江西省赣州市宁都县2017-2018学年八年级下学期期末考试数学试卷(含答案解析)

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1、江西省赣州市宁都县 2017-2018 学年下学期期末考试八年级数学试卷一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分,每小题只有一个正确选项)1 (3 分)二次根式 有意义的条件是( )Ax Bx Cx Dx【 专 题 】 二 次 根 式 【 分 析 】 二 次 根 式 的 被 开 方 数 是 非 负 数 【 解 答 】 解 : 依 题 意 得 2x-10,解得 x故选:C【点评】考查了二次根式的意义和性质概念:式子(a0)叫二次根式性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义2 (3 分)若三角形的三边长分别是下列各组数,则能构成直角三角形的是( )A4,5,

2、6B1,2, C 6,8,11D5,12,14【 分 析 】 根 据 判 断 三 条 线 段 是 否 能 构 成 直 角 三 角 形 的 三 边 , 需 验 证 两 小 边 的 平 方 和是 否 等 于 最 长 边 的 平 方 , 分 别 对 每 一 项 进 行 分 析 , 即 可 得 出 答 案 【 解 答 】 解 : A、 42+5262, 不 符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理 , 不 是 直 角 三 角 形 ;C、 62+82112, 不 符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理 , 不 是 直 角 三 角 形 ;D、 52+122142, 不 符 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理

3、 , 不 是 直 角 三 角 形 故 选 : B【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 勾 股 定 理 的 逆 定 理 : 用 到 的 知 识 点 是 已 知 ABC 的 三边 满 足 a2+b2=c2, 则 ABC 是 直 角 三 角 形 3 (3 分)函数 y=3x+4 的图象不经过( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【 分 析 】 先 根 据 一 次 函 数 的 图 象 与 系 数 的 关 系 判 断 出 函 数 y=-3x+4 的 图 象 所 经 过的 象 限 , 由 此 即 可 得 出 结 论 【 解 答 】 解 : 函 数 y=-3x+4 中 , k=-3 0,

4、 b=4 0, 此 函 数 的 图 象 经 过 一 、 二 、 四 象 限 , 不 经 过 第 三 象 限 故 选 : C【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 一 次 函 数 的 性 质 , 熟 知 一 次 函 数 的 图 象 与 系 数 的 关 系 是 解 答此 题 的 关 键 4 (3 分)四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )AABDC , ADBCBAB=DC,AD=BCCAO=CO ,BO=DOD ABDC,AD=BC【 分 析 】 根 据 平 行 四 边 形 判 定 定 理 进 行 判 断 【 解 答 】 解 :

5、A、 由 “AB DC, AD BC”可 知 , 四 边 形 ABCD 的 两 组 对 边 互 相 平行 , 则 该 四 边 形 是 平 行 四 边 形 故 本 选 项 不 符 合 题 意 ;B、 由 “AB=DC, AD=BC”可 知 , 四 边 形 ABCD 的 两 组 对 边 相 等 , 则 该 四 边 形 是 平行 四 边 形 故 本 选 项 不 符 合 题 意 ;C、 由 “AO=CO, BO=DO”可 知 , 四 边 形 ABCD 的 两 条 对 角 线 互 相 平 分 , 则 该 四 边形 是 平 行 四 边 形 故 本 选 项 不 符 合 题 意 ;D、 由 “AB DC, A

6、D=BC”可 知 , 四 边 形 ABCD 的 一 组 对 边 平 行 , 另 一 组 对 边 相等 , 据 此 不 能 判 定 该 四 边 形 是 平 行 四 边 形 故 本 选 项 符 合 题 意 ;故 选 : D【 点 评 】 本 题 考 查 了 平 行 四 边 形 的 判 定 ( 1) 两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ( 2) 两 组 对 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ( 3) 一 组 对 边 平 行 且 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ( 4) 两 组 对 角 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平

7、 行 四 边 形 ( 5) 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 5 (3 分)某射击小组有 20 人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图,则这组数据的众数和中位数分别是( )A7,7B8,7.5C8,6.5D7,7.5【 分 析 】 中 位 数 , 因 图 中 是 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 的 , 所 以 只 要 找 出 最 中 间 的 一 个数 ( 或 最 中 间 的 两 个 数 ) 即 可 , 本 题 是 最 中 间 的 两 个 数 ; 对 于 众 数 可 由 条 形 统 计 图中 出 现 频 数 最 大 或 条 形 最 高 的

8、数 据 写 出 【 解 答 】 解 : 由 条 形 统 计 图 中 出 现 频 数 最 大 条 形 最 高 的 数 据 是 在 第 三 组 , 7 环 ,故 众 数 是 7( 环 ) ;因 图 中 是 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 的 , 最 中 间 的 环 数 是 7( 环 ) 、 8( 环 ) , 故 中位 数 是 7.5( 环 ) 故 选 : D【 点 评 】 本 题 属 于 基 础 题 , 考 查 了 确 定 一 组 数 据 的 中 位 数 和 众 数 的 能 力 注 意 找 中位 数 的 时 候 一 定 要 先 排 好 顺 序 , 然 后 再 根 据 奇 数 和 偶 数 个

9、 来 确 定 中 位 数 , 如 果 数 据有 奇 数 个 , 则 正 中 间 的 数 字 即 为 所 求 如 果 是 偶 数 个 则 找 中 间 两 位 数 的 平 均 数 6 (3 分)明清时期,古镇河口因水运而繁华若有一商家从石塘沿水路顺水航行,前往河口,途中因故停留段时间,到达河口后逆水航行返回石塘,假设货船在静水中的速度不变,水流速度不变,若该船从石塘出发后所用的时间为 x(小时) 、货船距石塘的距离为y(千米) ,则下列各图中,能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是( )A B C D【 专 题 】 函 数 及 其 图 象 【 分 析 】 根 据 题 意 可 以 写 出 各

10、段 过 程 中 y 随 x 的 变 化 而 变 化 的 趋 势 , 从 而 可 以 解答 本 题 【 解 答 】 解 : 由 题 意 可 得 ,货 船 从 石 塘 到 途 中 刚 出 现 故 障 这 段 时 间 , y 随 x 的 增 大 而 增 大 ,故 障 这 段 时 间 , y 随 x 的 变 化 不 变 ,解 除 故 障 到 河 口 这 段 时 间 , y 随 x 的 增 大 而 增 大 ,从 河 口 返 回 石 塘 的 这 段 时 间 , y 随 x 的 增 大 而 减 小 ,故 选 : A【 点 评 】 本 题 考 查 函 数 的 图 象 , 解 答 本 题 的 关 键 是 明 确

11、 题 意 , 利 用 数 形 结 合 的 思 想解 答 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.)7 (3 分)计算( ) 的结果是 【 分 析 】 根 据 二 次 根 式 的 混 合 运 算 顺 序 , 首 先 计 算 小 括 号 里 面 的 , 然 后 计 算 乘 法 ,求出算式 的结果是多少即可【 点 评 】 ( 1) 此 题 主 要 考 查 了 二 次 根 式 的 混 合 运 算 , 要 熟 练 掌 握 , 解 答 此 题 的 关 键是 要 明 确 : 与 有 理 数 的 混 合 运 算 一 致 , 运 算 顺 序 先 乘 方 再 乘 除 , 最 后 加 减 ,

12、有 括号 的 先 算 括 号 里 面 的 在 运 算 中 每 个 根 式 可 以 看 做 是 一 个 “单 项 式 “, 多 个 不 同类 的 二 次 根 式 的 和 可 以 看 作 “多 项 式 ”( 2) 此 题 还 考 查 了 平 方 根 的 性 质 和 计 算 , 要 熟 练 掌 握 , 解 答 此 题 的 关 键 是 要 明 确 :一 个 正 数 有 两 个 平 方 根 , 这 两 个 平 方 根 互 为 相 反 数 , 零 的 平 方 根 是 零 , 负 数 没 有 平方 根 8 (3 分)在平面直角坐标系中,A (5,3) ,点 O 为坐标原点,则线段 OA 的长为 【 专 题

13、】 计 算 题 【 分 析 】 直 接 根 据 勾 股 定 理 计 算 即 可 【 解 答 】 解 : A( -5, 3) , 点 O 为 坐 标 原 点 ,【 点 评 】 本 题 考 查 了 勾 股 定 理 的 运 用 , 掌 握 在 任 何 一 个 直 角 三 角 形 中 , 两 条 直 角 边长 的 平 方 之 和 一 定 等 于 斜 边 长 的 平 方 是 解 题 的 关 键 9 (3 分)若 x= 1,则 x2+5x+4 的值为 ;【 专 题 】 常 规 题 型 【 分 析 】 先 代 入 , 再 根 据 如 此 根 式 的 运 算 法 则 求 出 即 可 【 点 评 】 本 题 考

14、 查 了 二 次 根 式 的 化 简 和 求 值 , 能 熟 练 地 运 用 二 次 根 式 的 运 算 法 则 进行 计 算 是 解 此 题 的 关 键 10 (3 分)如图所示,DE 为 ABC 的中位线,点 F 在 DE 上,且AFB=90,若AB=5,BC=7 ,则 EF 的长为 【 专 题 】 常 规 题 型 ; 三 角 形 EF=DE-DF=1,故 答 案 为 : 1【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 三 角 形 中 位 线 定 理 、 直 角 三 角 形 的 性 质 , 掌 握 三 角 形 的 中 位线 平 行 于 第 三 边 , 并 且 等 于 第 三 边 的 一 半 和

15、在 直 角 三 角 形 中 , 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜边 的 一 半 是 解 题 的 关 键 11 (3 分)如图,已知函数 y=2x+b 和 y=ax3 的图象交于点 P(2,5) ,则根据图象可得不等式 2x+bax3 的解集是 【 分 析 】 根 据 一 次 函 数 的 图 象 和 两 函 数 的 交 点 坐 标 即 可 得 出 答 案 【 解 答 】 解 : 函 数 y=2x+b 和 y=ax-3 的 图 象 交 于 点 P( -2, -5) ,则 根 据 图 象 可 得 不 等 式 2x+b ax-3 的 解 集 是 x -2,故 答 案 为 : x -2【 点 评 】

16、此 题 考 查 了 一 次 函 数 与 一 元 一 次 不 等 式 的 应 用 , 主 要 考 查 学 生 的 观 察 能 力和 理 解 能 力 , 题 型 较 好 , 难 度 不 大 12 (3 分)在平面直角坐标系中,直线 L:y= x3 分别与 x 轴、y 轴相交于 A、B两点,点 P 是坐标轴上一个动点,若PAB 为直角三角形,则点 P 的坐标为 【 专 题 】 一 次 函 数 及 其 应 用 【 分 析 】 分 三 种 情 形 分 别 求 解 即 可 解 决 问 题 ;【 解 答 】 解 :【 点 评 】 本 题 考 查 一 次 函 数 图 象 上 的 点 特 征 , 解 直 角 三

17、 角 形 等 知 识 , 解 题 的 关 键 是学 会 用 分 类 讨 论 的 思 想 思 考 问 题 , 属 于 中 考 常 考 题 型 三、 (本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分).13 (6 分)计算: 4 +(2 ) 2【 专 题 】 计 算 题 【 分 析 】 根 据 二 次 根 式 的 乘 除 法 和 加 减 法 可 以 解 答 本 题 【 解 答 】 解: 4 +(2 ) 2=44 +124 +2=184 4 【 点 评 】 本 题 考 查 二 次 根 式 的 混 合 运 算 , 解 答 本 题 的 关 键 是 明 确 二 次 根 式 混 合 运 算的 计 算 方

18、法 14 (6 分)如图,ABCD 中,点 E、F 分别在边 AD、BC 上,且 AE=CF,连接BE、DF求证:BEDF【 专 题 】 证 明 题 【 分 析 】 根 据 平 行 四 边 形 性 质 得 出 AD BC, AD=BC, 求 出DE=BF, DE BF, 得 出 四 边 形 DEBF 是 平 行 四 边 形 , 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 推 出即 可 【 解 答 】 证 明 : 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , AD BC, AD=BC, AE=CF, DE=BF, DE BF, 四 边 形 DEBF 是 平 行 四 边 形 , BE DF【 点

19、评 】 本 题 主 要 考 查 了 平 行 四 边 形 的 性 质 和 判 定 的 应 用 , 关 键 是 掌 握 平 行 四 边 形的 对 边 平 行 且 相 等 15 (6 分)在正方形网格中,小格的顶点叫做格点小华按下列要求作图:在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点,使其中任意两点不在同一条直线上;连接三个格点,使之构成直角三角形,小华在左边的正方形网格中作出了 RtABC请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,使三个网格中的直角三角形互不全等,并分别求出这三个直角三角形的斜边长【 分 析 】 可 以 利 用 三 角 板 , 移 动 位 置 , 即 可 作

20、出 图 形 , 然 后 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 得斜 边 长 【 解 答 】 解:下面给出三种参考画法:(画图正确每个(1 分) ,斜边计算正确每个(1 分),共 5 分)斜边 AC=5,斜边 AB=4,斜边 DE= ,斜边 MN= 【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 作 图 , 正 确 利 用 三 角 板 是 解 题 的 关 键 16 (6 分)先化简,再求值 ,其中 x= +1【 专 题 】 计 算 题 ; 分 式 【 分 析 】 原 式 利 用 除 法 法 则 变 形 , 约 分 后 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ,得 到 最 简

21、 结 果 , 把 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 【 解 答 】 解:原式= =1 = ,当 x= +1 时,原式= = 【 点 评 】 此 题 考 查 了 分 式 的 化 简 求 值 , 熟 练 掌 握 运 算 法 则 是 解 本 题 的 关 键 17 (6 分)在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=2x,y=x+6,y=x+2 ,y=4x4 的图象(1)观察这四个图象,说出它们共同特点;(2)若函数 y=kx+5 的图象也有该特点,求 k 的值【 专 题 】 常 规 题 型 【 分 析 】 ( 1) 根 据 一 次 函 数 的 图 象 是 直 线 , 画 出 图 象 即 可

22、 ;( 2) 根 据 图 象 过 定 点 , 代 入 得 出 k 的 值 即 可 【 解 答 】(1)解:如图:共同特点是:此组直线均经过(2,4) ,解方程组 得, ,直线 y=2x,y= x+6 过( 2,4)点对于直线 y=x+2,当 x=2 时,y=4;对于直线 y=4x4,当 x=2 时,y=4 ;验证发现此组直线均经过(2,4) ;(2)把(2,4)代入 y=kx+5 得 4=2k+5,得 k= 【 点 评 】 本 题 考 查 了 正 比 例 函 数 的 图 象 和 一 次 函 数 的 图 象 , 掌 握 图 象 的 画 法 和 待 定系 数 法 求 解 析 式 是 解 题 的 关

23、 键 四、 (本大题共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分.)18 (8 分)已知:如图,已知 AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高,B 的平分线交 AD 于M 交 AC 于 E,DAC 的平分线交 ME 于 O,交 CD 于 N求证:四边形 AMNE 是菱形【 专 题 】 几 何 图 形 【 分 析 】 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 和 菱 形 的 判 定 证 明 即 可 【 解 答 】 证明:BE 平分 ABC 交 AD 于 M,交 AC 于 E,ABE=DBM,AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高,BAC=ADB=90,AEM= BMD,AME= BMD,AEM=

24、AME ,AE=AM,DAC 的平分线交 CD 于 N,MAN=NAE,ANME,且 AN 平分 ME,在BAO 和BNO 中,ABONBO(ASA ) ,AO=NO,AN 和 ME 互相垂直平分,四边形 AMNE 是菱形【 点 评 】 此 题 考 查 菱 形 的 判 定 , 关 键 是 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 解 答 19 (8 分)如图,ADBC ,ACAB,AB=3,AC=CD=2(1)求 BC 的长;(2)求 BD 的长【 专 题 】 常 规 题 型 【 分 析 】 ( 1) 在 Rt ABC 中 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 出 BC 的 长 ;(

25、2) 过 点 B 作 BE DC 交 DC 的 延 长 线 于 点 E 根 据 等 边 对 等 角 的 性 质 以 及 平 行线 的 性 质 得 出 2= 3, 利 用 角 平 分 线 的 性 质 得 出 AB=BE=3, 在 Rt BCE 中 ,根 据 勾 股 定 理 可 得 EC=2, 则 ED=4, 在 Rt BDE 中 , 利 用 勾 股 定 理 可 得BD=5【 解 答 】 解:(1)在 RtABC 中,ACAB,AB=3,AC=2,BC= = ;(2)过点 B 作 BEDC 交 DC 的延长线于点 EAC=CD,1=ADC,又ADBC,3=ADC,1=2,2=3,又ACAB ,BE

26、DC ,AB=BE=3,又由(1)BC= ,在 Rt BCE 中,由勾股定理可得 EC=2;ED=2+2=4,在 Rt BDE 中,由勾股定理可得 BD=5【 点 评 】 本 题 考 查 了 勾 股 定 理 , 等 腰 三 角 形 、 平 行 线 、 角 平 分 线 的 性 质 , 掌 握 各 定理 是 解 题 的 关 键 20 (8 分)如图,平面直角坐标系中,直线 y=2x+m 与 y 轴交于点 A,与直线 y=x+5 交于点 B(4,n) ,P 为直线 y=x+5 上一点(1)求 m,n 的值;(2)求线段 AP 的最小值,并求此时点 P 的坐标【 分 析 】 ( 1) 首 先 把 点

27、B( 4, n) 代 入 直 线 y=-x+5 得 出 n 的 值 , 再 进 一 步 代 入直 线 y=2x+m 求 得 m 的 值 即 可 ;( 2) 过 点 A 作 直 y=-x+5 的 垂 线 , 垂 足 为 P, 进 一 步 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质和 ( 1) 中 与 y 轴 交 点 的 坐 标 特 征 解 决 问 题 【 解 答 】 解:(1)点 B( 4,n)在直线上 y=x+5,n=1,B(4,1)点 B(4,1)在直线上 y=2x+m 上,m=7(2)过点 A 作直线 y=x+5 的垂线,垂足为 P,此时线段 AP 最短APN=90,直线 y=x+5

28、与 y 轴交点 N(0,5) ,直线 y=2x7 与 y 轴交点 A(0,7) ,AN=12 ,ANP=45,AM=PM=6,OM=1,P(6,1) ,AP 的最小值=6 【 点 评 】 本 题 考 查 了 一 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 与 垂 线 段 最 短 的 性 质 , 结 合 图 形 ,选 择 适 当 的 方 法 解 决 问 题 五、 (本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分.)21 (9 分)某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛,甲、乙两所学校参赛人数相等,比赛结束后,发现学生成绩分别为 70 分,80 分,90 分,100 分,并根据统计数据绘

29、制了如下不完整的统计图表:乙校成绩统计表分数(分) 人数(人)70 78090 1100 8(1)在图中, “80 分” 所在扇形的圆心角度数为 ;(2)请你将图补充完整;(3)求乙校成绩的平均分;(4)经计算知 S 甲 2=135,S 乙 2=175,请你根据这两个数据,对甲、乙两校成绩作出合理评价【 分 析 】 ( 1) 根 据 统 计 图 可 知 甲 校 70 分 的 有 6 人 , 从 而 可 求 得 总 人 数 , 然 后 可求 得 成 绩 为 80 分 的 同 学 所 占 的 百 分 比 , 最 后 根 据 圆 心 角 的 度 数 =360百 分 比 即可 求 得 答 案 ;( 2

30、) 用 总 人 数 减 去 成 绩 为 70 分 、 80 分 、 90 分 的 人 数 即 可 求 得 成 绩 为 100 分 的人 数 , 从 而 可 补 全 统 计 图 ;( 3) 先 求 得 乙 校 成 绩 为 80 分 的 人 数 , 然 后 利 用 加 权 平 均 数 公 式 计 算 平 均 数 ;( 4) 根 据 方 差 的 意 义 即 可 做 出 评 价 【 解 答 】 解:(1)630%=20,320=15%,36015%=54;(2)20636=5,统计图补充如下:(3)20178=4, =85;(4)S 甲 2S 乙 2,甲校 20 名同学的成绩比较整齐【 点 评 】 本

31、 题 主 要 考 查 的 是 统 计 图 和 统 计 表 的 应 用 , 属 于 基 础 题 目 , 解 答 本 题 需 要同 学 们 , 数 量 掌 握 方 差 的 意 义 、 加 权 平 均 数 的 计 算 公 式 以 及 频 数 、 百 分 比 、 数 据 总数 之 间 的 关 系 22 (9 分)现从 A,B 向甲、乙两地运送蔬菜,A,B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14 吨,其中甲地需要蔬菜 15 吨,乙地需要蔬菜 13 吨,从 A 到甲地运费 50 元/吨,到乙地 30 元/吨;从 B 地到甲运费 60 元/吨,到乙地 45 元/吨(1)设 A 地到甲地运送蔬菜 x 吨,请完成下表:运往

32、甲地(单位:吨) 运往乙地(单位:吨)A x B (2)设总运费为 W 元,请写出 W 与 x 的函数关系式(3)怎样调运蔬菜才能使运费最少?【 专 题 】 压 轴 题 【 分 析 】 ( 1) 根 据 题 意 A, B 两 个 蔬 菜 市 场 各 有 蔬 菜 14 吨 , 其 中 甲 地 需 要 蔬 菜15 吨 , 乙 地 需 要 蔬 菜 13 吨 , 可 得 解 ( 2) 根 据 从 A 到 甲 地 运 费 50 元 /吨 , 到 乙 地 30 元 /吨 ; 从 B 地 到 甲 运 费 60 元 /吨 , 到 乙 地 45 元 /吨 可 列 出 总 费 用 , 从 而 可 得 出 答 案

33、( 3) 首 先 求 出 x 的 取 值 范 围 , 再 利 用 w 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 , 求 出 函 数 最 值即 可 【 解 答 】 解:(1)如图所示:运往甲地(单位:吨) 运往乙地(单位:吨)A x 14xB 15x x1(2)由题意,得W=50x+30(14x)+60 (15x)+45 (x1)=5x+1275(1x14) (3)A,B 到两地运送的蔬菜为非负数, ,解不等式组,得:1x14,在 W=5x+1275 中,k=50,W 随 x 增大而增大,当 x 最小为 1 时,W 有最小值,当 x=1 时,A :x=1,14x=13,B:15x=14,x1=0,

34、即 A 向甲地运 1 吨,向乙地运 13 吨,B 向甲地运 14 吨,向乙地运 0 吨才能使运费最少【 点 评 】 本 题 考 查 了 利 用 一 次 函 数 的 有 关 知 识 解 答 实 际 应 用 题 , 一 次 函 数 是 常 用 的解 答 实 际 问 题 的 数 学 模 型 , 是 中 考 的 常 见 题 型 , 同 学 们 应 重 点 掌 握 六、 (本大题共 1 小题,共 12 分)23 (12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形在边 AD 上取一点 E,连接 BE,使AEB=60(1)利用尺规作图补全图形;(要求:保留作图痕迹,并简述作图步骤)(2)取 BE 中点 M,过点

35、M 的直线交边 AB,CD 于点 P,Q 当 PQBE 时,求证: BP=2AP;当 PQ=BE 时,延长 BE,CD 交于 N 点,猜想 NQ 与 MQ 的数量关系,并说明理由【 分 析 】 ( 1) 如 图 , 分 别 以 点 B、 C 为 圆 心 , BC 长 为 半 径 作 弧 交 正 方 形 内 部 于点 T, 连 接 BT 并 延 长 交 边 AD 于 点 E; ( 2) 连 接 PE, 先 证 明 PQ 垂 直 平 分 BE 得 到 PB=PE, 再 证 明 APE=60, 得到 AEP=30, 利 用 在 直 角 三 角 形 中 , 30所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边

36、的 一 半 , 即 可 解答 ;( 3) NQ=2MQ 或 NQ=MQ, 分 两 种 情 况 讨 论 作 出 辅 助 线 , 证 明 ABE FQP, 即 可 解 答 【 解 答 】 解:(1)如图 1,分别以点 B、C 为圆心,BC 长为半径作弧交正方形内部于点T,连接 BT 并延长交边 AD 于点 E; (2)连接 PE,如图 2,点 M 是 BE 的中点,PQ BEPQ 垂直平分 BEPB=PE ,PEB=PBE=90AEB=9060=30,APE=PBE+PEB=60 ,AEP=90APE=9060=30 ,BP=EP=2AP(3)NQ=2MQ 或 NQ=MQ理由如下:如图 3 所示,

37、过点 Q 作 QFAB 于点 F 交 BC 于点 G,则 QF=CB正方形 ABCD 中,AB=BC,FQ=AB在 Rt ABE 和 RtFQP 中,ABEFQP(HL) FQP=ABE=30 又MGO= AEB=60,GMO=90,CDAB N= ABE=30NQ=2MQ如图 4 所示,过点 Q 作 QFAB 于点 F 交 BC 于点 G,则 QF=CB同理可证ABEFQP此时FPQ=AEB=60 又FPQ=ABE+PMB,N=ABE=30EMQ= PMB=30N= EMQ ,NQ=MQ【 点 评 】 本 题 考 查 了 正 方 形 的 性 质 定 理 、 全 等 三 角 形 的 性 质 定 理 与 判 定 定 理 , 解 决本 题 的 关 键 是 作 出 辅 助 线 , 证 明 三 角 形 全 等

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