1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.9 函数模型及其应用函数模型及其应用 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 用函数图象刻画变化过程. 1 题型二 应用所给函数模型解决实际问题 . 2 题型三 构建函数模型解决实际问题. 4 命题角度一 构造一次函数、二次函数模型 . 5 命题角度二 构建指数函数、对数函数模型 . 6 命题角度三 构建函数 yaxb x(a0，b0)模型 . 7 命题角度四 构建分段函数模型 . 7 二、高效训练突破 . 8 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 用函数图象刻画变化过
2、程用函数图象刻画变化过程 【题型要点】【题型要点】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图 象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. 【例【例 1】高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼 缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 vf(h)的大致图象是( ) 【答案】B 【解析】当 hH 时，体积为 V，故排除 A，C；由
3、 H0 过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减 少的越来越快到越来越慢，故选 B. 【例例 2】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天 0 点到 6 点， 该水池的蓄水量如图丙所示 给出以下 3 个论断： 0 点到 3 点只进水不出水； 3 点到 4 点不进水只出水； 4 点到 6 点不进水不出水， 则一定正确的是( ) A B C D 【答案】A 【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的1 2，所以 0 点到 3 点不出水，3 点到 4 点也可能一个进水 口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4 点到 6 点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一
4、定正 确的是. 题型二题型二 应用所给函数模型解决实际问题应用所给函数模型解决实际问题 【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题 【例【例 1】某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q 件， 则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q8 300170 pp2，则最大毛利润为(毛利润 销售收入进货支出)( ) A30 元 B60 元 C28 0
5、00 元 D23 000 元 【答案】D 【解析】设毛利润为 L(p)元，则由题意知 L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000， 所以 L(p)3p2300p11 700. 令 L(p)0，解得 p30 或 p130(舍去) 当 p(0，30)时，L(p)0，当 p(30，)时，L(p)0 且 a1， b0) 对数函数模型 f(x)blogaxc (a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 幂函数模型 f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0，n0) 2.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较 yax(a1) yloga
6、x(a1) yxn(n0) 在(0，)上的单调 性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 值增大， 图象与 y 轴接近平行 随 x 值增大， 图象与 x 轴接近平行 随 n 值变化而不同 3“对勾对勾”函数模型函数模型 形如 f(x)xa x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(， a)和( a，)上单调递增，在 a，0)和(0， a 上单调递减 (2)当 x0 时，x a时取最小值 2 a，当 x200，两边同时取对数，得 n1lg 2lg 1.3 lg 1.12 ，又lg 2lg 1.3 lg 1.12 0.300.11 0
7、.05 3.8，则 n4.8，即 a5开始超过 200，所以 2020 年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 C. 命题角度三命题角度三 构建函数构建函数 yaxb x(a 0，b0)模型模型 【例【例 3】 】 (2019 青岛二中模拟青岛二中模拟某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约 4 万元，为了缓解供水压力，决定安 装一个可使用 4 年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地 面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为 0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供 水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的
8、水费 C(单位：万元)与安装的这 种净水设备的占地面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x) k 50 x250(x0，k 为常数)记 y 为该企业 安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之和 (1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简； (2)当 x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？ 【解析】(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元， C(0) k 2504，k1000， y0.2x 1000 50 x250 40.2x 80 x5(x0) (2)y0.2(x5) 80 x512 0.2x5 80 x51
9、7，当 0.2(x5) 80 x5，即 x15 时，ymin7，故当 x 为 15 平方米时，y 取得最小值 7 万元 命题角度四命题角度四 构建分段函数模型构建分段函数模型 【例【例 4】某景区提供自行车出租，该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超过 1 元， 租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求租自行车一日 的总收入必须高于这一日的管理费用， 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减
10、去管理费用后得到的部分) (1)求函数 yf(x)的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【解析】 (1)当 x6 时，y50 x115， 令 50 x1150，解得 x2.3， 因为 x 为整数，所以 3x6，xZ. 当 x6 时，y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150， 有 3x268x1150， 结合 x 为整数得 6x20，xZ. 所以 yf(x) 50 x115（3x6，xZ）， 3x268x115（6x20，xZ）. (2)对于 y50 x115(3x6，xZ)， 显然当 x6 时，ymax185； 对于 y3x
11、268x1153 2 3 34 x811 3 (6x20，xZ)， 当 x11 时，ymax270. 因为 270185，所以当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 湖北荆、襄、宜联考湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 2018 年 10 月 1 日 12 35 000 2018 年 10 月 15 日 60 35 600 (注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程) 在这段时间内，该车每 100 千
12、米平均耗油量为( ) A6 升 B8 升 C10 升 D12 升 【答案】C. 【解析】 ： 因为第二次加满油箱时加油量为 60 升， 所以从第一次加油到第二次加油共用油 60 升， 行驶了 600 千米，所以在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 60 600 10010(升)故选 C. 2某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对于进价)，则该家具的进 价是( ) A118 元 B105 元 C106 元 D108 元 【答案】D. 【解析】 ：设进价为 a 元，由题意知 132 (110%)a10% a，解得 a108.故选 D. 3.
13、(2019 福建三明联考福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3 4，要使存留的污垢不超过 1%，则至少要洗的次 数是(参考数据：lg 20.3010)( ) A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】设至少要洗 x 次，则 x 4 3 -1 1 100，x 1 lg 23.322，因此至少需要洗 4 次，故选 B. 4.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销 售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( ) Ay100 x By50 x250 x100 Cy50 2
14、x Dy100log2x100 【答案】C 【解析】对于 A 中的函数，当 x3 或 4 时，误差较大对于 B 中的函数，当 x4 时误差较大对于 C 中 的函数，当 x1,2,3 时，误差为 0，x4 时，误差为 10，误差很小对于 D 中的函数，当 x4 时，据函数 式得到的结果为 300，与实际值 790 相差很远综上，只有 C 中的函数误差最小 5(2020 泸州诊断泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 3 次涨停(每次 上涨 10%)又经历了 3 次跌停(每次下降 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A略有盈利 B无法
15、判断盈亏情况 C没有盈利也没有亏损 D略有亏损 【答案】D 【解析】由题意可得(110%)3(110%)30.9930.971.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损 6(2020 南充模拟南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18%，经过 x 年后，绿化面积与原绿化面积之 比为 y，则 yf(x)的图象大致为( ) 【答案】D 【解析】设某地区起始年的绿化面积为 a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长 18%，所以经过 x 年后，绿化面积 g(x)a(118%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为 y，则 yf(x)gx a (118%)x 1.18x，因为 y1.18x为底
16、数大于 1 的指数函数，故可排除 A，C，当 x0 时，y1，可排除 B，故选 D. 7，素数也叫质数，法国数学家马林 梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数已知第 20 个梅森素数为 P24 4231，第 19 个梅森素数为 Q24 2531，则 下列各数中与P Q最接近的数为(参考数据：lg 20.3)( ) A1045 B1051 C1056 D1059 【答案】B 【解析】 ：.由题知P Q 24 4231 24 25312 170.令 2170k，则 lg 2170lg k，所以 170lg 2lg k又 lg 20.3，所以
17、 51 lg k，即 k1051，所以与P Q最接近的数为 10 51.故选 B. 8.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间满足函数关系式 y300020 x0.1x2(0x0)， 180823x 4800 x 18082401568. 当且仅当 3x4800 x ，即 x40 时取等号，S 取得最大值 此时 y1800 x 45. 所以当 x40，y45 时，S 取得最大值 解法二：解法二：设 Sf(x)1808 x x 4800 3(x0)， f(x)4800 x2 3340 x40 x x2 ， 令 f(x)0 得 x40， 当 0x0， 当 x40 时，f(x)0. 所以当
18、x40 时，S 取得最大值此时 y45， 所以当 x40，y45 时，S 取得最大值 三、三、解答题解答题 1.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元， 每生产1万部还需另投入16万美元 设 该公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 R(x)万美元，且 R(x) 4006x，040. (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 【答案】(1)W 6x 2384x40，040. (2)当 x32 时，W 取得最大值为 6 104 万美元 【解
19、析】 ：(1)当 040 时，WxR(x)(16x40) 40 000 x 16x7 360. 所以 W 6x 2384x40，040. (2)当 040 时，W40 000 x 16x7 360， 由于40 000 x 16x2 40 000 x 16x1 600， 当且仅当40 000 x 16x，即 x50(40，)时，取等号， 所以此时 W 的最大值为 5 760. 综合知， 当 x32 时，W 取得最大值为 6 104 万美元 2(2019 江西七校联考江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来 一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村
20、合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害 蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发 现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元)满足 P804 2a，Q1 4a120，设甲大 棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位：万元) (1)求 f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？ 【答案】(1)277.5(万元)；(2)282 万元 【解析】 ：(1)由题意知甲大棚投入 50 万元， 则乙大棚投入 150 万元， 所以 f(50)8
21、04 2 501 4 150120277.5(万元) (2)f(x)804 2x1 4(200 x)120 1 4x4 2x250，依题意得 x20， 200 x2020 x180， 故 f(x)1 4x4 2x250(20 x180) 令 t x，则 t2 5，6 5，y1 4t 24 2t2501 4(t8 2) 2282，当 t8 2，即 x128 时，f(x)取 得最大值，f(x)max282. 所以甲大棚投入 128 万元，乙大棚投入 72 万元时，总收益最大，且最大总收益为 282 万元 3某公司为了实现 2020 年销售利润 1000 万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方
22、案：从销售利 润达到 10 万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额 y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增加而 增加，但奖金数额不超过 5 万元，同时奖金数额不超过销售利润的 25%.现有三个奖励模型：y0.025x，y 1.003x，y1 2ln x1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由(参考数据：1.003 5385，e 2.71828，e82981) 【解析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当 x10,1000时，函数为增函数；函数的最大值 不超过 5；yx 25%. (1)对于 y0.025x，易知满足，但当 x200 时，y5，不满足公司的要求 (2)
23、对于 y1.003x，易知满足，但当 x538 时，y5，不满足公司的要求 (3)对于 y1 2ln x1，易知满足. 当 x10,1000时，y1 2ln 10001. 下面证明1 2ln 100015. 因为1 2ln 100015 1 2ln 10004 1 2(ln 10008) 1 2(ln 1000ln 2981)0，满足. 再证明1 2ln x1x 25%，即 2ln x4x0. 设 F(x)2ln x4x，则 F(x)2 x1 2x x 0，x10,1000，所以 F(x)在10,1000上为减函数， F(x)maxF(10)2ln 104102ln 1062(ln 103)0，满足. 综上，奖励模型 y1 2ln x1 能完全符合公司的要求
