1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（1） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 （5 分）已知集合 |13Axx， |By y m，且AB ，则实数m应满足( ) A1m B1m C3m D3m 2 （5 分）若(1)(1)zii，则(z ) A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 3 （5 分）已知xR，则“34x 剟”是“ 2 (2) 1lg xx”的(
2、) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4 （5 分）某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于 80 分的所有考生的成绩统计表如表： 成绩 80，90) 90，100 (100，110 (110，120 (120， 130 (130， 140 (140， 150 频数 30 40 15 12 10 5 2 则及格（不低于 90 分）的所有考生成绩的中位数( ) A在90，100内 B在(100，110内 C在(110，120内 D在(120，130内 5 （5 分） 5 (2)(1)xx展开式中 2 x的系数为( ) A15 B16 C24 D32 6 （5
3、分）在脱贫攻坚战中，某单位拟派出甲、乙、丙、丁四名同志到三个乡镇参加精准扶贫工作，每名同 志只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名同志则甲、乙分到同一个乡镇的概率等于( ) A 1 6 B 1 8 C 1 12 D 1 18 7 （5 分）在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，以A为球心的球A与线段 11 AC交于点E，设BE与底 面ABCD所成角为，且球A的表面积为24，则cos2( ) A 1 3 B 3 5 C 2 3 D 4 5 8 （5 分）在抛物线 2 1 2 xy第一象限内一点( n a，) n y处的切线与x轴交点的横坐标记为 1n a ，其中 * nN， 已知
4、2 32a ， n S为 n a的前n项和，若 n m S恒成立，则m的最小值为( ) A16 B32 C64 D128 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）设函数( )cos() 3 f xx ，则下列结论正确的是( ) A( )yf x的一个周期为2 B( )yf x的图像关于直线 8 3 x对称 C()yf
5、x 的一个零点为 6 x D( )yf x在( 2 ，)单调递减 10 （5 分）设函数 2 ( )(1)f xlgxx ，则( ) A 8 7 ( )(log 5) 9 ff B 8 2 ()(log 5) 3 ff C 8 7 (log 5)( ) 9 ff D 27 ()( ) 39 ff 11 （5 分） “杨辉三角” 是中国古代数学杰出的研究成果之一 如图所示， 由杨辉三角的左腰上的各数出发， 引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，则( ) A在第 9 条斜线上，各数之和为 55 B在第(5)n n条斜线上，各数自左往右先增大后减小 C在第n条斜
6、线上，共有 21 ( 1) 4 n n 个数 D在第 11 条斜线上，最大的数是 3 7 C 12已知函数 f（x）x2lnx，则下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）在处取得极大值 B方程 f（x）0 有两个不同的实数根 C D若不等式 kf（x）+x2在（0，+）上恒成立，则 ke 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知(0,4)A，( 4,0)B ，(1,2)C，且0GAGBGC，则点G的坐标为 14 （5 分）已知点( , )C x y在线段:41( ,)AB xyx yR上运动，则xy的最大值是 15
7、（5 分）已知边长为 1 的正ABC的三点都在球O的球面上，AO的延长线与球面的交点为S，若三棱 锥SABC的体积为 2 6 ，则球O的体积为 16 （5 分）已知函数( )f x对xR均有( )2 ()6f xfxmx，若( )f xlnx恒成立，则实数m的取值范围 是 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 2 cab，且 3 c os() c os 2 A BC （）求角C； （）延长BC至D，使得4
8、BD ，求ACD面积的最大值 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 1a ，且点( n a， 1 2 ) n n a 在函数( )3f xx的图象上 （1）求证：1 2 n n a 是等比数列，并求 n a的通项公式： （2）若 1n n n a b a ，数列 n b的前n项和为 n S，求证： 2 3 3 n Sn 19 （12 分）在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每轮比赛 必有胜负，没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率为 0.6，第二轮比赛乙团体获胜的概率为 0.7，第一轮 获胜团体有奖金 5000 元，第二轮获胜团体有奖金 8000 元，未
9、获胜团体每轮有 1000 元鼓励奖金 （1）求甲团体至少胜一轮的概率； （2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元，求X的分布列及其数学期望 20 （12 分）如图，在三棱台 111 ABCABC中， 1 ACAB，O是BC的中点， 1 AO 平面ABC （1）求证：ACBC； （2）若 1 1AO ，2 3AC ， 11 2BCAB，求二面角 1 BBCA的大小 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，点(2,1)A在椭圆C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M，N，若直线AM与直线AN的斜率 1
10、k， 2 k总满足 12 1 2 kk ，求证：直线l必过定点 22 （12 分）已知函数 2 ( )2f xlnxxax，aR （1）设( )( )(23)g xf xax，求( )g x的极值： （2）若函数( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()xxx求 12 2 ()()f xf x的最小值 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（1）答案）答案 1解：集合 |13Axx， |By y m，AB ， 1m， 故选：A 2解：(1)(1)zii， 2 22 (1)11 1 1(1)(1)1122 iiiii zi iii ， 则 11 22 zi ，故 11
11、22 zi 故选：C 3解：因为 2 (2) 110lg xxlg，所以 2 02 10 xx ， 解得31x或24x ， 因为“34x 剟”不能推出“31x或24x ” ，不符合充分性， 而“31x或24x ”能推出“34x 剟”满足必要性， 所以“34x 剟”是“ 2 (2) 1lg xx”的必要不充分条件 故选：B 4解：由表中数据知，及格的考生共有401512105284（人)， 在90，100内有 40 人，在(100，110内有 15 人， 所以及格的所有考生成绩的中位数在(100，110内 故选：B 5解：因为 5 (1) x展开式的通项为 15 rr r TC x ， 所以 5
12、 (2)(1)xx展开式中 2 x的系数为 21 55 220515CC ， 故选：A 6解：在脱贫攻坚战中，某单位拟派出甲、乙、丙、丁四名同志到三个乡镇参加精准扶贫工作， 每名同志只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名同志 基本事件总数 23 43 36nC A， 甲、乙分到同一个乡镇包含的基本事件个数 212 232 6mC C A， 则甲、乙分到同一个乡镇的概率为 61 366 m P n 故选：A 7解：设球的半径为r，因为球A的表面积为24， 所以 2 424r，解得6r ， 因为 1 AA 平面 1111 A BC D，又 1 AE 平面 1111 A BC D， 所以 11 AAAE
13、， 因为6AE ， 则 2 1 622AE ， 所以E为 11 AC的中点，故DBE ，且 23 cos 36 ， 所以 2 1 cos22cos1 3 故选：A 8解： 2 1 2 xy， 2 2(0)yx x ， 4yx ， 2 1 2 xy在第一象限内图象上一点( n a， 2 2) n a处的切线方程是： 2 24() nnn yaa xa， 整理，得 2 420 nn a xya， 切线与x轴交点的横坐标为 1n a ， 1 1 2 nn aa ，又 2 32a ， 1 64a， n a是首项为 1 64a ，公比 1 2 q 的等比数列， 1 64(1) 1 2 128(1)128
14、 1 2 1 2 n n n S ， n m S恒成立，128m ， 即m的最小值为 128 故选：D 9解：函数( )cos() 3 f xx ，故它的周期为2，故A正确； 令 8 3 x ，求得( )1f x ，为最小值，故( )f x的图像关于直线 8 3 x对称，故B正确； 对于()cos()cos() 33 yf xxx ， 令 6 x ，可得()0f x，故()f x 的一个零点为 6 x ，故C正确； 当( 2 x ，)， 5 ( 36 x ， 4 ) 3 ，函数( )f x没有单调性，故D错误， 故选：ABC 10解：函数 2 ( )(1)f xlgxx ，定义域为R， 22
15、2 1 ()(1)(1)( ) 1 fxlgxxlglgxxf x xx ， 所以( )f x为奇函数，所以 22 ()( ) 33 ff， 当0 x，)时，由复合函数的单调性可知 2 ( )(1)f xlgxx 单调递增， 因为 37 88 399 25512527 log 4log 5 388229 lglglglg lglglglg ， 所以 8 27 ( )(log 5)( ) 39 fff， 结合选项可知A，B正确 故选：AB 11解：由题意，根据杨辉三角定义继续往下写三行有： 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84
16、126 126 84 36 9 1 A：由图知，第九条斜线上，各数之和为1 10157134 ，A 错误 B：由定义及图中规律可知，都是从左向右先增后减，B正确 C：由图，每条斜线个数为 1，1，2，2，3，3，代入 21 ( 1) 4 n n 符合，C正确 D：第 11 条斜线上最大数为 3 7 35C，D正确 故选：BCD 12解：函数 f（x）的定义域为（0，+） ， ， 令 f（x）x（1+2lnx）0， 则 1+2lnx0，解得， 当时，f（x）0，f（x）单调递增； 当时，f（x）0，f（x）单调递减 所以当时，函数 f（x）有极大值，故选项 A 正确； 因为，且当 x0 时，f（
17、x）0，当 x+时 f（x）0， 所以方程 f（x）0 不可能有两个不同的实数根，选项 B 错误； 因为函数 f（x）在上单调递增，且， 所以，选项 C 正确； 不等式 kf（x）+x2在（0，+）上恒成立，即不等式 kx2lnx+x2在（0，+）上恒成立， 令 g（x）x2lnx+x2，则 g（x）x2xlnxx（12lnx） ， 令 g（x）x（12lnx）0，则 12lnx0， 解得，当时，g（x）0，g（x）单调递增； 当时，g（x）0，g（x）单调递减 所以当时，函数 g（x）有最大值，所以，选项 D 错误 故选：AC 13解：设( , )G x y，因为(0,4)A，( 4,0)B
18、 ，(1,2)C， 则(,4),( 4,),(1,2)GAxy GBxy GCxy ， 又0GAGBGC， 所以 410 420 xxx yyy ，解得 1 2 x y ， 所以点G的坐标为( 1,2) 故答案为：( 1,2) 14解：由题设可得：41 2 4xyxy ，即 1 4 2 xy， 1 4 4 xy，即 1 16 xy，当且仅当 1 4 2 xy时取“ “， 故答案为： 1 16 15解：设球心为O，球的半径r过ABC三点的小圆的圆心为 1 O， 则 1 OO 平面ABC， 作SD 平面ABC交 1 CO的延长线与D 222 1 231 () 323 OORR， 高 1 2SDOO
19、， ABC是边长为 1 的正三角形，三棱锥SABC的体积为 2 6 ， 3 4 ABC S， 321 346 SABC Vh 三棱锥 ， 2 6 3 h ， 2 12 6 2 33 R ， 1R则球O的体积为 3 44 1 33 ， 故答案为： 4 3 16解：函数( )f x对xR均有( )2 ()6f xfxmx， 将x换为x，得()2 ( )6fxf xmx ， 由，解得( )2f xmx ( )f xlnx恒成立， 2lnx m x 恒成立， 只需 2 ()min lnx m x 令 2 ( ) lnx g x x ，则 2 1 ( ) lnx g x x ， 令( )0g x，则 1
20、 x e ， ( )g x在 1 (0, ) e 上单调递减，在 1 ( e ，)上单调递增， 1 ( )( ) min g xge e ，me， m的取值范围为(， e 故答案为：(， e 17解： （）已知 2 cab， 所以 2 sinsinsinCAB， 3 cos()cos 2 ABC， 所以： 3 2sinsin 2 AB ， 故 2 3 sin 4 C ， 整理得 3 sin 2 C ， 故 3 C 或 2 3 由于 22222 1211 cos 222222 abcabab C ababab ， 所以 3 C 满足条件， 故 3 C （）延长BC至D，使得4BD ， 所以 13
21、 (4) sin(4) 234 ACD Sa bab ， 由于 222 2 2coscababC cab ， 所以ab， 所以 2 33 (4)(2)3 44 aba ， 当2a 时， ACD S的最大值为3 18解： （1）证明：由点( n a， 1 2 ) n n a 在函数( )3f xx的图象上， 可得 1 23 n nn aa ， 所以 1 3 1 22 nn nn aa ，即 1 1 31 22 22 nn nn aa ， 也即 1 1 3 1(1) 22 2 nn nn aa ， 由 1 1a ，所以 1 1 3 1 22 a ， 所以1 2 n n a 是首项和公比均为 3 2
22、 的等比数列， 则 3 1( ) 22 nn n a ， 所以32 nn n a ； （2）证明： 11 1 3 3 ( )2 3212 2 33( ) 33 323 ( )1( )1 22 n nn nn n nn nn n a b a ， 所以 2 22 (1) 222 33 3( )( )3 2 333 1 3 n n n n Snn 24 322( )32 33 n nn 2 3 3 n 19解： （1）第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为0.60.70.42P ， 第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为0.40.30.12P ， 第一轮甲胜第二轮甲胜的概率0.60.30.18P ， 故甲团体至少胜一轮
23、的概率为0.420.120.180.72； （2）由已知可得X的可能取值为 2000，6000，9000，13000， 则(2000)0.6 0.30.18P X ，(6000)0.4 0.30.12P X ， (9000)0.6 0.70.42P X ，(13000)0.4 0.70.28P X ， 所以X的分布列如下： X 2000 6000 9000 13000 P 0.18 0.12 0.42 0.28 ()2000 0.186000 0.129000 0.4213000 0.288500E X 20 （1）证明：因为 1 AO 平面ABC，AC 平面ABC，所以 1 AOAC， 又因
24、为 1 ACAB， 111 ABAOA， 1 AB 平面 1 A BO， 1 AO 平面 1 A BO， 所以AC 平面 1 A BO，又因为BC 平面 1 A BO， 所以ACBC； （2）解：以O为坐标原点，与CA平行的直线为x轴，OB所在直线为y轴， 1 OA所在直线为z轴，建立空 间直角坐标系如图所示， 则 1 (0,0,0), (2 3, 1,0), (0,1,0),(0,0,1)OABA， 所以 1 (0,1,0),( 2 3,2,0),(0,0,1)OBABOA ， 于是4AB ，因为 111 ABCABC是三棱台，所以 11 / /ABAB， 又因为 11 2A B ，所以 1
25、1 1 (3,1,0) 2 ABAB ， 所以 1111 (3,1,1)OBOAAB ， 设平面 11 BBC C的法向量为( , , )nx y z， 则 1 0 0 n OB n OB ，即 0 30 y xyz ， 令1x ，则0y ，3z ，故(1,0, 3)n ， 因为 1 OA 平面ABC，所以平面ABC的法向量为 1 (0,0,1)OA ， 所以 1 1 222222 1 1 0003 13 cos, 2| 10( 3)001 n OA n OA n OA ， 因为二面角 1 BBCA为钝二面角， 所以二面角 1 BBCA的大小为 5 6 21解： （1）由已知可得 2 2 c
26、a ，且 22 41 1 ab ，又 222 abc， 解得 2 6a ， 2 3b ，所以椭圆的方程为： 22 1 63 xy ； （2）证明：当l与x轴垂直时，设l方程为：xt，由已知可得| |6t ， 可得M，N的坐标分别为 2 6 ( ,) 2 t t ， 2 6 ( ,) 2 t N t ， 则 22 12 2 66 (1)(1) 1 22 (2)2 tt k k t 时，解得2t （舍去）或0t ， 所以直线0 x 经过原点(0,0)， 当直线的斜率存在时，设: l ykxm， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 将ykxm代入 22 1 63 xy ，得 22
27、2 (1 2)4260kxmkxm， 2222 164(1 2)(26)0m kkm，解得 22 630km， 所以 2 1212 22 426 , 1212 mkm xxx x kk ， 由已知可得 12 12 12 111 222 yy kk xx ，即 1212 2(1)(1)(1)(2)0yyxx， 所以 12121212 22()2()60y yyyx xxx， 又 22 121221 212 ()()()()y ykxm kxm kxmk x xmk xxm， 1212 ()2yyk xxm， 代入上式有 22 1 212 (1 2)(222)()2460kx xmkkxxmm，
28、将代入化简可得： 2 20mmkm，则0m 或12mk ， 当12mk 时，直线为21(2)1ykxkk x 过定点A，不满足题意， 当0m 时，直线为ykx，过原点(0,0)， 综上，直线恒过定点，且定点为原点(0,0) 22解： （1） 2 ( )( )(23)3g xf xaxlnxxx，定义域是(0,)， 2 1231(21)(1) ( )23 xxxx g xx xxx ， 令( )0g x，解得：1x 或 1 0 2 x，令( )0g x，解得： 1 1 2 x， 故( )g x在 1 (0, ) 2 递增，在 1 ( 2 ，1)递减，在(1,)递增， 故 15 ( )2 24 g
29、 xgln 极大值 ，( )g xg 极小值 （1）2 ； （2）函数 2 ( )2f xlnxxax，(0,)x， 2 221 ( ) xax fx x ， 1 x， 2 x是函数( )f x的极值点， 1 x， 2 x是方程 2 2210 xax 的两不等正根， 则 2 480a， 12 0 xxa， 12 1 2 xx，故2a ， 2 22 a ， 即 1 2 (0,) 2 x ， 2 2 ( 2 x ，)，且 2 11 221axx， 2 22 221axx， 22 12111222 2 ( )()2(2)(2)f xf xlnxxaxlnxxax 2222 111222 2(21)(21)lnxxxlnxxx 22 1122 221xlnxlnxx 22 22 22 11 2()21 22 xlnlnx xx 22 22 2 2 13 2 21 22 xlnxln x ， 令 2 2 tx，则 1 (2t，)， 13 ( )2 21 22 g ttlntln t ， 22 13(21)(1) ( )1 222 tt g tt tt ， 当 1 (2t，1)上递减，当(1,)t上递增， 故( )ming tg（1） 142 2 ln ， 故 12 2 ()()f xf x的最小值为 142 2 ln
