2021年中考数学分类专题突破专题15 锐角三角函数(解析版)

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1、专题专题 15 15 锐角三角函数锐角三角函数 一、选择题一、选择题 1. 下列式子错误 的是( ) A. cos40 sin50 B. tan15 tan75 1 C. sin225 cos225 1 D. sin60 2sin30 【答案】【答案】D 【解析】逐项分析如下: 选项 逐项分析 正误 A cos40 sin(90 40 )sin50 B tan15 tan75 1 tan75 tan75 1 C sin2Acos2A1 D sin60 3 2 ,2sin30 2 1 21,sin602sin30 2. 在 Rt ABC 中,C90 ,sinA4 5,AC6 cm.则 BC 的长

2、度为( ) A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 【答案】【答案】C 【解析】sinABC AB 4 5,设 BC4a,则 AB5a,AC (5a) 2(4a)23a,3a6, 即 a2,故 BC4a8 cm. 3. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(4,3),那么 cos 的值是( ) A. 3 4 B. 4 3 C. 3 5 D. 4 5 【答案】【答案】D 【解析】如解图,过点 A 作 ABx 轴于点 B,A(4,3),OB4,AB3,OA 3242 5,cosOB OA 4 5. 4. 某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆 AB

3、 的长为 ( ) A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】【答案】 B 解析如图, 过点A作ADBC, 垂足为点D, 则BD=1.5+0.3=1.8(米).在Rt ABD中, ADB=90 , cosB=,所以 AB=.故选 B. 5. 一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列 关系或说法正确的是( ) A. 斜坡 AB 的坡度是 10 B. 斜坡 AB 的坡度是 tan10 C. AC1.2tan10 米 D. AB 1.2 cos10 米 【答案】【答案】 B 【解析】斜坡 AB 的坡角是 10 ,选项 A 是错误的;坡度坡比坡角的正

4、切,选 项 B 是正确的;AC 1.2 tan10 米,选项 C 是错误的;AB 1.2 sin10 米,选项 D 是错误的 6. 一座楼梯的示意图如图所示,BC 是铅垂线,CA 是水平线,BA 与 CA 的夹角为 .现要在楼梯上铺一条 地毯,已知 CA4 米,楼梯宽度 1 米,则地毯的面积至少需要( ) A. 4 sin 米 2 B. 4 cos 米 2 C. (4 4 tan) 米 2 D. (44tan) 米2 【答案】【答案】D 【解析】在 Rt ABC 中,BAC,CA4 米,BCCA tan4tan.地毯长为(44tan) 米,宽为 1 米,其面积为(44tan) 1(44tan)

5、米 2. 7. 如图,钓鱼竿 AC 长 6 m,露在水面上的鱼线 BC 长 3 2 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿 AC 转到 AC的位置,此时露在水面上的鱼线 BC为 3 3 m,则鱼竿转过的角度是( ) A. 60 B. 45 C. 15 D. 90 【答案】【答案】 C 【解析】 sinCABBC AC 3 2 6 2 2 , CAB45 , sinCABBC AC 3 3 6 3 2 , CAB 60 ,CAC60 45 15 ,即鱼竿转过的角度是 15 . 8. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图,旗杆 PA 的高度与拉绳 PB 的长度相等,小明 将 PB 拉到

6、 PB的位置, 测得PBC(BC 为水平线), 测角仪 BD 的高度为 1 米, 则旗杆 PA 的高度为( ) A. 1 1sin B. 1 1sin C. 1 1cos D. 1 1cos 【答案】【答案】A 【解析】在 Rt PCB中,sinPC PB,PCPBsin,又BDAC1,则 PBsin1PA, 而 PBPA,PA 1 1sin. 9. 如图,以 O 为圆心,半径为 1 的弧交坐标轴于 A,B 两点,P 是AB 上一点(不与 A,B 重合),连接 OP, 设POB,则点 P 的坐标是( ) A. (sin,sin) B. (cos,cos) C. (cos,sin) D. (si

7、n,cos) 【答案】【答案】C 【解析】如解图,过点 P 作 PCOB 于点 C,则在 Rt OPC 中,OCOP cosPOB1 cos cos,PCOP sinPOB1 sinsin,即点 P 的坐标为(cos,sin) 10. 如图,在 ABC 中,ABAC,BC12,E 为 AC 边的中点,线段 BE 的垂直平分线交边 BC 于点 D.设 BDx,tanACBy,则( ) A. xy23 B. 2xy29 C. 3xy215 D. 4xy221 【答案】【答案】B 【解析】连接 DE,过点 A 作 AFBC,垂足为 F,过 E 作 EGBC,垂足为 G.ABAC, AFBC,BC12

8、,BFFC6,又E 是 AC 的中点,EGBC,EGAF,CGFG1 2CF3, 在 Rt CEG 中,tanCEG CG,EGCG tanC3y;DGBFFGBD63x9x,HD 是 BE 的垂直平分线, BDDEx, 在 Rt EGD 中, 由勾股定理得, ED2DG2EG2, x2(9x)2(3y)2, 化简整理得,2xy29. 二、填空题二、填空题 11. 6tan230 -sin60 -2sin45 = . 【答案】【答案】 解析原式=6 2- -2=. 12. 如图,小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度,将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6 m 的位置,在 D 处测得旗杆

9、顶端 A 的仰角为 53 ,若测角仪的高度是 1.5 m,则旗杆 AB 的高度约为 m(精确到 0.1 m).(参考数据:sin530.80,cos530.60,tan531.33) 【答案】【答案】9.5 解析由题可知 BC=6 m,CD=1.5 m,过 D 作 DEBC 交 AB 于点 E,易知四边形 BCDE 是 矩形,DE=BC=6 m, 在 Rt ADE 中,AE=DEtan537.98(m),EB=CD=1.5 m, AB=AE+EB=9.48(m)9.5 m. 13. 已知 , 均为锐角,且满足|sin1 2| (tan1)20,则 _ 【答案】【答案】75 【解析】由于绝对值和

10、算术平方根都是非负数,而这两个数的和又为零,于是它们都为零根 据题意,得|sin1 2|0, (tan1) 20,则 sin 1 2,tan 1,又因为 、 均为锐角,则 30 , 45 ,所以 30 45 75 . 14. 如图,一艘渔船位于灯塔 P 的北偏东 30 方向,距离灯塔 18 海里的 A 处,它沿正南方向航行一段时间 后,到达位于灯塔 P 的南偏东 55 方向上的 B 处,此时渔船与灯塔 P 的距离约为_海里(结果取整 数参考数据:sin550.8,cos550.6,tan551.4) 【答案】【答案】11 【解析】A30 ,PM1 2PA9 海里B55 , sinB PM PB

11、,0.8 9 PB,PB11 海里 15. 齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图,它的大灯 A 射出的边缘光线 AB,AC 与地面 MN 所夹 的锐角分别为 8 和 10 ,大灯 A 与地面的距离为 1 m,则该车大灯照亮的宽度 BC 是_m(不考虑其 他因素,参考数据:sin8 4 25,tan8 1 7,sin10 9 10,tan10 5 28) 【答案】【答案】1.4 【解析】如解图,作 ADMN 于点 D,由题意得,AD1 m,ABD8 ,ACD10 , ADCADB90 ,BD AD tan8 1 1 7 7 m,CD AD tan10 1 5 28 28 5 5.6 m,BC

12、BDCD75.6 1.4 m. 16. 如图,航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30 ,测得底部 C 的俯角为 60 ,此时航拍无 人机与该建筑物的水平距离 AD 为 90 米,那么该建筑物的高度 BC 约为_米(精确到 1 米,参考数 据: 31.73) 【答案】【答案】208 【解析】在 Rt ABD 中,BDAD tanBAD90 tan30 30 3,在 Rt ACD 中,CD AD tanCAD90 tan60 90 3,BCBDCD30 390 3120 3208(米) 三、解答题三、解答题 17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图,明朝科学家徐光启在

13、农政全书中用图画描绘了筒 车的工作原理.如图,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截 得的弦 AB 的长为 6 米,OAB=41.3 .若点 C 为运行轨道的最高点(C,O 的连线垂直于 AB).求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. (参考数据:sin41.30.66,cos41.30.75,tan41.30.88) 【答案】【答案】 解:连接 CO 并延长,交 AB 于点 D,CDAB,且 D 为 AB 中点,所求运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在 直线的距离即为线段 CD 的长. 在 Rt AOD 中,AD= AB=3,OAD=41.3 , O

14、D=AD tan41.330.88=2.64,OA=4, CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米). 答:运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米. 18. 某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为 6 米,坡面 BC 的坡度为 11,为了方便行人推车过天桥,有 关部门决定降低坡度,使新坡面 AC 的坡度为 1 3. (1)求新坡面的坡角 ; (2)天桥底部的正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆除?请说明理由 【答案】【答案】 解:(1)新坡面 AC 的坡度为 1 3, tan 1 3 3 3 , 30 .(2 分) 答:新坡面的坡角

15、 的度数为 30 .(3 分) (2)原天桥底部正前方 8 米处的文化墙 PM 不需要拆除 理由如下: 如解图所示,过点 C 作 CDAB,垂足为点 D, 坡面 BC 的坡度为 11, BDCD6 米,(4 分) 新坡面 AC 的坡度为 1 3, CDAD1 3, AD6 3米,(6 分) ABADBD(6 36)米8 米,故正前方的文化墙 PM 不需拆除 答:原天桥底部正前方 8 米处的文化墙 PM 不需要拆除(7 分) 19. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米已知 小汽车车门宽 AO 为 1.2 米,当车门打开角度AOB 为

16、 40 时,车门是否会撞到墙?请说明理由(参考数 据:sin400.64;cos400.77;tan400.54) 【答案】【答案】 【思路分析】本题是一道锐角三角形函数的实际应用问题,关键是从实际问题抽象出数学模型本题车门 是否会碰到墙?实际上就是求点 A 到直线 OB 的距离,所以过点 A 作 ACOB 于点 C,在 Rt AOC 中, 利用锐角三角函数关系,可求得 AC 的长,与 0.8 米比较就可得出结论 解图 解:如解图,过点 A 作 OB 的垂线,垂足为 C,在 Rt AOC 中,sinAOCAC AO,(3 分) ACAO sin40 1.2 0.640.768. 0.7680.

17、8, 车门不会碰到墙(8 分) 20. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂 AO 长为 40 cm,与水平面所形成的夹角OAM 为 75 ,由光源 O 射出的边缘光线 OC,OB 与水平面所形成的夹角OCA,OBA 分别为 90 和 30 ,求该台 灯照亮水平面的宽度 BC(不考虑其他因素, 结果精确到 0.1 cm.温馨提示: sin750.97, cos750.26, 31.73) 【答案】【答案】 解:tanOBCtan30 OC BC 3 3 , OC 3 3 BC,(2 分) sinOACsin75 OC OA0.97, 3 3 BC 40 0.97,(6 分) BC67.

18、1(cm)(8 分) 21. 如图,AB 为O 的直径,CA、CD 分别切O 于点 A、D,CO 的延长线交O 于点 M,连接 BD、DM. (1)求证:ACDC; (2)求证:BDCM; (3)若 sinB4 5,求 cosBDM 的值 【答案】【答案】 (1)证明:如解图,连接 OD, CA、CD 分别与O 相切于点 A、D, OAAC,ODCD, 在 Rt OAC 和 Rt ODC 中, OAOD OCOC, Rt OACRt ODC(HL), ACDC; (2)证明:证明:由(1)知, OACODC, AOCDOC, AOD2AOC, AOD2OBD, AOCOBD, BDCM; (3

19、)解:BDCM, BDMM,DOCODB,AOCB, ODOBOM, ODMOMD,ODBBDOC, DOC2DMO, DOC2BDM, B2BDM, 如解图,作 OE 平分AOC,交 AC 于点 E,作 EFOC 于点 F, 解图 EFAE, 在 Rt EAO 和 Rt EFO 中, OEOE AEEF , Rt EAORt EFO(HL), OAOF,AOE1 2AOC, 点 F 在O 上, 又AOCB2BDM, AOEBDM, 设 AEEFy, sinB4 5, 在 Rt AOC 中,sinAOCAC OC 4 5, 设 AC4x,OC5x,则 OA3x, 在 Rt EFC 中,EC2EF2CF2, EC4xy,CF5x3x2x, (4xy)2y2(2x)2, 解得 y3 2x, 在 Rt OAE 中,OE OA2AE2 (3x)2(3 2x) 23 5 2 x, cosBDMcosAOEOA OE 3x 3 5 2 x 2 5 5 .

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