1、2021 年广东省深圳市中考数学冲刺模拟试卷（一）年广东省深圳市中考数学冲刺模拟试卷（一） 一选择题（满分一选择题（满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）方程 x24x0 的解是（ ） Ax4 Bx11，x24 Cx10，x24 Dx0 2 （3 分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了 统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ） 读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A8，7 B8，8 C8.5，8 D8.5，7 3 （3
2、 分）我国北斗公司在 2020 年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺 达到了 0.000000022 米用科学记数法表示 0.000000022 为（ ） A2210 10 B2.210 10 C2.210 9 D2.210 8 4 （3 分）下列二次根式中，无论 x 取什么值都有意义的是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，平行四边形 ABCD 的周长为 20，对角线 AC，BD 相交于点 O点 E 是 CD 的中点，BD 6，则DOE 的周长为（ ） A6 B7 C8 D10 6 （3 分）若二次函数 yax2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图
3、所示，则一次函数 yax+b 与反 比例函数 y在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，RtABC 有一外接圆，其中B90，ABBC，今欲在上找一点 P，使得， 下是甲、乙两人的作法： 甲：取 AB 的中点 D：过点 D 作直线 AC 的平行线，交于点 P，则点 P 即为所求， 乙：取 AC 的中点 E；过点 E 作直线 AB 的平行线，交于点 P，则点 P 即为所求， 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ） A两人皆正确 B两人皆错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确 8 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为O 的直径，点 C 为劣
4、弧 BD 的中点，若DAB40， 则ABC 的度数是（ ） A140 B40 C70 D50 9 （3 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知ABC 与DEF 是位似图形， 原点 O 是位似中心， 位似比 OA： OD1：3，若 AB3，则 DE 的长为（ ） A5 B6 C9 D12 10 （3 分）已知：如图，正方形 ABCD 中，AB2，AC，BD 相交于点 O，E，F 分别为边 BC，CD 上的动 点（点 E，F 不与线段 BC，CD 的端点重合） 且 BECF，连接 OE，OF，EF在点 E，F 运动的过程 中，有下列四个说法： OEF 是等腰直角三角形；OEF 面积的最小值是；
5、至少存在一个ECF，使得ECF 的周长是 2+；四边形 OECF 的面积是 1 其中正确的是（ ） A B C D 二填空题（满分二填空题（满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）因式分解：9a3bab 12 （3 分）从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这十个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍数的概率 是 13 （3 分）按下面一组数的排列规律，在横线上填上适当的数： ， ， ， ， 14 （3 分）如图，平行于 x 轴的直线与函数 y（k0，x0）和 y（x0）的图象分别相交于 B，A 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若A
6、BC 的面积为 1，则 k 的值为 15 （3 分）如图所示，ABCD 为矩形，以 CD 为直径作半圆，矩形的另外三边分别与半圆相切，沿着折痕 DF 折叠该矩形，使得点 C 的对应点 E 落在 AB 边上，若 AD2，则图中阴影部分的面积 为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 55 分）分） 16 （5 分）计算：6sin45+|27|（） 3+（2020 ）0 17 （6 分）先化简： （），再从3、2、1、0、1 中选一个合适的数作为 a 的值 代入求值 18 （8 分）某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测
7、试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a七年级成绩频数分布直方图： b七年级成绩在 70 x80 这一组的是： 70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 a 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 人； （2）表中 a 的值为 （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排 名谁更靠前，并说明理由； （4） 该校七年级学生有 1600 人， 假设全部参加此次测试，
8、请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数 19 （8 分）大海中某小岛周围 10km 范围内有暗礁，一海轮在该岛的南偏西 60方向的某处，由西向东行 驶了 20km 后到达该岛的南偏西 30方向的另一处， 如果该海轮继续向东行驶， 会有触礁的危险吗？ （ 1.732） 20 （8 分） 【问题提出】如图 1，在四边形 ABCD 中，ADCD，ABC120，ADC60，AB2， BC1，求四边形 ABCD 的面积 【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题 （1）如图 2，连接 BD，由于 ADCD，所以可将DCB 绕点 D 顺时针方向旋转 6
9、0，得到DAB， 则BDB的形状是 （2）在（1）的基础上，求四边形 ABCD 的面积 【类比应用】 （3）如图 3，等边ABC 的边长为 2，BDC 是顶角为BDC120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60的角，角的两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，求AMN 的周 长 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AC 边上一点，以 AD 为直径的O 与边 BC 切于点 E，且 AB BE （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 BE3，BC7，求O 的半径长； （3）求证：CE2CDCA 22 （10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线
10、yx+4 与 x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 y ax2+bx 与直线 yx+4 交于另一点 B，且点 B 的横坐标为 1 （1）该抛物线的解析式为 ； （2）如图 1，Q 为抛物线上位于直线 AB 上方的一动点（不与 B、A 重合） ，过 Q 作 QPx 轴，交 x 轴于 P，连接 AQ，M 为 AQ 中点，连接 PM，过 M 作 MNPM 交直线 AB 于 N，若点 P 的横坐标为 t，点 N 的横坐标为 n，求 n 与 t 的函数关系式；在此条件下，如图 2，连接 QN 并延长，交 y 轴于 E，连接 AE， 求 t 为何值时，MNAE （3） 如图 3， 将直线 AB 绕点 A
11、顺时针旋转 15 度交抛物线对称轴于点 C， 点 T 为线段 OA 上的一动点 （不 与 O、A 重合） ，以点 O 为圆心、以 OT 为半径的圆弧与线段 OC 交于点 D，以点 A 为圆心、以 AT 为半 径的圆弧与线段 AC 交于点 F，连接 DF在点 T 运动的过程中，四边形 ODFA 的面积有最大值还是有最 小值？请求出该值 2021 年广东省深圳市中考数学冲刺模拟试卷（一）年广东省深圳市中考数学冲刺模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（满分一选择题（满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）方程 x24x0 的解是（ ） Ax4 Bx11
12、，x24 Cx10，x24 Dx0 【分析】由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为 0，这两式 中至少有一式值为 0，求出方程的解 【解答】解：x24x0， x（x4）0， 方程的解：x10，x24 故选：C 2 （3 分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了 统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ） 读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上 学生人数 6 11 8 8 7 A8，7 B8，8 C8.5，8 D8.5，7 【分析】根据中位数、众数的
13、意义即可求出答案 【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是 7 小时，因此众数是 7； 将 40 名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是 8 小时，因此中位数是 8， 故选：A 3 （3 分）我国北斗公司在 2020 年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺 达到了 0.000000022 米用科学记数法表示 0.000000022 为（ ） A2210 10 B2.210 10 C2.210 9 D2.210 8 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂
14、，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000000222.210 8 故选：D 4 （3 分）下列二次根式中，无论 x 取什么值都有意义的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可 【解答】解：A、当 x1 时，无意义，故此选项错误； B、当 x1 时，无意义，故此选项错误； C、当 x0 时，无意义，故此选项错误； D、无论 x 取什么值，都有意义，故此选项正确； 故选：D 5 （3 分）如图，平行四边形 ABCD 的周长为 20，对角线 AC，BD 相交于点 O点 E 是 CD 的中点，BD 6，则DOE 的周长
15、为（ ） A6 B7 C8 D10 【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OBOD，又因为 E 点是 CD 的中点，可 得 OE 是BCD 的中位线，可得 OEBC，所以易求DOE 的周长 【解答】解：ABCD 的周长为 20， 2（BC+CD）20，则 BC+CD10 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD6， ODOBBD3 点 E 是 CD 的中点， OE 是BCD 的中位线，DECD， OEBC， DOE 的周长OD+OE+DEBD+（BC+CD）5+38， 即DOE 的周长为 8 故选：C 6 （3 分）若二次函数 yax2+bx+c
16、的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数 yax+b 与反 比例函数 y在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A B C D 【分析】 根据二次函数图象开口向下得到 a0， 再根据对称轴确定出 b， 根据与 y 轴的交点确定出 c0， 然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解 【解答】解：二次函数图象开口方向向下， a0， 对称轴为直线 x0， b0， 与 y 轴的正半轴相交， c0， yax+b 的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数 y图象在第一三象限， 只有 C 选项图象符合 故选：C 7 （3 分）如图，RtABC 有一外接圆，其中B90，ABBC，今欲在上
17、找一点 P，使得， 下是甲、乙两人的作法： 甲：取 AB 的中点 D：过点 D 作直线 AC 的平行线，交于点 P，则点 P 即为所求， 乙：取 AC 的中点 E；过点 E 作直线 AB 的平行线，交于点 P，则点 P 即为所求， 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ） A两人皆正确 B两人皆错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确 【分析】如图，甲的作法错误乙的作法正确利用垂径定理即可证明； 【解答】解：如图，甲的作法错误乙的作法正确 AEEC，AC 是直径， 点 E 是圆心， EPAB，ABBC， EPBC， ， 故选：D 8 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为O
18、的直径，点 C 为劣弧 BD 的中点，若DAB40， 则ABC 的度数是（ ） A140 B40 C70 D50 【分析】 连接 AC， 根据圆周角定理得到CAB20， ACB90， 根据直角三角形的性质计算即可 【解答】解：连接 AC， 点 C 为劣弧 BD 的中点，DAB40， CABDAB20， AB 为O 的直径， ACB90， ABC902070， 故选：C 9 （3 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知ABC 与DEF 是位似图形， 原点 O 是位似中心， 位似比 OA： OD1：3，若 AB3，则 DE 的长为（ ） A5 B6 C9 D12 【分析】根据位似图形的概念得到
19、ABDE，进而得到OAB 与ODE，根据相似三角形的性质列出比 例式，把已知数据代入计算即可 【解答】解：ABC 与DEF 是位似图形， ABDE， OABODE， ，即， 解得，DE9， 故选：C 10 （3 分）已知：如图，正方形 ABCD 中，AB2，AC，BD 相交于点 O，E，F 分别为边 BC，CD 上的动 点（点 E，F 不与线段 BC，CD 的端点重合） 且 BECF，连接 OE，OF，EF在点 E，F 运动的过程 中，有下列四个说法： OEF 是等腰直角三角形；OEF 面积的最小值是； 至少存在一个ECF，使得ECF 的周长是 2+；四边形 OECF 的面积是 1 其中正确的
20、是（ ） A B C D 【分析】易证得OBEOCF（SAS） ，则可证得结论正确； 由 OE 的最小值是 O 到 BC 的距离，即可求得 OE 的最小值 1，根据三角形面积公式即可判断选项 正确； 利用勾股定理求得EF2，即可求得选项正确； 证明OBEOCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项正确 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，AC，BD 相交于点 O， OBOC，OBCOCD45， 在OBE 和OCF 中， OBEOCF（SAS） ， OEOF， BOECOF， EOFBOC90， OEF 是等腰直角三角形； 故正确； 当 OEBC 时，OE 最小，此时 OEOFBC1
21、， OEF 面积的最小值是， 故正确； BECF， CE+CFCE+BEBC2， 设 ECx，则 BECF2x， EF， 0 x2， EF2， 2， 存在一个ECF，使得ECF 的周长是 2+， 故正确； 由知：OBEOCF， S四边形OECFSCOE+SOCFSCOE+SOBESOBCS正方形ABCD221， 故正确； 故选：D 二填空题（满分二填空题（满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）因式分解：9a3bab ab（3a+1） （3a1） 【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式ab（9a21）ab（3a+1） （3a1） 故答案为：a
22、b（3a+1） （3a1） 12 （3 分）从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这十个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍数的概率 是 【分析】从该组数据中找出 3 的倍数，根据概率公式解答即可 【解答】解：3 的倍数有 3，6，9， 则十个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍数的概率是 故答案为： 13 （3 分）按下面一组数的排列规律，在横线上填上适当的数：， ， 【分析】根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第 n 个数的表达式，从而可以写 出 n5 时对应的数据 【解答】解：， 这列数的第 n 个数为：， 当 n5 时， 故答案为： 14 （3 分）如
23、图，平行于 x 轴的直线与函数 y（k0，x0）和 y（x0）的图象分别相交于 B，A 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为 1，则 k 的值为 1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点 A、点 B的坐标，根据三角形的面积公 式计算，得到答案 【解答】解：设点 A 的坐标为（，a） ，点 B 的坐标为（，a） ， ABC 的面积为 1， （ （）a1， 解得，k1， 故答案为：1 15 （3 分）如图所示，ABCD 为矩形，以 CD 为直径作半圆，矩形的另外三边分别与半圆相切，沿着折痕 DF折叠该矩形， 使得点C的对应点E落在AB边上，
24、 若AD2， 则图中阴影部分的面积为 3 【分析】解：作 OHAB 于 H，DE 交半圆于 M，连接 OM，作 ONDM 于 N，如图，利用切线的性质 得 CD2OH4，再根据折叠的性质得 DEDC4，则根据正弦的定义得到AED30，AEAD 2，接着求出DOM120，然后根据三角形面积公式、扇形的面积公式，利用图中阴影部分的 面积SADES弓形DHMSADE（S扇形DOMSDOM）进行计算 【解答】解：作 OHAB 于 H，DE 交半圆于 M，连接 OM，作 ONDM 于 N，如图， 矩形的另外三边分别与半圆相切， OH 为半圆的半径， CD2OH2AD4， DC 沿 DF 折叠到 DE，
25、DEDC4， 在 RtADE 中，sinAED， AED30， AEAD2， CDAB， CDEAEB30， ODOM， ODMOMD30， DOM120， 图中阴影部分的面积SADES弓形DHMSADE （S扇形DOMSDOM） 22 （ 21）3 故答案为 3 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 55 分）分） 16 （5 分）计算：6sin45+|27|（） 3+（2020 ）0 【分析】利用特殊角的三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质和零指数幂的 性质计算，再算乘法，后算加减即可 【解答】解：原式6+728+1， 3+728+1， 17 （6 分）
26、先化简： （），再从3、2、1、0、1 中选一个合适的数作为 a 的值 代入求值 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式 ， 当 a3，1，0，1 时，原式没有意义，舍去， 当 a2 时，原式 18 （8 分）某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a七年级成绩频数分布直方图： b七年级成绩在 70 x80 这一组的是： 70，72，74，75，76，76，77，77
27、，77，78，79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 a 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 23 人； （2）表中 a 的值为 77.5 （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排 名谁更靠前，并说明理由； （4） 该校七年级学生有 1600 人， 假设全部参加此次测试， 请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数 【分析】 （1）根据频数分布表中的数据可以得到在这次测试中，七年级在 80 分以上的人数； （2）根据统计图和统计
28、表中的数据和七年级成绩在 70 x80 这一组的数据，可以求得 a 的值； （3）根据统计表中的数据可以得到两位学生在各自年级的排名谁更靠前； （4）根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数 【解答】解： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上的有 15+823（人） ， 故答案为：23； （2）50 x70 的有 6+1016（人） ，七年级成绩在 70 x80 这一组的是：70，72，74，75，76， 76，77，77，77，78，79，七年级抽查了 50 名学生， a（77+78）277.5， 故答案为：77.5； （3）在这次测试中，七年
29、级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，七年级学生甲在本年级的排名谁 更靠前， 理由：七年级的中位数是 77.5，八年级的中位数是 79.5， 7877.5，7879.5， 在这次测试中， 七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，七年级学生甲在本年级的排名谁更靠 前； （4）1600896（人） ， 答：七年级成绩超过平均数 76.9 分的有 896 人 19 （8 分）大海中某小岛周围 10km 范围内有暗礁，一海轮在该岛的南偏西 60方向的某处，由西向东行 驶了 20km 后到达该岛的南偏西 30方向的另一处， 如果该海轮继续向东行驶， 会有触礁的危险吗？ （ 1.732） 【
30、分析】海轮在 B 处时位于 A 岛的南偏西 60，在 C 处时位于南偏西 30，所以BAC30，又因 为ABC30，所以 BCAC20，根据题意可求出 A 到 BC 的最短距离，和 10 比较可得答案 【解答】解：如图海轮在 B 处时位于 A 岛的南偏西 60，在 C 处时位于南偏西 30，作 ADBC 于点 D， BAD60，CAD30， BAC30， 又ABC30， ACBC20， CDAC2010， AD10 10， 因为 A 岛到海轮的航线的最短距离大于 10，所以不可能触礁 20 （8 分） 【问题提出】如图 1，在四边形 ABCD 中，ADCD，ABC120，ADC60，AB2，
31、BC1，求四边形 ABCD 的面积 【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题 （1）如图 2，连接 BD，由于 ADCD，所以可将DCB 绕点 D 顺时针方向旋转 60，得到DAB， 则BDB的形状是 等边三角形 （2）在（1）的基础上，求四边形 ABCD 的面积 【类比应用】 （3）如图 3，等边ABC 的边长为 2，BDC 是顶角为BDC120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60的角，角的两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，求AMN 的周 长 【分析】 （1）由旋转的性质得出 BDDB，BDB60，所以BDB是等边
32、三角形； （2）求出等边三角形的边长为 3，求出三角形 BDB的面积即可； （3） 将BDM 绕点 D 顺时针方向旋转 120， 得到DCP， 则BDMCDP， 得出 MDPD， MBD DCP，MDBPDC，证明NMDNPD，证得AMN 的周长AB+AC4 【解答】解： （1）将DCB 绕点 D 顺时针方向旋转 60，得到DAB， BDBD，BDB60， BDB是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）由（1）知，BCDBAD， 四边形 ABCD 的面积等边三角形 BDB的面积， BCAB1， BBAB+AB2+13， S四边形ABCDSBDB； （3）解：将BDM 绕点 D 顺时针方向
33、旋转 120，得到DCP， BDMCDP， MDPD，CPBM，MBDDCP，MDBPDC， BDC 是等腰三角形，且BDC120， BDCD，DBCDCB30， 又ABC 等边三角形， ABCACB60， MBDABC+DBC90， 同理可得NCD90， PCDNCDMBD90， DCN+DCP180， N，C，P 三点共线， MDN60， MDB+NDCPDC+NDCBDCMDN60， 即MDNPDN60， NMDNPD（SAS） ， MNPNNC+CPNC+BM， AMN 的周长AM+AN+MNAM+AN+NC+BMAB+AC2+24 故AMN 的周长为 4 21 （10 分）如图，在A
34、BC 中，点 D 是 AC 边上一点，以 AD 为直径的O 与边 BC 切于点 E，且 AB BE （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 BE3，BC7，求O 的半径长； （3）求证：CE2CDCA 【分析】 （1）连接 OB、OE，由 SSS 证得ABOEBO，得出BAOBEO，即可得出结论； （2）由勾股定理求出 AC2，再由CEOCAB，得出，求出 OE 长即可 （3）连接 AE，DE，证明EDCAEC，得出比例线段，则可得出结论 【解答】 （1）证明：连接 OB、OE，如图所示： 在ABO 和EBO 中， ， ABOEBO（SSS） ， BAOBEO， O 与边 BC 切于点 E
35、， OEBC， BEOBAO90， 即 ABAD， AB 是O 的切线； （2）解：BE3，BC7， ABBE3，CE4， ABAD， AC2， OEBC， OECBAC90， ECOACB， CEOCAB， ， 即， 解得：OE， O 的半径长为 （3）证明：连接 AE，DE， AD 是O 的直径， AED90， AEB+DEC90， BA 是O 的切线， BAC90， BAE+EAD90， ABBE， BAEBEA， DECEAD， EDCAEC， ， CE2CDCA 22 （10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 yx+4 与 x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 y a
36、x2+bx 与直线 yx+4 交于另一点 B，且点 B 的横坐标为 1 （1）该抛物线的解析式为 yx2+4x ； （2）如图 1，Q 为抛物线上位于直线 AB 上方的一动点（不与 B、A 重合） ，过 Q 作 QPx 轴，交 x 轴于 P，连接 AQ，M 为 AQ 中点，连接 PM，过 M 作 MNPM 交直线 AB 于 N，若点 P 的横坐标为 t，点 N 的横坐标为 n，求 n 与 t 的函数关系式；在此条件下，如图 2，连接 QN 并延长，交 y 轴于 E，连接 AE， 求 t 为何值时，MNAE （3） 如图 3， 将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转 15 度交抛物线对称轴于点 C，
37、 点 T 为线段 OA 上的一动点 （不 与 O、A 重合） ，以点 O 为圆心、以 OT 为半径的圆弧与线段 OC 交于点 D，以点 A 为圆心、以 AT 为半 径的圆弧与线段 AC 交于点 F，连接 DF在点 T 运动的过程中，四边形 ODFA 的面积有最大值还是有最 小值？请求出该 值 【分析】 （1）先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式； （2）过点 M 作 MGx 轴于 G，NHGM 于 H，先证明 N、P、A 三点在以 M 为圆心 MA 为半径的M 上，再证明NMHMPG，然后得到 NHMG，HMPG，再设 P（t，0） ，通过建立关于 t 的方程，
38、解方程即可； （3）设 OTm，四边形 ODFA 的面积为 S，过 D 作 DRAC，垂足为 R，利用三角函数和三角形面积关 系即可得到结论 【解答】解： （1）直线 yx+4 与 x 轴交于点 A， 令 y0，则 x4， 点 A 为（4，0） ， 直线 yx+4 经过点 B，点 B 的横坐标为 1， 点 B 的纵坐标为：y1+43， 点 B 为： （1，3） ， 把点 A、B 代入 yax2+bx，得： ， 解得：， 抛物线解析式为 yx2+4x （2）如图 1，过点 M 作 MGx 轴于 G，NHGM 于 H， OAOB，AOB90， PAN45， NMP90， PANNMP， N、P、A
39、 三点在以 M 为圆心 MA 为半径的M 上， MNMP， NHMPGMNMP90， NMH+PMG90，PMG+MPG90， NMHMPG， 在NMH 和MPG 中， ， NMHMPG（AAS） ， NHMG，HMPG， P（t，0） ， Q（t，t2+4t） ，M（，） ， MGNH n， n， （0t3） 如图 2，连接 QN 并延长，交 y 轴于 E，连接 AE， MNAE，QMMA， ENQN， N 为 EQ 中点，即 Nx， ， t24t+40， 解得 t2， t2 时，MNAE （3）四边形 ODFA 的面积有最小值 设 OTm，四边形 ODFA 的面积为 S， C 是抛物线对称轴上一点， COCA 直线 AB 绕 A 点旋转 15， OAC60， OAC 是等边三角形， OA4，SOAC424， CDAFAT4m，CFOTm， 如图 3，过 D 作 DRAC，垂足为 R， 则 DRDCsin60（4m） ， SCDFCFDRm（4m）m2+m， SSOACSCDF 4（m2+m） （m2）2+3 在点 T 运动的过程中，四边形 ODFA 的面积有最小值为 3
