1、专题五专题五 函数与几何综合运用函数与几何综合运用 类型 1 存在性问题 存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边 形形状关系；最大、最小值数量关系等 1如图，已知二次函数 y1x213 4 xc 的图象与 x 轴的一个交点为 A(4，0)，与 y 轴的交点为 B，过 A、 B 的直线为 y2kxb. (1)求二次函数的解析式及点 B 的坐标； (2)由图象写出满足 y1y2的自变量 x 的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点 P， 使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在， 求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 2如图，抛物线
2、 yax2bx3 经过点 A(2，3)，与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且 OC3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)点 D 在 y 轴上，且BDOBAC，求点 D 的坐标； (3)点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 类型 2 几何最值、定值问题 3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90 得到 平行四边形 ABOC.抛物线 yx22x3 经过点 A、C、A三点 (1)求 A、A、
3、C 三点的坐标； (2)求平行四边形 ABOC 和平行四边形 ABOC重叠部分的面积； (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？ 并写出此时 M 的坐标 4如图，已知抛物线 yax22 3ax9a 与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中 C(0，3)，BAC 的平分线 AE 交 y 轴于点 D，交BC 于点 E，过点 D 的直线 l 与射线 AC，AB 分别交于点 M，N. (1)直接写出 a 的值、点 A 的坐标及抛物线的对称轴； (2)点 P 为 抛物线的对称轴上一动点，若PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标； (3)证明：当直线
4、 l 绕点 D 旋转时， 1 AM 1 AN均为定值，并求出该定值 类型 3 反比例函数与几何问题 5如图，P1，P2是反比例函数 yk x(k0)在第一象限图象上的两点，点 A1的坐标为(4，0)若P1OA1与 P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点 P1，P2为直角顶点 求反比例函数的解析式 ()求 P2的坐标 ()根据图象直接写出在第一象限内当 x 满足什么条件时，经过点 P1，P2的一次函数的函数值大于反 比例函数 yk x的函数值 6如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，点 C 的坐标为(0，3)，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 D，M 分别在边
5、AB，OA 上，且 AD2DB，AM2MO，一次函数 ykxb 的图象过 点 D 和 M，反比例函数 ym x的图象经过点 D，与 BC 的交点为 N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若点 P 在直线 DM 上，且使OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等，求点 P 的坐标 专题五专题五 函数与几何综合运用函数与几何综合运用 类型 1 存在性问题 存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边 形形状关系；最大、最小值数量关系等 1如图，已知二次函数 y1x213 4 xc 的图象与 x 轴的一个交点为 A(4，0)，与 y 轴的交
6、点为 B，过 A、 B 的直线为 y2kxb. (1)求二次函数的解析式及点 B 的坐标； (2)由图象写出满足 y1y2的自变量 x 的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点 P， 使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在， 求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 解：(1)将 A(4，0)代入 y1x213 4 xc，得4213 4 4c0，解得 c3.所求二次函数的解析式 为 y1x213 4 x3.当 x0 时，y13，点 B 的坐标为(0，3) (2)满足 y1y2的自变量 x 的取值范围是：x0 或 x4. (3)存在，理由如下： 作线段 AB 的中垂线 l，垂足为
7、C， 交 x 轴于点 P1，交y 轴于点 P2.A(4， 0)， B(0， 3)，OA4，OB3.在 RtAOB 中，AB OA2OB25.ACBC5 2.RtACP1与 RtAOB 有 公共OAB， RtACP1RtAOB.AP1 AB AC OA， 即 AP1 5 5 2 4， 解得 AP1 25 8 .而 OP1OAAP1425 8 7 8， 点 P1的坐标为(7 8，0)又RtP2CB 与 RtAOB 有公共OBA，RtP2CBRtAOB. P2B AB BC BO， 即P2B 5 5 2 3， 解得 P2B 25 6 .而 OP2P2BOB25 6 37 6， 点 P2的坐标为(0，
8、 7 6) 所求点 P 的坐标为( 7 8， 0)或(0，7 6) 2 如图， 抛物线 yax2bx3 经过点 A(2， 3)， 与 x 轴负半轴交于点 B， 与 y 轴交于点 C， 且 OC3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)点 D 在 y 轴上，且BDOBAC，求点 D 的坐标； (3)点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)由 yax2bx3 得 C(0.3)，OC3，OC3OB，OB1，B(1，0)，把 A(2， 3)，B(1，0)代入 y
9、ax2bx3 得 4a2b33 ab30 ， a1 b2，抛物线的解析式为 yx 22x3； (2)设连接 AC，作 BFAC 交 AC 的延长线于 F，A(2，3)，C(0，3)，AFx 轴，F(1， 3)，BF3，AF3，BAC45 ，设 D(0，m)，则 OD|m|，BDOBAC，BDO45 ， ODOB1，|m|1，m 1，D1(0，1)，D2(0，1)； (3)设 M(a，a22a3)，N(1，n)，以 AB 为边，则 ABMN，ABMN，如图 2，过 M 作 ME对 称轴于 E，AFx 轴于 F，则ABFNME，NEAF3，MEBF3，|a1|3，a4 或 a 2，M(4，5)或(
10、2，5)；以 AB 为对角线，BN AM，BNAM，如图 3，则 N 在 x 轴上，M 与 C 重 合，M(0，3)，综上所述，存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(2，5) 或(0，3) 类型 2 几何最值、定值问题 3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90 得到 平行四边形 ABOC.抛物线 yx22x3 经过点 A、C、A三点 (1)求 A、A、C 三点的坐标； (2)求平行四边形 ABOC 和平行四边形 ABOC重叠部分的面积； (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时，A
11、MA的面积最大？最大面积是多少？ 并写出此时 M 的坐标 解：(1)当 y0 时，x22x30，解得 x13，x21，C(1，0)，A(3，0)当 x0 时，y3， A(0，3) (2)设 AC与 OB 相交于点 D.C(1，0)，A(0，3)，B(1，3)OB 3212 10.SBOA1 21 33 2.又平行四边形 ABOC 旋转 90 得到平行四边形 ABOC， ACOOCD.又ACOABO，ABOOCD.又CODAOB，COD BOA.S COD SBOA( OC OB) 2( 1 10) 2.S COD 3 20. (3)设 M 点的坐标为(m，m22m3)，连接 OM.SAMASM
12、OASMOASAOA1 23(m 22m 3)1 23m 1 233 3 2m 29 2m 3 2(m 3 2) 227 8 .(0m3)当 m3 2时，SAMA取到最大值 27 8 ， M(3 2， 15 4 ) 4如图，已知抛物线 yax22 3ax9a 与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中 C(0，3)，BAC 的平分线 AE 交 y 轴于点 D，交 BC 于点 E，过点 D 的直线 l 与射线 AC，AB 分别交于点 M，N. (1)直接写出 a 的值、点 A 的坐标及抛物线的对称轴； (2)点 P 为抛物线的对称轴上一动点，若PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标； (3)证明：当
13、直线 l 绕点 D 旋转时， 1 AM 1 AN均为定值，并求出该定值 解：(1)C(0，3)9a3，解得：a1 3.令 y0 得：ax 22x9a0，a0，x22x90， 解得：x 3或 x3 3.点 A 的坐标为( 3，0)，B(3 3，0)抛物线的对称轴为 x 3. (2)OA 3，OC3，tanCAO 3，CAO60 .AE 为BAC 的平分线，DAO30 . DO 3 3 AO1.点 D 的坐标为(0，1)设点 P 的坐标为( 3，a) 依据两点间的距离公式可知：AD24，AP212a2，DP23(a1)2.当 ADPA 时，412a 2，方 程无解当 ADDP 时，43(a1)2，
14、解得 a2 或 a0，当 a2 时，点 A，D，P 三点共线，不能构成 三角形，a2，点 P 的坐标为( 3，0)当 APDP 时，12a23(a1)2，解得 a4.点 P 的坐 标为( 3，4)综上所述，点 P 的坐标为( 3，0)或( 3，4) (3)设直线 AC 的解析式为 ymx3，将点 A 的坐标代入得： 3m30，解得：m 3， 直线 AC 的解析式为 y 3x3.设直线 MN 的解析式为 ykx1.把 y0 代入 ykx1 得：kx1 0，解得：x1 k，点 N 的坐标为( 1 k，0)AN 1 k 3 3k1 k .将 y 3x3 与 ykx1 联立 解得：x 2 k 3.点
15、M 的横坐标为 2 k 3.过点 M 作 MGx 轴，垂足为 G.则 AG 2 k 3 3.MAG 60 ， AGM90 ， AM2AG 4 k 32 3 2 3k2 k 3 . 1 AM 1 AN k 3 2 3k2 k 3k1 3k 3 2 3k2 3（ 3k1） 2（ 3k1） 3 2 类型 3 反比例函数与几何问题 5如图，P1，P2是反比例函数 yk x(k0)在第一象限图象上的两点，点 A1的坐标为(4，0)若P1OA1与 P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点 P1，P2为直角顶点 求反比例函数的解析式 ()求 P2的坐标 ()根据图象直接写出在第一象限内当 x 满足什么条件时，
16、 经过点 P1， P2的一次函数的函数值大于反比 例函数 yk x的函数值 解：过点 P1作 P1Bx 轴，垂足为 B，点 A1的坐标为(4，0)，P1OA1为等腰直角三角形，OB 2，P1B1 2OA12，P1的坐标为(2，2)，将 P1的坐标代入反比例函数 y k x(k0)，得 k224， 反比例函数的解析式为 y4 x；()过点 P2作 P2Cx 轴，垂足为CP2A1A2为等腰直角三角形，P2C A1C， 设P2CA1Ca， 则P2的坐标为(4a， a)， 将P2的坐标代入反比例函数的解析式y4 x中， 得a 4 4a， 解得 a12 22，a22 22(舍去)，P2的坐标为(22 2
17、，2 22)； ()在第一象限内，当 2x22 2时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 6如图，在 平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，点 C 的坐标为(0，3)，点 A 在 x 轴的负半轴上，点 D，M 分别在边 AB，OA 上，且 AD2DB，AM2MO，一次函数 ykxb 的图象 过点 D 和 M，反比例函数 ym x的图象经过点 D，与 BC 的交点为 N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若点 P 在直线 DM 上，且使OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等，求点 P 的坐标 解：(1)正方形 OABC 的顶点 C(0，3)，OA
18、ABBCOC3，OABBBCO90 ，AD 2DB，AD2 3AB2，D(3，2)，把 D 坐标代入 y m x得：m6，反比例函数解析式为 y 6 x， AM2MO，MO1 3OA1，即 M(1，0)，把 M 与 D 的坐标代入 ykxb 中得： kb0， 3kb2，解 得：kb1，则直线 DM 解析式为 yx1 (2)把 y3 代入 y6 x得：x2，N(2，3)，即 NC2， 设 P(x， y)， OPM 的面积与四边形 OMNC 的面积相等， 1 2(OMNC) OC 1 2OM|y|， 即|y|9， 解得：y 9，当 y9 时，x10，当 y9 时，x8，则 P 坐标为(10，9)或(8，9)
