1、2021 年中考数学复习高频考点二次函数的应用专题突破训练年中考数学复习高频考点二次函数的应用专题突破训练 1函数 2 43ykxx与x轴有交点，则k的范围是（ ） A 4 3 k B 4 3 k 且0k C 4 3 k D 4 3 k 且0k 2已知二次函数 2 812yxx与x轴的交点为A，C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶 点部分为D，若点,P x y是四边形ABCD边上的点，则3xy的最大值为（ ） A-6 B-8 C-12 D-18 3用一根长为 12 cm 的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为( ) A7 cm 2 B8 cm 2 C9 cm 2 D10 cm 2
2、 4某工厂 2019 年产品的产量为 100 吨，该产品产量的年平均增长率为x（x0），设 2020 年该产品的产 量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ） Ay100（1x） 2 By100（1+x）2 Cy 2 100 (1) x Dy100+100（1+x）+100（1+x） 2 5小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h3.5t4.9t 2（t 的单位：s，h的单位：m） 可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A0.71s B0.70s C0.63s D0.36s 6吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 米，两侧
3、距P地面 4 米高处各有一 个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，则校门的高为（精确到 0.1 米，水泥建筑物厚度忽 略不计）（ ） A9.2 米 B9.1 米 C9 米 D5.1 米 7用长 8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积 是（ ） Am 2 Bm 2 Cm 2 D4m 2 8用长达 30cm的一根绳子，围成一个矩形，其面积的最大值为（ ） A225cm 2 B112.5cm 2 C56.25cm 2 D100cm 2 9“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行 加工煎炸臭豆
4、腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”在特定条件下， “可 食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：Pat 2+bt+c（a0，a，b，c 是常 数），如图记录了三次实验的数据根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时 间为（ ） A3.50 分钟 B4.05 分钟 C3.75 分钟 D4.25 分钟 10如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中C120若新建墙BC与CD总长为 12m， 则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ） A18m 2 B18m 2 C24m 2 Dm 2 11现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，
5、它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴 对称其中半圆交y轴于点E，直径AB2，OE2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B与x轴分别交 于点C、点D；直线BC的解析式为：则零件中BD这段曲线的解析式为 12用一块长方形的铁片，把它的四个角各自剪去一个边长是 4cm 的小方块，然后把四边折起来做成一个 没有盖的盒子， 已知铁片的长是宽的 2 倍， 则盒子的容积 y （cm 3） 与铁片宽 x （cm） 的函数关系式为_ 13如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，抛物线 2 1ya xc（a0） 的顶点为D， 且经过点A、B 若ABD为等腰
6、直角三角形， 则a的值为_ 14 若函数 2 yx2xk 的部分图象如图所示， 由图可知， 关于x的方程 2 x2xk0的一根是3， 则另一根为_ 15某商场购进一批单价为 20 元的日用商品，如果以单价 30 元销售，那么半月内可销售出 400 件，根据 销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件，当销售 量单价是 元/件，才能在半月内获得最大利润 16一小球从距地面 1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下 （1）小球第 3 次着地时，经过的总路程为 m； （2）小球第n次着地时，经过的总路程为 m 17小明家的洗手盆上装有一
7、种抬启式水龙头（如图 1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A， 出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为 12cm，洗手盆及水龙头的相关数据 如图 2 所示，现用高 10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则 点E到洗手盆内侧的距离EH为 cm 18如图，线段10AB，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和 BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是_ 19如图，在抛物线 上取点 ，在 轴负半轴上取一个点 ，使 为等边三角形， 然后在第四象限取抛物线上的点 ，在 轴负半轴上取点 ，使
8、 为等边三角形，重复以上的过程， 可得 ，则 的坐标为_， 的坐标为_. 20已知二次函数 2 yxbxc的顶点为1, 2，则其图象与 y 轴的交点坐标为_ 21一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 3 元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y （件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15 元/件若某一周该商品的销售量不少于 6000 件，求这一周该商场销售
9、这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于 15 元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1 m6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大请直接写出m的取值 范围 22如图，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=x 2bx+c 与 x 轴交于 A（x 1，0）、B（x2，0）（x1x2）两点，与 y 轴交于 C 点，且 1 1 x + 2 1 x = 2 3 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线顶点为 D，直线 BD 交 y 轴于 E 点； 设点 P 为线段 BD 上一点（点 P 不与 B、D 两点重合），过点 P 作
10、x 轴的垂线与抛物线交于点 F，求BDF 面积的最大值； 在线段 BD 上是否存在点 Q，使得BDC=QCE？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 23 已知抛物线y= 2 axbxc（a0） 与x轴交于AB两点,与y轴交于C点,其对称轴为x=1,且A （-1,0） C（0,2）. （1）直接写出该抛物线的解析式; （2）P 是对称轴上一点,PAC 的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（最大值或最小值）时点 P 的坐标; （3）设对称轴与x轴交于点 H,点 D 为线段 CH 上的一动点（不与点 CH 重合）.点 P 是（2）中所求的点. 过点 D 作 DEPC 交x轴于点 E
11、.连接 PDPE.若 CD 的长为m,PDE 的面积为 S,求 S 与m之间的函数关系式, 试说明 S 是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出 S 取得的最值及此时m的值;若不存在,请说明理由. 24某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销 售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单 价不得低于成本 (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不
12、低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 参考答案参考答案 1解：当 k=0，原函数为：y=-4x+3，与 x 轴有交点； 当 k0 时，=(-4) 2-12k=-12k+160，解得 k4 3 ， 综上，k 4 3 ，故选择 C. 2解：令 y=0，则 x 2+8x+12=0， 解得：x1=-2，x2=-6， 点 A 在点 C 的左侧， A（-6，0）、C（-2，0）， 令 x=0，则 y=12， 与 y 轴交点坐标为 B（0，12）， y=（x+4） 2-4 顶点坐标 D 为（-4，-4） 设 z=3x-y，则 y=3x-z 如图由函数 y=3x-z 的图象可知，欲求 z 的最
13、大值，可以转化为求直线 y=3x-z 与 y 轴交点的纵坐标的最小 值即可， 由图象可知当直线经过点 C 时-z 的值最小，z 的值最大， 把（-2，0）代入 y=3x-z，得到 z=-6， z 的最大值为-6 故选：A 3解：设矩形的长为x,则宽为 122 6, 2 x x 矩形的面积 2 2 (6)639,x xxxx 故矩形的最大面积是 9 cm 2 故选：C. 4解：根据题意，由“2017 年的产量=2015 年的产量（1+年平均增长率） 2”得：y 关于 x 的函数关系式 为 y=100（1+x） 2. 故选 B 5解： h3.5t4.9t 2 4.9（t） 2+ ， 4.90 当t
14、0.36s时，h最大 故选：D 6解：已知如图所示建立平面直角坐标系： 设抛物线的方程为yax 2+bx+c，又已知抛物线经过（4，0），（4，0），（3，4），（3，4）， 可得， 求出a，b0，c， 故yx 2+ ， 当x0 时，y9.1 米 故选：B 7解：设窗的高度为xm，宽为（）m， 故S ， 即S 当x2m时，S最大值为m 2 故选：C 8解：设围成的矩形长边为x，则短边为（15x）， 所以Sx（15x）（x） 2+ ， 该面积公式的函数图象开口向下 当x时，面积最大为，即 56.25 故选：C 9解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系Pat
15、 2+bt+c 中， ， 解得， 所以函数关系式为：P0.2t 2+1.5t1.9， 由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t3.75， 则当t3.75 分钟时，可以得到最佳时间 故选：C 10解：如图，过点C作CEAB于E， 则四边形ADCE为矩形，CDAEx，DCECEB90， 则BCEBCDDCE30，BC12x， 在 RtCBE中，CEB90， BEBC6x， ADCEBE6x，ABAE+BEx+6xx+6， 梯形ABCD面积S （CD+AB） CE （x+x+6） （6x） x 2+3 x+18 （x4） 2+24 ， 当x4 时，S最大24 即CD长为 4m时
16、，使梯形储料场ABCD的面积最大为 24m 2； 故选：C 11解：记AB与y轴的交点为F， AB2，且半圆关于y轴对称， FAFBFE1， OE2， OF1， 则右侧抛物线的顶点B坐标为（1，1）， 将点B（1，1）代入ykx+得k+1， 解得k， yx+， 当y0 时，x+0， 解得x3， C（3，0）， 则D（3，0）， 设右侧抛物线解析式为ya（x1） 2+1， 将点D（3，0）代入解析式得 4a+10， 解得a， y（x1） 2+1（1x3） 故答案为：y（x1） 2+1（1x3） 12解：盒子的长为 2x-24=2x-8，宽为 x-24=x-8 则容积：y=8x 2-96x+256
17、（x8） 故答案为 y=8x 2-96x+256（x8） 13 解：抛物线 2 1ya xc的对称轴方程为1,x 即点D的横坐标为 1， ABD为等腰直角三角形，则点B的横坐标为 2，正方形的边长为 2， 0,2 ,1,3AD, 代入抛物线解析式得： 2 3, ac c 解得： 1 3. a c 故答案为：1. 14解：补全图形，根据二次函数的对称性可知另一根为x1 故答案为：x1 15解：设销售单价为x元，销售利润为y元 根据题意，得： y（x20）40020（x30） （x20）（100020 x） 20 x 2+1400 x20000 20（x35） 2+4500， 200， x35 时
18、，y有最大值，故答案为 35 16解：（1）由题意可得， 小球第 3 次着地时，经过的总路程为：1+2.5（m）， 故答案为：2.5； （2）由题意可得，小球第n次着地时，经过的总路程为：1+23（） n2， 故答案为：3（） n2 17解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AGOC于G，交BD于Q，过M作MPAG于P， 由题可得，AQ12，PQMD6，故AP6，AG36， RtAPM中，MP8，故DQ8OG， BQ1284， 由BQCG可得，ABQACG， ，即， CG12，OC12+820， C（20，0）， 又水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24）， 可设抛物线为yax 2+
19、bx+24， 把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得 ，解得， 抛物线为yx 2+ x+24， 又点E的纵坐标为 10.2， 令y10.2，则 10.2x 2+ x+24， 解得x16+8，x268（舍去）， 点E的横坐标为 6+8， 又ON30， EH30（6+8）248 故答案为：248 18解：作MGDC于G，如图所示： 设MNy，PCx， 根据题意得：5GN ，102MGx， 在Rt MNG中，由勾股定理得： 222 MNMGGN， 即 2 22 5102yx 010 x， 当10 20 x，即5x 时， 2 25y 最小值 ， 5y 最小值 即 MN 的最小值为 5； 故
20、答案为：5 19解：根据 B1的坐标，易求得直线 OB1的解析式为 ； OB1A1是等边三角形，且 B1（ ） 直线 A1B2的解析式为 ，联立抛物线的解析式，得： 解得： 故 B2（ ），A1A2=2，A2（0，-3） 同理可求得 B3（ ），A 2A3=3，A3（0，-6）； 依次类推，当 A100时，A99A100=100， 点 A100的纵坐标的绝对值=1+2+3+4+ +100=5050 故 A100（0，-5050）. 故答案为(1). ， (2). 20解：根据题意知： 2 1 2 4 2 4 b cb ，解得： 2 1 b c ，所以抛物线解析式为y=x 22x1，当 x=0
21、时， y=1，此二次函数图象与y轴的交点为（0，1） 故答案为：（0，1） 21解：（1）设y与x的函数关系式为：ykx+b（k0）， 把x4，y10000 和x5，y9500 代入得， ， 解得， y500 x+12000； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15 元/件若某一周该商品的销售量 不少于 6000 件，”得， ， 解得，3x12， 设利润为w元，根据题意得， w（x3）y（x3）（500 x+12000）500 x 2+13500 x36000500（x13.5）2+55125， 5000， 当x13.5 时，w随x的增大而增大， 3x12，且x为正整
22、数 当x12 时，w取最大值为：500（1213.5） 2+5512554000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 54000 元，售价为 12 元； （3）根据题意得，w（x3m）（500 x+12000）500 x 2+（13500+500m）x3600012000m， 对称轴为x13.5+0.5m， 5000， 当x13.5+0.5m时，w随x的增大而增大， 该商场这种商品售价不大于 15 元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增 大而增大 1513.5+0.5m， 解得，m3， 1m6， 3m6 22解：（1）抛物线对称轴为直线 x=1 - 2 b
23、1 b=2 由一元二次方程根与系数关系： x1+x2=- b a ，x1x2= c a ， 12 1212 112 3 xxb xxx xc ， 2 3 b c ， 则 c=-3， 抛物线解析式为：y=x 2-2x-3； （2）由（1）点 D 坐标为（1，-4）， 当 y=0 时，x 2-2x-3=0， 解得 x1=-1，x2=3， 点 B 坐标为（3，0）， 设点 F 坐标为（a，b）， BDF 的面积 S= 1 2 （4-b）（a-1）+ 1 2 （-b）（3-a）- 1 2 24， 整理的 S=2a-b-6， b=a 2-2a-3， S=2a-（a 2-2a-3）-6=-a2+4a-3，
24、 a=-10， 当 a=2 时，S最大=-4+8-3=1， 存在. 如图，由B(3,0)，C(0, 3)，D(1, 4)可知， BC=3 2，CD= 2，BD=2 5， 222 (3 2)( 2)(2 5)，即 222 BCCDBD， 90BCD， tan3 BC BDC CD ， 点Q再线段BD上，所以设点Q的坐标为( ,26)tt ， 过点Q作QHy轴于点H， 当tan3QCH时，BDCQCE ， 此时 3 (26)3 HQt CHt ， 解得 9 7 t ， 24 26 7 t ， 点 Q 的坐标为 924 ( 77 ,）. 23解：（1）抛物线y= 2 axbxc（a0）与x轴交于 A
25、B 两点,其对称轴为x=1,且 A（-1,0）， 点 B 的坐标为（3，0）， 可设抛物线解析式为：(1)(3)ya xx， 抛物线和 y 轴交于点 C（0，2）， 2(0 1)(03)a，解得： 2 3 a ， 2 (1)(3) 3 yxx ，即 2 24 2 33 yxx ； （2）PAC 的周长有最小值，连结 ACBC， AC 的长度一定, 要使PAC 的周长最小,就是使 PA+PC 最小. 点 A 关于对称轴x=1 的对称点是 B 点, BC 与对称轴的交点即为所求的点 P（如图 2）, 设直线 BC 的表达为 BC l :y=kx b,则有 30 2 kb b ,解得 2 3 2 k
26、 b , BC l :y=- 2 3 x+2, 把x=1 代入,得y= 4 3 , 即点 P 的坐标为 P（1, 4 3 ）, PAC 的周长取得最小值,取得最小值时点 P 的坐标为 P（1, 4 3 ）； （3）如图 2，设 DE 对称轴 x=1 于点 Q, 在 RtCOH 中，由勾股定理得 CH= 22 COOH = 22 21 =5. 过点 D 作 DFy轴于点 F，交对称轴x=1 于点 N， RtCDFRtCHO， CFCD COCH ， CF= CO CD CH = 2 5 m = 2 5 5 m ，OF=CO-CF=2- 2 5 5 m ； 同样： FDCD OHCH ，FD= O
27、H CD CH = 5 m = 5 5 m ， 点 D 的坐标为 D（ 5 5 m ,2- 2 5 5 m ）， N（1，2- 2 5 5 m ）. DEBC， 可设 DE l（过点 DE 的直线）:y=- 2 3 x+ 1 b， 把 D 点坐标代入其中，得- 2 3 5 5 m + 1 b=2- 2 5 5 m ， 解得 1 b=2- 4 5 15 m ， DE l：y=- 2 3 x+2- 4 5 15 m ， 点 E 的纵坐标为 0，代入其中，解得x=3- 2 5 5 m ， E（3- 2 5 5 m ，0）. 点 Q 在对称轴x=1 上，把x=1 代入 DE l中，解得y= 4 3 -
28、 4 5 15 m ， Q（1, 4 3 - 4 5 15 m ）. PQ= 4 3 -（ 4 3 - 4 5 15 m ）= 4 5 15 m ,DN=1- 5 5 m ， EH=3- 2 5 5 m -1=2- 2 5 5 m . S=SPDE=SPDQ+SPEQ= 1 2 PQDN+ 1 2 PQEH = 1 2 PQ（DN+EH）= 1 2 4 5 15 m （1- 5 5 m +2- 2 5 5 m ）, 化简得 S=- 2 2 5 m+ 2 5 5 m , 可知 S 是关于m的二次函数. S 存在最大值. 配方可得:S=- 2 25 52 m + 1 2 ,由此可得,S 取得最大值为 1 2 , 取得最大值时m的值为:m= 5 2 . 25解：（1）y=（x50）50+5（100 x） =（x50）（5x+550） =5x 2+800 x27500， y=5x 2+800 x27500（50 x100）； （2）y=5x 2+800 x27500=5（x80）2+4500， a=50， 抛物线开口向下 50 x100，对称轴是直线 x=80， 当 x=80 时，y最大值=4500； （3）当 y=4000 时，5（x80） 2+4500=4000， 解得 x1=70，x2=90 当 70 x90 时，每天的销售利润不低于 4000 元
