1、2021 年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷（年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷（3 月份）月份） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、 错选，均不得分）错选，均不得分） 12021 的相反数是（ ） A2021 B C D2021 2宁波籍诺贝尔科学奖获得者屠呦呦，发现的青蒿素曾挽救了撒哈拉以南非洲地区约 150 万疟疾患者的生 命，其中 150 万用科学记数法表示为（ ） A150104 B1.50104 C0.15107
2、 D1.5106 3下列运算正确的是（ ） Aa3+a3a6 Ba2a2a4 C （2a）42a4 Da6a3a2 4如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 5某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学校对九年级一班的 45 名学生进行测试，成绩如下表： 跳远成绩（cm） 160 170 180 190 200 220 人数 3 9 6 9 15 3 这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是（ ） A190，200 B9，9 C15，9 D185，200 6一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红 球
3、的概率为（ ） A B C D 7能说明命题“当 a 为实数时，则 a2a”是假命题的反例是（ ） Aa2 Ba1 Ca0.5 Da0.5 8圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ） A60 B90 C120 D180 9已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0，c1）经过点（2，0） ，其对称轴是直线 x有下 列结论： abc0； 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根； a 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 10百变魔尺，魅力无穷，如图是用 24 段魔尺（24 个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看作 1） 围
4、成的长为 4、宽为 3 的长方形用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分式有意义的条件是 12 （5 分）分解因式：2a218 13 （5 分）若单项式x3ya b 与xa+by 是同类项，则 ab 的值为 14 （5 分）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第个图案有 个黑色棋 子 15 （5 分）如图，以四边形 ABCD 的边 AD 为直径作O，恰与边 AB，CD 分别相切于点 A，点 D，连接 BD 交O 于点 P，连接 CP，若ABC90，BP4，r，则 C
5、P 16 （5 分）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一个 RtABC，满足C90，AC3，BC4， ACy 轴， 当点 A， 点 B 及ABC 的内心 P 在同一个反比例函数 y的图象上时， 则 k 的值为 三、解答题（第三、解答题（第 17-19 题各题各 8 分，第分，第 20-22 题各题各 10 分，第分，第 23 题题 12 分，第分，第 24 题题 14 分，共分，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （2）0+（） 1； （2）计算： （a+1）2（a+1） （a1） 18 （8 分）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策某社区志愿者随机抽取该
6、社区 部分居民，按四个类别：A 表示“非常支持” ，B 表示“支持” ，C 表示“不关心” ，D 表示“不支持” ， 调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图根据图中提供的信息，解决下 列问题： （1）这次共抽取了 名居民进行调查统计，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小 是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该社区共有 2000 名居民，估计该社区表示“支持”的 B 类居民大约有多少人？ 19 （8 分）图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，ABC 为格点三角形请仅用无刻度 直尺在网格中完成下列画图 （1）在图 1 中，画出ABC 中
7、 AB 边上的中线 CM； （ 2 ） 在 图2中 ， 画 出 APC ， 使 APC ABC ， 且 点P是 格 点 （ 画 出 一 个 即 可） 20 （10 分）某海域有 A，B 两个港口，B 港口在 A 港口北偏西 30方向上，距 A 港口 60 海里，有一艘船 从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 港口南偏东 75方向的 C 处，求该船与 B 港 口之间的距离即 CB 的长（结果保留根号） 21 （10 分）宁波市政府为了进一步促进城乡环境改善、布局合理、功能提升，制定了“三改一拆”三年专 项行动，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷部分违章建筑的拆除，若两个工
8、程队合做，则恰好 用 12 天完成任务；若甲、乙合做 9 天后，由甲再单独做 5 天也恰好完成，如果每天需要支付甲、乙两公 司的工程费用分别为 1.2 万元，0.7 万元 试问： （1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？ （2）要使整个工程费用不超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？ 22 （10 分）如图 1 是一架菱形风筝，它的骨架由如图 2 的 4 条竹棒 AC，BD，EF，GH 组成，其中 E，F， G，H 分别是菱形 ABCD 四边的中点，现有一根长为 80cm 的竹棒，正好锯成风筝的四条件架，是 BD xcm，菱形 ABCD 的面积为 ycm2 （1）写出 y 关于
9、 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）如图 3，在所给的直角坐标系中画出（1）中的函数图象； （3）为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架 AC 长度必须大于骨架 BD 长度且小于 BD 长度的两倍， 现已知菱形 ABCD 的面积为 375cm2，则骨架 BD 和 AC 的长为多少？ 23 （12 分）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形 （1）如图 1，已知等腰直角ABC，ACB90，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形 （2）如图 2，已知ABC 为直角三角形，ACB90，以 AB，AC，BC 为边向外作正方形 ABDE，正 方形 ACFG 和正方形 BC
10、MN，连接 EG 求证：ABC 与AEG 为偏等积三角形 若 AC3，BC4，则图中以点 A、B、C、D、E、F、G、M、N 为顶点构成的三角形与ABC 是偏 等积三角形的个数是 （3）在ABC 中，A30，AC8，点 D 在线段 AC 上，连接 BD，ABD 和BCD 是偏等积三角 形，将ABD 沿 BD 所在的直线翻折，得到ABD，若ABD 与BCD 重合部分的面积等于BCD 面积的一半，求ABC 的面积 24 （14 分）如图 1，把AOB 放置在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（6，6） ，点 B 的坐标为（8，0） ， AH 是 OB 边上的高线， P 是线段
11、OB 上一动点（点 P 与点 O， H B 均不重合） ， 过 A， P，H 三点的外接圆分别交 AO，AB 于点 C，D （1）求 OA 的长及 tanBAH 的值； （2）如图 2，连接 CD，当 CDOB 时， 求 CD 的长；求点 P 的坐标； （3）当点 P 在线段 OB 上运动时，AD 的值是否发生变化？若不变，请求出该定值；若变化，请 说明理由 2021 年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷（年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四
12、个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不选、多选、 错选，均不得分）错选，均不得分） 12021 的相反数是（ ） A2021 B C D2021 【分析】利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：D 2宁波籍诺贝尔科学奖获得者屠呦呦，发现的青蒿素曾挽救了撒哈拉以南非洲地区约 150 万疟疾患者的生 命，其中 150 万用科学记数法表示为（ ） A150104 B1.50104 C0.15107 D1.5106 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，
13、且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：150 万15000001.5106 故选：D 3下列运算正确的是（ ） Aa3+a3a6 Ba2a2a4 C （2a）42a4 Da6a3a2 【分析】根据合并同类项，只把系数相加，字母部分不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的除法法则： 底数不变，指数相减；积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把幂相乘进行分析即可 【解答】解：A、a3+a32a3，故原题计算错误； B、a2a2a4，故原题计算正确； C、 （2a）416a4，故原题计算错误；
14、 D、a6a3a3，故原题计算错误； 故选：B 4如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从几何体的左面看，是一行两个矩形 故选：A 5某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学校对九年级一班的 45 名学生进行测试，成绩如下表： 跳远成绩（cm） 160 170 180 190 200 220 人数 3 9 6 9 15 3 这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是（ ） A190，200 B9，9 C15，9 D185，200 【分析】根据中位数和众数的定义
15、，第 23 个数就是中位数，出现次数最多的数为众数 【解答】解：在这一组数据中 200 是出现次数最多的， 故众数是 200cm； 在这 45 个数中，处于中间位置的第 23 个数是 190，所以中位数是 190 所以这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是 190，200 故选：A 6一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红 球的概率为（ ） A B C D 【分析】根据概率公式计算 【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率 故选：D 7能说明命题“当 a 为实数时，则 a2a”是假命题的反例是（ ） Aa2 Ba1 Ca0.5 Da0
16、.5 【分析】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则解答即可 【解答】解：当 a0.5 时，a20.25，则 a2a， 命题“当 a 为实数时，则 a2a”是假命题， 故选：D 8圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ） A60 B90 C120 D180 【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到 这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 R， 它的轴截面是正三角形， R2r， 2r， 解得 n180， 故选：D 9已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0，c1）经
17、过点（2，0） ，其对称轴是直线 x有下 列结论： abc0； 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根； a 其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴，判断 a，b 与 0 的关系，得到 abc0，即可 判断； 根据题意得到抛物线开口向下，顶点在 x 轴上方，即可判断； 根据抛物线 yax2+bx+c 经过点（2，0）以及 ba，得到 4a2a+c0，即可判断 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x， 点（2，0）关于直线 x的对称点的坐标为（1，0） ， c1， 抛物线开口向下， a0， 抛物线对称轴为直线 x， ab0
18、， abc0，故错误； 抛物线开口向下，与 x 轴有两个交点， 顶点在 x 轴的上方， a0， 抛物线与直线 ya 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根；故正确； 抛物线 yax2+bx+c 经过点（2，0） ， 4a+2b+c0， ba， 4a2a+c0，即 2a+c0， 2ac， c1， 2a1， a，故正确， 故选：C 10百变魔尺，魅力无穷，如图是用 24 段魔尺（24 个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看作 1） 围成的长为 4、宽为 3 的长方形用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据 14（1+6）2（
19、2+5）2（3+4）2，可知能围出不全等的长方形有 3 个， 【解答】解：长为 4、宽为 3 的长方形， 周长为 2（3+4）14 14（1+6）2（2+5）2（3+4）2， 能围出不全等的长方形有 3 个， 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）分式有意义的条件是 x1 【分析】根据分式的分母不为 0 列出不等式，解不等式得到答案 【解答】解：要使分式有意义，必须 x+10， 解得，x1， 故答案是：x1 12 （5 分）分解因式：2a218 2（a+3） （a3） 【分析】首先提取公因式 2，再利用平方差公式分解因式得出答案 【解
20、答】解：2a2182（a29） 2（a+3） （a3） 故答案为：2（a+3） （a3） 13 （5 分）若单项式x3ya b 与xa+by 是同类项，则 ab 的值为 2 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组，求出 a，b 的值，再代 入代数式计算即可 【解答】解：单项式x3ya b 与xa+by 是同类项， ， 解得， 故可得 ab2 故答案为：2 14 （5 分）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第个图案有 21 个黑色棋 子 【分析】观察图形的变化可得前几个图形中黑色棋子的个数，进而可得第个图案黑色棋子的个数 【解答】解：观察图形的变化
21、可知： 第个图案黑色棋子个数为：2315（个） ， 第个图案黑色棋子个数为：248（个） ， 第个图案黑色棋子个数为：2519（个） ， 第个图案黑色棋子个数为：2612（个） ， 第个图案黑色棋子个数为：27113（个） ， ， 所以第个图案黑色棋子个数为：21020（个） ， 第个图案黑色棋子个数为：211121（个） ， 故答案为：21 15 （5 分）如图，以四边形 ABCD 的边 AD 为直径作O，恰与边 AB，CD 分别相切于点 A，点 D，连接 BD 交O 于点 P，连接 CP，若ABC90，BP4，r，则 CP 【分析】连接 AP，过点 P 作 EFAD 交 DC 于点 E，交
22、 AB 于点 F，证明ADPBDA，由相似三角 形的性质得出，设 PDx，则 BD4+x，得出x （x+4） ，解得 x1，求出 DP，AP 的 长，证明EDPPAD，得出比例线段，求出 DE 和 PE 的长，求出 CE 的长，由勾股定 理可得出答案 【解答】解：连接 AP，过点 P 作 EFAD 交 DC 于点 E，交 AB 于点 F， O 与边 AB，CD 分别相切于点 A，点 D， ADCDAB90， ABC90， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD， 四边形 DAFE 是矩形， EFDA， AD 为O 的直径， APD90， DAP+ADP90， ADP+ABD90， DA
23、PABD， ADPBDA， ADPBDA， ， r， AD， 设 PDx，则 BD4+x， x （x+4） ， 解得 x1（负值舍去） ， DP1， AP2， AB2， EDP+ADPADP+DAP90， EDPDAP， EDPPAD， ， ， DE，PE， CECDDE， CP 故答案为： 16 （5 分）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一个 RtABC，满足C90，AC3，BC4， ACy 轴， 当点 A， 点 B 及ABC 的内心 P 在同一个反比例函数 y的图象上时， 则 k 的值为 【分析】连接 PA、PB，作 PDAC 于 D，PEBC 于 E，PFAB 于 F，根据勾股定理
24、求得 AB5，根 据三角形内心的性质求得 PDCDCEPE1，设 B（m，n） ，则 A（m4，n+3） ，P（m3，n+1） ， 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 kmn（m3） （n+1）（m4） （n+3） ，解得即可 【解答】解：连接 PA、PB，作 PDAC 于 D，PEBC 于 E，PFAB 于 F， C90， 四边形 PDCE 是矩形， 点 P 是ABC 的内心， PDPEPF， 四边形 PDCE 是正方形， PDCDCEPE， 设 PDCDCEPEx， AC3，BC4， BFBE4x，AFAD3x， AB5， 4x+3x5，解得 x1， PDCDCEPE1， 设 B（m，n
25、） ，则 A（m4，n+3） ，P（m3，n+1） ， 点 A，点 B 及ABC 的内心 P 在同一个反比例函数 y的图象上， kmn（m3） （n+1）（m4） （n+3） ， 整理得，解得， kmn， 故答案为 三、解答题（第三、解答题（第 17-19 题各题各 8 分，第分，第 20-22 题各题各 10 分，第分，第 23 题题 12 分，第分，第 24 题题 14 分，共分，共 80 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （2）0+（） 1； （2）计算： （a+1）2（a+1） （a1） 【分析】 （1）根据零指数幂和负整数幂的运算法则计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差
26、公式计算即可得到答案 【解答】解： （1）原式121； （2）原式a2+2a+1a2+12a+2 18 （8 分）为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策某社区志愿者随机抽取该社区 部分居民，按四个类别：A 表示“非常支持” ，B 表示“支持” ，C 表示“不关心” ，D 表示“不支持” ， 调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图根据图中提供的信息，解决下 列问题： （1）这次共抽取了 60 名居民进行调查统计，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小是 18 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该社区共有 2000 名居民，估计该社区表示“支持”
27、的 B 类居民大约有多少人？ 【分析】 （1）由 C 类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用 360乘以样本中 D 类别人数占 被调查人数的比例即可得出答案； （2）根据 A、B、C、D 四个类别人数之和等于被调查的总人数求出 A 的人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中 B 类别人数所占比例可得答案 【解答】解： （1）这次抽取的居民数量为 915%60（名） ， 扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小是 36018， 故答案为：60，18； （2）A 类别人数为 60（36+9+3）12（名） ， 补全条形图如下： （3）估计该社区表示“支持”的 B 类居民大约有 2
28、0001200（名） 19 （8 分）图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，ABC 为格点三角形请仅用无刻度 直尺在网格中完成下列画图 （1）在图 1 中，画出ABC 中 AB 边上的中线 CM； （ 2 ） 在 图2中 ， 画 出 APC ， 使 APC ABC ， 且 点P是 格 点 （ 画 出 一 个 即 可） 【分析】 （1）根据三角形中线的定义即可得到结论； （2）根据圆周角定理即可得到结论 【解答】解： （1）如图所示，线段 CM 即为所求 （2）如图所示，点 P 即为所求 20 （10 分）某海域有 A，B 两个港口，B 港口在 A 港口北偏西 30方向上，
29、距 A 港口 60 海里，有一艘船 从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 港口南偏东 75方向的 C 处，求该船与 B 港 口之间的距离即 CB 的长（结果保留根号） 【分析】作 ADBC 于 D，根据题意求出ABD45，得到 ADBD30海里，求出C60， 根据正切的概念求出 CD 的长，得到答案 【解答】解：作 ADBC 于 D， EAB30，AEBF， FBA30，又FBC75， ABD45，又 AB60（海里） ， ADBD30（海里） ， BACBAE+CAE75，ABC45， C60， 在 RtACD 中，C60，AD30（海里） ， 则 tanC， CD10（
30、海里） ， BC（30+10）海里， 故该船与 B 港口之间的距离 CB 的长为（30+10）海里 21 （10 分）宁波市政府为了进一步促进城乡环境改善、布局合理、功能提升，制定了“三改一拆”三年专 项行动，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷部分违章建筑的拆除，若两个工程队合做，则恰好 用 12 天完成任务；若甲、乙合做 9 天后，由甲再单独做 5 天也恰好完成，如果每天需要支付甲、乙两公 司的工程费用分别为 1.2 万元，0.7 万元 试问： （1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？ （2）要使整个工程费用不超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？ 【分析】 （1）设单独
31、完成这项工程甲公司需要 x 天，则乙公司需要天，根据“若甲、乙合做 9 天 后，由甲再单独做 5 天恰好完成” ，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙公司施工 y 天，则甲公司施工天，根据整个工程费用不超过 22.5 万元，即可得出关于 y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设单独完成这项工程甲公司需要 x 天，则乙公司需要天， 依题意得：+1， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程的解，且符合题意， 30 答：单独完成这项工程甲公司需要 20 天，乙公司需要 30 天 （2）设乙公司施工 y 天，则甲公司施工天， 依题意
32、得：0.7y+1.222.5， 解得：y15 答：乙公司最少应施工 15 天 22 （10 分）如图 1 是一架菱形风筝，它的骨架由如图 2 的 4 条竹棒 AC，BD，EF，GH 组成，其中 E，F， G，H 分别是菱形 ABCD 四边的中点，现有一根长为 80cm 的竹棒，正好锯成风筝的四条件架，是 BD xcm，菱形 ABCD 的面积为 ycm2 （1）写出 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）如图 3，在所给的直角坐标系中画出（1）中的函数图象； （3）为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架 AC 长度必须大于骨架 BD 长度且小于 BD 长度的两倍， 现已知菱形
33、 ABCD 的面积为 375cm2，则骨架 BD 和 AC 的长为多少？ 【分析】（1） 根据中位线定理可得 EFBDx， 由菱形的面积对角线乘积的一半可列函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； （3）根据菱形 ABCD 的面积为 375cm2，即 y375，求出 x 的值，结合骨架 AC 长度必须大于骨架 BD 长度且小于 BD 长度的两倍确定 x 的值可得 【解答】解： （1）E、F 为 AB、AD 中点， EFBDx， 四边形 ABCD 是菱形， yx（802x）x2+40 x， 自变量 x 的取值范围是：0 x40； （2）函数图象如下： （3）y（x
34、20）2+400375， （x20）225， 解得：x25 或 x15， AC 的长度必须大于 BD 的长度且小于 BD 长度的 2 倍， x25， 即 BD25cm，AC30cm 23 （12 分）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形 （1）如图 1，已知等腰直角ABC，ACB90，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形 （2）如图 2，已知ABC 为直角三角形，ACB90，以 AB，AC，BC 为边向外作正方形 ABDE，正 方形 ACFG 和正方形 BCMN，连接 EG 求证：ABC 与AEG 为偏等积三角形 若 AC3，BC4，则图中以点 A、B、C、D、E、F、G
35、、M、N 为顶点构成的三角形与ABC 是偏 等积三角形的个数是 3 个 （3）在ABC 中，A30，AC8，点 D 在线段 AC 上，连接 BD，ABD 和BCD 是偏等积三角 形，将ABD 沿 BD 所在的直线翻折，得到ABD，若ABD 与BCD 重合部分的面积等于BCD 面积的一半，求ABC 的面积 【分析】 （1）作 BC 边上的中线或 AC 边上的中线即可； （2） 过点 E 作 EKGA， 交 GA 的延长线于点 K， 根据已知得出EAKBAC， 进而得出 EKBC， 再根据三角形面积公式即可得出结论； 根据已知找到跟ABC 等底等高的三角形即可； （3）根据已知得出 ADCD，然后
36、根据折叠得出 ADAD，然后根据ABD 与BCD 重合部分的 面积等于BCD 面积的一半得出三角形面积之间的关系，然后得出 AODO，BOCO，即可证明四边 形 ACBD 为平行四边形，即可得到 ABCD，过点 C 作 CMAB 于点 M，利用A30可以证明点 B 与点 M 重合，进而得出 AB 的长度，即可求得结果； 首先根据已知得出 ADCD，然后根据折叠得出 ADAD，然后根据ABD 与 BCD 重合部分的面积 等于BCD 面积的一半得出 AODO，BOCO，进而得到四边形 ACDB 是平行四边形，然后得出 AB CD，过点 B 作 BQAD 于点 Q，根据A30得出 BQ 的长度，即可
37、求出结果 【解答】解： （1）作 BC 边上的中线或 AC 边上的中线即可 （2）证明：过点 E 作 EKGA，交 GA 的延长线于点 K， K90， 四边形 ABDE 和 ACFG 都是正方形， BAE90，ABAE，GAC90，ACAG， GAC+KAC180， KAC180GAC1809090， EAK+BAKBAC+BAK90，即EAKBAC， 又KACB90，AEAB， EAKBAC（AAS） ， EKBC， ， ABC 和AEG 为偏等积三角形； 如图，与ABC 是偏等积三角形有EAG，BCG，GCM， 故答案为：3 个 （3）如图，连接 AC， ABD 和BCD 是“偏等积三角形
38、” ， SABDSBCD， ADCD， 沿 BD 折叠，使得 A 与 A重合， ADAD4， ABD 与BCD 重合部分的面积等于BCD 面积的一半， ， AOBO，CODO， 四边形 ACBD 是平行四边形， BCAD4， 过点 C 作 CMAB 于点 M， A30且 AC8， CMAC4BC，即点 B 与点 M 重合， ABC90， AB， ； 如图，连接 AC， ABD 和BCD 是“偏等积三角形” ， SABDSBCD，易得：ADCD， 沿 D 折叠使 A 与 A重合， ADAD4，AA30， ABD 与 BCD 重合部分的面积等于BCD 面积的一半， ， AODO，BOCO， 四边形
39、 ACDB 是平行四边形， ABCD4， 过点 B 作 BQAD 于点 Q， A30且 AB4， BQAB2， ， 综上所述，ABC 的面积为 8 或 24 （14 分）如图 1，把AOB 放置在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（6，6） ，点 B 的坐标为（8，0） ， AH 是 OB 边上的高线， P 是线段 OB 上一动点（点 P 与点 O， H B 均不重合） ， 过 A， P，H 三点的外接圆分别交 AO，AB 于点 C，D （1）求 OA 的长及 tanBAH 的值； （2）如图 2，连接 CD，当 CDOB 时， 求 CD 的长；求点 P 的坐标； （3）当
40、点 P 在线段 OB 上运动时，AD 的值是否发生变化？若不变，请求出该定值；若变化，请 说明理由 【分析】 （1）由点 A 坐标根据两点间距离公式即可求 OA 的长；由点 B 坐标及 AH 为 OB 边上的高可求 AH、BH 的长，在 RtABH 中有 tanBAH，代入计算即可 （2）连接 CH，则根据圆周角定理有DCHDAH，再由 CDOB 得到内错角DCHCHE， 所以CHEDAH，其正切值相等（应用（1）的结论） 过点 C 作 x 轴垂线段 CE，构造 RtCEH， 进而由 tanCHEtanDAH 求得 CE 与 EH 的关系 由易求得AOH45， 故 CEOE， 得的值 由 CE
41、AH 和 CDOB，根据平行线分线段定理，可得，即求得 CD 的长 连接 CP， 由AHP90可得 AP 为圆的直径， 故ACP90， 所以有 AP2AC2+CP2AH2+PH2 由 可求得点 C 坐标， AC 的长， 设点 P 横坐标为 p， 则能用 p 表示 CP2和 PH 把含 p 的式子代入 AC2+CP2 AH2+PH2解方程即求得 p 的值 （3）连接 CP、DP，设点 P 横坐标为 p，先用 p 表示 OP、PB 的长利用OCP 为等腰直角三角形可以 p 表示 OC 的长，进而用 p 表示 AC 的长由BPDBAH 可得其正切值也相等，可计算得到 BD 与 BP 的关系，即能用
42、p 表示 BD 的长求 AB 即能用 p 表示 AD 的长计算并化简 AC+AD 得到一个常 数，即值不变 【解答】解： （1）A（6，6） ，AH 是 OB 边上的高线 AHx 轴，AHOAHB90 OHAH6 OA B（8，0） ，即 OB8 BHOBOH862 RtABH 中，tanBAH （2）如图 1，连接 CH，过点 C 作 CEx 轴于点 E DCHDAH，CEOCEH90 CDOB DCHCHE CHEDAH tanCHEtanDAH RtCEH 中，tanCHE EH3CE RtOAH 中，AHOH AOH45 RtCEO 中，OECE OHOE+EHCE+3CE4CE CE
43、AH CDOB CDOB6 如图 1，连接 PC ACOA OCOAAC CEOE，即 C（，） 设 P（p，0） （0p8 且 p6） PH6p，CP2（p）2+（）2 AHP90 AP 为圆的直径 ACP90 AP2AC2+CP2AH2+PH2 （）2+（p）2+（）262+（6p）2 解得：p3 点 P 坐标为（3，0） （3）AC+AD 的值不发生变化 如图 2，连接 CP、DP AP 是圆的直径 OCPACPADPPDB90 设 P（p，0） （0p8 且 p6） OPp，PB8p OCP90，COP45 OCOPp ACOAOC6p BPDBAH RtBDP 中，tanBPD PD3BD PB2PD2+BD29BD2+BD210BD2 BDPB（8p） AB ADABBD2（8p）+p AD（+p）6+p AC+AD6p+6+p12 AC+AD 的值为 12，不发生变化
