1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 11 反比例函数与几何图形的综合问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 新疆九年级三模)如图，已知菱形 ABCD 的对称中心是坐标原点 O，四个顶点都在坐标轴上，反比 例函数 y= k x (k0)的图象与 AD 边交于 E(4， 1 2 )，F(m，2)两点 (1)求 k，m 的值； (2)写出函数 y= k x 图象在菱形 ABCD 内 x 的取值范围 【答案】 解：(1)点 E(4， 1 2 )在 y= k x 上，k=2，反比例函数的解析式为 y= 2 x F(m，2)在 y
2、= 2 x 上，m=1 (2)函数 y= k x 图象在菱形 ABCD 内 x 的取值范围为：4x1 或 1x4 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型 2 (2020 江西九年级三模)如图， 在平面直角坐标系中， 正方形 ABCO 的对角线 BO 在 x 轴上， 若正方形 ABCO 的边长为 4 2，点 B 在 x 负半轴上，反比例函数的图象经过 C 点 (1)求该反比例函数的解析式； (2)若点 P 是反比例函数上的一点，且 PBO 的面积恰好等于正方形 ABCO 的面积，求点 P 的坐标 【答案】 解： (1)连接
3、 AC， 交 x 轴于点 D 四边形 ABCO 为正方形， AD=DC=OD=BD， 且 ACOB 正方形 ABCO 的边长为 4 2，DC=OD= 4 2 2 =4，C(4，4)，把 C 坐标代入反比例函数解析式得：k=16，则反比 例函数解析式为 y= 16 x ； (2)正方形 ABCO 的边长为 4 2，正方形 ABCO 的面积为 32，分两种情况考虑： 若 P1在第一象限的反比例函数图象上， 连接 P1B， P1O S P1BO=1 2 BO|yP|=S 正方形ABCO=32， 而 OB= 2 CO=8， 1 2 8|yP|=32，yP1=8，把 y=8 代入反比例函数解析式得：x=
4、2，此时 P1坐标为(2，8)； 若 P2在第三象限反比例图象上，连接 OP2，BP2，同理得到 y P2=8，把 y=8 代入反比例函数解析式得： x=2，此时 P2(2，8) 综上所述：点 P 的坐标为(2，8)或(2，8) 点睛：本题属于反比例函数综合题，主要考查了坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例 函数解析式以及勾股定理的综合运用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键 3(2020 河南郑州市 郑州外国语中学九年级其他模拟)如图，平面直角坐标系中，点 A(0，2)，点 B(3，2)， 以 AB 为边在 y 轴右侧作正方形 ABCD，反比例函数 k y x (x0)恰好经过
5、点 D (1)求 D 点坐标及反比例函数解析式； (2)在 x 轴上有两点 E， F， 其中点 E 使得 ED+EA 的值最小， 点 F 使得|FDFA|的值最大， 求线段 EF 的长 【答案】 (1)作 DMy 轴于 M，BNy 轴于 N， 点 A(0，2)，点 B(3，2)， OA=2，ON=2， AN=4，BN=3， 四边形 ABCD 是正方形， BAD=90，AB=AD， NAB+DAM=90， NAB+ABN=90， DAM=ABN， 在 ANB 和 DMA 中， 90 ABNDAM ANBDMA ABAD ， ANBDMA(AAS)， AM=BN=3，DM=AN=4， OM=5，
6、D(4，5)， 反比例函数 k y x (x0)恰好经过点 D k=45=20， 双曲线为 20 y x ； (2)如图 2 所示：作 A 点关于 x 轴对称点 A，连接 DA，交 x 轴于点 E，此时 ED+EA 的值最小， A(0，2)， A(0，2)， 设直线 DA的解析式为：yaxb， 把 A(0，2)，D(4，5)代入得 2 45 b ab ， 解得： 7 4 2 a b ， 故直线 DA解析式为： 7 2 4 yx， 当0y 则 8 7 x ， 故 E 点坐标为：( 8 7 ，0)， 延长 DA 交 x 轴于 F，此时|FDFA|的值最大， 设直线 AD 的解析式为y mxn ，
7、把 A(0，2)，D(4，5)代入得 2 45 n mn ， 解得 3 4 2 m n ， 直线 AD 的解析式为 3 2 4 yx， 当0y 则 8 3 x ， F( 8 3 ，0)， 8880 7321 EF 【点睛】 本题属于反比例函数与几何的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求反比 例函数、一次函数解析式以及最短路线问题等知识，根据题意得出 E，F 点坐标是解题关键 4(2020 河南九年级零模)如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 为正方形，点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(0，4)，反比例函数 y k x (k0)的图象经过点 C (1)
8、求反比例函数的解析式； (2)点 P 是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若 PBC 的面积等于正方形 ABCD 的面积，求点 P 的坐 标 【答案】 解：(1)点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(0，4)， AB7， 四边形 ABCD 为正方形， 点 C 的坐标为(7，4)， 代入 y k x ，得 k28，) 反比例函数的解析式为 y 28 x ； (2)设点 P 到 BC 的距离为 h PBC 的面积等于正方形 ABCD 的面积， 1 2 7h72，解得 h14， 点 P 在第二象限，yPh410， 此时，xP 28 10 14 5 点 P 的坐标为( 14 5 ，10) 【
9、点睛】 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数 k 的几何意义，正方形的性质以及三角 形和正方形的面积等，根据正方形的性质求得 C 的坐标是解题的关键 5(2020 江西中考真题)如图，Rt ABC中，90ACB，顶点A，B都在反比例函数 (0) k yx x 的图 象上，直线ACx轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当2ABOA时，点E恰 为AB的中点，若45AOD， 2 2OA (1)求反比例函数的解析式； (2)求EOD的度数 【答案】 (1)ADx 轴，AOD=45，OA=2 2， AD=OD=2， A(2，2)， 点 A 在反比例函数图象上， k
10、=22=4， 即反比例函数的解析式为 4 y x (2)ABC 为直角三角形，点 E 为 AB 的中点， AE=CE=EB，AEC=2ECB， AB=2OA ， AO=AE， AOE=AEO=2ECB， ACB=90，ADx 轴， BC/x 轴， ECB=EOD， AOE=2EOD， AOD=45， EOD= 1 3 AOD= 1 45 3 【点睛】 本题考查了反比例函数的解析式、含 30 度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知 识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键 6(2020 湖南湘潭市 中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐
11、 标为(3,4) (1)求过点B的反比例函数 k y x 的解析式； (2)连接OB，过点B作BDOB交x轴于点D，求直线BD的解析式 【答案】 (1)过点 A 作AEx轴，过 B 作BFx轴，垂足分别为 E，F，如图， (3,4)A 3OE，4AE ， 22 5AOOEAE 四边形 OABC 是菱形， 5AOABOC，/ /ABx轴， 5EFAB， 3 58OFOEEF ， (8,4)B， 设过 B 点的反比例函数解析式为 k y x 把 B 点坐标代入得，k=32, 所以，反比例函数解析式为 32 y x ； (2)OBBD， 90OBD， 90OBFDBF， 90DBFBDF， OBFB
12、DF， 又90OFBBFD， OBFBDF， OFBF BFDF ， 84 4DF ， 解得，2DF ， 8 2 10ODOFDF (10,0)D 设 BD 所在直线解析式为y kxb ， 把(8,4)B，(10,0)D分别代入，得： 84 100 kb kb 解得， 2 20 k b 直线BD的解析式为 220yx 【点睛】 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次 函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 7(2020 黑龙江绥化市 中考真题)如图，在矩形OABC中， 2,4ABBC，点 D 是边AB的中点，反比 例函数
13、1 (0) k yx x 的图象经过点 D，交BC边于点 E，直线DE的解析式为 2 (0)ymxn m (1)求反比例函数 1 (0) k yx x 的解析式和直线DE的解析式； (2)在 y 轴上找一点 P，使PDE的周长最小，求出此时点 P 的坐标； (3)在(2)的条件下，PDE的周长最小值是_ 【答案】 解：(1)D 为AB的中点，2AB ， 1 1 2 ADAB 四边形OABC是矩形，4BC ， D 点坐标为1,4 1,4D在 1 (0) k yx x 的图象上， 4k 反比例函数解析式为 1 4 (0)yx x 当2x时， 2y E 点坐标为2,2 直线 2 (0)ymxn m过
14、点1,4D和点2,2E 4, 22 mn mn 解得 2, 6. m n 直线DE的解析式为 2 26yx 反比例函数解析式为 1 4 (0)yx x ， 直线DE的解析式为 2 26yx (2)作点 D 关于 y 轴的对称点D，连接D E，交 y 轴于点 P，连接PD 此时PDE的周长最小点 D 的坐标为1,4， 点D的坐标为 1,4 设直线D E的解析式为(0)yaxb a 直线 (0)yaxb a经过1,4D 4, 22. ab ab 解得 2 , 3 10 . 3 a b 直线D E的解析式为 210 33 yx 令0 x，得 10 3 y 点 P 坐标为 10 0, 3 (3)由(1
15、)(2)知 D(1，4)，E(2，2)，D(-1,4).又 B(2,4), BD=1,BE=2,DB=3. 在 Rt BDE 中，由勾股定理，得 DE= 22 +BDBE = 5. 在 Rt BDE 中，由勾股定理，得DE= 22 +D BBE = 13. PDE的周长的最小值为D E+DE =135 【点睛】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的 解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点 P 是解题的关键. 8(2020 吉林中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数 k y
16、x 0 x 的图 象上(点B的横坐标大于点A的横坐标)，点A的坐示为2,4，过点A作ADx轴于点D，过点B作 BCx轴于点C，连接OA，AB (1)求k的值 (2)若D为OC中点，求四边形OABC的面积 【答案】 解：(1)将点A的坐标为(2,4)代入(0) k yx x ， 可得2 48kxy， k的值为 8； (2)k的值为 8， 函数 k y x 的解析式为 8 y x ， DQ为OC中点，2OD， 4OC， 点B的横坐标为 4，将 4x代入 8 y x ， 可得2y ， 点B的坐标为(4,2)， 11 2424210 22 AODOABCABCD SSS 四边形四边形 【点睛】 本题主
17、要考查了反比例函数的系数k的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键 9(2020 河南九年级二模)如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，点 A(0，4)，B(3，0)反比 例函数 k y x (k 为常数，k0，x0)的图象经过点 D (1)填空：k (2)已知在 k y x 的图象上有一点 N，y 轴上有一点 M，且四边形 ABMN 是平行四边形，求点 M 的坐标 【答案】 (1)点 A(0，4)，B(3，0)， OA=4，OB=3， AB=5， 四边形 ABCD 是菱形， AD=5， 即点 D 的横坐标是 5， 点 D 的坐标为(5，4)， 4= k 5 ，得 k=20，
18、 故答案为 20； (2)四边形 ABMN 是平行四边形，ANBM，AN=BM， AN 可以看作是 BM 经过平移得到的， 首先 BM 向右平移了 3 个单位长度， N 点的横坐标为 3，代入 y= 20 x ，得点 N 的纵坐标为 y= 20 3 ， M 点的纵坐标为 20 3 4= 8 3 ， M 点的坐标为(0， 8 3 ) 【点睛】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 10(2020 贵阳清镇北大培文学校九年级其他模拟)如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴
19、上，AD 2AB，直线 AB 的解析式为 y2x+4，双曲线 y k x (x0)经过点 D，与 BC 边相交于点 E (1)填空：k ； (2)连接 AE、DE，试求 ADE 的面积； (3)若点 D 关于 x 轴的对称点为点 F，求直线 CF 的解析式 【答案】 (1)如图， 针对于直线 AB 的解析式为 y2x+4， 令 x0，则 y4， B(0，4)， OB4，令 y0，则2x+40， x2， A(2，0)， OA2， 四边形 ABCD 是矩形， BAD90， OAB+GAD90， OAB+OBA90， OBAGAD， 过点 D 作 DGx 轴于 G， AGDBOA90， AOBDGA
20、， OAOBAB = DGAGAD ， 24AB1 = DGAG2AB2 ， DG4，AG8， OGOA+AG10， D(10，4)， 点 D 在反比例函数 y k x (x0)的图象上， k40， 故答案为 40； (2)由(1)知，OA2，OB4， 根据勾股定理得，AB2 5， AD2AB4 5， S ADE 1 2 ADAB 1 2 4 52520； (3)由(1)知，A(2，0)，D(10，4)， 点 A 到 D 是向右移动 1028 个单位，再向上移动 4， 点 B 到点 C 是向右移动 8 个单位，再向上移动 4， B(0，4)， C(8，8)， 点 F 是点 D 关于 x 轴对称
21、， 点 F(10，4)， 设直线 CF 的解析式为 ykx+b， 88 104 kb kb ， 6 56 k b ， 直线 CF 的解析式为 y6x+56 【点睛】 本题考查反比例函数综合以及待定系数法求一次函数解析式，以及相似三角形的判定与性质等知识，根据 题意求出 D、C 的坐标是解题关键 11(2020 山西临汾市 八年级期末)已知,在直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A,C 坐标分别为 A(2,0),C(1,2),反比例函数 m y x 的图象经过点 B (m0) (1)求出反比例函数的解析式 (2)将OABC 沿着 x 轴翻折，点 C 落在点 D 处，做出点 D 并判断点
22、D 是否在反比例函数 m y x 的图象上 (3)在 x 轴是否存在一点 P 使 OCP 为等腰三角形，若存在，写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 (1)设 BC 于 y 轴相交于点 E，如图所示： 四边形 OABC 是平行四边形， BC=AO， A(2，0)， OA=2， BC=2， C(-1，2)， CE=1， BE=BC-CE=2-1=1， B(1，2)， 反比例函数 y= m x 的图象经过点 B， m=12=2, 反比例函数的解析式为：y= 2 x ； (2)将OABC 沿着 x 轴翻折，点 C 落在点 D 处， D(-1，-2)， m=2, 反比例函数 y= 2 x
23、 , 把 D 点坐标(-1，-2)代入函数解析式 y= 2 x 中得：左右两边相等， 点 D 在反比例函数 2 y x 的图象上； (3)以 OC 22 125 为半径，点 O 为圆心，画圆交 x 轴于点 P1(- 5,0)和 P2(5，0)； 以 OC 22 125 为半径，点 C 为圆心，画圆交 x 轴于点 P3(2，0)； 作线段 OC 的垂直平分线，交 x 轴于点 P4(-2.5,0). 所以存在，点 P 的坐标(- 5,0)、(5，0)、(2，0)和(-2.5,0). 【点睛】 考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行四边形的性质，关键是熟练把握凡是反 比例函数图象
24、经过的点都能满足解析式 12(2020 山东济南市 中考真题)如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别落在 x 轴，y 轴的正半轴上，顶点 B(2， 2 3)，反比例函数 k y x (x0)的图象与 BC，AB 分别交于 D，E，BD 1 2 (1)求反比例函数关系式和点 E 的坐标； (2)写出 DE 与 AC 的位置关系并说明理由； (3)点 F 在直线 AC 上，点 G 是坐标系内点，当四边形 BCFG 为菱形时，求出点 G 的坐标并判断点 G 是否在 反比例函数图象上 【答案】 解：(1)B(2，2 3)，则 BC2， 而 BD 1 2 ， CD2 1 2 3 2 ，故点 D( 3
25、 2 ，2 3)， 将点 D 的坐标代入反比例函数表达式得：2 33 2 K ，解得 k3 3， 故反比例函数表达式为 y 3 3 x ， 当 x2 时，y 3 3 2 ，故点 E(2， 3 3 2 )； (2)由(1)知，D( 3 2 ，2 3)，点 E(2， 3 3 2 )，点 B(2，2 3)， 则 BD 1 2 ，BE 3 2 ， 故 BD BC 1 2 2 1 4 ， EB AB 3 2 2 3 1 4 BD BC ， DEAC； (3)当点 F 在点 C 的下方时，如下图， 过点 F 作 FHy 轴于点 H， 四边形 BCFG 为菱形，则 BCCFFGBG2， 在 RT OAC 中
26、，OABC2，OBAB2 3， 则 tanOCA AO CO 2 2 3 3 3 ，故OCA30， 则 FH 1 2 FC1，CHCFcosOCA2 3 2 3， 故点 F(1， 3)，则点 G(3，3)， 当 x3 时，y 3 3 X 3，故点 G 在反比例函数图象上； 当点 F 在点 C 的上方时， 同理可得，点 G(1，3 3)， 同理可得，点 G 在反比例函数图象上； 综上，点 G 的坐标为(3， 3)或(1，33)，这两个点都在反比例函数图象上 【点睛】 本题主要考查反比例函数，解题关键是过点 F 作 FHy 轴于点 H. 13 (2020 广东中考真题)如图， 点B是反比例函数 8
27、 y x (0 x)图象上一点， 过点B分别向坐标轴作垂线， 垂足为A，C， 反比例函数 k y x (0 x)的图象经过OB的中点M， 与AB，BC分别相交于点D，E 连 接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG (1)填空：k _； (2)求BDF的面积； (3)求证：四边形BDFG为平行四边形 【答案】 解：(1)点 B 在 8 y x 上， 设点 B 的坐标为(x， 8 x )， OB 中点 M 的坐标为( 2 x ， 4 x )， 点 M 在反比例函数 k y x (0 x)， k= 2 x 4 x =2， 故答案为：2； (2)连接OD，则 | 1 2 AO
28、D k S， ， 8 4 2 AOB S， 4 13 BOD S ， /OF AB， 点F到AB的距离等于点O到AB距离， 3 BDFBDO SS ； (3)设, BB B xy，, DD D xy， 8 BB xy，2 DD xy， 又 BD yy， 4 BD xx， 同理4 BE yy， 3 1 BE EC ， 3 4 BD AB ， /AB BC， EBDECF， 1 3 CFCE BDBE ， 4 3 OCAB BDBD ， 4 1 OC CF ， O，G关于C对称， OCCG， 4CGCF， 43FGCG CFOFCFCF， 又3BDCF， BDFG， 又/BD FG， BDFG是平
29、行四边形 【点睛】 本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活 运用知识点是解题关键 14(2020 湖南湘潭市 九年级期末)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 DOBC 是矩形，且 D(0， 4)，B(6，0)若反比例函数 1 1 k y x (x0)的图象经过线段 OC 的中点 A，交 DC 于点 E，交 BC 于点 F设 直线 EF 的解析式为 y2=k2x+b (1)求反比例函数和直线 EF 的解析式； (温馨提示： 平面上有任意两点 M(x1， y1)、 N(x2， y2)， 它们连线的中点 P 的坐标为( 1212 22
30、 xxyy ，)(2)求 OEF 的面积； (3)请结合图象直接写出不等式 k2x -b 1 k x 0 的解集 【答案】 (1)D(0，4)，B(6，0)， C(6，4)， 点 A 是 OC 的中点， A(3，2)， 把 A(3，2)代入反比例函数 y1= 1 k x ，可得 k1=6， 反比例函数解析式为 y1= 6 x ， 把 x=6 代入 y1= 6 x ，可得 y=1，则 F(6，1)， 把 y=4 代入 y1= 6 x ，可得 x= 3 2 ，则 E( 3 2 ，4)， 把 E( 3 2 ，4)，F(6，1)代入 y2=k2x+b，可得 2 2 3 4 2 1 6 kb kb ，解
31、得 2 2 3 5 k b ， 直线 EF 的解析式为 y=- 2 3 x+5； (2)如图，过点 E 作 EGOB 于 G， 点 E，F 都在反比例函数 y1= 6 x 的图象上， S EOG=S OBF， S EOF=S梯形EFBG= 1 2 (1+4) 9 2 = 45 4 ； (3)由图象可得，点 E，F 关于原点对称的点的坐标分别为(-1.5，-4)，(-6，-1)， 由图象可得，不等式 k2x-b- 1 k x 0 的解集为：x-6 或-1.5x0 【点睛】 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及矩形性质的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐 标，把两个函数关系式联立成方程
32、组求解解题时注意运用数形结合思想得到不等式的解集 15(2020 山东济南市 九年级二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴上，D 是 BC 的中点，过点 D 的反比例函数图象交 AB 于 E 点，连接 DE若 OD5，tanCOD 4 3 (1)求过点 D 的反比例函数的解析式； (2)求 DBE 的面积； (3)x 轴上是否存在点 P 使 OPD 为直角三角形？若存在， 请直接写出 P 点的坐标； 若不存在， 请说明理由 【答案】 (1)四边形 OABC 是矩形， BC=OA，AB=OC， tanCOD= 4 3 ， 设 OC
33、=3x，CD=4x， OD=5x=5， x=1， OC=3，CD=4， D(4，3)， 设过点 D 的反比例函数的解析式为：y= k x ， k=12， 反比例函数的解析式为：y=12 x ； (2)点 D 是 BC 的中点， B(8，3)， BC=8，AB=3， E 点在过点 D 的反比例函数图象上， E(8， 3 2 )， S DBE= 1 2 BDBE= 13 4 22 =3； (3)存在， OPD 为直角三角形， 当OPD=90时，PDx 轴于 P， OP=4， P(4，0)， 当ODP=90时， 如图，过 D 作 DHx 轴于 H， OD2=OHOP， OP= 2 25 4 OD O
34、H P( 25 4 ，O)， 存在点 P 使 OPD 为直角三角形， P(4，O)，( 25 4 ，O) 16(2020 江苏苏州市 九年级二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+b 经过点 A(2，0)，与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y k x (x0)交于点 C(m，6)，过 B 作 BDy 轴，交反比例函数 y k x (x0)于点 D，连接 AD，CD (1)求 b，k 的值； (2)求 ACD 的面积； (3)设 E 为直线 AB 上一点，过点 E 作 EFx 轴，交反比例函数 y k x (x0)于点 F，若以点 A，O，E，F 为 顶点的四边形为平行四边形
35、，求点 E 的坐标 【答案】 解：(1)直线 y=2x+b 经过点 A(2，0)， 4+b=0， b=4， 直线 AB 的解析式为 y=2x+4 点 C(m，6)在直线 y=2x+4 上， 2m+4=6， m=1， C(1，6)， 把 C(1，6)代入 y k x 得：k=16=6； (2)直线 y=2x+4 与 y 轴交于点 B， B(0，4) BDy 轴， 把 y=4 代入 y 6 x 中得：x 3 2 ， D( 3 2 ，4)， ACD 的面积 13 22 6 9 2 ； (3)以点 A，O，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，EFAO， EF=AO=2， 设点 E(t，2t+4)， 当
36、点 E 位于点 F 的左侧时， 点 F(t+2，2t+4)， 则(t+2)(2t+4)=6， t=2 3 t2， t=2 3 ， E( 32，23)； 当点 E 位于点 F 的右侧时， 点 F(t2，2t+4)， 则(t2)(2t+4)=6， 解得：t 7 t2， t 7， E( 7，27 4)， 综上所述： 若以点 A， O， E， F 为顶点的四边形为平行四边形， 点 E 的坐标为( 32， 23)或(7， 27 4) 【点睛】 本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积的计算， 平行四边形的性质，正确的理解题意是解题的关键 17(2020 浙江杭
37、州市 八年级其他模拟)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知AOBC的边OA 在 x 轴上，BC与 y 轴正半轴交于点 D，( 9,0),( 6,4)AC，反比例函数(0) k yx x 经过点 B动点 P 从 点 B 出发，沿BOD的折线以每秒 1 个单位的速度匀速运动，动点 Q 同时从点 A 出发，沿A O以每 秒 1 个单位的速度匀速运动，点 P，Q 中有一个点到达终点，另一个点运动随即而停止 (1)求反比例函数的表达式 (2)在反比例函数的图象是否存在一点 E，使得以 B，D，P，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请 求出点 P 的坐标：若不存在，请说明理由 (3)过动点
38、 Q 的直线始终与 x 轴垂直且与折线ACB交于点 M，当5t 时，在坐标平面内是否存在点 N，使 得以 P，Q，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 【答案】 解：(1)( 9,0),( 6,4)AC，四边形 ABCD 是平行四边形， 9OACB，BCOA，CD=6， 点 B 与点 C 的纵坐标相等， (3,4)B， 点 B 在反比例函数图像上， 3 412k ， 12 y x ； (2)动点 P 从点 B 出发，沿BOD的折线以每秒 1 个单位的速度匀速运动，动点 Q 同时从点 A 出发， 沿A O以每秒 1 个单位的速度匀速运动， 点 P， Q
39、 中有一个点到达终点， 另一个点运动随即而停止， BD=3， OD=4， 在 Rt ODB 中， 22 5OBDBOD ， t的最大值为 9，即点 P 运动到点 D 时停止运动， ()当 P 在线段OB上时， 直线OB的解析式为： 4 3 yx， 若以BP为对角线，如图 1，设 4 ,03 3 P aaa ，则 4 3, 3 E aa ， 4 312 3 aa， 12 33 533 5 , 22 aa (舍去) 点 P 的坐标为 33 5 , 22 5 2 若以DB为对角线，如图 2，设 4 ,03 3 P aaa ， (0,4), (3,4)DB，根据对角线性质得 4 3,8 3 Eaa ，
40、 4 3812 3 aa ， 1 93 5 2 a (舍去)， 2 93 5 2 a ， 点 P 的坐标为 93 5 ,62 5 2 ； 若以DP为对角线，E 不可能在双曲线图象上，舍去； ()当 P 在线段OA上时，不存在这样的点 E， 综上所述，点 P 的坐标为 33 5 , 22 5 2 或 93 5 ,62 5 2 (3)存在，理由如下： 由(2)可得：t的最大值为 9， 59t ， P 在OD上，M 在CD上， 易知(0,5),(9,0),(9,4),4PtQ tM tMQ， ()当,PM PQ为菱形的邻边时，PM PQ，如图所示： 由菱形的对角线互相垂直且平分可得点 P 的坐标即为点 M 纵坐标的一半， 52t ， 7t ； ()当 ,MQ PQ为菱形的邻边时，MQPQ，如图所示： 则有 22 2 594tt， 12 5,9tt(舍去)； ()当,MQ MP为菱形的邻边时，MQ MP，如图所示： 则有 22 2 994tt， 1 2 29t (舍去)， 2 2 29t ， 综上所述，7t 或5t 或 2 29t 【点睛】 本题主要考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质及菱形、平行四边形的性质是解题的关 键
