1、 2021 年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）分，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 1 （3 分）5 的相反数是（ ） A5 B5 C D 2 （3 分）下列计算结果是 x5的为（ ） Ax2x3 Bx6x C （x3）2 Dx10 x2 3 （3 分）下列图形中，不是中心对称图形有（ ） A B C D 4 （3 分）一组数据：2，3，3，4，6，5，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A3，3 B5
2、，3 C3.5，3 D3，4 5 （3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ） A B C D 6 （3 分）如图，直线 l1l2l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3所截，AB5，BC6，EF4，则 DE 的长 为（ ） A2 B3 C4 D 7 （3 分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） Ax2x Bx210 Cx2+x+0 Dx22x+40 8 （3 分）如图的七边形 ABCDEFG 中，AB、ED 的延长线相交于 O 点若图中1、2、3、4 的外 角的角度和为 220，则BOD 的度数为何？（ ） A40 B45 C50 D60 9 （3 分）
3、如图，C 的圆心 C 的坐标为（1，1） ，半径为 1，直线 l 的表达式为 y2x+6，P 是直线 l 上 的动点，Q 是C 上的动点，则 PQ 的最小值是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点与坐标原点重合，点 E 是 x 轴上 一点，连接 AE若 AD 平分OAE，反比例函数 y（k0，x0）的图象经过 AE 上的两点 A，F， 且 AFEF，ABE 的面积为 18，则 k 的值为（ ） A6 B12 C18 D24 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分不需写出
4、解答过程，只需把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡 上相应的位置）上相应的位置） 11 （2 分）一周时间有 604800 秒，604800 用科学记数法表示为 12 （2 分）cos60+tan45 13 （2 分）如图，在O 中，OA2，C45，则图中阴影部分的面积为 14 （2 分）已知圆锥的底面圆的半径是 2.5，母线长是 6，其侧面展开图的面积 15 （2 分）写出一个函数，当自变量 x 取值范围为 x0 时，函数值 y 随着 x 的增大而减小的函数 是 16 （2 分）如图，有一张长方形纸片 ABCD，AB8cm，BC10cm，点 E 为 CD 上一
5、点，将纸片沿 AE 折 叠，BC 的对应边 BC恰好经过点 D，则线段 DE 的长为 cm 17 （2 分）已知抛物线 yax2+4ax+4a+1（a0）过点 A（m，3） ，B（n，3）两点，若线段 AB 的长不大于 4，则代数式 a2+a+1 的最小值是 18 （2 分）已知在菱形 ABCD 中，A60，DEBF，sinE，DE6，EFBF5，则菱形 ABCD 的边长 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 19 （
6、8 分）计算： （1）（0.5）0sin30； （2）化简： 20 （8 分） （1）解方程：x26x+70； （2）解不等式组 21 （8 分）如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，ACDF，BECF （1）求证：ABCDEF； （2）连接 AD，求证：四边形 ABED 是平行四边形 22 （8 分）在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中 （1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是 ； （2）搅匀后先从中随机抽出 1 支签（不放回） ，再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签，求抽到的 2 支签 上签号
7、的和为奇数的概率 23 （8 分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为，A“剪纸” 、B“沙画” 、 C“葫芦雕刻” 、D“泥塑” 、E“插花” 为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进 行调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ； （2）统计图中的 a ，b ； （3）补全条形统计图； （4）该校共有 2500 名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数 24 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OFAD 于点 E，交 CD 于
8、点 F （1）求证：ADCAOF； （2）若 sinC，BD8，求 EF 的长 25 （6 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 D 是 AB 的中点，ACBC （1）试用无刻度的直尺和圆规，在 BC 上作一点 E，使得直线 ED 平分 ABC 的周长； （不要求写作法， 但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 DE 分 RtABC 面积为 1：2 两部分，请探究 AC 与 BC 的数量关系 26 （8 分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 10 万元/件 （1）如图，设第 x（0 x20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图
9、中的函数图象表 示求 z 关于 x 的函数解析式（写出 x 的范围） （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y5x+40（0 x20） 在（1）的 条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润收入成本） 27 （10 分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图 象与性质其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图 1 列表：下表是 x 与 y 的几组对应值，其中 m ； x 3 2 1 1 2 3 y 1 2 4 4 2 m 描点：根据表中各组对应值（x，y） ，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：
10、用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）通过观察图 1，写出该函数的两条性质： ； ； （3）观察发现：如图 2，若直线 y2 交函数的图象于 A，B 两点，连接 OA，过点 B 作 BC OA 交 x 轴于 C，则 S四边形OABC ； 探究思考：将中“直线 y2”改为“直线 ya（a0） ” ，其他条件不变，则 S四边形OABC ； 类比猜想：若直线 ya（a0）交函数（k0）的图象于 A，B 两点，连接 OA，过点 B 作 BC OA 交 x 轴于 C，求出四边形 OABC 的面积 28 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+kx2k 的顶点为 N
11、 （1）若此抛物线过点 A（3，1） ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与 y 轴交于点 B，连接 AB，C 为抛物线上一点，且位于线段 AB 的上 方，过 C 作 CD 垂直 x 轴于点 D，CD 交 AB 于点 E，若 CEED，求点 C 坐标； （3）已知点 M（2，0） ，且无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H，当MHN60时，求抛物线 的解析式 2021 年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分
12、，共 30 分，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）分，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 1 （3 分）5 的相反数是（ ） A5 B5 C D 【解答】解：5 的相反数是5， 故选：B 2 （3 分）下列计算结果是 x5的为（ ） Ax2x3 Bx6x C （x3）2 Dx10 x2 【解答】解：Ax2x3x5，故本选项符合题意； Bx6与x 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； C （x3）2x6，故本选项不合题意； Dx10 x2x8，故本选项不合题意 故选：A 3 （3 分）下列图形中，不是中心对称图形有（ ） A B C D 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
13、 B、是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项正确 故选：D 4 （3 分）一组数据：2，3，3，4，6，5，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A3，3 B5，3 C3.5，3 D3，4 【解答】解：将这组数据从小到大排列为 2，3，3，4，5，6，处在中间位置的两个数的平均数为 3.5，因此中位数是 3.5， 这组数据中出现次数最多的是 3，因此众数是 3， 故选：C 5 （3 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ） A B C D 【解答】解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左
14、边有一个小正方形 故选：A 6 （3 分）如图，直线 l1l2l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3所截，AB5，BC6，EF4，则 DE 的长 为（ ） A2 B3 C4 D 【解答】解：直线 l1l2l3， ， AB5，BC6，EF4， ， DE， 故选：D 7 （3 分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） Ax2x Bx210 Cx2+x+0 Dx22x+40 【解答】解：A、（1）241010，此方程有两个不相等的实数根； B、041（1）40，此方程有两个不相等的实数根； C、12410，此方程有两个相等的实数根； D、（2）2414120，此方程没有实数根 故选：C
15、8 （3 分）如图的七边形 ABCDEFG 中，AB、ED 的延长线相交于 O 点若图中1、2、3、4 的外 角的角度和为 220，则BOD 的度数为何？（ ） A40 B45 C50 D60 【解答】解：延长 BC 交 OD 于点 M，如图所示. 多边形的外角和为 360， OBC+MCD+CDM360220140 四边形的内角和为 360， BOD+OBC+180+MCD+CDM360， BOD40 故选：A 9 （3 分）如图，C 的圆心 C 的坐标为（1，1） ，半径为 1，直线 l 的表达式为 y2x+6，P 是直线 l 上 的动点，Q 是C 上的动点，则 PQ 的最小值是（ ） A
16、 B C D 【解答】解：过点 C 作 CP直线 l，交圆 C 于 Q 点，此时 PQ 的值最小，连接 BC、AC，作 CMOA 于 M，CNOB 于 N， y2x+6， A（3，0） ，B（0，6） ， OA3，OB6， AB3， 四边形 OMCN 是正方形， OMON1， AM312，BN615， 设 PCd，PBm，则 AP3m， BN2+CN2BC2PB2+PC2，AM2+CM2AC2AP2+CP2， 52+12m2+d2，22+12（3m）2+d2， 解得，d， C 的半径为 1， PQ1， 故选：A 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点与
17、坐标原点重合，点 E 是 x 轴上 一点，连接 AE若 AD 平分OAE，反比例函数 y（k0，x0）的图象经过 AE 上的两点 A，F， 且 AFEF，ABE 的面积为 18，则 k 的值为（ ） A6 B12 C18 D24 【解答】解：如图，连接 BD，OF，过点 A 作 ANOE 于 N，过点 F 作 FMOE 于 M ANFM，AFFE， MNME， FMAN， A，F 在反比例函数的图象上， SAONSFOM， ONANOMFM， ONOM， ONMNEM， MEOE， SFMESFOE， AD 平分OAE， OADEAD， 四边形 ABCD 是矩形， OAOD， OADODADA
18、E， AEBD， SABESAOE， SAOE18， AFEF， SEOFSAOE9， SFMESEOF3， SFOMSFOESFME936， k12 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡分不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡 上相应的位置）上相应的位置） 11 （2 分）一周时间有 604800 秒，604800 用科学记数法表示为 6.048105 【解答】解：将 604800 用科学记数法表示为 6.048105， 故答案是：6.048105 12 （2 分）cos
19、60+tan45 1.5 【解答】解：原式+11.5 13 （2 分）如图，在O 中，OA2，C45，则图中阴影部分的面积为 2 【解答】解：C45， AOB90， S阴影S扇形AOBSAOB 2 故答案为：2 14 （2 分）已知圆锥的底面圆的半径是 2.5，母线长是 6，其侧面展开图的面积 15 【解答】解：它的侧面展开图的面积22.5615 故答案为：15 15（2分） 写出一个函数， 当自变量x取值范围为x0时， 函数值y随着x的增大而减小的函数是 y 【解答】解：函数关系式为：y等； 故答案为：y 16 （2 分）如图，有一张长方形纸片 ABCD，AB8cm，BC10cm，点 E 为
20、 CD 上一点，将纸片沿 AE 折 叠，BC 的对应边 BC恰好经过点 D，则线段 DE 的长为 5 cm 【解答】解：将纸片沿 AE 折叠，BC 的对应边 BC恰好经过点 D， ABAB8cm，BCBC10cm，CECE， BD6cm， CDBCBD4cm， DE2CD2+CE2， DE216+（8DE）2， DE5cm， 故答案为：5 17 （2 分）已知抛物线 yax2+4ax+4a+1（a0）过点 A（m，3） ，B（n，3）两点，若线段 AB 的长不大于 4，则代数式 a2+a+1 的最小值是 【解答】解：抛物线 yax2+4ax+4a+1a（x+2）2+1（a0） ， 顶点为（2，
21、1） ， 过点 A（m，3） ，B（n，3）两点， a0， 对称轴为直线 x2， 线段 AB 的长不大于 4， 4a+13 a a2+a+1 的最小值为： （）2+1； 故答案为 18 （2 分）已知在菱形 ABCD 中，A60，DEBF，sinE，DE6，EFBF5，则菱形 ABCD 的边长 4 【解答】解：连接 BD，过 B 作 BGEF 交 DE 的延长线于 G， DEFF， EGBF， 四边形 BFEG 是平行四边形， EFBF， 四边形 BFEG 是菱形， EGBGEFBF5， DG6+511， EFBG， GDEF， 过 D 作 DHGB 交 GB 的延长线于 H， DHG90，
22、sinDEFsinG， DH， GH， BHGHBG， BD4， 在菱形 ABCD 中，A60， ABD 是等边三角形， ABBD4， 故答案为：4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 19 （8 分）计算： （1）（0.5）0sin30； （2）化简： 【解答】解： （1）原式1 1； （2）原式 20 （8 分） （1）解方程：x26x+70； （2）解不等式组 【解答】解： （1）x26x+70， x26x7，
23、 则 x26x+97+9，即（x3）22， x3， x13+，x23； （2）解不等式 2x60，得：x3， 解不等式 4x1，得：x5， 不等式组的解集为 x5 21 （8 分）如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，ACDF，BECF （1）求证：ABCDEF； （2）连接 AD，求证：四边形 ABED 是平行四边形 【解答】 （1）证明：BECF， BE+ECCF+EC， BCEF， 在ABC 和DEF 中， ABCDEF（SSS） ； （2）证明：由（1）得：ABCDEF， BDEF， ABDE， 又ABDE， 四边形 ABED 是平行四边形 22 （8 分）在 3 张相同的
24、小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中 （1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是 ； （2）搅匀后先从中随机抽出 1 支签（不放回） ，再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签，求抽到的 2 支签 上签号的和为奇数的概率 【解答】 解： （1） 共有 3 种可能出现的结果， 其中 “抽到 1 号” 的有 1 种， 因此 “抽到 1 号” 的概率为， 故答案为：； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 6 种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有 4 种， P（和为奇数） 23 （8 分）为了提高学生的综合素养，某校开
25、设了五门手工活动课，按照类别分为，A“剪纸” 、B“沙画” 、 C“葫芦雕刻” 、D“泥塑” 、E“插花” 为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进 行调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 120 ； （2）统计图中的 a 12 ，b 36 ； （3）补全条形统计图； （4）该校共有 2500 名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数 【解答】解： （1）1815%120（人） ，因此样本容量为 120； 故答案为：120； （2）a12010%12（人） ，b12030%36（人） ， 故答案为：12，36；
26、 （3）E 组频数：1201812303624（人） ， 补全条形统计图如图所示： （4）2500625（人） ， 答：该校 2500 名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有 625 人 24 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是O 的切线，D 为切点，OFAD 于点 E，交 CD 于点 F （1）求证：ADCAOF； （2）若 sinC，BD8，求 EF 的长 【解答】解： （1）连接 OD， OFAD， AOF+DAO90， CD 是O 的切线，D 为切点， CDO90， ADC+ADO90， OAOD， DAOADO， AOFADC； （2）OFBD，AOOB，
27、 AEDE， OEBD84， sinC， 设 ODx，OC3x， OBx， CB4x， OFBD， COFCBD， ， ， OF6， EFOFOE642 25 （6 分）如图，在 RtABC 中，C90，点 D 是 AB 的中点，ACBC （1）试用无刻度的直尺和圆规，在 BC 上作一点 E，使得直线 ED 平分 ABC 的周长； （不要求写作法， 但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 DE 分 RtABC 面积为 1：2 两部分，请探究 AC 与 BC 的数量关系 【解答】解： （1）如图，直线 DE 即为所求 （2）若 DE 分 RtABC 面积为 1：2 两部分， BE2EC，
28、设 ECa，则 BE2a， BC3a， BEET， ACETECa， BC3AC 26 （8 分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 10 万元/件 （1）如图，设第 x（0 x20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图中的函数图象表 示求 z 关于 x 的函数解析式（写出 x 的范围） （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y5x+40（0 x20） 在（1）的 条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润收入成本） 【解答】解： （1）由图可知，当 0 x12 时，z16， 当
29、 12x20 时，z 是关于 x 的一次函数，设 zkx+b， 则 解得： zx+19， z 关于 x 的函数解析式为 z （2）设第 x 个生产周期工厂创造的利润为 w 万元， 当 0 x12 时，w（1610）（5x+40）30 x+240， 由一次函数的性质可知，当 x12 时，w最大值3012+240600（万元） ； 当 12x20 时， w（x+1910） （5x+40） x2+35x+360 （x14）2+605， 因为0， 当 x14 时，w最大值605（万元） 综上所述，工厂第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元 27 （10 分）九年级某数学兴趣小组在学习
30、了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图 象与性质其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图 1 列表：下表是 x 与 y 的几组对应值，其中 m 1 ； x 3 2 1 1 2 3 y 1 2 4 4 2 m 描点：根据表中各组对应值（x，y） ，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）通过观察图 1，写出该函数的两条性质： 函数的图象关于 y 轴对称 ； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 ； （3）观察发现：如图 2，若直线 y2 交函数的图象于 A，B 两点，连接 O
31、A，过点 B 作 BC OA 交 x 轴于 C，则 S四边形OABC 4 ； 探究思考：将中“直线 y2”改为“直线 ya（a0） ” ，其他条件不变，则 S四边形OABC 4 ； 类比猜想：若直线 ya（a0）交函数（k0）的图象于 A，B 两点，连接 OA，过点 B 作 BC OA 交 x 轴于 C，求出四边形 OABC 的面积 【解答】解： （1）把 x2 代入得，y1， 补全图象如图所示： 故答案为 1； （2）函数的图象关于 y 轴对称； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小（答案不唯一） ； 故答案为函数的图象关于 y 轴对称； 当 x0
32、时， y 随 x 的增大而增大， 当 x0 时， y 随 x 的增大而减小； （3）如图 2，A、B 的纵坐标相同，故 ABOC， 而 BCOA，则四边形 OABC 为平行四边形， 当 y2 时，即 2，解得 x1， 故点 A、B 的坐标分别为（1，2） 、 （1，2） ，则 AB1+12OC， 则 S四边形OABCCOyA224， 当 ya 时， 同理可得：点 A、B 的坐标分别为（，a） 、 （，a） ，则 ABOC， 则 S四边形OABCCOyAa4， 当函数表达式为 y时， 同理可得：点 A、B 的坐标分别为（，a） 、 （，a） ，则 ABOC， 则 S四边形OABCCOyAa2k；
33、 故答案为：4；4 28 （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+kx2k 的顶点为 N （1）若此抛物线过点 A（3，1） ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若抛物线与 y 轴交于点 B，连接 AB，C 为抛物线上一点，且位于线段 AB 的上 方，过 C 作 CD 垂直 x 轴于点 D，CD 交 AB 于点 E，若 CEED，求点 C 坐标； （3）已知点 M（2，0） ，且无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H，当MHN60时，求抛物线 的解析式 【解答】解： （1）把 A（3.1）代入 yx2+kx2k， 得93k2k1 解得 k2， 抛物线的解析式为 yx22x+4
34、； （2）如图 1，设 C（t，t22t+4） ，则 E（t，t+2） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，把 A（3，1） ， （0，4）代入得到， ， 解得， 直线 AB 的解析式为 yx+4， E（t，t+2）在直线 AB 上， t+2t+4， 解得 t1t22， C（2，4） （3）由 yx2+kx2kk（x2）x2， 当 x20 时，x2，y4， 无论 k 取何值，抛物线都经过定点 H（2，4） ， 二次函数的顶点 N（，2k） ， 如图 2 中，过点 H 作 HIx 轴于 I，分别过 H，N 作 y 轴，x 轴的垂线交于点 G，若2 时，则 k4， M（2，0） ，H（2，4
35、） ， MI，HI4， tanMHI， MHI30， MHN60， NHI30， 即GNH30， 由图可知，tanGNH， 解得 k4+2或 4（不合题意舍弃） 如图 3 中，过点 H 作 HIx 轴于 I，分别过 H，N 作 y 轴，x 轴的垂线交于点 G 若2，则 k4， 同理可得，MHI30， MHN60， NHHI， 即2k4， 解得 k4（不符合题意舍弃） 若2，则 N，H 重合，不符合题意舍弃， 综上所述，抛物线的解析式为 yx2+（4+2）x（8+4） 声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布 日期：2021/5/11 18:21:02； 用户：152681 02978；邮箱 ：15268102978 ；学号：2455 9962
