1、2021 年北京市西城区三校联考中考数学段考试卷（年北京市西城区三校联考中考数学段考试卷（4 月份）月份） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客 77800 人次，将 77800 用科学记数法表示为（ ） A0.778105 B7.78104 C77.8103 D778102 2下列各数中，负数是（ ） A（2） B （2）0 C （2）2 D|2| 3下列计算正确的是（ ） Ax2+x3x5 Bx2x3x6 Cx3x2x D （2x2）36x6 4将一副三角板（A30，E45）按如图所示方式摆放，使得 B
2、AEF，则AOF 等于（ ） A75 B90 C105 D115 5如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，且 BC 平分ABD，AD 分别与 BC，OC 相交于点 E， F，则下列结论不一定成立的是（ ） AOCBD BADOC CCEFBED DAFFD 6计算+的结果为（ ） A1 B1 C D 7如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块 完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数 y（单位：N）与铁块被提起的高度 x（单位： cm）之间的函数关系的大致图象是（ ） A B C D 8如图，在正方形 ABCD 中，点 O
3、 是对角线 AC、BD 的交点，过点 O 作射线 OM、ON 分别交 BC、CD 于 点 E、 F， 且EOF90， OC、 EF 交于点 G 给出下列结论： COEDOF； OGEFGC； 四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的；DF2+BE2OGOC其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9如果二次根式有意义，那么实数 a 的取值范围是 10因式分解：x（x3）x+3 11如图，在ABC 中，DEBC，且 BD2AD，若 DE2，则 BC 边的长为 12 小华和小明周末到北
4、京三山五园绿道骑行， 他们按设计好的同一条线路同时出发， 小华每小时骑行 18km， 小明每小时骑行 12km，完成全部骑行时间小明比小华多半小时，设他们这次骑行路线长为 xkm，依题意 可列方程 13如图，一架长为 10 米的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时测得ABO70，如果梯子的底端 B 外移到 D， 则梯子顶端 A 下移到 C， 这时又测得CDO50， 那么 AC 的长度约为 米 （sin70 0.94，sin500.77，cos700.34，cos500.64） 14如图，O 为 RtABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA
5、 于点 E， 已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 15如图，抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于 A（1，p） ，B（3，q）两点，则不等式 ax2+mx+cn 的 解集是 16如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB， 则 PB 的最小值是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-20 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 21 题题 6 分，第分，第 22 题题 5 分，第分，第 23-24 题每小题题每小题 5 分，第分，第 25 题题 5 分，第分，第 26 题题 6
6、 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 （5 分）计算： （） 1（2020）0+| 2|3tan30 18 （5 分）解不等式组：； 19 （5 分）下面是小安设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程 已知：如围 1，直线 l 及直线 l 上一点 P， 求作：直线 PQ，使得 PQl 作法：如图 2 以点 P 为圆心，任意长为半径作弧，交直线 l 于点 A，B； 分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的同样长为半径作弧，两弧在直线 l 上方交于点 Q； 作直线 PQ 所以直
7、线 PQ 就是所求作的直线 根据小安设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：连接 QA，QB QA（ ） ，PA（ ） ， PQl（ ） （填推理的依据） 20 （5 分）关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个符合条件的 m 的值，并求出此时方程的根 21 （6 分）如图，在ABCD 中，AC，BD 交于点 O，且 AOBO （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）ADB 的角平分线 DE 交 AB 于点 E，当 AD3，tanCAB时，求 AE 的长 22 （5 分）如图，在
8、平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+3 与函数 y（x0）的图象交于点 A（1，m） ， 与 x 轴交于点 B （1）求 m，k 的值； （2）过动点 P（0，n） （n0）作平行于 x 轴的直线，交函数 y（x0）的图象于点 C，交直线 y x+3 于点 D 当 n2 时，求线段 CD 的长； 若 CDOB，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 23 （6 分）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字 2，4，6；另有一个 不透明的瓶子，装有分别标有数字 1，3，5 的三个完全相同的小球小杰先转动一次转盘，停止后记下 指针指向的数字 （若指针指在分界线上则重转
9、） ， 小玉再从瓶子中随机取出一个小球， 记下小球上的数字 （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是 3 的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是 7 的倍数，则小玉赢，此游戏 公平吗？为什么？ 24 （6 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务 团队选拔活动，经过初选，两所学校各有 400 名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学 生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩 （百分制） ，并对数据（成绩）进行整理、描述和
10、分析，下面给出了部分信息 a甲学校学生成绩的频数分布直方图如图： （数据分成 6 组：40 x50，50 x60，60 x70，70 x80，80 x90，90 x100） b甲学校学生成绩在 80 x90 这一组是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校学生 A，乙学校学生 B 的综合素质展示成绩同为 83 分，这两人在本校学生中综合素质展示
11、排名更靠前的是 （填“A”或“B” ） ； （2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角 度说明推断的合理性） （3）若每所学校综合素质展示的前 120 名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选 25 （5 分）如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5在同一平面内，ABC 内部一点 O 到 AB，AC， BC 的距离都等于 a（a 为常数） ，到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G （1）直接写出 a 的值； （2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 M，过点 M 作 MNBC 于点 N 求证：BMABMN； 求直线
12、 MN 与图形 G 的公共点个数 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：yx2+2bx+c 与直线 l：y9x+14 交于点 A，且点 A 的 横坐标为2 （1）请用含 b 的代数式表示 c （2）点 B 在直线 l 上，点 B 的横坐标为1，点 C 的坐标为（b，5） ， 若抛物线 M 还过点 B，求该抛物线的解析式； 若抛物线 M 与线段 BC 恰有一个交点，直接写出 b 的取值范围 27 （7 分）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，作 AB 边的垂直平分线交 AC 边于点 D，延长 AC，作 点 D 关于直线 BC 的对称点 E，点 F 为 AB 边上一点，连
13、接 FE，满足 FEFA，连接 FD （1）依题意补全图形； （2）求证：FBFD； （3）设A，求线段 EB、EF、ED 之间的数量关系（用含 的代数式表示） 28 （7 分）对于平面内的点 M 和点 N，给出如下定义：点 P 为平面内的一点，若点 P 使得PMN 是以 M 为顶角且M 小于 90的等腰三角形，则称点 P 是点 M 关于点 N 的锐角等腰点如图，点 P 是点 M 关于点 N 的锐角等腰点 在平面直角坐标系 xOy 中，点 O 是坐标原点 （1）已知点 A（2，0） ，在点 P1（0，2） ，P2（1，） ，P3（1，） ，P4（，）中，是点 O 关于点 A 的锐角等腰点的是
14、； （2）已知点 B（3，0） ，点 C 在直线 y2x+b 上，若点 C 是点 O 关于点 B 的锐角等腰点，求实数 b 的取 值范围； （3）点 D 是 x 轴上的动点，D（t，0） ，E（t2，0） ，点 F（m，n）是以 D 为圆心，2 为半径的圆上一 个动点，且满足 n0直线 y2x+4 与 x 轴和 y 轴分别交于点 H，K，若线段 HK 上存在点 E 关于点 F 的锐角等腰点，请直接写出 t 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客 77800 人
15、次，将 77800 用科学记数法表示为（ ） A0.778105 B7.78104 C77.8103 D778102 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：778007.78104， 故选：B 2下列各数中，负数是（ ） A（2） B （2）0 C （2）2 D|2| 【分析】直接利用相反数，有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：A、原式2，2 是正数
16、，故此选项不合题意； B、原式1，1 是正数，故此选项不合题意； C、原式4，4 是正数，故此选项不符合题意； D、原式2，2 是负数，故此选项合题意； 故选：D 3下列计算正确的是（ ） Ax2+x3x5 Bx2x3x6 Cx3x2x D （2x2）36x6 【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和积的乘方运算法则等知识分别化简得 出即可 【解答】解：A、x2+x3不能合并，错误； B、x2x3x5，错误； C、x3x2x，正确； D、 （2x2）38x6，错误； 故选：C 4将一副三角板（A30，E45）按如图所示方式摆放，使得 BAEF，则AOF 等于（ ） A75 B
17、90 C105 D115 【分析】依据 ABEF，即可得FCAA30，由FE45，利用三角形外角性质，即可得 到AOFFCA+F30+4575 【解答】解：BAEF，A30， FCAA30 FE45， AOFFCA+F30+4575 故选：A 5如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，且 BC 平分ABD，AD 分别与 BC，OC 相交于点 E， F，则下列结论不一定成立的是（ ） AOCBD BADOC CCEFBED DAFFD 【分析】 由圆周角定理和角平分线得出ADB90， OBCDBC， 由等腰三角形的性质得出OCB OBC，得出DBCOCB，证出 OCBD，选项 A 成立
18、； 由平行线的性质得出 ADOC，选项 B 成立； 由垂径定理得出 AFFD，选项 D 成立； CEF 和BED 中，没有相等的边，CEF 与BED 不全等，选项 C 不成立，即可得出答案 【解答】解：AB 是O 的直径，BC 平分ABD， ADB90，OBCDBC， ADBD， OBOC， OCBOBC， DBCOCB， OCBD，选项 A 成立； ADOC，选项 B 成立； AFFD，选项 D 成立； CEF 和BED 中，没有相等的边， CEF 与BED 不全等，选项 C 不成立； 故选：C 6计算+的结果为（ ） A1 B1 C D 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可
19、求出值 【解答】解：原式 1 故选：A 7如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块 完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数 y（单位：N）与铁块被提起的高度 x（单位： cm）之间的函数关系的大致图象是（ ） A B C D 【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题 【解答】解：由题意可知， 铁块露出水面以前，F拉+F浮G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变， 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加， 当铁块完全露出水面后，拉力等于重力， 故选：D 8如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交
20、点，过点 O 作射线 OM、ON 分别交 BC、CD 于 点 E、 F， 且EOF90， OC、 EF 交于点 G 给出下列结论： COEDOF； OGEFGC； 四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的；DF2+BE2OGOC其中正确的是（ ） A B C D 【分析】由正方形证明 OCOD，ODFOCE45，COMDOF，便可得结论； 由全等三角形得 OEOF， 得OEGFCG45， 再利用对顶角相等， 证得OGEFGC 便可； 先证明 SCOESDOF，便可； 证明OEGOCE，得 OGOCOE2，再证明 OGACEF2，再证明 BE2+DF2EF2，得 OGAC BE2+DF
21、2便可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， OCOD，ACBD，ODFOCE45， MON90， COMDOF， COEDOF（ASA） ， 故正确； COEDOF， OEOF， MON90， OEG45FCG， OGEFGC， OGEFGC， 故正确； COEDOF， SCOESDOF， ， 故正确； COEDOF， OEOF， 又EOF90， EOF 是等腰直角三角形， OEG45OCE， EOGCOE， OEGOCE， OE：OCOG：OE， OGOCOE2， OCAC，OEEF， OGACEF2， CEDF，BCCD， BECF， 又RtCEF 中，CF2+CE2EF2， BE2
22、+DF2EF2， OGACBE2+DF2， 故错误， 故选：B 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 9如果二次根式有意义，那么实数 a 的取值范围是 a1 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得 【解答】解：根据题意知 a10， 解得 a1， 故答案为：a1 10因式分解：x（x3）x+3 （x1） （x3） 【分析】原式变形后，提取公因式即可 【解答】解：原式x（x3）（x3）（x1） （x3） ， 故答案为： （x1） （x3） 11如图，在ABC 中，DEBC，且 BD2AD，若 DE2，则 BC 边的长
23、为 6 【分析】由 DEBC 可知 AD：ABDE：BC，根据 BD2AD，DE2，可求出 BC 的长 【解答】解：如图， DEBC， ， BD2AD， ， ， ， DE2， BC6 故答案为：6 12 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行， 他们按设计好的同一条线路同时出发， 小华每小时骑行 18km， 小明每小时骑行 12km，完成全部骑行时间小明比小华多半小时，设他们这次骑行路线长为 xkm，依题意 可列方程 + 【分析】根据“完成全部骑行时间小明比小华多半小时”列出方程即可 【解答】解：设他们这次骑行线路长为 xkm，依题意，可列方程为+， 故答案为：+ 13如图，一架长为 10 米的
24、梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时测得ABO70，如果梯子的底端 B 外移到 D， 则梯子顶端 A 下移到 C， 这时又测得CDO50， 那么 AC 的长度约为 1.70 米（sin70 0.94，sin500.77，cos700.34，cos500.64） 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 AO，CO 的长，进而得出答案 【解答】解：由题意可得： ABO70，AB10m， sin70， 解得：AO9.4（m） ， CDO50，DC10m， sin500.77， 解得：CO7.7（m） ， 则 AC9.47.71.70（m） ， 答：AC 的长度约为 1.70 米 故答案为：1.
25、70 14如图，O 为 RtABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E， 已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的长，再证明 BDBC，进而由 ADABBD 可求出 AD 的长度； 利用特殊角的锐角三角函数可求出A 的度数，则圆心角DOA 的度数可求出，在直角三角形 ODA 中 求出 OD 的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积 【解答】解：在 RtABC 中，BC，AC3 AB2， BCOC， BC 是圆的切线， O 与斜边 AB 相切于点 D， BDBC， ADABBD2； 在 Rt
26、ABC 中，sinA， A30， O 与斜边 AB 相切于点 D， ODAB， AOD90A60， tanAtan30， ， OD1， S阴影 故答案是： 15如图，抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于 A（1，p） ，B（3，q）两点，则不等式 ax2+mx+cn 的 解集是 x3 或 x1 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论 【解答】解：抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于 A（1，p） ，B（3，q）两点， 抛物线 yax2+c 与直线 ymx+n 交于（1，p） ， （3，q）两点， 观察函数图象可知：当 x3 或 x1 时，直线 ymx+n 在抛物
27、线 yax2+c 的下方， 不等式 ax2+cmx+n 的解集为 x3 或 x1， 即不等式 ax2+mx+cn 的解集是 x3 或 x1 故答案为：x3 或 x1 16如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB， 则 PB 的最小值是 2 【分析】根据中位线定理可得出点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，再根据垂线段最短可得当 BPP1P2时， PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1P1P2，故 BP 的最小值为 BP1的长，由勾股 定理求解即可 【解答】解：如图： 当点 F 与点 C 重合时，点
28、P 在 P1处，CP1DP1， 当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2处，EP2DP2， P1P2CE 且 P1P2CE 当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DPFP 由中位线定理可知：P1PCE 且 P1PCF 点 P 的运动轨迹是线段 P1P2， 当 BPP1P2时，PB 取得最小值 矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点， CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12 ADECDECP1B45，DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90，即 BP1P1P2， BP 的最小值为 BP1的长 在等腰直角 BCP1中，CP1BC2，
29、 BP12 PB 的最小值是 2 故答案是：2 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-20 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 21 题题 6 分，第分，第 22 题题 5 分，第分，第 23-24 题每小题题每小题 5 分，第分，第 25 题题 5 分，第分，第 26 题题 6 分，第分，第 27-28 题，每小题题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17 （5 分）计算： （） 1（2020）0+| 2|3tan30 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三
30、角函数值分别 化简得出答案 【解答】解：呀 un 是31+23 31+2 42 18 （5 分）解不等式组：； 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 【解答】解：， 由得：x4， 由得：x1， 则不等式组的解集为 1x4 19 （5 分）下面是小安设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程 已知：如围 1，直线 l 及直线 l 上一点 P， 求作：直线 PQ，使得 PQl 作法：如图 2 以点 P 为圆心，任意长为半径作弧，交直线 l 于点 A，B； 分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的同样长为半径作弧，两弧在直线 l 上方交于点 Q； 作直线 PQ
31、 所以直线 PQ 就是所求作的直线 根据小安设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：连接 QA，QB QA（ QB ） ，PA（ PB ） ， PQl（ 三线合一 ） （填推理的依据） 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 （2）利用等腰三角形的性质解决问题即可 【解答】解： （1）如图 2 中，直线 PQ 即为所求作 （2）理由：连接 QA，QB QAQB，PAPB， PQl（三线合一） 故答案为：QB，PB，三线合一 20 （5 分）关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个符合条件
32、的 m 的值，并求出此时方程的根 【分析】 （1）先根据方程有两个不相等的实数根得出（m+1）241m20，解之可得答案； （2）取 m0，代入后利用因式分解法求解可得（答案不唯一） 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根， （m+1）241m20， 解得 m； （2）取 m0，此时方程为 x2+x0， 则 x（x+1）0， x0 或 x+10， 解得 x0 或 x1（答案不唯一） 21 （6 分）如图，在ABCD 中，AC，BD 交于点 O，且 AOBO （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）ADB 的角平分线 DE 交 AB 于点 E，当 AD3，tanC
33、AB时，求 AE 的长 【分析】 （1）由平行四边形性质和已知条件得出 ACBD，即可得出结论； （2）过点 E 作 EGBD 于点 G，由角平分线的性质得出 EGEA由三角函数定义得出 AB4，sin CABsinABD ， 设 AEEGx， 则 BE4x， 在 RtBEG 中， 由三角函数定义得出， 即可得出答案 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AC2AO，BD2BO AOBO， ACBD ABCD 为矩形 （2）解：过点 E 作 EGBD 于点 G，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， DAB90， EAAD， DE 为ADB 的角平分线， EGEA AOBO，
34、 CABABD AD3，tanCAB， tanCABtanABD AB4 BD5，sinCABsinABD 设 AEEGx，则 BE4x， 在BEG 中，BGE90， sinABD 解得：x， AE 22 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+3 与函数 y（x0）的图象交于点 A（1，m） ， 与 x 轴交于点 B （1）求 m，k 的值； （2）过动点 P（0，n） （n0）作平行于 x 轴的直线，交函数 y（x0）的图象于点 C，交直线 y x+3 于点 D 当 n2 时，求线段 CD 的长； 若 CDOB，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 【分析】 （1）
35、先利用一次函数解析式确定 m 的值得到 A 点坐标， 然后把 A 点坐标代入 y得到 k 的值； （2） 利用 C、 D 的纵坐标都为 2 得到 C 点和 D 点的横坐标， 然后求两横坐标之差得到线段 CD 的长； 先确定（3，0） ，由于 C、D 的纵坐标都为 n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表 示出 C（，n） ，D（n3，n） ，讨论：当点 C 在点 D 的右侧时，先利用 CDOB 得到（n3）3， 解得 n12，n22（舍去） ，再结合图象可判断当 0n2 时，CDOB；当点 C 在点 D 的左侧时， 先利用 CDOB 得到 n33，解得 n13+，n23（舍去） ，再
36、结合图象可判断当 n 3+时，CDOB 【解答】解： （1）直线 yx+3 经过点 A（1，m） ， m1+34， 反比例函数的图象经过点 A（1，4） ， k144； （2）当 n2 时，点 P 的坐标为（0，2） ， 当 y2 时，2，解得 x2， 点 C 的坐标为（2，2） ， 当 y2 时，x+32，解得 x1， 点 D 的坐标为（1，2） ， CD2（1）3； 当 y0 时，x+30，解得 x3，则 B（3，0） 当 yn 时，n，解得 x， 点 C 的坐标为（，n） ， 当 yn 时，x+3n，解得 xn3， 点 D 的坐标为（n3，n） ， 当点 C 在点 D 的右侧时， 若 C
37、DOB，即（n3）3，解得 n12，n22（舍去） ， 当 0n2 时，CDOB； 当点 C 在点 D 的左侧时， 若 CDOB，即 n33，解得 n13+，n23（舍去） ， 当 n3+时，CDOB， 综上所述，n 的取值范围为 0n2 或 n3+ 23 （6 分）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字 2，4，6；另有一个 不透明的瓶子，装有分别标有数字 1，3，5 的三个完全相同的小球小杰先转动一次转盘，停止后记下 指针指向的数字 （若指针指在分界线上则重转） ， 小玉再从瓶子中随机取出一个小球， 记下小球上的数字 （1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表
38、示出所有可能出现的结果； （2）若得到的两数字之和是 3 的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是 7 的倍数，则小玉赢，此游戏 公平吗？为什么？ 【分析】 （1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况， （2）列出两次得数之和的所有可能的结果，得出“和为 3 的倍数” “和为 7 的倍数”的概率即可 【解答】解： （1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 9 种不同结果，即（2，1） （2.3） （2，5） （4，1） （4，3） （4，5） （6，1） （6，3） （6，5） ； （2）列出两次得数之和的所有可能的结果如下： 共有 9 种可能出现的结果，其中“和为 3 的倍数”的有
39、 3 种， “和为 7 的倍数”的有 3 种， P（小杰胜），P（小玉胜）， 因此游戏是公平的 24 （6 分）为迎接 2022 年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务 团队选拔活动，经过初选，两所学校各有 400 名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学 生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了 50 名学生的综合素质展示成绩 （百分制） ，并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息 a甲学校学生成绩的频数分布直方图如图： （数据分成 6 组：40 x50，50 x60，60 x70，70 x80，80 x90，
40、90 x100） b甲学校学生成绩在 80 x90 这一组是： 80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89 c乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85 分及以上为优秀）如下： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校学生 A，乙学校学生 B 的综合素质展示成绩同为 83 分，这两人在本校学生中综合素质展示 排名更靠前的是 A （填“A”或“B” ） ； （2） 根据上述信息， 推断 乙学校综合素质展示的水平更高 学校综合素质展示的水平更高， 理由为 与 甲校相
41、比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更 高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） （3）若每所学校综合素质展示的前 120 名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 88.5 分的学生才可以入选 【分析】 （1）求得甲校的中位数即可得到结论； （2）根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论； （3） 求得每所学校被取了 50 名学生的综合素质展示的前 15 名学生将被选入志愿服务团队， 于是得到结 论 【解答】解： （1）甲学校学生成绩的中位数为81.25， 乙学校学生成绩的中位数为 84， 故这两
42、人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 A， 故答案为：A； （2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高， 说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分 的人数更多； 故答案为：乙学校，与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校 相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多 （3）5015， 故甲学校分数至少达到 88.5 分的学生才可以入选， 故答案为：88.5 25 （5 分）如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5在同一平面内，ABC 内部一点 O
43、 到 AB，AC， BC 的距离都等于 a（a 为常数） ，到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G （1）直接写出 a 的值； （2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 M，过点 M 作 MNBC 于点 N 求证：BMABMN； 求直线 MN 与图形 G 的公共点个数 【分析】 （1）根据题意可得三角形 ABC 是直角三角形，再根据切线长定理即可求出 a 的值； （2）根据题意可得点 O 是三角形 ABC 的内心，再根据三角形内角和即可得结论； 作 OEMN 于点 E，根据角平分线的性质可得 ODOE，所以得 OE 为圆 O 的半径，进而可得 MN 为 圆 O 的切线，即可得出结论 【
44、解答】解： （1）如图， AB3，AC4，BC5， 33+4252， A90， ABC 是直角三角形， 由题意可知： 图形 G 是以 O 为圆心，a 为半径的圆，AB，AC，BC 与圆 O 相切， 设切点分别为 F，D，Q，连接 OF，OD，OQ， OFAB，ODAC，OQBC， 四边形 AFOD 为正方形， AFADOFODa， 根据切线长定理可知： BFBQ3a，CDCQ4a， 3a+4a5， 解得 a1； （2）由题意可知： 点 O 是ABC 的内心， ABMCBM， MAAB，MBBC， ABNM90， BMABMN； 如图，作 OEMN 于点 E， BMABMN， ODAC， ODO
45、E， OE 为圆 O 的半径， MN 为圆 O 的切线， 直线 MN 与图形 G 的公共点个数为 1 26 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M：yx2+2bx+c 与直线 l：y9x+14 交于点 A，且点 A 的 横坐标为2 （1）请用含 b 的代数式表示 c （2）点 B 在直线 l 上，点 B 的横坐标为1，点 C 的坐标为（b，5） ， 若抛物线 M 还过点 B，求该抛物线的解析式； 若抛物线 M 与线段 BC 恰有一个交点，直接写出 b 的取值范围 【分析】 （1）先由一次函数解析式求得 A 点的坐标，再把求得的 A 点坐标代入二次函数解析式，便可得 结果； （2）先
46、由一次函数解析式求得 B 点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； 分三种情况： b1， b1， b1 结合抛物线 M 与线段 BC 恰有一个交点， 列出 b 的不等式组， 便可求得 b 的取值范围 【解答】解： （1）把 x2 代入直线 l 的解析式得 y29+144， A（2，4） 把 A（2，4）代入抛物线的解析式得44b+c4， 解得 c4b； （2）把 x1 代入直线 l 的解析式得 y9+145， B（1，5） ， 把 B（1，5）代入抛物线的解析式得12b+4b5， 解得 b3， c12， 抛物线解析式为 yx2+6x+12； 抛物线的解析式是 yx2+2bx+c， 抛物线的对
47、称轴为：xb， 当 b1 时，如图 1 所示， 抛物线 M 与线段 BC 恰有一个交点， ， ， b1， 1b3； 当 b1 时，B 与 C 重合，抛物线为 yx22x4， 其顶点坐标为（1，3） ， 此时抛物线 yx2+2bx+c 与 BC 没有交点，不合题意，舍去； 当 b1 时，如图 2 所示， 抛物线 M 与线段 BC 恰有一个交点， ， ， b1， b5； 综上，1b3 或 b5 27 （7 分）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，作 AB 边的垂直平分线交 AC 边于点 D，延长 AC，作 点 D 关于直线 BC 的对称点 E，点 F 为 AB 边上一点，连接 FE，满足 FEFA，连接 FD （1）依题意补全图形； （2）求证：FBFD； （3）设A，求线段 EB、EF、ED 之间的数量关系（用含 的代数式表示） 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 （2）连接 BD，BE，证明DAFBEF（SAS） ，可得结论 （3）结论：BE+ED2EFcos解直角三角形可得结论 【解答】 （1）解：如图，图形如图所示 （2）证明：连接 BD，BE 点 D 在 AB 的垂直平分线上， DADB， ADBA， CDCE，BCDE， BDBE， BDEB
