1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（12） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1（5 分）已知集合 |(1)Ax yln x ，集合 1 |( ) ,2 2 x By yx ，则 (AB ) A B1，4) C(1,4) D(4, ) 2（5 分）若复数 10 2 i z i ，则| 1| (z ) A25 B7 C5 D5 3（5 分）若01ab， b xa， a yb，logbza，则x
2、，y，z大小关系正确的是( ) Ax yz By xz Cz xy Dz yx 4（5 分）已知2sin( )3sin() 2 ，则 22 1 sinsin2cos( 2 ) A 5 13 B 1 13 C 5 13 D 1 13 5（5 分）构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向某中学积极响应号召， 开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动 中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）下列说法正确的是( ) A高三（2）班五项评价得分的极差为 1.5 B除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2
3、）班对应的得分 C高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高 D各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大 6（5 分）直线y kx 与圆 22 (1)(1)1xy交于M、N两点，O为坐标原点，则(OM ON ) A 2 1 1k B 2 2 1 k k C1 D2 【解答】解：y kx 代入 22 (1)(1)1xy得， 22 (1)2(1)10kxkx ， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则： 12 2 1 1 x x k ， 2 2 1212 2 1 k y yk x x k ， 2 1212 22 1 1 11 k OM ONx xy
4、 y kk 故选：C 7 （5 分）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求现 某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”， “什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 3 门，大一到大三三学年必须将四门选 修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( ) A60 种 B78 种 C84 种 D144 种 8（5 分）已知定义在 1 e， e上的函数( )f x满足 1 ( )( )f xf x ，且当 1 x e ，1时，( )1f xxlnx，若方 程 1 ( )0 2 f xxa有三个不同
5、的实数根，则实数a的取值范围是( ) A 1 (3e， 1 1 e B 1 (3e， 3 1 2e C 1 2 (1e ， 1 1 e D 1 2 (1e ， 3 1 2e 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9（5 分）已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( ) A若mn，m ，/ /n，则
6、B若m， / /n，则mn C若 / /，m ，则 / /m D若/ /mn， / /，则m与所成的角和n与所成的角相等 10（5 分）空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如表： AQI指数值 0 50 51100 101150 151 200 201 300 300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响， 某科学兴趣小组在校内测得 10 月 1 日20日AQI指 数的数据并绘成折线图如图：下列叙述不正确的是( ) A这 20 天中AQI指数值的中位数略大于 150 B这 20 天中的空气质量为优的天数占 1
7、 4 C10 月 4 日到 10 月 11 日，空气质量越来越好 D总体来说，10 月中旬的空气质量比上旬的空气质量好 11（5 分）已知函数 ( )2sin()(0f xx ，| |) 的部分图象如图所示，则( ) A 2 B 3 C若 12 3 xx ，则 12 ()()f xf x D若 12 3 xx ，则 12 ()()0f xf x 12（5 分）已知函数 ( )f x的定义域为R，满足(2)(6)f xf x ， (2)(6)f xfx ，当02x剟时， 2 ( )2f xxx，则下列说法正确的是( ) A (2f 021)f（1） B函数 (2)f x 是偶函数 C当06x剟时
8、， ( )f x的最大值为 6 D当68x剟时， ( )f x的最小值为 1 4 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分）已知数列 n a的首项 1 1 2 a ， 1 1 1 n n a a ，则 2021 a 14（5 分）当x 时，函数 ( )2sincosf xxx 取得最大值为 ，且tan 15（5 分）在正四棱锥PABCD中，25PAAB，若四棱锥P ABCD的体积为 256 3 ，则该四棱锥外 接球的体积为 16（5 分）设双曲线 22 1xy的左、右顶点分别为 1 A、 2 A，与 2 A不重合的点P在其右
9、支上，则直线 2 PA 与直线 1 PA的斜率之积为 .若 1212 3APAPA A ，则 12 PA A的大小为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分）在 1 cos()cos 32 BB ，sin(sinsin )sinaAcCAbB， 3 tantan cos c AB bA 这三 个条件中，任选一个，补充在下面问题中 问题：在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，2 3b ，_ （1）求角B； （2）求2ac的最大值 18（12 分）数列 n
10、 a 的前n项和为 n S，且 2 5 2 n nn S ，等比数列 n b 满足 22 ba， 36 ba （1）求数列 n a 与 n b 的通项公式； （2）若 2 log nn cb ，求数列 1 nn a c 的前n项和 192020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民法典，自 2021 年 1 月 1 日起施行中华人民共和国民法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法 律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法为了增强学生的法律意识，了解法律知识， 某校组织全校学生进行学习中华人民共和国民法典知识竞赛，从中随机抽取
11、100 名学生的成绩（单位： 分）统计得到如表表格： 成绩 性别 0，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 男 5 14 16 13 4 女 3 11 13 15 6 规定成绩在90，100内的学生获优秀奖 （1）根据以上成绩统计，判断是否有90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？ （2）在抽取的 100 名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取 3 人进行座谈，记X为抽到获优秀奖的女生 人数，求X的分布列和数学期望 附： 2 ()P Kk 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adb
12、c K ab cd ac bd 20（12 分） 如图， 在五面体ABCDEF中， 四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，/ /EFBC，2EF ，CEDE， CEDE，平面CDE 平面ABCD （1）求证：DE 平面EFBC； （2）求二面角ABFC的余弦值 21（12 分）已知点 ( 1,0)A ， (1, 1)B ，抛物线 2 :4C yx，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点， 直线MB交抛物线C于另一点Q，O为坐标原点 （1）求OM OP； （2）证明：直线PQ恒过定点 22（12 分）已知函数 2 ( )2 x f xeax （1）当a e 时，求曲线 ( )yf x 在点(1
13、，f（1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若( )0 x f xe恒成立，求实数a的取值范围 考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（12）答案）答案 1解： |1Ax x ， |04Byy ， (1,4)AB 故选：C 2解：因为 1010 (2) 24 25 iii zi i ，所以134zi ，故 22 |1|345z 故选：C 3 解：0 1ab； 0 1 baa aabb，log log1 bb ab； xyz 故选：A 4解：已知2sin( )3sin() 2 ， 整理得2sin3cos， 所以 3 tan 2 ， 故 2 22 22 1
14、112tan1tan1 sinsin2cossin2cos2 2221tan1tan13 ； 故选：B 5解：A：高三（2）班德智体美劳各项得分依次为 9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.5 8.51，所以A 错误； B：因为两班的德育分相等，所以除体育外，高三（1）班的各项评价得分不都高于高三（2）班对应的得 分（德育分相等），所以B错误； :C（2）班平均分为(9.599.598.5)59.1；（1）班平均分为 (9.59.599.5)57.59.39.1 5 a a ，故C正确； D：两班的德育分相等，智育分相差9.590.5，体育分相差9.590.5，美育分相差 9.5 一9
15、0.5，劳 育得分相差9.38.50.8，劳育得分相差最大，所以D错误 故选：C 6（5 分）直线y kx 与圆 22 (1)(1)1xy交于M、N两点，O为坐标原点，则(OM ON ) A 2 1 1k B 2 2 1 k k C1 D2 【解答】解：y kx 代入 22 (1)(1)1xy得， 22 (1)2(1)10kxkx ， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则： 12 2 1 1 x x k ， 2 2 1212 2 1 k y yk x x k ， 2 1212 22 1 1 11 k OM ONx xy y kk 故选：C 7解：根据题意，分 2 步进行
16、分析： 将 4 四门选修课程分为 3 组， 若分为 2、1、1 的三组，有 2 4 6C 种分组方法， 若分为 2、2、0 的三组，有 2 4 2 2 3 C A 种分组方法， 若分为 3、1、0 的三组，有 3 4 4C 种分组方法 则一共有63413种分组方法， 将分好的三组安排在三年内选修，有 3 3 6A 种情况， 则有13678种选修方式， 故选：B 8解：因为 1 ( )( )f xf x ，且当 1 ,1x e 时，( )1f xxlnx， 所以当 (1x ， e时， 11 ( )( )1f xflnx xx ， 则 1 1, ,1 ( ) 1 1,(1, xlnxx e f x
17、 lnxxe x ， 当 1 ,1x e 时，( )10fxlnx ，则( )f x在 1 ,1 e 上单调递增， 当 (1x ， e时， 2 1 ( )(1) 0fxlnx x ，则 ( )f x在(1， e上单调递减， 因为方程 1 ( )0 2 f xxa 有三个不同的实数根， 所以函数 ( )f x的图像和直线 1 2 yxa 有三个不同的交点， 作出函数 ( )f x的大致图像如图所示， 当直线 1 2 yxa和( )f x的图像相切时，结合图像，设切点为 0 (x， 0) y， 由方程 00 1 ()1 2 fxlnx ，可得 11 22 00 1 ,1 2 xeye ， 代入方程
18、 1 2 yxa，可得 1 2 1ae ， 当直线 1 2 yxa过点 11 ( ,1) ee 时， 3 1 2 a e ， 由图可知，实数a的取值范围为 1 2 3 (1,1 2 e e 故选：D 9解：A满足m n，m，/ /n时，得不出，与可能平行，如图所示： 该选项错误； B/ /n，设过n的平面与交于a，则/ /na，又m，ma，mn，该选项正确； C/ /，内的所有直线都与平行，且m ， / /m ，该选项正确； D根据线面角的定义即可判断该选项正确 故选：BCD 10解：对于A，由折线图知 100 以上的数据有 10 个，100 以下的数据有 10 个，中位数是 100 两边两个
19、数 的均值，观察比 100 大的数离 100 远点，因此两者均值大于 100 但小于 150，所以A错误； 对于B，20 天中空气质量为优的有 5 天，占 1 4 ，所以B正确； 对于C，10 月 4 日到 10 月 11 日，空气质量是越来越差，所以C错误； 对于D，10 月上旬的空气质量AQI指数值在 100 以下的多，中旬的空气质量AQI指数值在 100 以上的多， 上旬的空气质量比中旬的空气质量好，所以D错误 故选：ACD 11解：根据函数 ( )2sin()(0f xx ，| |) 的部分图象， 125 21212 ， 2，( )2sin(2)f xx，故A正确 5 () 1212
20、26 x 为其图象的一条对称轴，故有2 62 k ，kZ， 6 ，故B错误 6 x 为其图象的一条对称轴，故若 12 3 xx ，则有 12 ()()f xf x，故C正确，D错误， 故选：AC 12解：对任意实数x满足 (2)(6)f xf x ， (4)( )f xf x 即函数 ( )f x是周期函数，周期为 4 (2)(6)(2)(42)(2)f xfxf xfxfx ，那么 ()( )fxf x ， 函数( )f x是偶函数， (2)(6)f xfx ，可得函数 ( )f x关于2x 对称轴， 又当02x剟时， 2 ( )2f xxx， 故函数对应图像大致如图， 函数( )f x在区
21、间 1 4 ，2上单调递增 函数( )f x在区间0， 1 4 上单调递减 当02x剟时，函数( )f x的最小值为 11 ( ) 48 f ，最大值为f（2）6 且 (2021)ff （1） 成立， 函数 (2)f x 是偶函数成立， 当06x剟时，( ) f x的最大值为 6， 当68x剟 时，( ) f x 的最小值为 1 4 不成立， 故正确答案为ABC 故选：ABC 13解： 1 1 2 a ， 1 1 1 n n a a ， 2 1a ， 3 2a ， 4 1 2 a ， 数列 n a是周期为 3 的数列， 2021673 3 22 1aaa ， 故答案为：1 14解： 21 (
22、)2sincos5(sincos )5sin() 55 f xxxxxx ， 这里 2 cos 5 ， 1 sin 5 ， 当2 2 k ，即2 2 k ，kZ时，( )f x取得最大值为 5， 1 coscos(2)sin 25 k ， 2 sinsin(2)cos 25 k ， 所以 2 sin 5 tan2 1 cos 5 故答案为：5；2 15解：设AC，BD的交点为E，球心为O， 设ABa， 25PAAB， 则 2 2 AEa， 10 2 PAa， 22 2PEPAAEa ， 四棱锥PABCD的体积为 256 3 ， 2 1256 4 2 33 aPEa ， 在RT OBE中， 22
23、222 (8)165OBOEEBRRR， 该四棱锥外接球的体积为： 3 4500 33 R 故答案为： 500 3 16解：双曲线 22 1xy左、右顶点分别为 1( 1,0) A ， 2(1,0) A ， 设 ( , )P m n,可得 22 1mn,即 22 1nm, 则直线 2 PA的斜率 2 1 n k m , 直线 1 PA的斜率 1 1 n k m , 22 12 22 1 1 11 nm kk mm , 由 1212 3APAPA A ，可得 2121212 tan()tan4kAPAPA APA A, 则 1212 tantan41PA APA A, 而1m ，则 12 PA
24、A, 12 4 PA A 为锐角， 则 1212 tantan(4) 2 PA APA A , 由正切函数的单调性可得 1212 4 2 PA APA A , 即有 12 10 PA A , 故答案为：1， 10 17解：（1）选择：由 1 cos()cos 32 BB ，可得 131 cossincos 222 BBB， 即 311 sincos 222 BB，即 1 sin() 62 B ， 因为0B，所以 5 666 B ，故 66 B ，所以 3 B 选择：由于 sin(sinsin )sinaAcCAbB ， 由正弦定理可得 222 acbac， 由余弦定理，可得 222 1 cos
25、 22 acb B ac ， 因为0B，所以 3 B 选择：因为 3 tantan cos c AB bA ， 由正弦定理可得 33sin cossincos cC bABA ， 又 sinsinsincoscossinsin()sin tantan coscoscoscoscoscoscoscos ABABABABC AB ABABABAB ， 由 3 tantan cos c AB bA ，可得 3sinsin sincoscoscos CC BAAB ， 因为sin0C ， 所以tan3B ， 因为0B， 所以 3 B （2）在ABC中，由（1）及2 3b ， 2 3 4 sinsins
26、in3 2 bac BAC ， 故4sinaA，4sincC， 所以 2 24sin8sin4sin8sin()4sin4 3cos4sin8sin4 3cos4 7sin() 3 acACAAAAAAAA ， 因为 2 0 3 A ，且为锐角， 所以存在角A使得 2 A ， 所以2ac的最大值为4 7 18解：（1）由题意，当1n 时， 11 3aS ， 当2n时， 22 1 5(1)5(1) 2 22 nnn nnnn aSSn ， 当1n 时， 1 3a 也满足上式， 2 n an ，*nN， 又 22 4ba ， 36 8ba， 设等比数列 n b 的公比为q，则 3 2 8 2 4
27、b q b ， 2 1 4 2 2 b b q ， 1 2 22 nn n b ，*nN （2）由（1）知， 22 loglog 2 nn cb n n， 则 111 11 () (2)22 nn a cn nnn ， 1 122 111 nn a ca ca c 11111111111111 (1)()()()() 2322423521122nnnn 1111111111 (1) 232435112nnnn 1111 (1) 2212nn 323 42(1)(2) n nn 19解：（1）依题意得列联表如下： 获优秀奖 未获优秀奖 合计 男 4 48 52 女 6 42 48 合计 10 9
28、0 100 假设 0 H：“该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关”， 当 0 H成立时， 2 (2.706)0.1P K， 将列联表中的数据代入公式，计算得： 2 2 100 (44248 6) 0.6412.706 5248 10 90 K ， 小概率事件没有发生，接受假设 0 H， 没有90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关 （2）依题意X的所有可能取值为 0，1，2，3， 3 4 3 10 1 (0) 30 C P X C ， 12 64 3 10 3 (1) 10 C C P X C ， 21 64 3 10 1 (2) 2 C C P X C ， 3 6 3 10
29、1 (3) 6 C P X C ， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 13119 ()0123 310265 E X 20（1） 证明： 因为平面CDE 平面ABCD， 平面CDE平面 ABCDCD， 且B C C D，BC 平面ABCD ， 所以BC 平面CDE，又因为DE 平面CDE，所以BCDE， 因为CEDE，BC CEC ，BC，CE 平面EFBC， 所以DE 平面EFBC； （2）解：取CD，AB的中O，P，连结EO，OP， 因为平面CDE 平面ABCD，CDE为等腰直角三角形， 所以EO 平面ABCD，则OP，OC，OE三条直线两两垂直，
30、 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则 (4A ，2，0)， (4B ，2，0)， (0C ，2，0)， (0D ，2，0)， (0E ，0，2)， (2F ，0，2)， 所以(0,4,0),(2,2, 2)ABFB， 设平面ABF的法向量为 ( , , )nx y z ， 则有 40 2220 n ABy n FBxyz ， 令1x ，则 0y ，1z ，故 (1,0,1)n ， 由（1）可知，DE 平面EFBC， 所以平面BFC的法向量(0,2,2)DE ， 所以 21 cos, 2|22 2 n DE n DE nDE ， 由图可知，二面角ABFC为钝角， 所以二面角ABF
31、C的余弦值为 1 2 21解：（1）设点 1 (M x， 1) y， 2 (P x， 2) y ，由题意，设直线: 1l xmy ， 由 2 1 4 xmy yx 得 2 440ymy， 2 16160m， 2 1m，又 12 4y y ， 2 12 121212 () 145 16 y y OM OPx xy yy y （2）证明：设 2 3 ( 4 y Q， 3) y ，直线BQ的斜率为 BQ k ，直线QM的斜率为 QM k ，直线PQ的斜率为 PQ k ， M，B，Q三点共线， BQQM kk ， 313 222 331 1 1 444 yyy yyy ，即 3 2 313 11 4
32、y yyy ， 2 3133 (1)()4yyyy，即 1313 40y yyy ， 12 4y y ， 1 2 4 y y ， 33 22 44 40yy yy ， 即 2323 4()40(*)yyy y ， 23 22 3232 4 44 PQ yy k yyyy ， 直线PQ的方程是 2 2 2 23 4 () 4 y yyx yy ，即 2 2232 ()()4yyyyxy， 2323 ()4y yyy yx ， 由(*)式可知， 2323 4()4y yyy 代入上式，得 23 (4)()4(1)yyyx ， 令 40 10 y x ，解得 1 4 x y ， 直线PQ恒过定点(1
33、, 4) 22解：（1）a e 时， 2 ( )2 x f xeex，则( )2 x f xeex， 故k f（1）e ，又f（1）2 ，故切点坐标为(1, 2) ， 故函数 ( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为：2(1)ye x ， 即 2yexe ， 故切线与坐标轴交点坐标分别为(0, 2)e ， 2 (e e ，0)， 故所求三角形面积为 2 12(2)2 (2) ()2 222 eee e eee ； （2）由( )0 x f xe，得 2 2 0 xx eeax 恒成立， 令 2 ( )2 xx g xeeax ，则 ()( )gxg x ，故 ( )g x是偶函数， 故只
34、要求当0 x时， ( ) 0g x 恒成立即可， ( )2 xx g xeeax ， 设( )2 xx h xeeax ，( 0)x ，故( )2 (0) xx h xeea x ， 设( )2 (0) xx H xeea x ，则( )(0) xx H xeex ， 显然 ( )H x 为(0, )上的增函数，(0)22Ha ， 当1a时， (0)220Ha，则有( )h x在(0,)上单调递增，故( )(0)0h xh ， 则 ( )g x在(0,)上单调递增，故( )(0)0g xg ，符合题意； 当1a 时， (0)220Ha ，又 1 (2 )0 2 H ln a a ， 故存在 0 (0,2 )xln a ，使得 0 ()0H x ， 故 ( )h x在 0 (0,)x 上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 当 0 (0,)xx 时， ( )(0)0h xh ，故 ( )g x在 0 (0,)x 上单调递减， 故 ( )(0)0g xg ，与 ( ) 0g x 矛盾， 综上：实数a的取值范围是(，1
