1、菱形存在性问题巩固练习菱形存在性问题巩固练习(提优提优) 1 如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 O 为坐标原点，四边形 OABC 为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点 D 是 OA 的中点，点 P 在边 BC 上以每秒 1 个单位长的速度由点 C 向点 B 运动 (1)当四边形 PODB 是平行四边形时，求 t 的值； (2)在线段 PB 上是否存在一点 Q，使得四边形 ODQP 为菱形？若存在，求处当四边形 ODQP 为菱形时 t 的 值，并求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由； 【解答】(1)t5；(2)点 Q 的坐标为(8，4) 【解析】(1)四边形 PODB 是平行四边形，
2、 PBOD5， PC5，t5 (2)ODQP 为菱形， ODOPPQ5， 在 RtOPC 中，由勾股定理得： ，t3， CQPCPQ358， 点 Q 的坐标为(8，4) 2如图，抛物线 yax2xc 的图象与 x 轴交于点 A 和点 B(4，0)，与 y 交于点 C(0，4)，连结 AC，作直 线 BC，点 M，N 分别是 y 轴与直线 BC 上的动点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点 M 在 y 轴负半轴时，若OMAOCACBA，求 CM 的长； (3)点 P 为抛物线上的一动点，当点 P 在 y 轴右侧时，是否存在点 P，使以点 C、M、N、P 为顶点的四边形 是菱形，若存在，求
3、CM 的长；若不存在，请说明理由； 【解答】(1)；(2)CM10；(3)CM2 【解析】(1)由题意把点 B(4，0)，点 C(0，4)代入 yax2xc， 得：，解得， 此抛物线解析式为； (2)设点 M 的坐标为(0，m)，m0， 过点 C 作 CFMA，并交 MA 的延长线于点 F如图所示： CFA 和CFM 是直角三角形 又点 B，点 C 坐标分别为(4，0)和(0，4) COB 是等腰直角三角形， OMAOCACBA45， CAF45， 在中， 当 y0 时，x12，x24， A(2，0)， ， ， AMOCMF，MOAMFC90， MOAMFC， ， ， 解得 m16，m2(舍去
4、)， 点 M 的坐标为(0，6)， CM10； (3)点 B，点 C 坐标分别为(4，0)和(0，4) 直线 BC 的解析式为 yx4， 四边形 CPNM 是菱形， PNCM 且 PCPN， 设 P 点的坐标为(n，n2n4)，N 点的坐标为(n，n4)， 又CMPN， M 的纵坐标为：4n22n， 又CPPN，且， ，a2， CM2. 3如图，矩形 OABC 中，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 的坐标是(6，8)，矩形 OABC 沿直线 BD 折 叠，使得点 C 落在对角线 OB 上的点 E 处，折痕与 OC 交于点 D (1)求直线 OB 的解析式及线段 OE 的长；
5、(2)求直线 BD 的解析式及点 E 的坐标； (3)若点 P 是平面内任意一点，点 M 是直线 BD 上的一个动点，过点 M 作 MNx 轴，垂足为点 N，在点 M 的运动过程中是否存在以 P、 N、 E、 O 为顶点的四边形是菱形？若存在， 直接写出点 M 的坐标； 若不存在， 请说明理由 【解答】(1)，4；(2)yx5，；(3)点 M 的坐标为 M(4，7)或(4，3)或或 【解析】(1)设直线 OB 的解析式为 ykx， 将点 B(6，8)代入 ykx 中，得 86k， 直线 OB 的解析式为， 四边形 OABC 是矩形，且 B(6，8)， A(6，0)，C(0，8)， BCOA6，
6、ABOC8， 根据勾股定理得，OB10， 由折叠知，BEBC6， OEOBBE1064； (2)设 ODm， CD8m， 由折叠知，BEDOCB90，DECD8m， 在 RtOED 中，OE4， 根据勾股定理得，OD2DE2OE2， m2(8m)216，m5， DE8m3，D(0，5)， 设直线 BD 的解析式为 ykx5， B(6，8)，6k58，k， 直线 BD 的解析式为 yx5， 由(1)知，直线 OB 的解析式为， 设点， 根据OED 的面积得， ，； (3)由(1)知，OE4， 以 P、N、E、O 为顶点的四边形是菱形， 当 OE 是菱形的边时，ONOE4， N(4，0)或(4，0
7、)， 、当 N(4，0)时， MNx 轴， 点 M 的横坐标为 4， 点 M 是直线 BD：yx5 上， M(4，7)， 、当 N(4，0)时， MNx 轴， 点 M 的横坐标为4， 点 M 是直线 BD：yx5 上， M(4，3)， 当 OE 是菱形的对角线时，记对角线的交点为 O，PNOE， 由(2)知， ， 由(1)知，直线 OB 的解析式为， 点 O过直线 PN， 直线 PN 的解析式为， 令 y0， ， ， ， MNx 轴， 点 M 的横坐标为， 点 M 是直线 BD：yx5 上， ， 当 ON 为对角线时，ON 与 EP 互相平分， 点 N， M； 即：点 M 的坐标为 M(4，7
8、)或(4，3)或或 4 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 OABC 的边 OC 在 x 轴上， OA 在 y 轴上， BOC30， OC， 两动点 P、Q 分别从 O、B 两点同时出发，点 P 以每秒个单位长度的速度沿线段 OC 向点 C 运动，点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度沿着线段 BO 向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，P、Q 同时停止，设这两个点 运动时间为 t(s) (1)求出点 A、B 的坐标； (2)当OPQ 的面积为时，求出 t 的值及此时点 Q 的坐标； (3)在运动过程中，是否存在 P、Q 两点，使得PQC 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形 为
9、菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【解答】(1)A(0，2)，B(，2)；(2)t或 t，点 Q 的坐标为(，)，或(，)；(3)t 的 值为或 t42或 t 【解析】(1)四边形 ABCD 是矩形， OABC，ABOC，OCB90， BOC30，OC， OABCOCtan302， OB2BC4， A(0，2)，B(，2)； (2)作 QEOC 于 E，如图所示：则 QEBC， OQEOBC， ，即， QE2t， OPQ 的面积， 解得：t或 t， 当 t时，QE2，OEQE； 当 t时，QE2，OEQE； 点 Q 的坐标为(，)，或(，)； (3)存在；分三种情况：如图所示
10、： 当 PQPC 时， OPt， PC2 t， 由(2)得：OEQE(2t)， PEOEOP2 2 t， PQ2PE2QE2， (2t)2(2 2 t)2(2 t)2， 解得：，或； 当 QCPC 时，QC2QE2CE2， (2t)2(t)(2 t)2， 解得：t42(负值舍去)， t42； PQQC 时，PECE， 2 2 tt， 解得：t 综上所述：t 的值为或 t42或 t 5 如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，点 P 为抛物线的顶点，连接 BC 交抛物线的对称轴于点 D (1)求点 P 的坐标及直线 BC 的解析式； (2)若点
11、 E 是抛物线上一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得以点 C，D，E，F 为顶点的四边形 为菱形？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由； 【解答】(1)点(1，)，yx4；(2)F(1，5) 【解析】(1)， 点 P 的坐标为(1，) 当 x0 时，4， 点 C 的坐标为(0，4)； 当 y0 时，x2x40， 解得：x12，x24， 点 B 的坐标为(4，0) 设直线 BC 的解析式为 ykxb(k0)， 将 B(4，0)，C(0，4)代入 ykxb，得：， 解得：，直线 BC 的解析式为 yx4 (2)当 x1 时，yx43，点 D 的坐标为(1，3) 设点 F 的坐
12、标为(1，n)，点 E 的坐标为(x，x2x4) 当 CD 为对角线时，以点 C，D，E，F 为顶点的四边形为菱形， 1x01，x0， 点 E 的坐标为(0，4)，此时点 E 与点 C 重合，不合题意，舍去； 当 CD 为边时，以点 C，D，E，F 为顶点的四边形为菱形，DF 为对角线， ，解得：， 点 F 的坐标为(1，5) 综上所述：在抛物线的对称轴上存在一点 F，使得以点 C，D，E，F 为顶点的四边形为菱形，点 F 的坐标 为(1，5) 6 如图，已知抛物线交 x 轴于点 A、点 B，交 y 轴于点 C，且点 A(6，0)，点 C(0，4)，AB5OB，设点 E(x，y)是抛物线上一动
13、点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形 (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？ 【解答】(1)，；(2)y4x228x24(1x6)；(3)当 E(3，4)时，平行 四边形 OEAF 是菱形 【解析】(1)点 A(6，0)，AB5OB， 点 B(1，0)， 设所求抛物线的解析式为 yax2bxc， 则由题意可得：，解得， 所求抛物线的解析式为， ， 所求抛物线的顶点坐标为； (2
14、)点 E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0， 即y0，y 表示点 E 到 OA 的距离 OA 是平行四边形 OEAF 的对角线， S2SOAE2OA|y|6y6(x2x4)4x228x24， 自变量 x 的取值范围为：1x6； (3)根据题意得：4x228x2424，解得 x13，x24， 所求的点 E 有两个，分别为 E1(3，4)，E2(4，4)， 点 E1(3，4)，OE5， OEAE，平行四边形 OEAF 是菱形， 点 E2(4，4)， OE4， 不满足 OEAE，平行四边形 OEAF 不是菱形. 综上，当 E(3，4)时，平行四边形 OEAF 是菱形. 7 如图，
15、在平面直角坐标系中， 二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在原点的左则， B 点的坐标为(3，0)，与 y 轴交于 C(0，3)点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出四边形 ABPC 的面积最大时的 P 点坐标和四边形 ABPC 的最大面积； (3)连结 PO、 PC， 在同一平面内把POC 沿 y 轴翻折， 得到四边形 POPC， 是否存在点 P， 使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 【解答】(1)yx22x3；(2)P，；(3)点，使四边形 POPC 为
16、菱形 【解析】(1)将点 B(3，0)、C(0，3)代入 yx2bxc 中， 得：，解得：， 该二次函数的表达式为 yx22x3 (2)点 B(3，0)，点 C(0，3)， 直线 BC：yx3 过 P 作 PDy 轴，交 BC 于 D，连接 PC，如图所示： 设 P(a，a22a3)，则点 D(a，a3)， 当 y0 时，x22x30， 解得：x11，x23， 点 A(1，0) 则 0，0a3， 当 a时，四边形 ABPC 的面积取最大值， 即当点 P 的坐标为时，四边形 ABPC 的面积取最大值，最大值为 (3)取 OC 的中点 E，过 E 作 OC 的垂线交抛物线于 P，在 PE 的延长线
17、上取 EPPE，连接 PO、PC， 如图所示： OECE，EPEP，OCPP， 四边形 POPC 为菱形 当 y，则有x22x3， 解得：(舍去)， 存在点，使四边形 POPC 为菱形 8 如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 y(x0)的图象交于点 P(n，2)，与 x 轴交于点 A( 4，0)，与 y 轴交于点 C，PBx 轴于点 B，点 A 与点 B 关于 y 轴对称 (1)求一次函数，反比例函数的解析式； (2)求证：点 C 为线段 AP 的中点； (3)反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，说明理由并求出点 D 的坐标；如 果不存在，说明理由
18、【解答】(1)；(2)见解析；(3)存在满足条件的点 D，其坐标为(8，1) 【解析】(1)点 A 与点 B 关于 y 轴对称， AOBO， A(4，0)， B(4，0)， PBx 轴于点 B， P(4，2)， 把 P(4，2)代入反比例函数解析式可得 m8， 反比例函数解析式为， 把 A、P 两点坐标代入一次函数解析式可得，解得， 一次函数解析式为； (2)证：点 A 与点 B 关于 y 轴对称， OAOB， PBx 轴于点 B， PBACOA90， PBCO， 1，即 ACPC， 点 C 为线段 AP 的中点； (3)存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形 理由如下： 点 C 为线段 AP
19、 的中点， BCAPPC， BC 和 PC 是菱形的两条边， 由 yx1 可得 C(0，1)， 如图，过点 C 作 CDx 轴，交 PB 于点 E，交反比例函数图象于点 D，分别连接 PD、BD， D(8，1)，且 PBCD， PEBE1，CEDE4， PB 与 CD 互相垂直平分，即四边形 BCPD 为菱形， 存在满足条件的点 D，其坐标为(8，1) 9 如图，已知抛物线 yax2bx3(a0)经过点 A(1，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于点 C (1)求此抛物线的解析式； (2)若点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点(不点 B，C 重合)，过点 P 作 y 轴的平行线交直线
20、BC 于点 D， 设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长 连接 PB，PC，求PBC 的面积最大时点 P 的坐标 (3)设抛物线的对称轴与 BC 交于点 E，点 M 是抛物线的对称轴上一点，N 为 y 轴上一点，是否存在这样的 点 M 和点 N，使得以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点 M 的坐标；如果不 存在，请说明理由 【解答】(1)yx24x3；(2)P(，)；(3)点 M 的坐标为 M1(2，3)，M2(2，12)，M3(2，12) 【解析】(1)抛物线 yax2bx3(a0)经过点 A(1，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于
21、点 C， ，解得， 抛物线解析式为 yx24x3； (2)如图： 设 P(m，m24m3)， 将点 B(3，0)、C(0，3)代入得直线 BC 解析式为 yBCx3 过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 D， D(m，m3)， PD(m3)(m24m3)m23m 答：用含 m 的代数式表示线段 PD 的长为m23m SPBCSCPDSBPD OBPDm2 m (m)2 当 m时，S 有最大值 当 m时，m24m3 P(，)； (3)存在这样的点 M 和点 N，使得以点 C、E、M、N 为顶点的四边形是菱形 根据题意，点 E(2，1)， EFCF2， EC2， 根据菱形的四条边相等，
22、MEEC2， M(2，12)或(2，12) 当 EMEF2 时，M(2，3) 点 M 的坐标为 M1(2，3)，M2(2，12)，M3(2，12) 10如图，在 RtOAB 中，A90，ABO30，OB，边 AB 的垂直平分线 CD 分别与 AB、 x 轴、y 轴交于点 C、G、D (1)求点 G 的坐标； (2)求直线 CD 的解析式； (3)在直线 CD 上和平面内是否分别存在点 Q、P，使得以 O、D、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求 出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】(1)G(，0)；(2)yx4；(3)Q(2，4)，(2，4)，(，2)，(， 2) 【解析】(1
23、)DC 是 AB 垂直平分线，OA 垂直 AB， G 点为 OB 的中点， OB， G(，0)； (2)过点 C 作 CHx 轴于点 H， 在 RtABO 中，ABO30，OB， cos30， 即 AB4， 又CD 垂直平分 AB， BC2，在 RtCBH 中，CHBC1，BH， OH， C(，1)， DGO60， OGOB， ODtan604， D(0，4)， 设直线 CD 的解析式为：ykxb， 则， 解得： yx4； (3)存在点 Q、P，使得以 O、D、P、Q 为顶点的四边形是菱形 如图，当 ODDQQPOP4 时，四边形 DOPQ 为菱形， 设 QP 交 x 轴于点 E，在 RtOE
24、P 中，OP4，OPE30， OE2，PE， Q(2，4) 如图，当 ODDQQPOP4 时，四边形 DOPQ 为菱形， 延长 QP 交 x 轴于点 F，在 RtPOF 中，OP4，FPO30， OF2，PF， QF4 ， Q(2，4 ) 如图，当 PDDQQOOP时，四边形 DOPQ 为菱形，在 RtDQM 中，MDQ30， MQDQ， Q(，2) 如图，当 ODOQQPDP4 时，四边形 DOQP 为菱形， 设 PQ 交 x 轴于点 N，此时NOQODQ30， 在 RtONQ 中，NQOQ2， ON， Q(，2)； 综上所述，满足条件的点 Q 共有四点：(2，4)，(2，4)，(，2)，(，2)
