1、菱形存在性问题巩固练习菱形存在性问题巩固练习(基础基础) 1 如图，矩形 ABCD 中，ABa，BC6，E、F 分别是 AB、CD 的中点 (1)求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2)是否存在 a 的值使得四边形 AECF 为菱形，若存在求出 a 的值，若不存在说明理由； 【解答】(1)见解析；(2)不存在 【解析】(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ADBC， 又E、F 分别是边 AB、CD 的中点，AECF， 四边形 AECF 是平行四边形； (2)不存在， 由(1)知：四边形 AECF 是平行四边形； 当 AEAF 时，四边形 AECF 为菱形， 四边形 ABCD
2、是矩形，D90， ADBC6，DFCDa， ， 方程无解，故不存在这样的 a； 2 如图， 在平面直角坐标系中， 二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在原点的左侧， 抛物线的对称轴 x1，与 y 轴交于 C(0，3)点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的解析式及 A、B 点的坐标 (2)连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点 P，使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)yx22x3，点 A(1，0)、B(3，0)；(2)P 【解
3、析】(1)函数的对称轴为：x1，解得：b2， 故抛物线的表达式为：yx22x3， 令 y0，则 x1 或 3， 故点 A、B 的坐标分别为：(1，0)、(3，0)； (2)存在，理由： 如图，四边形 POPC 为菱形，则 yPOC， 即 yx22x3， 解得(舍去负值)， 故点 P. 3 如图，在平面直角坐标系中，点 A 为二次函数 yx24x1 图象的顶点，图象与 y 轴交于点 C，过 点 A 并与 AC 垂直的直线记为 BD，点 B、D 分别为直线与 y 轴和 x 轴的交点，点 E 是二次函数图象上与点 C 关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在 A 点，绕点 A 旋转，三角板的两
4、直角边分别与线段 OD 和线段 OB 相交于点 P、Q 两点 (1)点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 (2)求直线 BD 的表达式 (3)在三角板旋转过程中，平面上是否存在点 R，使得以 D、E、P、R 为顶点的四边形为菱形？若存在，直 接写出 P、Q、R 的坐标；若不存在请说明理由 【 解 答 】 (1)A(2 ， 3) 、 C(0 ， 1) ； (2)； (3) ； 【解析】(1)yx24x1 图象的顶点： ， 点 A 的坐标为(2，3)， 当 x0 时，y1，点 C 的坐标为(0，1)； (2)直线 AC 的解析式是 y2x1， 过点 A 并与 AC 垂直的直线记为 BD， 直线 B
5、D 的表达式为； (3)存在 菱形 DERP 时，； 菱形 DREP 时， 4 如图 1，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，B 点坐标是(8，4)，将AOC 沿对角线 AC 翻 折得ADC，AD 与 BC 相交于点 E (1)求证：CDEABE； (2)求 E 点坐标； (3)如图 2， 若将ADC 沿直线 AC 平移得ADC(边 AC始终在直线 AC 上)， 是否存在四边形 DD CC 为菱形的情况？若存在，请直接写出点 C的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)见解析；(2)E(5，4)；(3)C的坐标为或 【解析】(1)证明：四边形 OABC 为矩形， AB
6、OC，BAOC90， CDOCAB，DAOCB， 又CEDABE，CDEABE(AAS)， CEAE； (2)B(8，4)，即 AB4，BC8 设 CEAEn，则 BE8n， 可得(8n)242n2， 解得：n5，E(5，4)； (3)设点 C 在水平方向上向左移动 m 个单位，则在垂直方向上向上移动了个单位， 则点 C坐标为(m，)， 则四边形 DDCC 为菱形， CC2(m)2(m)2m2CD216， 解得：， 故点 C的坐标为或 5 如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AB8，BC4， (1)把矩形沿直线 DE 对折使点 C 落在点 A 处，DE 与 AC 相交于点 F，求
7、直线 DE 的解析式； (2)若点 M 在 AB 边上，平面内是否存在点 N，使以 C、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接 写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)y2x6；(2)点 N 的坐标为(5，4)或(11，4)或(0，4)或(5.5，4) 【解析】(1)四边形 OABC 是矩形， AOBC4，OCAB8， A(0，4)，C(8，0)， 设直线 AC 的解析式为：ykxb， ，解得， 直线 AC 的解析式为， 矩形沿直线 DE 对折使点 C 落在点 A 处， DEAC，AFCF， F(4，2)， 设直线 DE 的解析式为：y2xn， 224n， n6， 直
8、线 DE 的解析式为：y2x6； (2)存在 将 y0 代入 y2x6 得：2x60，解得：x3 点 D 的坐标为(3，0) DCOCOD835 如图所示： C、D、M、N 为顶点的四边形是菱形， MDMN5 过点 D 作 DGAB，则 GDOA4，ODM1G 当点 M 位于点 M1处时，在 RtM1DG 中， 点 M1的坐标为(0，4)， M1N15， 点 N1的坐标为(5，4)； 当点 M 位于点 M2处时，在 RtM2DG 中， 点 M2的坐标为(6，4)， M2N25， 点 N2的坐标为(11，4) 当点 N 与 M 交换时，也满足条件，此时 N(0，4)或(5.5，4) 综上所述，当
9、点 N 的坐标为(5，4)或(11，4)或(0，4)或(5.5，4)时，能够使的四边形 C、D、M、N 为菱形 6 如图，抛物线 yax2bxc 经过点(1，4)，与直线 yx1 相交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴 上，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C(3，O)点 M 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，过 M 作 MPx 轴，垂足为点 P，交直线 AB 于点 N设点 M 的横坐标为 m (1)求抛物线的解析式； (2)当 m 为何值时，线段 MN 取最大值？并求出这个最大值； (3)是否存在点 M，使以 B、C、N、M 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点 M
10、的坐标； 若不存在，请说明理由 【解答】(1)yx24x1；(2)当时，MN最大值；(3)不存在 【解析】(1)当 x3 时，y(3)14，即 B(3，4)，当 x0 时，y1，即 A(0，1)， 将(1，4)(3，4)(0，1)代入 yax2bxc，得 ，解得， 抛物线的解析式 yx24x1； (2)M(m，m24m1)，N(m，m1)， MNm24m1(m1)m23m， 当时，MN最大值； (3)不存在点 M，使以 B、C、N、M 为顶点的四边形是菱形， 理由如下：假如存在， MNBCm23m4， m23m40， 324147，m 不存在， 不存在点 M，使以 B、C、N、M 为顶点的四边
11、形是菱形. 7 如图 1，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上的三个点，且 OA1，OB3， OC3 (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； (2)点 M 是抛物线上一个动点，且在直线 BC 的上方，连接 MO、MB，并把MOB 沿 BO 翻折，得到四边形 MOMB，那么是否存在点，使四边形 MOMB 为菱形？若存在，请求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由； 【解答】(1)yx22x3；(2)M 点的坐标为 【解析】(1)设抛物线的解析式为 yax2bxc， OA1，OB3，OC3 A(1，0)、B(0，3)、C(3，0)， ，得， 经过 A、B
12、、C 三点的抛物线的解析式为 yx22x3； (2)存在， 理由为：存在点 M，使四边形 MOMB 为菱形， 设 M 点坐标为(x，x22x3)， 若使四边形 MOMB 是菱形，则需要满足 BO 与 MM互相垂直且平分， 取 BO 中点 H，作 MHBO，则点 M 为所求，如图所示： OB3， OHBH， x22x3， 解得(舍去)， M 点的坐标为. 8 如图，在 RtABC 中，C90，AC9，BC12，动点 P 从点 A 开始，沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PDBC，
13、交 AB 于点 D，连结 PQ点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点 也随之停止运动，设运动时间为 t 秒(t0) (1)直接用含 t 的代数式分别表示：QB ，PD ； (2)是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由并探究如何改变 Q 的速度(匀速运动)，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度 【解答】(1)QB122t，；(2)t3.6；(3)v 【解析】(1)QB122t， PDBC，
14、则，解得； (2)PDBC，当 PDBQ 时四边形 PDBQ 为平行四边形， ，解得：t3.6(秒)， 则存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为平行四边形； (3)t3.6 秒时，BQPD4.8， 由ABCADP，得到 AD6，BD1569， BDPD，不存在 t 使四边形 PDBQ 为菱形； 设点 Q 的速度为每秒 v 个单位长度， 则 BQ12vt，PD，BD15t， 要使四边形 PDBQ 为菱形，则 PDBDBQ， 当 PDBD 时，即15t， 解得：t5(秒)， 当 PDBQ，t5 秒时，即5125v，解得：v， 当点 Q 的速度为每秒个单位长度时，经过 5 秒，四边形 PDBQ 是菱
15、形 9 已知 RtAOB， 其中AOB90， OA6， OB8 将该纸片放置在平面直角坐标系中， 折叠该纸片， 折痕与边 OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D (1)如图 1，若折叠后使点 B 与点 O 重合，则点 D 的坐标为 ； (2)如图 2，若折叠后使点 B 与点 A 重合，求点 C 的坐标； (3)如图 3， 若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B， 是否存在点 B， 使得四边形 BCBD 是菱形？若存在， 请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由 【解答】(1)D(3，4)；(2)C(0，)；(3) 【解析】(1)OA6，OB8， A 的坐标是(6，0)，B 的坐标
16、是(0，8)， D 是 AB 的中点，则坐标是：(3，4)； (2)设 C(0，m)，(m0)， 则 COm， BCAC(8m)， 在 RtAOC 中，有(8m)2m236， 整理得，16m28， ， C(0，)； (3)存在，当 BCAB(或 BDBO)时，四边形 BCBD 是菱形， AOB90，OA6，OB8，AB10， BCAB，OBCOAB， 设 BCBCx，则， 解得， BCAB， CBDBCB180， 又CBDCBD，CBDBCB180， BDBO， ABDAOB， ， 设 BDBDy， ， 解得， BCBCBDBD， 四边形 BCBD 是菱形， 存在点 B，使得四边形 BCBD
17、是菱形，此时菱形的边长为 10如图，平行四边形 ABCD 的两个顶点 B，D 都在抛物线x2bxc 上，且 OBOC，AB5，tan ACB (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点 E，使以 A，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 E 的坐标；若 不存在，请说明理由 【解答】(1)；(2)E(4，6) 【解析】(1)OBOC，OABC，AB5， ABAC5 tanACB， 由勾股定理，得 OA2OC2AC2， ()2OC252，解得 OC4(负值舍去) ，OBOC4，ADBC8 A(0，3)，B(4，0)，C(4，0)，D(8，3) 解之得， 抛物线的解析式为； (2)存在 四边形 ABCD 为平行四边形， ACABCD 又ADCD， 当以 A，C，D，E 为顶点的四边形是菱形时，ACCDDEAE 由对称性可得，此时点 E 的坐标为(4，6) 当 x4 时，所以点(4，6)在抛物线上 存在点 E 的坐标为(4，6).
