初三数学讲义直升班. 第5讲 一元二次方程的构造及应用(教师版)

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1、第第 5 5 讲讲 一元二次方程的构造及应用一元二次方程的构造及应用 模块一模块一 利用根的定义构造方程利用根的定义构造方程 如果m、n分别是一元二次方程()axbxca 的两根,那么有ambmc ,anbnc ,相 反的,如果已知m、n分别满足ambmc ,anbnc ,且a ,那就可以构造一个一元二次方程 ()axbxca 使得m、n是它的解 模块二模块二 利用根系关系构造方程利用根系关系构造方程 如果m、n分别是一元二次方程()axbxca 的两根,由韦达定理, b mn a , c mn a ,相反的, 如果已知m、n分别满足 b mn a , c mn a , 且a , 那就可以构造

2、一个一元二次方程使得m、n是它的两根 这里主要提到的是同形构造及和积构造 模块一 利用根的定义构造方程 (1)已知a,b是不相等的实数,且aa ,bb ,求a bab 的值 (2)如果实数a,b分别满足aa ,bb ,求 ab 的值 【解析】【解析】(1)由根的定义,知a,b为一元二次方程xx 的两个根 由韦达定理知ab ,ab ,于是()a babab ab (2)由题意知:a,b为方程xx 的两个根,且a ,b , 解方程xx ,得:x,x, 当ab时,有ab ,ab , ab abab ; 当ab时,方程的根为x ,x 当ab 时, aba ; 当ab 时, aba 综上所述, ab 或

3、 或 【点评】【点评】通过这道题,让孩子们深刻理解如何利用根的定义去构造方程,而且要理解这两道常考题型的区别, 抓住题目给出的条件,根据条件去决定这道题需不需要讨论通过这道题,也加深孩子们对于分类讨 论思想的理解 例题 1 已知实数ab,且满足()()aa ,()()bb ,求ab; ab ; ba ba ab 【解析】【解析】由根定义,a,b是方程()()xx 的两个根, 整理得a,b是一元二次方程xx 的两个根, 由根系关系,ab ,ab , 则 ab abab , 由可知ab ,ab ,于是a ,b , ()()b ba ababaababab baba abababababab 【点评

4、】【点评】这道题是一道特别经典的题,老师可以大概提一下把(a+1)和(b+1)看做整体去构造也是可以的, 但是相对麻烦并且老师还可以结合例 1 去掉ab,那应该要分类讨论,带着学生们在做一遍 (1)已知pp ,qq,且pq ,求p q 的值 (2)实数s,t满足ss ,tt 且st ,求 sts t 的值 (3)实数p,q满足pp ,qq 且pq ,求p q 的值 【解析】【解析】(1)由pp ,qq有p ,q ,又pq ,所以p q , 则qq可变形为 qq 由pp 及p q , 可知p与 q 是方程xx 的根,因此p q (2)由tt 可知,t ,故 tt 又ss ,sts t ,故s、

5、t 是方程xx 的两根,从而可知s t , s t ,故 stss s ttt 【注意】注意】其实构造成xx 也可,不过此时两根变为 s 和t,由根系关系可知t s , t s ,故 t sts s t t s (相对麻烦些) 例题 2 例题 3 (3)由()qqq 得: qq g且pp ,因为pq ,即p q ,故p、 q 是方程xx 的两个不相等的实数根,由韦达定理: p q ,p q ;所以 p pp qqq 【点评】【点评】锻炼分析能力和同形构造能力:对比两个方程最简形式的系数能发现什么(从条件出发怎么变成同 形)?怎么出现一个字母的倒数(从结果出发) 模块二 利用根系关系构造方程 已

6、知ABC的三边a,b,c满足:bc,bcaa ,试确定ABC的形状 【解析】【解析】bc,bcaa , b,c是关于x的方程()xxaa 有两个实数根 ()()aa ,整理得:() a 又() a ,a 此时,方程的两根相等, 即:bc ABC是等腰三角形 若一直角三角形两直角边的长a、b()ab均为整数,且满足 abm abm 试求这个直角三角形的三边长 【解析】【解析】因为a、b为正整数,所以,m也为正整数且 +abm abm , 从而,a、b是关于x的方程()xmxm 的两个不等整数解 所以()mmmm 必为完全平方数 不妨设mmk ,k为正整数,即mmk 由此知关于m的方程应有整数解,

7、则()()()Dkk 也必为完全平方数于是 k为完全平方数 令()knk ,其中n为正整数则()()nkkn nk 显然nnk又 ,于是,分三种情况讨论: n 时,k ,无整数解; n 时,k ,解得k ,m ,直角三角形的三边长分别为 5,12,13; n 时,k ,解得k ,m ,直角三角形三边长分别为 6,8,10 综上,直角三角形的三边长分别为 5,12,13 或 6,8,10 例题 4 例题 5 【点评】这道题当然可以直接利用判别式为完全平方数去进行配方去做,然后利用平方差公式去做,根据两数 之和和两数之差同奇偶去把这道题给解决 已知x、y均为实数,且满足xyxy,x yxy 求:

8、(1)xy ; (2)x yx yxy ; (3)xx yx yxyy 【解析】【解析】由已知xyxy,x yxy , 所以xy和xy是方程tt 的两个实数根 解方程得t,t即xy ,xy;或者xy ,xy i)当xy ,xy时,x、y是方程uu 的两个根 因为() ,所以方程有实数根 (1)()xyxyxy (2)()()x yx yxyxy xyxy (3)xx yx yxyy ()xyxyx y ii)当xy ,xy时,x、y是方程vv 的两个根 因为() ,所以方程没有实数根 综上可知 (1)xy (2)x yx yxy (3)xx yx yxyy 【点评】【点评】这道题主要锻炼学生的

9、双重构造方程的能力,属于较难的代数的题,考察也比较综合,联系到恒等变 形,及知二推二 1若 2 210aa , 2 210bb ,则 ab ba 的值为_或_(按照从大到小填写) 2已知mm , nn ,且mn,则 mn 的值为_ 【解析】【解析】12 或; 2由mm 可知,m ,故 mm ,即 mm , 例题 6 演练 1 又 nn ,mn,故 m 、 n 是方程x x 的两根; 由根系关系可知, mn 3若1ab ,且 2 5200190aa, 2 9200150bb,则 1aba b _ (填小数形式) 【解析】【解析】由 2 9200150bb得, 2 11 5200190 bb ,又

10、 2 5200190aa, 所以a, 1 b 可以看作是方程 2 5200190 xx的两个根 由韦达定理,得: 19 5 a a bb , 12001 5 a b ;故 11992 398.4 5 aba b 4已知关于x的方程xbxb 有两个相等的实数根,y、y是关于y的方程()yb y 的两 个根,求以y,y为根、二次项系数为 2 的一元二次方程 【解析】【解析】由求根公式知,()bb , 解得b ,b, 当b 时, 关于y的方程无解; 当b 时, 方程yy ,解得y ,y,故y ,y,故所求方程为()()yy ,即 yy 5已知:a,b,c三数满足方程组 ab abcc ,试求方程bx

11、cxa 的根 【解析】【解析】由方程组得:a,b是方程xxcc 的两根, ()c ,c ,ab , 所以原方程为xx , x ,x 6已知x、y是正整数,并且xyxy,x yxy ,则xy _ 【解析】【解析】由于()xyxy,)xyxy , 则xy与()xy为方程tt 的两个根, 得到t, t, 演练 2 演练 3 演练 4 演练 5 即xy ,xy ; 或者xy ,xy ; 的时候x、y为方程uu 的根, ,不是完全平方数,x、y不可能为题目 中要求的正整数,舍; 的时候x、y为方程uu 的根,u ,u 故()xyxyxy 大家都知道一元二次方程,由韦达定理根与系数关系知道:, 对于一个一元三次方程,根与系数也有同样的关系:, ,同学们自己证明下,看看自己能证明出来吗? 知 识 链 接

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