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2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷(1)含答案

1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(1) 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 (5 分)已知集合 |13Axx, |By y m,且AB ,则实数m应满足( ) A1m B1m C3m D3m 2 (5 分)若(1)(1)zii,则(z ) A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 3 (5 分)已知xR,则“34x 剟”是“ 2 (2) 1lg xx”的(

2、) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4 (5 分)某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于 80 分的所有考生的成绩统计表如表: 成绩 80,90) 90,100 (100,110 (110,120 (120, 130 (130, 140 (140, 150 频数 30 40 15 12 10 5 2 则及格(不低于 90 分)的所有考生成绩的中位数( ) A在90,100内 B在(100,110内 C在(110,120内 D在(120,130内 5 (5 分) 5 (2)(1)xx展开式中 2 x的系数为( ) A15 B16 C24 D32 6 (5

3、分)在脱贫攻坚战中,某单位拟派出甲、乙、丙、丁四名同志到三个乡镇参加精准扶贫工作,每名同 志只去一个乡镇,每个乡镇至少安排一名同志则甲、乙分到同一个乡镇的概率等于( ) A 1 6 B 1 8 C 1 12 D 1 18 7 (5 分)在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中,以A为球心的球A与线段 11 AC交于点E,设BE与底 面ABCD所成角为,且球A的表面积为24,则cos2( ) A 1 3 B 3 5 C 2 3 D 4 5 8 (5 分)在抛物线 2 1 2 xy第一象限内一点( n a,) n y处的切线与x轴交点的横坐标记为 1n a ,其中 * nN, 已知

4、2 32a , n S为 n a的前n项和,若 n m S恒成立,则m的最小值为( ) A16 B32 C64 D128 二、二、选择题:本题共选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的对分,部分选对的对 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9 (5 分)设函数( )cos() 3 f xx ,则下列结论正确的是( ) A( )yf x的一个周期为2 B( )yf x的图像关于直线 8 3 x对称 C()yf

5、x 的一个零点为 6 x D( )yf x在( 2 ,)单调递减 10 (5 分)设函数 2 ( )(1)f xlgxx ,则( ) A 8 7 ( )(log 5) 9 ff B 8 2 ()(log 5) 3 ff C 8 7 (log 5)( ) 9 ff D 27 ()( ) 39 ff 11 (5 分) “杨辉三角” 是中国古代数学杰出的研究成果之一 如图所示, 由杨辉三角的左腰上的各数出发, 引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为:1,1,2,3,5,8,13,则( ) A在第 9 条斜线上,各数之和为 55 B在第(5)n n条斜线上,各数自左往右先增大后减小 C在第n条斜

6、线上,共有 21 ( 1) 4 n n 个数 D在第 11 条斜线上,最大的数是 3 7 C 12已知函数 f(x)x2lnx,则下列说法正确的是( ) A函数 f(x)在处取得极大值 B方程 f(x)0 有两个不同的实数根 C D若不等式 kf(x)+x2在(0,+)上恒成立,则 ke 三、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)已知(0,4)A,( 4,0)B ,(1,2)C,且0GAGBGC,则点G的坐标为 14 (5 分)已知点( , )C x y在线段:41( ,)AB xyx yR上运动,则xy的最大值是 15

7、(5 分)已知边长为 1 的正ABC的三点都在球O的球面上,AO的延长线与球面的交点为S,若三棱 锥SABC的体积为 2 6 ,则球O的体积为 16 (5 分)已知函数( )f x对xR均有( )2 ()6f xfxmx,若( )f xlnx恒成立,则实数m的取值范围 是 四、四、解答题:本题共解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 2 cab,且 3 c os() c os 2 A BC ()求角C; ()延长BC至D,使得4

8、BD ,求ACD面积的最大值 18 (12 分)已知数列 n a满足 1 1a ,且点( n a, 1 2 ) n n a 在函数( )3f xx的图象上 (1)求证:1 2 n n a 是等比数列,并求 n a的通项公式: (2)若 1n n n a b a ,数列 n b的前n项和为 n S,求证: 2 3 3 n Sn 19 (12 分)在某工厂年度技术工人团体技能大赛中,有甲、乙两个团体进行比赛,比赛分两轮,每轮比赛 必有胜负,没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率为 0.6,第二轮比赛乙团体获胜的概率为 0.7,第一轮 获胜团体有奖金 5000 元,第二轮获胜团体有奖金 8000 元,未

9、获胜团体每轮有 1000 元鼓励奖金 (1)求甲团体至少胜一轮的概率; (2)记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元,求X的分布列及其数学期望 20 (12 分)如图,在三棱台 111 ABCABC中, 1 ACAB,O是BC的中点, 1 AO 平面ABC (1)求证:ACBC; (2)若 1 1AO ,2 3AC , 11 2BCAB,求二面角 1 BBCA的大小 21 (12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ,点(2,1)A在椭圆C上 (1)求椭圆C的标准方程; (2)不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M,N,若直线AM与直线AN的斜率 1

10、k, 2 k总满足 12 1 2 kk ,求证:直线l必过定点 22 (12 分)已知函数 2 ( )2f xlnxxax,aR (1)设( )( )(23)g xf xax,求( )g x的极值: (2)若函数( )f x有两个极值点 1 x, 212 ()xxx求 12 2 ()()f xf x的最小值 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷(天冲刺高考模拟考试卷(1)答案)答案 1解:集合 |13Axx, |By y m,AB , 1m, 故选:A 2解:(1)(1)zii, 2 22 (1)11 1 1(1)(1)1122 iiiii zi iii , 则 11 22 zi ,故 11

11、22 zi 故选:C 3解:因为 2 (2) 110lg xxlg,所以 2 02 10 xx , 解得31x或24x , 因为“34x 剟”不能推出“31x或24x ” ,不符合充分性, 而“31x或24x ”能推出“34x 剟”满足必要性, 所以“34x 剟”是“ 2 (2) 1lg xx”的必要不充分条件 故选:B 4解:由表中数据知,及格的考生共有401512105284(人), 在90,100内有 40 人,在(100,110内有 15 人, 所以及格的所有考生成绩的中位数在(100,110内 故选:B 5解:因为 5 (1) x展开式的通项为 15 rr r TC x , 所以 5

12、 (2)(1)xx展开式中 2 x的系数为 21 55 220515CC , 故选:A 6解:在脱贫攻坚战中,某单位拟派出甲、乙、丙、丁四名同志到三个乡镇参加精准扶贫工作, 每名同志只去一个乡镇,每个乡镇至少安排一名同志 基本事件总数 23 43 36nC A, 甲、乙分到同一个乡镇包含的基本事件个数 212 232 6mC C A, 则甲、乙分到同一个乡镇的概率为 61 366 m P n 故选:A 7解:设球的半径为r,因为球A的表面积为24, 所以 2 424r,解得6r , 因为 1 AA 平面 1111 A BC D,又 1 AE 平面 1111 A BC D, 所以 11 AAAE

13、, 因为6AE , 则 2 1 622AE , 所以E为 11 AC的中点,故DBE ,且 23 cos 36 , 所以 2 1 cos22cos1 3 故选:A 8解: 2 1 2 xy, 2 2(0)yx x , 4yx , 2 1 2 xy在第一象限内图象上一点( n a, 2 2) n a处的切线方程是: 2 24() nnn yaa xa, 整理,得 2 420 nn a xya, 切线与x轴交点的横坐标为 1n a , 1 1 2 nn aa ,又 2 32a , 1 64a, n a是首项为 1 64a ,公比 1 2 q 的等比数列, 1 64(1) 1 2 128(1)128

14、 1 2 1 2 n n n S , n m S恒成立,128m , 即m的最小值为 128 故选:D 9解:函数( )cos() 3 f xx ,故它的周期为2,故A正确; 令 8 3 x ,求得( )1f x ,为最小值,故( )f x的图像关于直线 8 3 x对称,故B正确; 对于()cos()cos() 33 yf xxx , 令 6 x ,可得()0f x,故()f x 的一个零点为 6 x ,故C正确; 当( 2 x ,), 5 ( 36 x , 4 ) 3 ,函数( )f x没有单调性,故D错误, 故选:ABC 10解:函数 2 ( )(1)f xlgxx ,定义域为R, 22

15、2 1 ()(1)(1)( ) 1 fxlgxxlglgxxf x xx , 所以( )f x为奇函数,所以 22 ()( ) 33 ff, 当0 x,)时,由复合函数的单调性可知 2 ( )(1)f xlgxx 单调递增, 因为 37 88 399 25512527 log 4log 5 388229 lglglglg lglglglg , 所以 8 27 ( )(log 5)( ) 39 fff, 结合选项可知A,B正确 故选:AB 11解:由题意,根据杨辉三角定义继续往下写三行有: 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84

16、126 126 84 36 9 1 A:由图知,第九条斜线上,各数之和为1 10157134 ,A 错误 B:由定义及图中规律可知,都是从左向右先增后减,B正确 C:由图,每条斜线个数为 1,1,2,2,3,3,代入 21 ( 1) 4 n n 符合,C正确 D:第 11 条斜线上最大数为 3 7 35C,D正确 故选:BCD 12解:函数 f(x)的定义域为(0,+) , , 令 f(x)x(1+2lnx)0, 则 1+2lnx0,解得, 当时,f(x)0,f(x)单调递增; 当时,f(x)0,f(x)单调递减 所以当时,函数 f(x)有极大值,故选项 A 正确; 因为,且当 x0 时,f(

17、x)0,当 x+时 f(x)0, 所以方程 f(x)0 不可能有两个不同的实数根,选项 B 错误; 因为函数 f(x)在上单调递增,且, 所以,选项 C 正确; 不等式 kf(x)+x2在(0,+)上恒成立,即不等式 kx2lnx+x2在(0,+)上恒成立, 令 g(x)x2lnx+x2,则 g(x)x2xlnxx(12lnx) , 令 g(x)x(12lnx)0,则 12lnx0, 解得,当时,g(x)0,g(x)单调递增; 当时,g(x)0,g(x)单调递减 所以当时,函数 g(x)有最大值,所以,选项 D 错误 故选:AC 13解:设( , )G x y,因为(0,4)A,( 4,0)B

18、 ,(1,2)C, 则(,4),( 4,),(1,2)GAxy GBxy GCxy , 又0GAGBGC, 所以 410 420 xxx yyy ,解得 1 2 x y , 所以点G的坐标为( 1,2) 故答案为:( 1,2) 14解:由题设可得:41 2 4xyxy ,即 1 4 2 xy, 1 4 4 xy,即 1 16 xy,当且仅当 1 4 2 xy时取“ “, 故答案为: 1 16 15解:设球心为O,球的半径r过ABC三点的小圆的圆心为 1 O, 则 1 OO 平面ABC, 作SD 平面ABC交 1 CO的延长线与D 222 1 231 () 323 OORR, 高 1 2SDOO

19、, ABC是边长为 1 的正三角形,三棱锥SABC的体积为 2 6 , 3 4 ABC S, 321 346 SABC Vh 三棱锥 , 2 6 3 h , 2 12 6 2 33 R , 1R则球O的体积为 3 44 1 33 , 故答案为: 4 3 16解:函数( )f x对xR均有( )2 ()6f xfxmx, 将x换为x,得()2 ( )6fxf xmx , 由,解得( )2f xmx ( )f xlnx恒成立, 2lnx m x 恒成立, 只需 2 ()min lnx m x 令 2 ( ) lnx g x x ,则 2 1 ( ) lnx g x x , 令( )0g x,则 1

20、 x e , ( )g x在 1 (0, ) e 上单调递减,在 1 ( e ,)上单调递增, 1 ( )( ) min g xge e ,me, m的取值范围为(, e 故答案为:(, e 17解: ()已知 2 cab, 所以 2 sinsinsinCAB, 3 cos()cos 2 ABC, 所以: 3 2sinsin 2 AB , 故 2 3 sin 4 C , 整理得 3 sin 2 C , 故 3 C 或 2 3 由于 22222 1211 cos 222222 abcabab C ababab , 所以 3 C 满足条件, 故 3 C ()延长BC至D,使得4BD , 所以 13

21、 (4) sin(4) 234 ACD Sa bab , 由于 222 2 2coscababC cab , 所以ab, 所以 2 33 (4)(2)3 44 aba , 当2a 时, ACD S的最大值为3 18解: (1)证明:由点( n a, 1 2 ) n n a 在函数( )3f xx的图象上, 可得 1 23 n nn aa , 所以 1 3 1 22 nn nn aa ,即 1 1 31 22 22 nn nn aa , 也即 1 1 3 1(1) 22 2 nn nn aa , 由 1 1a ,所以 1 1 3 1 22 a , 所以1 2 n n a 是首项和公比均为 3 2

22、 的等比数列, 则 3 1( ) 22 nn n a , 所以32 nn n a ; (2)证明: 11 1 3 3 ( )2 3212 2 33( ) 33 323 ( )1( )1 22 n nn nn n nn nn n a b a , 所以 2 22 (1) 222 33 3( )( )3 2 333 1 3 n n n n Snn 24 322( )32 33 n nn 2 3 3 n 19解: (1)第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为0.60.70.42P , 第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为0.40.30.12P , 第一轮甲胜第二轮甲胜的概率0.60.30.18P , 故甲团体至少胜一轮

23、的概率为0.420.120.180.72; (2)由已知可得X的可能取值为 2000,6000,9000,13000, 则(2000)0.6 0.30.18P X ,(6000)0.4 0.30.12P X , (9000)0.6 0.70.42P X ,(13000)0.4 0.70.28P X , 所以X的分布列如下: X 2000 6000 9000 13000 P 0.18 0.12 0.42 0.28 ()2000 0.186000 0.129000 0.4213000 0.288500E X 20 (1)证明:因为 1 AO 平面ABC,AC 平面ABC,所以 1 AOAC, 又因

24、为 1 ACAB, 111 ABAOA, 1 AB 平面 1 A BO, 1 AO 平面 1 A BO, 所以AC 平面 1 A BO,又因为BC 平面 1 A BO, 所以ACBC; (2)解:以O为坐标原点,与CA平行的直线为x轴,OB所在直线为y轴, 1 OA所在直线为z轴,建立空 间直角坐标系如图所示, 则 1 (0,0,0), (2 3, 1,0), (0,1,0),(0,0,1)OABA, 所以 1 (0,1,0),( 2 3,2,0),(0,0,1)OBABOA , 于是4AB ,因为 111 ABCABC是三棱台,所以 11 / /ABAB, 又因为 11 2A B ,所以 1

25、1 1 (3,1,0) 2 ABAB , 所以 1111 (3,1,1)OBOAAB , 设平面 11 BBC C的法向量为( , , )nx y z, 则 1 0 0 n OB n OB ,即 0 30 y xyz , 令1x ,则0y ,3z ,故(1,0, 3)n , 因为 1 OA 平面ABC,所以平面ABC的法向量为 1 (0,0,1)OA , 所以 1 1 222222 1 1 0003 13 cos, 2| 10( 3)001 n OA n OA n OA , 因为二面角 1 BBCA为钝二面角, 所以二面角 1 BBCA的大小为 5 6 21解: (1)由已知可得 2 2 c

26、a ,且 22 41 1 ab ,又 222 abc, 解得 2 6a , 2 3b ,所以椭圆的方程为: 22 1 63 xy ; (2)证明:当l与x轴垂直时,设l方程为:xt,由已知可得| |6t , 可得M,N的坐标分别为 2 6 ( ,) 2 t t , 2 6 ( ,) 2 t N t , 则 22 12 2 66 (1)(1) 1 22 (2)2 tt k k t 时,解得2t (舍去)或0t , 所以直线0 x 经过原点(0,0), 当直线的斜率存在时,设: l ykxm, 1 (M x, 1) y, 2 (N x, 2) y, 将ykxm代入 22 1 63 xy ,得 22

27、2 (1 2)4260kxmkxm, 2222 164(1 2)(26)0m kkm,解得 22 630km, 所以 2 1212 22 426 , 1212 mkm xxx x kk , 由已知可得 12 12 12 111 222 yy kk xx ,即 1212 2(1)(1)(1)(2)0yyxx, 所以 12121212 22()2()60y yyyx xxx, 又 22 121221 212 ()()()()y ykxm kxm kxmk x xmk xxm, 1212 ()2yyk xxm, 代入上式有 22 1 212 (1 2)(222)()2460kx xmkkxxmm,

28、将代入化简可得: 2 20mmkm,则0m 或12mk , 当12mk 时,直线为21(2)1ykxkk x 过定点A,不满足题意, 当0m 时,直线为ykx,过原点(0,0), 综上,直线恒过定点,且定点为原点(0,0) 22解: (1) 2 ( )( )(23)3g xf xaxlnxxx,定义域是(0,), 2 1231(21)(1) ( )23 xxxx g xx xxx , 令( )0g x,解得:1x 或 1 0 2 x,令( )0g x,解得: 1 1 2 x, 故( )g x在 1 (0, ) 2 递增,在 1 ( 2 ,1)递减,在(1,)递增, 故 15 ( )2 24 g

29、 xgln 极大值 ,( )g xg 极小值 (1)2 ; (2)函数 2 ( )2f xlnxxax,(0,)x, 2 221 ( ) xax fx x , 1 x, 2 x是函数( )f x的极值点, 1 x, 2 x是方程 2 2210 xax 的两不等正根, 则 2 480a, 12 0 xxa, 12 1 2 xx,故2a , 2 22 a , 即 1 2 (0,) 2 x , 2 2 ( 2 x ,),且 2 11 221axx, 2 22 221axx, 22 12111222 2 ( )()2(2)(2)f xf xlnxxaxlnxxax 2222 111222 2(21)(21)lnxxxlnxxx 22 1122 221xlnxlnxx 22 22 22 11 2()21 22 xlnlnx xx 22 22 2 2 13 2 21 22 xlnxln x , 令 2 2 tx,则 1 (2t,), 13 ( )2 21 22 g ttlntln t , 22 13(21)(1) ( )1 222 tt g tt tt , 当 1 (2t,1)上递减,当(1,)t上递增, 故( )ming tg(1) 142 2 ln , 故 12 2 ()()f xf x的最小值为 142 2 ln