1、 中点模型巩固练习中点模型巩固练习(基础基础) 1. 如图所示， 在ABC 中， ABAC5， BC6， M 为 BC 的中点， MNAC 于点 N， 则 MN 等于( ) A. B. C. D. 【解答】C 【解析】如图，连接 AM. ABAC，M 是 BC 的中点，AMBC， AC5，CMBC3，AM4，在 RtAMC 中，AM CMAC MN，即 435 MN，解得 MN. 2. 如图，O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为的中点，若ABC30，则弦 AB 的长为( ) A. B. 5 C. D. 【解答】D 【解析】如图，连接 OA、OC，OC 交 AB 于点 D. 点 C 是的中点
2、，OCAB 且平分 AB，即 ADAB， ABC30，AOC60， 在 RtAOD 中，ADAO，AB2AD. 3. 如图，在ABC 中，ACB60，AC1，D 是 AB 的中点，E 是 BC 上一点，若 DE 平分ABC 的周长，则 DE 的长为 . 【解答】 【解析】如图，过点 A 作 AMDE 交 BC 的延长线于点 M，过点 C 作 CNAM，垂足为 N. D 是 AB 的中点，E 为 BM 的中点，即 BEEM， 又DE 平分ABC 的周长，AC+CEBE，MC+CEAC+CE，MCAC， CNAM，ACB60，CAN60， 在 RtCAN 中，ANACsin60 ， AM2AN，D
3、EAM. 4. 如图， 过矩形 ABCD 的顶点 A 作一直线， 交 BC 的延长线于点 E， F 是 AE 的中点， 连接 FC、 FD.求证： FDCFCD. 【解答】见解析 【解析】证明：如图，连接 BF. 四边形 ABCD 是矩形，ABC90，又F 是 AE 的中点，FBFA，FBAFAB， 在矩形 ABCD 中，ABCBAD90，FADFBC， 又ADBC，ADFBCF(SAS)，DFCF，FDCFCD. 5. 已知：在ABC 中，AD 为中线，且BAD90，DAC45，求证：AB2AD. 【解答】见解析 【解析】证明：如图，延长 AD 至点 E，使得 EDDA，连接 BE、CE.
4、BDCD， ADDE， 四边形 ABEC 是平行四边形， ACBE， AE2AD， AEBCAD45， BAD90，ABE 是等腰直角三角形，ABAE，AE2AD，AB2AD. 6. 已知，如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，直线 EGAD 于点 F，且交 AB 于点 E，交 AC 于 点 G，求证：. 【解答】见解析 【解析】如图，分别过点 B、C 作 BMAD，交 AD 的延长线于点 M，作 CNAD 于点 N. EGAD 于点 F，EGBMCN， MBDNCD，在BDM 和CDN 中， ，BDMCDN，DMDN 由得. 7. 如图，在ABC 中，BC22，BDAC 于点 D，
5、CEAB 于 E，F、G 分别是 BC、DE 的中点，若 ED 10，求 FG 的长. 【解答】 【解析】如图，连接 EH、DH. 由题意可得 EH、DH 分别为 RtBEC、RtBDC 斜边上的中线，DHEHBC11， 点 G 为 ED 的中点，DGEG5，又HGDE，在 RtHGD 中，HG. 8. 在ABC 中， D 为 BC 的中点， 延长 AD 至点 E， 延长 AB 交 CE 的延长线于点 P， 若 AD2DE， 求证： AP3AB. 【解答】见解析 【解析】如图，过点 D 作 DFAP 交 PC 于点 F. 点 D 为 BC 的中点，DF 为PBC 的中位线，PB2FD， 又DF
6、AP，DFEAPE， AD2DE，AE3DE，AP3DF， ABAPBP3DF-2DFDF，AP3AB. 9. 如图，AD 是ABC 的中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 延长线与 AC 的交点，求的值. 【解答】 【解析】如图，过点 D 作 DHAC 交 BF 于点 H，则EAFEDH. E 是 AD 的中点，AEFDEH，AEFDEH(ASA)，DHAF， 在BCF 中，D 为 BC 的中点，且 DHAC， DHFC，AFFC，. 10. 如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆经过 A、C 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 CE 的下半 圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 ABBF. (1)求证：AB 是圆 O 的切线； (2)若 CF4，DF，求圆 O 的半径及 sinB 的值. 【解答】(1)见解析；(2) 【解析】(1)证明：如图，连接 OA、OD. D 为 CE 的下半圆弧的中点，ODBC，EOD90 ， ABBF，OAOD，BAFBFA，OADODA， 又BFAOFD，OADBAFODAOFD90 ， 即OAB90 ，OAAB，AB 是圆 O 的切线； (2)由题意可得 OFCFOC4r，ODr，DF， 在 RtDOF 中，即，解得(舍)， OA3，OF1，BOBFFOAB1， 在 RtAOB 中， AB4，OB5，.
