2021年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷(3月份)含答案解析

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资源描述

1、2021 年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷(年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷(3 月份)月份) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,不选、多选、分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,不选、多选、 错选,均不得分)错选,均不得分) 12021 的相反数是( ) A2021 B C D2021 2宁波籍诺贝尔科学奖获得者屠呦呦,发现的青蒿素曾挽救了撒哈拉以南非洲地区约 150 万疟疾患者的生 命,其中 150 万用科学记数法表示为( ) A150104 B1.50104 C0.15107

2、 D1.5106 3下列运算正确的是( ) Aa3+a3a6 Ba2a2a4 C (2a)42a4 Da6a3a2 4如图所示的几何体的左视图是( ) A B C D 5某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩,在锻炼一个月后,学校对九年级一班的 45 名学生进行测试,成绩如下表: 跳远成绩(cm) 160 170 180 190 200 220 人数 3 9 6 9 15 3 这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是( ) A190,200 B9,9 C15,9 D185,200 6一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球,它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红 球

3、的概率为( ) A B C D 7能说明命题“当 a 为实数时,则 a2a”是假命题的反例是( ) Aa2 Ba1 Ca0.5 Da0.5 8圆锥的截面是一个等边三角形,则它的侧面展开图圆心角度数是( ) A60 B90 C120 D180 9已知抛物线 yax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0,c1)经过点(2,0) ,其对称轴是直线 x有下 列结论: abc0; 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根; a 其中,正确结论的个数是( ) A0 B1 C2 D3 10百变魔尺,魅力无穷,如图是用 24 段魔尺(24 个等腰直角三角形,把等腰直角三角形最长边看作 1) 围

4、成的长为 4、宽为 3 的长方形用该魔尺能围出不全等的长方形个数为( ) A3 B4 C5 D6 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 11 (5 分)分式有意义的条件是 12 (5 分)分解因式:2a218 13 (5 分)若单项式x3ya b 与xa+by 是同类项,则 ab 的值为 14 (5 分)如图,用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:则第个图案有 个黑色棋 子 15 (5 分)如图,以四边形 ABCD 的边 AD 为直径作O,恰与边 AB,CD 分别相切于点 A,点 D,连接 BD 交O 于点 P,连接 CP,若ABC90,BP4,r,则 C

5、P 16 (5 分)如图,在平面直角坐标系的第一象限中,有一个 RtABC,满足C90,AC3,BC4, ACy 轴, 当点 A, 点 B 及ABC 的内心 P 在同一个反比例函数 y的图象上时, 则 k 的值为 三、解答题(第三、解答题(第 17-19 题各题各 8 分,第分,第 20-22 题各题各 10 分,第分,第 23 题题 12 分,第分,第 24 题题 14 分,共分,共 80 分)分) 17 (8 分) (1)计算: (2)0+() 1; (2)计算: (a+1)2(a+1) (a1) 18 (8 分)为改善民生:提高城市活力,某市有序推行“地摊经济”政策某社区志愿者随机抽取该

6、社区 部分居民,按四个类别:A 表示“非常支持” ,B 表示“支持” ,C 表示“不关心” ,D 表示“不支持” , 调查他们对该政策态度的情况,将结果绘制成如图两幅不完整的统计图根据图中提供的信息,解决下 列问题: (1)这次共抽取了 名居民进行调查统计,扇形统计图中,D 类所对应的扇形圆心角的大小 是 ; (2)将条形统计图补充完整; (3)该社区共有 2000 名居民,估计该社区表示“支持”的 B 类居民大约有多少人? 19 (8 分)图 1,图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格,ABC 为格点三角形请仅用无刻度 直尺在网格中完成下列画图 (1)在图 1 中,画出ABC 中

7、 AB 边上的中线 CM; ( 2 ) 在 图2中 , 画 出 APC , 使 APC ABC , 且 点P是 格 点 ( 画 出 一 个 即 可) 20 (10 分)某海域有 A,B 两个港口,B 港口在 A 港口北偏西 30方向上,距 A 港口 60 海里,有一艘船 从 A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于 B 港口南偏东 75方向的 C 处,求该船与 B 港 口之间的距离即 CB 的长(结果保留根号) 21 (10 分)宁波市政府为了进一步促进城乡环境改善、布局合理、功能提升,制定了“三改一拆”三年专 项行动,甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷部分违章建筑的拆除,若两个工

8、程队合做,则恰好 用 12 天完成任务;若甲、乙合做 9 天后,由甲再单独做 5 天也恰好完成,如果每天需要支付甲、乙两公 司的工程费用分别为 1.2 万元,0.7 万元 试问: (1)甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天? (2)要使整个工程费用不超过 22.5 万元,则乙公司最少应施工多少天? 22 (10 分)如图 1 是一架菱形风筝,它的骨架由如图 2 的 4 条竹棒 AC,BD,EF,GH 组成,其中 E,F, G,H 分别是菱形 ABCD 四边的中点,现有一根长为 80cm 的竹棒,正好锯成风筝的四条件架,是 BD xcm,菱形 ABCD 的面积为 ycm2 (1)写出 y 关于

9、 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (2)如图 3,在所给的直角坐标系中画出(1)中的函数图象; (3)为了使风筝在空中有较好的稳定性,骨架 AC 长度必须大于骨架 BD 长度且小于 BD 长度的两倍, 现已知菱形 ABCD 的面积为 375cm2,则骨架 BD 和 AC 的长为多少? 23 (12 分)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形 (1)如图 1,已知等腰直角ABC,ACB90,请将它分成两个三角形,使它们成为偏等积三角形 (2)如图 2,已知ABC 为直角三角形,ACB90,以 AB,AC,BC 为边向外作正方形 ABDE,正 方形 ACFG 和正方形 BC

10、MN,连接 EG 求证:ABC 与AEG 为偏等积三角形 若 AC3,BC4,则图中以点 A、B、C、D、E、F、G、M、N 为顶点构成的三角形与ABC 是偏 等积三角形的个数是 (3)在ABC 中,A30,AC8,点 D 在线段 AC 上,连接 BD,ABD 和BCD 是偏等积三角 形,将ABD 沿 BD 所在的直线翻折,得到ABD,若ABD 与BCD 重合部分的面积等于BCD 面积的一半,求ABC 的面积 24 (14 分)如图 1,把AOB 放置在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(6,6) ,点 B 的坐标为(8,0) , AH 是 OB 边上的高线, P 是线段

11、OB 上一动点(点 P 与点 O, H B 均不重合) , 过 A, P,H 三点的外接圆分别交 AO,AB 于点 C,D (1)求 OA 的长及 tanBAH 的值; (2)如图 2,连接 CD,当 CDOB 时, 求 CD 的长;求点 P 的坐标; (3)当点 P 在线段 OB 上运动时,AD 的值是否发生变化?若不变,请求出该定值;若变化,请 说明理由 2021 年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷(年浙江省宁波市鄞州区五校联考中考数学段考试卷(3 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题给出的四

12、个选项中,只有一项符合题目要求,不选、多选、分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,不选、多选、 错选,均不得分)错选,均不得分) 12021 的相反数是( ) A2021 B C D2021 【分析】利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解:2021 的相反数是:2021 故选:D 2宁波籍诺贝尔科学奖获得者屠呦呦,发现的青蒿素曾挽救了撒哈拉以南非洲地区约 150 万疟疾患者的生 命,其中 150 万用科学记数法表示为( ) A150104 B1.50104 C0.15107 D1.5106 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a10n,其中 1|a|10,n 为整数,

13、且 n 比原来的 整数位数少 1,据此判断即可 【解答】解:150 万15000001.5106 故选:D 3下列运算正确的是( ) Aa3+a3a6 Ba2a2a4 C (2a)42a4 Da6a3a2 【分析】根据合并同类项,只把系数相加,字母部分不变;同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数 不变,指数相加;积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;同底数幂的除法法则: 底数不变,指数相减;积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把幂相乘进行分析即可 【解答】解:A、a3+a32a3,故原题计算错误; B、a2a2a4,故原题计算正确; C、 (2a)416a4,故原题计算错误;

14、 D、a6a3a3,故原题计算错误; 故选:B 4如图所示的几何体的左视图是( ) A B C D 【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解:从几何体的左面看,是一行两个矩形 故选:A 5某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩,在锻炼一个月后,学校对九年级一班的 45 名学生进行测试,成绩如下表: 跳远成绩(cm) 160 170 180 190 200 220 人数 3 9 6 9 15 3 这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是( ) A190,200 B9,9 C15,9 D185,200 【分析】根据中位数和众数的定义

15、,第 23 个数就是中位数,出现次数最多的数为众数 【解答】解:在这一组数据中 200 是出现次数最多的, 故众数是 200cm; 在这 45 个数中,处于中间位置的第 23 个数是 190,所以中位数是 190 所以这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是 190,200 故选:A 6一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个黄球,它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红 球的概率为( ) A B C D 【分析】根据概率公式计算 【解答】解:从袋中任意摸出一个球是红球的概率 故选:D 7能说明命题“当 a 为实数时,则 a2a”是假命题的反例是( ) Aa2 Ba1 Ca0.5 Da0

16、.5 【分析】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则解答即可 【解答】解:当 a0.5 时,a20.25,则 a2a, 命题“当 a 为实数时,则 a2a”是假命题, 故选:D 8圆锥的截面是一个等边三角形,则它的侧面展开图圆心角度数是( ) A60 B90 C120 D180 【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等,那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到 这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数 【解答】解:设圆锥的底面半径为 r,母线长为 R, 它的轴截面是正三角形, R2r, 2r, 解得 n180, 故选:D 9已知抛物线 yax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0,c1)经

17、过点(2,0) ,其对称轴是直线 x有下 列结论: abc0; 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根; a 其中,正确结论的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【分析】由题意得到抛物线的开口向下,对称轴,判断 a,b 与 0 的关系,得到 abc0,即可 判断; 根据题意得到抛物线开口向下,顶点在 x 轴上方,即可判断; 根据抛物线 yax2+bx+c 经过点(2,0)以及 ba,得到 4a2a+c0,即可判断 【解答】解:抛物线的对称轴为直线 x, 点(2,0)关于直线 x的对称点的坐标为(1,0) , c1, 抛物线开口向下, a0, 抛物线对称轴为直线 x, ab0

18、, abc0,故错误; 抛物线开口向下,与 x 轴有两个交点, 顶点在 x 轴的上方, a0, 抛物线与直线 ya 有两个交点, 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根;故正确; 抛物线 yax2+bx+c 经过点(2,0) , 4a+2b+c0, ba, 4a2a+c0,即 2a+c0, 2ac, c1, 2a1, a,故正确, 故选:C 10百变魔尺,魅力无穷,如图是用 24 段魔尺(24 个等腰直角三角形,把等腰直角三角形最长边看作 1) 围成的长为 4、宽为 3 的长方形用该魔尺能围出不全等的长方形个数为( ) A3 B4 C5 D6 【分析】根据 14(1+6)2(

19、2+5)2(3+4)2,可知能围出不全等的长方形有 3 个, 【解答】解:长为 4、宽为 3 的长方形, 周长为 2(3+4)14 14(1+6)2(2+5)2(3+4)2, 能围出不全等的长方形有 3 个, 故选:A 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 30 分)分) 11 (5 分)分式有意义的条件是 x1 【分析】根据分式的分母不为 0 列出不等式,解不等式得到答案 【解答】解:要使分式有意义,必须 x+10, 解得,x1, 故答案是:x1 12 (5 分)分解因式:2a218 2(a+3) (a3) 【分析】首先提取公因式 2,再利用平方差公式分解因式得出答案 【解

20、答】解:2a2182(a29) 2(a+3) (a3) 故答案为:2(a+3) (a3) 13 (5 分)若单项式x3ya b 与xa+by 是同类项,则 ab 的值为 2 【分析】根据同类项的定义(所含字母相同,相同字母的指数相同)列出方程组,求出 a,b 的值,再代 入代数式计算即可 【解答】解:单项式x3ya b 与xa+by 是同类项, , 解得, 故可得 ab2 故答案为:2 14 (5 分)如图,用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:则第个图案有 21 个黑色棋 子 【分析】观察图形的变化可得前几个图形中黑色棋子的个数,进而可得第个图案黑色棋子的个数 【解答】解:观察图形的变化

21、可知: 第个图案黑色棋子个数为:2315(个) , 第个图案黑色棋子个数为:248(个) , 第个图案黑色棋子个数为:2519(个) , 第个图案黑色棋子个数为:2612(个) , 第个图案黑色棋子个数为:27113(个) , , 所以第个图案黑色棋子个数为:21020(个) , 第个图案黑色棋子个数为:211121(个) , 故答案为:21 15 (5 分)如图,以四边形 ABCD 的边 AD 为直径作O,恰与边 AB,CD 分别相切于点 A,点 D,连接 BD 交O 于点 P,连接 CP,若ABC90,BP4,r,则 CP 【分析】连接 AP,过点 P 作 EFAD 交 DC 于点 E,交

22、 AB 于点 F,证明ADPBDA,由相似三角 形的性质得出,设 PDx,则 BD4+x,得出x (x+4) ,解得 x1,求出 DP,AP 的 长,证明EDPPAD,得出比例线段,求出 DE 和 PE 的长,求出 CE 的长,由勾股定 理可得出答案 【解答】解:连接 AP,过点 P 作 EFAD 交 DC 于点 E,交 AB 于点 F, O 与边 AB,CD 分别相切于点 A,点 D, ADCDAB90, ABC90, 四边形 ABCD 是矩形, ABCD,ABCD, 四边形 DAFE 是矩形, EFDA, AD 为O 的直径, APD90, DAP+ADP90, ADP+ABD90, DA

23、PABD, ADPBDA, ADPBDA, , r, AD, 设 PDx,则 BD4+x, x (x+4) , 解得 x1(负值舍去) , DP1, AP2, AB2, EDP+ADPADP+DAP90, EDPDAP, EDPPAD, , , DE,PE, CECDDE, CP 故答案为: 16 (5 分)如图,在平面直角坐标系的第一象限中,有一个 RtABC,满足C90,AC3,BC4, ACy 轴, 当点 A, 点 B 及ABC 的内心 P 在同一个反比例函数 y的图象上时, 则 k 的值为 【分析】连接 PA、PB,作 PDAC 于 D,PEBC 于 E,PFAB 于 F,根据勾股定理

24、求得 AB5,根 据三角形内心的性质求得 PDCDCEPE1,设 B(m,n) ,则 A(m4,n+3) ,P(m3,n+1) , 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 kmn(m3) (n+1)(m4) (n+3) ,解得即可 【解答】解:连接 PA、PB,作 PDAC 于 D,PEBC 于 E,PFAB 于 F, C90, 四边形 PDCE 是矩形, 点 P 是ABC 的内心, PDPEPF, 四边形 PDCE 是正方形, PDCDCEPE, 设 PDCDCEPEx, AC3,BC4, BFBE4x,AFAD3x, AB5, 4x+3x5,解得 x1, PDCDCEPE1, 设 B(m,n

25、) ,则 A(m4,n+3) ,P(m3,n+1) , 点 A,点 B 及ABC 的内心 P 在同一个反比例函数 y的图象上, kmn(m3) (n+1)(m4) (n+3) , 整理得,解得, kmn, 故答案为 三、解答题(第三、解答题(第 17-19 题各题各 8 分,第分,第 20-22 题各题各 10 分,第分,第 23 题题 12 分,第分,第 24 题题 14 分,共分,共 80 分)分) 17 (8 分) (1)计算: (2)0+() 1; (2)计算: (a+1)2(a+1) (a1) 【分析】 (1)根据零指数幂和负整数幂的运算法则计算即可; (2)根据完全平方公式和平方差

26、公式计算即可得到答案 【解答】解: (1)原式121; (2)原式a2+2a+1a2+12a+2 18 (8 分)为改善民生:提高城市活力,某市有序推行“地摊经济”政策某社区志愿者随机抽取该社区 部分居民,按四个类别:A 表示“非常支持” ,B 表示“支持” ,C 表示“不关心” ,D 表示“不支持” , 调查他们对该政策态度的情况,将结果绘制成如图两幅不完整的统计图根据图中提供的信息,解决下 列问题: (1)这次共抽取了 60 名居民进行调查统计,扇形统计图中,D 类所对应的扇形圆心角的大小是 18 ; (2)将条形统计图补充完整; (3)该社区共有 2000 名居民,估计该社区表示“支持”

27、的 B 类居民大约有多少人? 【分析】 (1)由 C 类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数,用 360乘以样本中 D 类别人数占 被调查人数的比例即可得出答案; (2)根据 A、B、C、D 四个类别人数之和等于被调查的总人数求出 A 的人数,从而补全图形; (3)用总人数乘以样本中 B 类别人数所占比例可得答案 【解答】解: (1)这次抽取的居民数量为 915%60(名) , 扇形统计图中,D 类所对应的扇形圆心角的大小是 36018, 故答案为:60,18; (2)A 类别人数为 60(36+9+3)12(名) , 补全条形图如下: (3)估计该社区表示“支持”的 B 类居民大约有 2

28、0001200(名) 19 (8 分)图 1,图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格,ABC 为格点三角形请仅用无刻度 直尺在网格中完成下列画图 (1)在图 1 中,画出ABC 中 AB 边上的中线 CM; ( 2 ) 在 图2中 , 画 出 APC , 使 APC ABC , 且 点P是 格 点 ( 画 出 一 个 即 可) 【分析】 (1)根据三角形中线的定义即可得到结论; (2)根据圆周角定理即可得到结论 【解答】解: (1)如图所示,线段 CM 即为所求 (2)如图所示,点 P 即为所求 20 (10 分)某海域有 A,B 两个港口,B 港口在 A 港口北偏西 30方向上,

29、距 A 港口 60 海里,有一艘船 从 A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于 B 港口南偏东 75方向的 C 处,求该船与 B 港 口之间的距离即 CB 的长(结果保留根号) 【分析】作 ADBC 于 D,根据题意求出ABD45,得到 ADBD30海里,求出C60, 根据正切的概念求出 CD 的长,得到答案 【解答】解:作 ADBC 于 D, EAB30,AEBF, FBA30,又FBC75, ABD45,又 AB60(海里) , ADBD30(海里) , BACBAE+CAE75,ABC45, C60, 在 RtACD 中,C60,AD30(海里) , 则 tanC, CD10(

30、海里) , BC(30+10)海里, 故该船与 B 港口之间的距离 CB 的长为(30+10)海里 21 (10 分)宁波市政府为了进一步促进城乡环境改善、布局合理、功能提升,制定了“三改一拆”三年专 项行动,甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷部分违章建筑的拆除,若两个工程队合做,则恰好 用 12 天完成任务;若甲、乙合做 9 天后,由甲再单独做 5 天也恰好完成,如果每天需要支付甲、乙两公 司的工程费用分别为 1.2 万元,0.7 万元 试问: (1)甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天? (2)要使整个工程费用不超过 22.5 万元,则乙公司最少应施工多少天? 【分析】 (1)设单独

31、完成这项工程甲公司需要 x 天,则乙公司需要天,根据“若甲、乙合做 9 天 后,由甲再单独做 5 天恰好完成” ,即可得出关于 x 的分式方程,解之经检验后即可得出结论; (2)设乙公司施工 y 天,则甲公司施工天,根据整个工程费用不超过 22.5 万元,即可得出关于 y 的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论 【解答】解: (1)设单独完成这项工程甲公司需要 x 天,则乙公司需要天, 依题意得:+1, 解得:x20, 经检验,x20 是原方程的解,且符合题意, 30 答:单独完成这项工程甲公司需要 20 天,乙公司需要 30 天 (2)设乙公司施工 y 天,则甲公司施工天, 依题意

32、得:0.7y+1.222.5, 解得:y15 答:乙公司最少应施工 15 天 22 (10 分)如图 1 是一架菱形风筝,它的骨架由如图 2 的 4 条竹棒 AC,BD,EF,GH 组成,其中 E,F, G,H 分别是菱形 ABCD 四边的中点,现有一根长为 80cm 的竹棒,正好锯成风筝的四条件架,是 BD xcm,菱形 ABCD 的面积为 ycm2 (1)写出 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (2)如图 3,在所给的直角坐标系中画出(1)中的函数图象; (3)为了使风筝在空中有较好的稳定性,骨架 AC 长度必须大于骨架 BD 长度且小于 BD 长度的两倍, 现已知菱形

33、 ABCD 的面积为 375cm2,则骨架 BD 和 AC 的长为多少? 【分析】(1) 根据中位线定理可得 EFBDx, 由菱形的面积对角线乘积的一半可列函数解析式; (2)根据(1)中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可; (3)根据菱形 ABCD 的面积为 375cm2,即 y375,求出 x 的值,结合骨架 AC 长度必须大于骨架 BD 长度且小于 BD 长度的两倍确定 x 的值可得 【解答】解: (1)E、F 为 AB、AD 中点, EFBDx, 四边形 ABCD 是菱形, yx(802x)x2+40 x, 自变量 x 的取值范围是:0 x40; (2)函数图象如下: (3)y(x

34、20)2+400375, (x20)225, 解得:x25 或 x15, AC 的长度必须大于 BD 的长度且小于 BD 长度的 2 倍, x25, 即 BD25cm,AC30cm 23 (12 分)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形 (1)如图 1,已知等腰直角ABC,ACB90,请将它分成两个三角形,使它们成为偏等积三角形 (2)如图 2,已知ABC 为直角三角形,ACB90,以 AB,AC,BC 为边向外作正方形 ABDE,正 方形 ACFG 和正方形 BCMN,连接 EG 求证:ABC 与AEG 为偏等积三角形 若 AC3,BC4,则图中以点 A、B、C、D、E、F、G

35、、M、N 为顶点构成的三角形与ABC 是偏 等积三角形的个数是 3 个 (3)在ABC 中,A30,AC8,点 D 在线段 AC 上,连接 BD,ABD 和BCD 是偏等积三角 形,将ABD 沿 BD 所在的直线翻折,得到ABD,若ABD 与BCD 重合部分的面积等于BCD 面积的一半,求ABC 的面积 【分析】 (1)作 BC 边上的中线或 AC 边上的中线即可; (2) 过点 E 作 EKGA, 交 GA 的延长线于点 K, 根据已知得出EAKBAC, 进而得出 EKBC, 再根据三角形面积公式即可得出结论; 根据已知找到跟ABC 等底等高的三角形即可; (3)根据已知得出 ADCD,然后

36、根据折叠得出 ADAD,然后根据ABD 与BCD 重合部分的 面积等于BCD 面积的一半得出三角形面积之间的关系,然后得出 AODO,BOCO,即可证明四边 形 ACBD 为平行四边形,即可得到 ABCD,过点 C 作 CMAB 于点 M,利用A30可以证明点 B 与点 M 重合,进而得出 AB 的长度,即可求得结果; 首先根据已知得出 ADCD,然后根据折叠得出 ADAD,然后根据ABD 与 BCD 重合部分的面积 等于BCD 面积的一半得出 AODO,BOCO,进而得到四边形 ACDB 是平行四边形,然后得出 AB CD,过点 B 作 BQAD 于点 Q,根据A30得出 BQ 的长度,即可

37、求出结果 【解答】解: (1)作 BC 边上的中线或 AC 边上的中线即可 (2)证明:过点 E 作 EKGA,交 GA 的延长线于点 K, K90, 四边形 ABDE 和 ACFG 都是正方形, BAE90,ABAE,GAC90,ACAG, GAC+KAC180, KAC180GAC1809090, EAK+BAKBAC+BAK90,即EAKBAC, 又KACB90,AEAB, EAKBAC(AAS) , EKBC, , ABC 和AEG 为偏等积三角形; 如图,与ABC 是偏等积三角形有EAG,BCG,GCM, 故答案为:3 个 (3)如图,连接 AC, ABD 和BCD 是“偏等积三角形

38、” , SABDSBCD, ADCD, 沿 BD 折叠,使得 A 与 A重合, ADAD4, ABD 与BCD 重合部分的面积等于BCD 面积的一半, , AOBO,CODO, 四边形 ACBD 是平行四边形, BCAD4, 过点 C 作 CMAB 于点 M, A30且 AC8, CMAC4BC,即点 B 与点 M 重合, ABC90, AB, ; 如图,连接 AC, ABD 和BCD 是“偏等积三角形” , SABDSBCD,易得:ADCD, 沿 D 折叠使 A 与 A重合, ADAD4,AA30, ABD 与 BCD 重合部分的面积等于BCD 面积的一半, , AODO,BOCO, 四边形

39、 ACDB 是平行四边形, ABCD4, 过点 B 作 BQAD 于点 Q, A30且 AB4, BQAB2, , 综上所述,ABC 的面积为 8 或 24 (14 分)如图 1,把AOB 放置在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(6,6) ,点 B 的坐标为(8,0) , AH 是 OB 边上的高线, P 是线段 OB 上一动点(点 P 与点 O, H B 均不重合) , 过 A, P,H 三点的外接圆分别交 AO,AB 于点 C,D (1)求 OA 的长及 tanBAH 的值; (2)如图 2,连接 CD,当 CDOB 时, 求 CD 的长;求点 P 的坐标; (3)当

40、点 P 在线段 OB 上运动时,AD 的值是否发生变化?若不变,请求出该定值;若变化,请 说明理由 【分析】 (1)由点 A 坐标根据两点间距离公式即可求 OA 的长;由点 B 坐标及 AH 为 OB 边上的高可求 AH、BH 的长,在 RtABH 中有 tanBAH,代入计算即可 (2)连接 CH,则根据圆周角定理有DCHDAH,再由 CDOB 得到内错角DCHCHE, 所以CHEDAH,其正切值相等(应用(1)的结论) 过点 C 作 x 轴垂线段 CE,构造 RtCEH, 进而由 tanCHEtanDAH 求得 CE 与 EH 的关系 由易求得AOH45, 故 CEOE, 得的值 由 CE

41、AH 和 CDOB,根据平行线分线段定理,可得,即求得 CD 的长 连接 CP, 由AHP90可得 AP 为圆的直径, 故ACP90, 所以有 AP2AC2+CP2AH2+PH2 由 可求得点 C 坐标, AC 的长, 设点 P 横坐标为 p, 则能用 p 表示 CP2和 PH 把含 p 的式子代入 AC2+CP2 AH2+PH2解方程即求得 p 的值 (3)连接 CP、DP,设点 P 横坐标为 p,先用 p 表示 OP、PB 的长利用OCP 为等腰直角三角形可以 p 表示 OC 的长,进而用 p 表示 AC 的长由BPDBAH 可得其正切值也相等,可计算得到 BD 与 BP 的关系,即能用

42、p 表示 BD 的长求 AB 即能用 p 表示 AD 的长计算并化简 AC+AD 得到一个常 数,即值不变 【解答】解: (1)A(6,6) ,AH 是 OB 边上的高线 AHx 轴,AHOAHB90 OHAH6 OA B(8,0) ,即 OB8 BHOBOH862 RtABH 中,tanBAH (2)如图 1,连接 CH,过点 C 作 CEx 轴于点 E DCHDAH,CEOCEH90 CDOB DCHCHE CHEDAH tanCHEtanDAH RtCEH 中,tanCHE EH3CE RtOAH 中,AHOH AOH45 RtCEO 中,OECE OHOE+EHCE+3CE4CE CE

43、AH CDOB CDOB6 如图 1,连接 PC ACOA OCOAAC CEOE,即 C(,) 设 P(p,0) (0p8 且 p6) PH6p,CP2(p)2+()2 AHP90 AP 为圆的直径 ACP90 AP2AC2+CP2AH2+PH2 ()2+(p)2+()262+(6p)2 解得:p3 点 P 坐标为(3,0) (3)AC+AD 的值不发生变化 如图 2,连接 CP、DP AP 是圆的直径 OCPACPADPPDB90 设 P(p,0) (0p8 且 p6) OPp,PB8p OCP90,COP45 OCOPp ACOAOC6p BPDBAH RtBDP 中,tanBPD PD3BD PB2PD2+BD29BD2+BD210BD2 BDPB(8p) AB ADABBD2(8p)+p AD(+p)6+p AC+AD6p+6+p12 AC+AD 的值为 12,不发生变化

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