2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题2.9 函数模型及其应用(教师版含解析)

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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.9 函数模型及其应用函数模型及其应用 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 用函数图象刻画变化过程. 1 题型二 应用所给函数模型解决实际问题 . 2 题型三 构建函数模型解决实际问题. 4 命题角度一 构造一次函数、二次函数模型 . 5 命题角度二 构建指数函数、对数函数模型 . 6 命题角度三 构建函数 yaxb x(a0,b0)模型 . 7 命题角度四 构建分段函数模型 . 7 二、高效训练突破 . 8 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 用函数图象刻画变化过

2、程用函数图象刻画变化过程 【题型要点】【题型要点】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象 (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化特点,结合图 象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 【例【例 1】高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼 缸水深为 h 时水的体积为 v,则函数 vf(h)的大致图象是( ) 【答案】B 【解析】当 hH 时,体积为 V,故排除 A,C;由

3、 H0 过程中,减少相同高度的水,水的体积从开始减 少的越来越快到越来越慢,故选 B. 【例例 2】一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图丙所示 给出以下 3 个论断: 0 点到 3 点只进水不出水; 3 点到 4 点不进水只出水; 4 点到 6 点不进水不出水, 则一定正确的是( ) A B C D 【答案】A 【解析】由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的1 2,所以 0 点到 3 点不出水,3 点到 4 点也可能一个进水 口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4 点到 6 点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一

4、定正 确的是. 题型二题型二 应用所给函数模型解决实际问题应用所给函数模型解决实际问题 【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题 【例【例 1】某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为 p 元,销售量为 Q 件, 则销售量 Q(单位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q8 300170 pp2,则最大毛利润为(毛利润 销售收入进货支出)( ) A30 元 B60 元 C28 0

5、00 元 D23 000 元 【答案】D 【解析】设毛利润为 L(p)元,则由题意知 L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000, 所以 L(p)3p2300p11 700. 令 L(p)0,解得 p30 或 p130(舍去) 当 p(0,30)时,L(p)0,当 p(30,)时,L(p)0 且 a1, b0) 对数函数模型 f(x)blogaxc (a,b,c 为常数,a0 且 a1,b0) 幂函数模型 f(x)axnb(a,b,n 为常数,a0,n0) 2.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较 yax(a1) yloga

6、x(a1) yxn(n0) 在(0,)上的单调 性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 值增大, 图象与 y 轴接近平行 随 x 值增大, 图象与 x 轴接近平行 随 n 值变化而不同 3“对勾对勾”函数模型函数模型 形如 f(x)xa x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型: (1)该函数在(, a)和( a,)上单调递增,在 a,0)和(0, a 上单调递减 (2)当 x0 时,x a时取最小值 2 a,当 x200,两边同时取对数,得 n1lg 2lg 1.3 lg 1.12 ,又lg 2lg 1.3 lg 1.12 0.300.11 0

7、.05 3.8,则 n4.8,即 a5开始超过 200,所以 2020 年投入的研发资金开始超过 200 万元,故选 C. 命题角度三命题角度三 构建函数构建函数 yaxb x(a 0,b0)模型模型 【例【例 3】 】 (2019 青岛二中模拟青岛二中模拟某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约 4 万元,为了缓解供水压力,决定安 装一个可使用 4 年的自动污水净化设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地 面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂供 水互补的用水模式假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的

8、水费 C(单位:万元)与安装的这 种净水设备的占地面积 x(单位:平方米)之间的函数关系是 C(x) k 50 x250(x0,k 为常数)记 y 为该企业 安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之和 (1)试解释 C(0)的实际意义,并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (2)当 x 为多少平方米时,y 取得最小值,最小值是多少万元? 【解析】(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元, C(0) k 2504,k1000, y0.2x 1000 50 x250 40.2x 80 x5(x0) (2)y0.2(x5) 80 x512 0.2x5 80 x51

9、7,当 0.2(x5) 80 x5,即 x15 时,ymin7,故当 x 为 15 平方米时,y 取得最小值 7 万元 命题角度四命题角度四 构建分段函数模型构建分段函数模型 【例【例 4】某景区提供自行车出租,该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元, 租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数,并且要求租自行车一日 的总收入必须高于这一日的管理费用, 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减

10、去管理费用后得到的部分) (1)求函数 yf(x)的解析式; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多? 【解析】 (1)当 x6 时,y50 x115, 令 50 x1150,解得 x2.3, 因为 x 为整数,所以 3x6,xZ. 当 x6 时,y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150, 有 3x268x1150, 结合 x 为整数得 6x20,xZ. 所以 yf(x) 50 x115(3x6,xZ), 3x268x115(6x20,xZ). (2)对于 y50 x115(3x6,xZ), 显然当 x6 时,ymax185; 对于 y3x

11、268x1153 2 3 34 x811 3 (6x20,xZ), 当 x11 时,ymax270. 因为 270185,所以当每辆自行车的日租金定为 11 元时,才能使一日的净收入最多 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 湖北荆、襄、宜联考湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满,表中记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 2018 年 10 月 1 日 12 35 000 2018 年 10 月 15 日 60 35 600 (注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程) 在这段时间内,该车每 100 千

12、米平均耗油量为( ) A6 升 B8 升 C10 升 D12 升 【答案】C. 【解析】 : 因为第二次加满油箱时加油量为 60 升, 所以从第一次加油到第二次加油共用油 60 升, 行驶了 600 千米,所以在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为 60 600 10010(升)故选 C. 2某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对于进价),则该家具的进 价是( ) A118 元 B105 元 C106 元 D108 元 【答案】D. 【解析】 :设进价为 a 元,由题意知 132 (110%)a10% a,解得 a108.故选 D. 3.

13、(2019 福建三明联考福建三明联考)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的3 4,要使存留的污垢不超过 1%,则至少要洗的次 数是(参考数据:lg 20.3010)( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】设至少要洗 x 次,则 x 4 3 -1 1 100,x 1 lg 23.322,因此至少需要洗 4 次,故选 B. 4.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销 售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( ) Ay100 x By50 x250 x100 Cy50 2

14、x Dy100log2x100 【答案】C 【解析】对于 A 中的函数,当 x3 或 4 时,误差较大对于 B 中的函数,当 x4 时误差较大对于 C 中 的函数,当 x1,2,3 时,误差为 0,x4 时,误差为 10,误差很小对于 D 中的函数,当 x4 时,据函数 式得到的结果为 300,与实际值 790 相差很远综上,只有 C 中的函数误差最小 5(2020 泸州诊断泸州诊断)某位股民买入某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了 3 次涨停(每次 上涨 10%)又经历了 3 次跌停(每次下降 10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A略有盈利 B无法

15、判断盈亏情况 C没有盈利也没有亏损 D略有亏损 【答案】D 【解析】由题意可得(110%)3(110%)30.9930.971.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损 6(2020 南充模拟南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18%,经过 x 年后,绿化面积与原绿化面积之 比为 y,则 yf(x)的图象大致为( ) 【答案】D 【解析】设某地区起始年的绿化面积为 a,因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18%,所以经过 x 年后,绿化面积 g(x)a(118%)x,因为绿化面积与原绿化面积的比值为 y,则 yf(x)gx a (118%)x 1.18x,因为 y1.18x为底

16、数大于 1 的指数函数,故可排除 A,C,当 x0 时,y1,可排除 B,故选 D. 7,素数也叫质数,法国数学家马林 梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“2n1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数已知第 20 个梅森素数为 P24 4231,第 19 个梅森素数为 Q24 2531,则 下列各数中与P Q最接近的数为(参考数据:lg 20.3)( ) A1045 B1051 C1056 D1059 【答案】B 【解析】 :.由题知P Q 24 4231 24 25312 170.令 2170k,则 lg 2170lg k,所以 170lg 2lg k又 lg 20.3,所以

17、 51 lg k,即 k1051,所以与P Q最接近的数为 10 51.故选 B. 8.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间满足函数关系式 y300020 x0.1x2(0x0), 180823x 4800 x 18082401568. 当且仅当 3x4800 x ,即 x40 时取等号,S 取得最大值 此时 y1800 x 45. 所以当 x40,y45 时,S 取得最大值 解法二:解法二:设 Sf(x)1808 x x 4800 3(x0), f(x)4800 x2 3340 x40 x x2 , 令 f(x)0 得 x40, 当 0x0, 当 x40 时,f(x)0. 所以当

18、x40 时,S 取得最大值此时 y45, 所以当 x40,y45 时,S 取得最大值 三、三、解答题解答题 1.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元, 每生产1万部还需另投入16万美元 设 该公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完,每万部的销售收入为 R(x)万美元,且 R(x) 4006x,040. (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式; (2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润 【答案】(1)W 6x 2384x40,040. (2)当 x32 时,W 取得最大值为 6 104 万美元 【解

19、析】 :(1)当 040 时,WxR(x)(16x40) 40 000 x 16x7 360. 所以 W 6x 2384x40,040. (2)当 040 时,W40 000 x 16x7 360, 由于40 000 x 16x2 40 000 x 16x1 600, 当且仅当40 000 x 16x,即 x50(40,)时,取等号, 所以此时 W 的最大值为 5 760. 综合知, 当 x32 时,W 取得最大值为 6 104 万美元 2(2019 江西七校联考江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来 一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村

20、合作社每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两个无公害 蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发 现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位:万元)满足 P804 2a,Q1 4a120,设甲大 棚的投入为 x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位:万元) (1)求 f(50)的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f(x)最大? 【答案】(1)277.5(万元);(2)282 万元 【解析】 :(1)由题意知甲大棚投入 50 万元, 则乙大棚投入 150 万元, 所以 f(50)8

21、04 2 501 4 150120277.5(万元) (2)f(x)804 2x1 4(200 x)120 1 4x4 2x250,依题意得 x20, 200 x2020 x180, 故 f(x)1 4x4 2x250(20 x180) 令 t x,则 t2 5,6 5,y1 4t 24 2t2501 4(t8 2) 2282,当 t8 2,即 x128 时,f(x)取 得最大值,f(x)max282. 所以甲大棚投入 128 万元,乙大棚投入 72 万元时,总收益最大,且最大总收益为 282 万元 3某公司为了实现 2020 年销售利润 1000 万元的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方

22、案:从销售利 润达到 10 万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万元)的增加而 增加,但奖金数额不超过 5 万元,同时奖金数额不超过销售利润的 25%.现有三个奖励模型:y0.025x,y 1.003x,y1 2ln x1,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由(参考数据:1.003 5385,e 2.71828,e82981) 【解析】由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当 x10,1000时,函数为增函数;函数的最大值 不超过 5;yx 25%. (1)对于 y0.025x,易知满足,但当 x200 时,y5,不满足公司的要求 (2)

23、对于 y1.003x,易知满足,但当 x538 时,y5,不满足公司的要求 (3)对于 y1 2ln x1,易知满足. 当 x10,1000时,y1 2ln 10001. 下面证明1 2ln 100015. 因为1 2ln 100015 1 2ln 10004 1 2(ln 10008) 1 2(ln 1000ln 2981)0,满足. 再证明1 2ln x1x 25%,即 2ln x4x0. 设 F(x)2ln x4x,则 F(x)2 x1 2x x 0,x10,1000,所以 F(x)在10,1000上为减函数, F(x)maxF(10)2ln 104102ln 1062(ln 103)0,满足. 综上,奖励模型 y1 2ln x1 能完全符合公司的要求

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