1、 专题专题 28 28 锐角三角函数锐角三角函数 知识点一：知识点一：锐角三角函数锐角三角函数 1 1三角函数定义三角函数定义 在 RtABC 中，若C=90 A sinA a c 的对边 斜边 A cos A b c 的邻边 斜边 A tan A A a b 的对边 的邻边 A cot A A b a 的邻边 的对边 2.2.同角三角函数的关系同角三角函数的关系 （1）平方关系： 22 sincos1AA （2）商数关系： sin tan cos A A A cos cot sin A A A （3）倒数关系： tancot1AA 3.3.互为余角的三角函数关系互为余角的三角函数关系 sin
2、(90) cosAA ， cos(90) sinAA tan(90) cotAA ， cot(90) tanAA 或者：若A+B=90，则 sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB 4. 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 sin Cos tan cot 0 0 1 0 不存在 30 1 2 3 2 3 3 3 45 2 2 2 2 1 1 60 3 2 1 2 3 3 3 5.5.锐角三角函数的增减性锐角三角函数的增减性(0(0-9090) ) （1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。 （2）锐角的余弦值（或余切值）随
3、着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。 6.6.锐角三角函数的取值范围锐角三角函数的取值范围 0sin1，0cos1，tan0，cot0. 知识点二：知识点二：解直角三角形解直角三角形 1.1.直角三角形中边角关系直角三角形中边角关系 在直角三角形 ABC 中，如果C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为 222 abc（勾股定理） （2）锐角之间的关系为A+B=90 （3）30角所对直角边等于斜边的一半。 90 1 0 不存在 0 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）边角之间的关系为： （三角函数定义） 2.2.其他有关公式其他有关公
4、式 （1） 1 sin 2 SabC = 1 sin 2 bcA= 1 sin 2 acB （2）Rt面积公式： 11 22 Sabch （3）直角三角形外接圆的半径 2 c R，内切圆半径 2 a b c r 结论：直角三角形斜边上的高 ab h c 3.3.实际问题中术语的含义 (1)仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 (2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比） ，用字母 i 表示，即 l h i . （3）坡角：坡面与水平面的夹角； （4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大
5、，坡面越陡。 （5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90角的为方位角 每年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用 sinA、cosA、tgA、cotA 表示直角三角形两边的比， 并且要熟记 0、30、45、60、90角的各个三角函数值理解直角三角形中的边、角之间的关系， 会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算 距离、高度和角度等方面 一、解直角三角形问题的依据与类型一、解直角三角形问题的依据与类型 （1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角. （2）解直角三角形的依据： 角的关系：两个锐角
6、互余； 边的关系：勾股定理； 边角关系：锐角三角函数； （3）解直角三角形的常见类型及一般解法 RtABC中的已知条件 一般解法 两边 两直角边a，b (1) 22 cab； (2)由tan a A b 求出A； (3)B=90A. 一直角边a，斜边c (1) 22 bca； (2)由sin a A c 求出A； (3)B=90A. 一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)B=90A； (2) tan a b A ； (3) sin a c A . 斜边c，锐角A (1)B=90A； (2)a=csin A； (3)b=ccos A. 二、解直角三角形需要注意的问题二、解直角三角形需要注意的问题
7、 1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。 2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。 3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合 思想、方程思想等解决生活问题。 4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常 见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题在 解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答
8、案 【例题【例题 1】 （】 （2020南充）南充）如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sinBAC（ ） A 2 6 B 26 26 C 26 13 D 13 13 【答案】B 【分析】作 BDAC 于 D，根据勾股定理求出 AB、AC，利用三角形的面积求出 BD，最后在直角ABD 中根据三角函数的意义求解 【解析】如图，作 BDAC 于 D， 由勾股定理得，AB= 32+ 22= 13，AC= 32+ 32=32， SABC= 1 2ACBD= 1 2 32BD= 1 2 13， BD= 2 2 ， sinBAC= = 2 2 13 = 26 26 【例题 2】如图，在菱形 A
9、BCD 中，DEAB， 3 cos 5 A，BE=2，则 tanDBE 的值是（ ） A 1 2 B2 C 5 2 D 5 5 【答案】B 【解析】将A 和DBE 分别置身于 RtAED 和 RtEDB 中 DEAB，AED=DEB= 90在 RtAED 中，cosA= 5 3 AD AE 设 AE=3k，则 AD=5k，由勾股定理，得 DE=4k四边形 ABCD 为菱形，AB=AD，即 3k+2=5k解得 k=1，DE=4在 RtEDB 中，tanDBE= DE BE =2即选 B 【点拨】在将锐角三角函数表示成“比”的形式时，常借助参数法，即把“比”的每一份用一个字母来表 示，从而建立方程
10、，实现所求 【例题【例题 3】 （】 （2020重庆）重庆）如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量 员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上） ，再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点（点 A，B，C，D，E 在同一平面内） ，在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度（或坡比）i1：2.4，则信号塔 AB 的高度约为（ ） （参考数据：sin430.68，cos430.73，tan430.93） A23 米 B24 米 C24.5
11、 米 D25 米 【答案】D 【分析】过点 E 作 EFDC 交 DC 的延长线于点 F，过点 E 作 EMAC 于点 M，根据斜坡 DE 的坡度（或 坡比）i1：2.4 可设 EFx，则 DF2.4x，利用勾股定理求出 x 的值，进而可得出 EF 与 DF 的长，故可 得出 CF 的长由矩形的判定定理得出四边形 EFCM 是矩形，故可得出 EMFC，CMEF，再由锐角三角 函数的定义求出 AM 的长，进而可得出答案 【解析】过点 E 作 EFDC 交 DC 的延长线于点 F，过点 E 作 EMAC 于点 M， 斜坡 DE 的坡度（或坡比）i1：2.4，DECD78 米， 设 EFx，则 DF
12、2.4x 在 RtDEF 中， EF2+DF2DE2，即 x2+（2.4x）2782， 解得 x30， EF30 米，DF72 米， CFDF+DC72+78150 米 EMAC，ACCD，EFCD， 四边形 EFCM 是矩形， EMCF150 米，CMEF30 米 在 RtAEM 中， AEM43， AMEMtan431500.93139.5 米， ACAM+CM139.5+30169.5 米 ABACBC169.5144.525 米 锐角三角函数单元精品检测试卷锐角三角函数单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每
13、小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1 （2020杭州）杭州）如图，在ABC 中，C90，设A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则（ ） AcbsinB BbcsinB CabtanB DbctanB 【答案】B 【解析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题 RtABC 中，C90，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， sinB= ，即 bcsinB，故 A 选项不成立，B 选项成立； tanB= ，即 batanB，故 C 选项不成立，D 选项不成立 2 （2020济宁）济宁）一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，2 小时后到
14、达海岛 B 处灯塔 C 在海岛 A 的北偏西 42方向上，在海岛 B 的北偏西 84方向上则海岛 B 到灯塔 C 的距离是（ ） A15 海里 B20 海里 C30 海里 D60 海里 【答案】C 【解析】 根据题意画出图形， 根据三角形外角性质求出CCAB42， 根据等角对等边得出 BCAB， 求出 AB 即可如图 根据题意得：CBD84，CAB42， CCBDCAB42CAB， BCAB， AB15230， BC30， 即海岛 B 到灯塔 C 的距离是 30 海里 3 （2020深圳）深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距 200 米的 P、Q 两点分别测定对 岸一棵树
15、T 的位置， T 在 P 的正北方向， 且 T 在 Q 的北偏西 70方向， 则河宽 （PT 的长） 可以表示为 （ ） A200tan70米 B 200 70米 C200sin 70米 D 200 70米 【答案】B 【解析】在直角三角形 PQT 中，利用 PQ 的长，以及PQT 的度数，进而得到PTQ 的度数，根据三角函 数即可求得 PT 的长 在 RtPQT 中， QPT90，PQT907020， PTQ70， tan70= ， PT= 70 = 200 70， 即河宽 200 70米 4 （2020黔西南州）黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O 旋转到 AB的位
16、置，已知 AO 的长为 4 米若栏杆的旋转角AOA，则栏杆 A 端升高的高度为（ ） A 4 米 B4sin 米 C 4 米 D4cos 米 【答案】B 【解析】过点 A作 ACAB 于点 C， 由题意可知：AOAO4， sin= ， AC4sin 5.（2020乐山）乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯 AB 的倾斜角为 30，在自动扶梯下方 地面 C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60， A、 C 之间的距离为 4m 则自动扶梯的垂直高度 BD （ ） m（结 果保留根号） A.3 B.2 C.23 D.2+3 【答案】C 【解析】 据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到
17、BCAC4， 根据三角函数的定义即可得到结论 BCDBAC+ABC，BAC30，BCD60， ABCBCDBAC30， BACABC， BCAC4， 在 RtBDC 中，sinBCD= ， sin60= 4 = 3 2 ， BD23（m） ，自动扶梯的垂直高度 BD23m 6.已知ABC 中，三边之比 a：b：c=1：3：2，则 sinA+tanA 的值为（ ） A.3/2 B.3+2 C.2 D. 3 3 2 1 【答案】D 【解析】根据题意，设 a=k，b=3k，c=2k（k0） ， a 2+b2=c2，C=90 sinA= 2 1 c a ，tanA= 3 3 b a ， sinA+ta
18、nA= 3 3 2 1 【点拨】在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是 直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形 7.如图，在等腰 RtABC中，C=90 o，AC=6，D 是AC上一点，若 tanDBA= 5 1 ，则AD的长为（ ） A.2 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】DBA没有在直角三角形中 ，无法使用正切定义转换成边的比现设法将其置身在一个直角三角 形中 过点 D 作 DEAB，垂足为 E在 RtBDE 中， tanDBA= BE DE tanDBA= 5 1 ， BE DE
19、 = 5 1 设 DE= k ， 则 BE=5k，在 RtADE 中，A=45，AE=DE= k，AB=6 k 在等腰 RtABC中， C=90 o，AC=6，AB=6 2 ，解得 k=2 ， 即 DE=2在 RtADE 中， A=45 ，AD=2DE =2 【点拨】构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中 8.如图，CD 是 RtABC 斜边上的高，AC=4，BC=3则 cosBCD 的值是（ ） A 5 3 B 4 3 C 3 4 D 5 4 【答案】D 【解析】求 cosBCD 的值，用定义法不能直接求出根据同角或等角的三角函数值相等， 考虑先用等角替换，再用定义去求 AB=5
20、ACB=90，B+A=90，CDAB，BCD+B=90，A=BCDcosBCD=cosA= AB AC = 5 4 【点拨】 依据同角或等角的三角函数值相等的性质， 将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换 9.9.（20192019湖南长沙）湖南长沙）如图所示，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile的小岛A出 发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东 45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距 离是（ ） A30nmile B60nmile C120nmile D （30+30）nmile 【答案】D 【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问
21、题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解 直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 过点C作CDAB，则在RtACD中易得AD的长，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的长 过C作CDAB于D点， ACD30，BCD45，AC60 在RtACD中，cosACD， CDACcosACD6030 在RtDCB中，BCDB45， CDBD30， ABAD+BD30+30 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile 10 （2020苏州）苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 AB 的高度，他作了如下操作： （1）在点 C 处放置测 角仪，测得旗杆顶的仰角ACE； （2）量得测角
22、仪的高度 CDa； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离 DBb 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ） Aa+btan Ba+bsin Ca+ Da+ 【答案】A 【解析】过 C 作 CFAB 于 F，则四边形 BFCD 是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论 过 C 作 CFAB 于 F，则四边形 BFCD 是矩形， BFCDa，CFBDb， ACF， tan= = ， AFbtan， ABAF+BFa+btan， 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 11.11.（20192019湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）如图，已知线段AB4，O
23、是AB的中点，直线l经过点O，160，P点是直 线l上一点，当APB为直角三角形时，则BP 【答案】2 或 2或 2 【解析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a 2+b2c2 分APB90、PAB90、PBA90三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可 AOOB2， 当BP2 时，APB90， 当PAB90时，AOP60， APOAtanAOP2， BP2， 当PBA90时，AOP60， BPOBtan12， 故答案为：2 或 2或 2 1212. . （20192019 贵州省毕节市）贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角
24、板如图放置，点C在FD的延 长线上， 点B在ED上，ABCF， FACB90， E45， A60，AC10， 则CD的长度是 【答案】1553 【解析】考查含 30 度角的直角三角形；勾股定理 过点B作BMFD于点M， 在ACB中，ACB90，A60，AC10， ABC30，BC10tan6010 3， ABCF， BMBCsin30103 1 2 53， CMBCcos3015， 在EFD中，F90，E45， EDF45， MDBM5 3， CDCMMD155 3 故答案是：1553 1313. (2019. (2019 海南海南) )如图,将 RtABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转
25、(090)得到 AE,直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转(090)得到 AF,连接 EF,若 AB3,AC2,且+B,则 EF_. 【答案】13 【解析】 +B,EAFBAC+B90,AEF 是直角三角形,且 AEAB3,AFAC2,EF 22 AEAF13 1414. .（20192019 山东东营）山东东营）已知等腰三角形的底角是 30，腰长为 23，则它的周长是_ 【答案】【答案】64 3+ 【解析】【解析】如图，过A作ADBC于D，则ADBADC90， ABAC23，B30，AD 1 2 AB3， 由勾股定理得：BD 22 33（2） （）3， 同理CD3，BC6， ABC的周长为BC
26、+AB+AC6+23+236+43 1 15.5.（20192019海南省）海南省）如图，将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转（090）得到AE，直角边 AC绕点A逆时针旋转（090） 得到AF， 连结EF 若AB3，AC2， 且+B， 则EF 【答案】 【解析】由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求EF的长 由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2， B+BAC90，且+B， BAC+90 EAF90 EF 1 16 6 （ （20192019山东临沂）山东临沂）如图，在ABC中，ACB120，BC4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面 积是 【答案】8 【解析】根据垂直
27、的定义得到BCD90，得到长CD到H使DHCD，由线段中点的定义得到ADBD，根 据全等三角形的性质得到AHBC4，HBCD90，求得CD2，于是得到结论 DCBC， BCD90， ACB120，ACD30， 延长CD到H使DHCD， D为AB的中点，ADBD， 在ADH与BCD中， ADHBCD（SAS） ， AHBC4，HBCD90， ACH30， CHAH4，CD2， ABC的面积2SBCD2428， 故答案为：8 17 （2020自贡）自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ABCD，DCABBC 长 6 米，坡角 为 45，AD 的坡角 为 30，则 AD 长为 米（结果保留
28、根号） 【答案】62 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，过点 C 作 CFAB 于 F首先证明 DECF，解直角三角形求出 CF，再 根据直角三角形 30 度角的性质即可解决问题 【解析】过点 D 作 DEAB 于 E，过点 C 作 CFAB 于 F CDAB，DEAB，CFAB， DECF， 在 RtCFB 中，CFBCsin4532（米） ， DECF32（米） ， 在 RtADE 中，A30，AED90， AD2DE62（米） 18 （2020济宁）济宁）如图，小明在距离地面 30 米的 P 处测得 A 处的俯角为 15，B 处的俯角为 60若斜 面坡度为 1：3，则斜坡 AB 的
29、长是 米 【答案】203 【分析】如图所示：过点 A 作 AFBC 于点 F，根据三角函数的定义得到ABF30，根据已知条件得到 HPB30，APB45，求得HBP60，解直角三角形即可得到结论 【解析】如图所示：过点 A 作 AFBC 于点 F， 斜面坡度为 1：3， tanABF= = 1 3 = 3 3 ， ABF30， 在 P 处进行观测，测得山坡上 A 处的俯角为 15，山脚 B 处的俯角为 60， HPB30，APB45， HBP60， PBA90，BAP45， PBAB， PH30m，sin60= = 30 = 3 2 ， 解得：PB203， 故 AB203（m） ， 答：斜坡
30、AB 的长是 203m 19（2020金华）金华） 如图是小明画的卡通图形， 每个正六边形的边长都相等， 相邻两正六边形的边重合， 点 A， B，C 均为正六边形的顶点，AB 与地面 BC 所成的锐角为 则 tan 的值是 【答案】193 15 【分析】如图，作 ATBC，过点 B 作 BHAT 于 H，设正六边形的边长为 a，则正六边形的半径为 a，边 心距= 3 2 a求出 BH，AH 即可解决问题 【解析】如图，作 ATBC，过点 B 作 BHAT 于 H，设正六边形的边长为 a，则正六边形的半径为 a，边 心距= 3 2 a 观察图象可知：BH= 19 2 a，AH= 53 2 a，
31、ATBC， BAH， tan= = 19 2 53 2 = 193 15 20 （2020黔东南州）黔东南州）cos60 【答案】1 2 【解析】根据记忆的内容，cos60= 1 2即可得出答案 cos60= 1 2 三、解答题三、解答题（8 8 个小题，共个小题，共 6060 分）分） 21.21.（5 5 分） （分） （20202020 贵州黔西南）贵州黔西南）计算：(2) 2| 2 |2cos45(2020) 0； 【答案】52 2 【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案。 原式4 22 2 2 14 22152 2 【点拨】此题主要考查了实
32、数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 22 （5 5 分）分） （2020盐城）盐城）如图，在ABC 中，C90，tanA= 3 3 ，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， CD= 3，求 AB 的长？ 【答案】见解析。 【分析】根据C90，tanA= 3 3 ，可求出A30，ABC60，再根据 BD 是ABC 的平分线， 求出CBDABD30，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可 【解析】在 RtABC 中，C90，tanA= 3 3 ， A30，ABC60， BD 是ABC 的平分线， CBDABD30， 又CD= 3， BC= 30 =3， 在 RtABC 中，C90，A
33、30， AB= 30 =6 答：AB 的长为 6 23 （8 8 分）分） （2020株洲）株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高 速公路旁的一斜坡存在落石隐患该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 l1l2，点 A、B 分别在 l1、l2上， 斜坡 AB 的长为 18 米，过点 B 作 BCl1于点 C，且线段 AC 的长为 26米 （1）求该斜坡的坡高 BC； （结果用最简根式表示） （2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角 为 60，过点 M 作 MN l1于点 N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？ 【答案
34、】见解析。 【分析】 （1）运用勾股定理解题即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出 AM，问题得解 【解析】 （1）在 RtABC 中， = 2 2= 324 24 = 103； （2）60，AMN30，AM2MN， 在 RtABC 中，AN2+MN2AM2， AN2+3004AN2,AN10，AM20， AMAB20182 综上所述，长度增加了 2 米 24 （8 8 分）分） （2020陕西）陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商 业大厦的高 MN 他俩在小明家的窗台 B 处， 测得商业大厦顶部 N 的仰角1 的度数， 由于楼下植物的遮挡， 不能在
35、B 处测得商业大厦底部 M 的俯角的度数于是，他俩上楼来到小华家，在窗台 C 处测得大厦底部 M 的俯角2 的度数， 竟然发现1 与2 恰好相等 已知 A， B， C 三点共线， CAAM， NMAM， AB31m， BC18m，试求商业大厦的高 MN 【答案】见解析。 【分析】过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F，可得四边形 AMEC 和四边形 AMFB 均为矩 形，可以证明BFNCEM，得 NFEM49，进而可得商业大厦的高 MN 【解析】如图，过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F， CEFBFE90， CAAM，NMAM， 四边
36、形 AMEC 和四边形 AMFB 均为矩形， CEBF，MEAC， 12， BFNCEM（ASA） ， NFEM31+1849， 由矩形性质可知：EFCB18， MNNF+EMEF49+491880（m） 答：商业大厦的高 MN 为 80m 25 （8 8 分）分） （2020内江）内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，正 在执行巡航任务的海监船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向 上，海监船继续向东航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30方向上 （1）求 B 处到灯塔 P 的距离； （2）已
37、知灯塔 P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】见解析。 【分析】 （1） 在ABP 中， 求出PAB、 PBA 的度数即可解决问题， 根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）作 PHAB 于 H求出 PH 的值即可判定 【解析】 （1）PAB30，ABP120， APB180PABABP30， PBAB60 海里； （2）作 PHAB 于 H BAPBPA30， BABP60， 在 RtPBH 中，PHPBsin6060 3 2 =303， 30350， 海监船继续向正东方向航行是安全的 26 （8 8 分）分） （2020鄂州）鄂州）鄂州市某校数学兴
38、趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD如图所示，一架水 平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处，测得正前方河流右岸 D 处的俯角为 30线段 AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点 M、C、D 在同一条直线上其中 tan2，MC503米 （1）求无人机的飞行高度 AM； （结果保留根号） （2）求河流的宽度 CD （结果精确到 1 米，参考数据：2 1.41，3 1.73） 【答案】见解析。 【分析】 （1）在 RtACM 中，由 tan2，MC503，可求出 AM 即可； （2）在 RtBND 中，BDM30，
39、BN1003，可求出 DN，进而求出 DM 和 CD 即可 【解析】过点 B 作 BNMD，垂足为 N，由题意可知， ACM，BDM30，ABMN50， （1）在 RtACM 中，tan2，MC503， AM2MC1003 =BN， 答：无人机的飞行高度 AM 为 1003米； （2）在 RtBND 中， tanBDN= ，即：tan30= 1003 ， DN300， DMDN+MN300+50350， CDDMMC350503 264， 答：河流的宽度 CD 约为 264 米 27 （9 9 分）分） （2020辽阳）辽阳） 如图， 我国某海域有 A， B 两个港口， 相距 80 海里， 港
40、口 B 在港口 A 的东北方向， 点 C 处有一艘货船，该货船在港口 A 的北偏西 30方向，在港口 B 的北偏西 75方向，求货船与港口 A 之间的距离 （结果保留根号） 【答案】见解析。 【分析】过点 A 作 ADBC 于 D，求出ABC60，在 RtABD 中，DAB30，由三角函数定义求 出 ADABsinABD403，求出DACCABDAB45，则ADC 是等腰直角三角形，得出 AC= 2AD406海里即可 【解析】过点 A 作 ADBC 于 D，如图所示： 由题意得：ABC180754560， ADBC， ADBADC90， 在 RtABD 中，DAB906030，ADABsinA
41、BD80sin6080 3 2 =403， CAB30+4575， DACCABDAB753045， ADC 是等腰直角三角形， AC= 2AD= 2 403 =406（海里） 答：货船与港口 A 之间的距离是 406海里 28 （9 9 分）分） （2020南京）南京）如图，在港口 A 处的正东方向有两个相距 6km 的观测点 B、C一艘轮船从 A 处 出发，沿北偏东 26方向航行至 D 处，在 B、C 处分别测得ABD45、C37求轮船航行的距离 AD （参考数据：sin260.44，cos260.90，tan260.49，sin370.60，cos370.80，tan37 0.75 ） 【答案】见解析。 【分析】过点 D 作 DHAC 于点 H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离 AD 【解析】如图，过点 D 作 DHAC 于点 H， 在 RtDCH 中，C37， CH= 37， 在 RtDBH 中，DBH45， BH= 45， BCCHBH， 37 45 =6， 解得 DH18， 在 RtDAH 中，ADH26， AD= 26 20 答：轮船航行的距离 AD 约为 20km
