分） ， 答：乙的步行速度为 80 米/分， （3）在 B 处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+（164）60960（米） ， 与终点的距离为：24009601440（米） ， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：1440 60 =24（分） ， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：1440 80 18（分） ， 24186（分） ， 答：乙
34、比甲早 6 分钟到达终点 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键 19 （2019西安模拟）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、 乙两个施工队同时进行施工如图是反映所铺设彩色道砖的长度 y（米）与施工时间 x（时）之间关系的 部分图象请解答下列问题： （1）求乙队在 2x6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖 6 小时后，施工速度增加到 12 米/时，结果两队同时完成了任 务求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？ 【答案】解： （1）设乙队在 2x6 的时段内 y 与
35、 x 之间的函数关系式为 ykx+b， 由图可知，函数图象过点（2，30） ， （6，50） ， 2 + = 30 6 + = 50， 解得 = 5 = 20， y5x+20； （2）由图可知，甲队速度是：60610（米/时） ， 设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为 z 米， 依题意，得;60 10 = ;50 12 ， 解得 z110， 答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为 110 米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，难点在于（2）根据 6 小时后的施工时间相等列出方程 20 （2019浦东新区二模）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中
36、，双曲线 y= 6 经过第一象限内的点 A， 延长 OA 到点 B，使得 BA2AO，过点 B 作 BHx 轴，垂足为点 H，交双曲线于点 C，点 B 的横坐标为 6 求： （1）点 A 的坐标； （2）将直线 AB 平移，使其经过点 C，求平移后直线的表达式 【答案】解： （1）作 ADx 轴，垂足为 D， BHx 轴，ADx 轴，BHOADO90，ADBH， BA2AO， = = 1 2， 点 B 的横坐标为 6，OH6，OD2， 双曲线 y= 6 经过第一象限内的点 A，可得点 A 的纵坐标为 3， 点 A 的坐标为（2，3） ； （2）双曲线 y= 6 上点 C 的横坐标为 6，点 C
37、 的坐标为（6，1） ， 由题意得，直线 AB 的表达式为 y= 3 2 ， 设平移后直线的表达式为 y= 3 2 + ， 平移后直线 y= 3 2 + 经过点 C（6，1） ，1= 3 2 6 + ， 解得 b8， 平移后直线的表达式 y= 3 2 8 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，反比例函数图象上点的坐标特征，解本题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 21 （2019静安区一模）已知：如图，反比例函数的图象经过点 A、P，点 A（6， 4 3） ，点 P 的横坐标是 2抛 物线 yax2+bx+c（a0）经过坐标原点，且与 x 轴交于点 B，顶点为
38、 P求： （1）反比例函数的解析式； （2）抛物线的表达式及 B 点坐标 【答案】解： （1）设反比例函数的解析式为：y= ， 把点 A（6，4 3）代入得： 4 3 = 6， 解得：k8， 即反比例函数的解析式为：y= 8 ， （2）把 x2 代入 y= 8 得： y= 8 2 =4， 即点 P 的坐标为： （2，4） ， 设抛物线的表达式为：ya（x2）2+4， 把点 O（0，0）代入得： 4a+40， 解得：a1， 即抛物线的表达式为：y（x2）2+4， 把 y0 代入得： （x2）2+40， 解得：x10，x24， 即 B 点的坐标为： （4，0） 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例
39、函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性 质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与 x 轴的交点，解题的关键： （1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式， （2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物 线解析式，求抛物线与 x 轴的交点 22 （2019杨浦区三模）在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P 在直线 y= 1 2x 上，过点 P 的直线交 x 轴正半轴于点 A，交直线 y3x 于点 B，点 B 在第一象限内 （1）如图 1，当OAB90时，求 的值； （2）当点 A 的坐标为（6，0） ，且 BP2AP 时，将过点 A 的
40、抛物线 yx2+mx 上下方平移，使它过点 B，求平移的方向和距离 【答案】解： （1）设点 A 坐标为（a，0） （a0） OAB90，点 B 在直线 y3x 上，点 P 在直线 y= 1 2x 上 B（a，3a） ，P（a，1 2a） BP3a 1 2a= 5 2a，AP= 1 2a = 5 2 1 2 = 5 （2）如图，过点 B 作 BCx 轴于点 C，过点 P 作 PDx 轴于点 D BCPD BP2AP = = 2 CD2DA 设直线 AB 解析式为：ykx+b A（6，0） 6k+b0，得 b6k 直线 AB 解析式为 ykx6k 当1 2xkx6k 时，解得：x= 12 21
41、xDxP= 12 21 当 3xkx6k 时，解得：x= 6 3 xCxB= 6 3 CDxDxC= 12 21 6 3，AD6xD6 12 21 12 2;1 6 ;3 =2（6 12 21） 解得：k2 xB= 6(2) 23 = 12 5 ，yB3xB= 36 5 ，即 B（12 5 ，36 5 ） 抛物线 yx2+mx 过点 A 36+6m0，解得：m6 设平移后过点 B 的抛物线解析式为 yx2+6x+n （12 5 ）2+6 12 5 +n= 36 5 解得：n= 36 25 抛物线向下平移了36 25个单位长度 【点睛】本题考查了平行线分线段定理，一次函数的图象与性质，一元一次方
42、程、分式方程的解法，二 次函数的图象与性质平面直角坐标系中不平行于坐标轴的线段的比可通过作坐标轴的垂直线构造平行 线，再利用平行线分线段定理转换函数图象上下平移的规律即函数值上加下减一个常数 23 （2019青浦区二模）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx（a0）经过点 A（6， 3） ，对称轴是直线 x4，顶点为 B，OA 与其对称轴交于点 M，M、N 关于点 B 对称 （1）求这条抛物线的表达式和点 B 的坐标； （2）联结 ON、AN，求OAN 的面积； （3）点 Q 在 x 轴上，且在直线 x4 右侧，当ANQ45时，求点 Q 的坐标 【答案】解： （1）由
43、题意可得 2 = 4 36 + 6 = 3 ， 解得 a= 1 4，b2， 抛物线的表达式 y= 1 4x 22x 将 x4 代入，得 y4， 点 B 的坐标（4，4） ； （2）连结 ON、AN，如图 1 A（6，3） ， 直线 OA：y= 1 2x， 将 x4 代入，y2， M（4，2） ， M、N 关于点 B 对称，B（4，4） ， N（4，6） ， MN4， SOAN= 1 2MN|xA|= 1 2 4612； （3）设对称轴直线 x4 与 x 轴交于点 T，抛物线与 x 轴另一个交点为 P，则 P（8，0） A（6，3） ，N（4，6） ， 直线 AN：y= 3 2 12， 令 y0
44、，则 x8， 直线 AN 与 x 轴交点（8，0） ， 即直线 AN 与 x 轴交于点 P， 如图 2，连接 NQ，连接 NA、AP，过点 P 作 PRPN，与 NQ 交于点 R，过 R 作 RHx 轴于点 H PNRANQ45， PRN45PNR， PRPN， 易证PTNRHP（AAS） ， RHPT4，PHTN6， TH10， = ， 4 6 = :10， HQ20， OQOP+PH+HQ8+6+2034， 点 Q 的坐标（34，0） 【点睛】 本题考查了二次函数， 熟练掌握二次函数的相关性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键 24 （2019浦东新区二模）已知抛物线 y= 1 3 2+
45、bx+c 经过点 M（3，4） ，与 x 轴相交于点 A（3，0） 和点 B，与 y 轴相交于点 C （1）求这条抛物线的表达式； （2）如果 P 是这条抛物线对称轴上一点，PCBC，求点 P 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，当点 P 在 x 轴上方时，求PCB 的正弦值 【答案】解： （1）抛物线 y1 3x 2+bx+c 经过点 M（3，4） ，A（3.0） ， 4 = 3 + 3 + 0 = 3 3 + ， 解得： = 2 3 = 5 ， 这条抛物线的表达式为 y= 1 3x 22 3x5； （2）A（3，0） ，B（5，0） ， 这条抛物线的对称轴为直线 xl 设点 P 的坐标
46、为（l，y） PCBC，点 B 的坐标为（5，0） ，点 C 的坐标为（0，5） PC2BC2 12+（y+5）252+52 解得 y2 或 y12 点 P 的坐标为（1，2）或（l，12） ； （3）作 PHBC，垂足为点 H 点 B（5.0） ，点 C（0，5） ，点 P（1，2） ， PCBC52 设直线 BC 的解析式为 ykx5， 代入 B（5，0）解得 k1， 直线 BC 的解析式为 yx5， 把 x1 代入得，y4， 直线 BC 与对称轴相交于点 D（1，4） ， PD6， SPBCSPCD+SPBD， 1 2 52 = 1 2 6 1 + 1 2 6 4 解得 PH32 sin
47、PCB= 32 52 = 3 5 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函 数的解析式、锐角三角函数的定义，三角形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角 形解决问题，灵活运用三角形面积公式，属于中考常考题型 25 （2019静安区二模）在平面直角坐标系 xOy 中（如图 7） ，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过原点， 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P（3，4） （1）求这条抛物线表达式； （2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为 Q，它与 y 轴交点为 B，联结 PB、PQ设点 B 的 纵坐标为 m，用含 m 的代数式表示BPQ 的正切值； （3）连接 AP，在（2）的条件下，射线 PB 平分APQ，求点 B 到直线 AP 的距离 【答案】解： （1）设抛物线表达式为：ya（x+3）2+4（a0） 把 O（0，0）代入得 = 4 9， 抛物线的表达式： = 4 9( + 3) 2 + 4 （2）设 PQ 与 y 轴交点为 H P（3，4） ，B（0，m） ， PH3，BH4m， 在 RtPBH 中，tanBPQ= = 4 3 故BPQ 的正切值为：4;
