1、2021 届届浙江浙江高考数学预测卷（一）高考数学预测卷（一） 选择题部分（共选择题部分（共 40 分）分） 一一、选择题：本大题共、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。目要求的。 1.已知集合 3 |log (2)2 ,|20AxxBxxm，若AB，则实数m的取值范围是( ) A.(,4 B.(,4) C.(,22) D.(,22 2.若复数 2 323 i i aaa z (i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为( ) A.3 B.3或 1 C.3
2、或1 D.1 3.设双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的两条渐近线与圆 22 10 xy相交于ABCD， ， ，四点， 若四边形ABCD的 面积为 12，则双曲线的离心率是( ) A. 10 3 B.10 C.10或 10 3 D2 10 4.若0,0ab，则“4ab ”是“4ab”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积的最大值为( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 10 2 6.函数 41 ( )sin 2 x x f xx 的部分图像可能是( )
3、A. B. C. D. 7.随机变量的分布列为 1 2 3 P 1 2 p 1 2 2 p 则当 p 在 1 ,1 3 内增大时，有( ) A.( )E增大，( )D增大 B.( )E增大，( )D先增大后减小 C.( )E减小，( )D先增大后减小 D.( )E减小，( )D减小 8.设三棱锥VABC的底面是正三角形， 侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC 所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面角为，则( ) A., B., C., D., 9.已知0ab，给出下列命题： 若1,ab则1ab； 若 33 1,ab则1ab； 若ee1, a
4、b 则1ab； 若lnln1ab，则1ab. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知数列 n a的首项 1 3a ，前 n项和为 * 1 ,23, nnn S aSn N.设 3 log nn ba，则数列 n n b a 的前n项 和 n T的取值范围为( ) A. 1 ,2 3 B. 1 ,2 3 C. 1 3 , 3 4 D. 1 3 , 4 4 非选择题部分（共非选择题部分（共 110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，共小题，共 36 分。多空题每小题分。多空题每小题 6 分；单空题每小题分；单空题每小题 4 分。分。 11.
5、若 2sin3cos 6 ，则tan_；cos2_. 12.已知aR，方程 222 (2)4850a xayxya表示圆，则圆心坐标是_，半径是 _. 13. 25 1 (3)xxa的展开式中的常数项为-32，则实数 a 的值为_；展开式中含 2 x项的系数为 _. 14.已知, 4,2ABC ABACBC，点D为AB延长线上一点，2BD ，连接CD，则BDC的面积是 _，cosBDC_ 15.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c.若椭圆上存在一点 P 使 2211 sinsin ac FFPPF F ，则该椭圆的离心率的取
6、值范围为_. 16.平面向量(1,2),(4,2),()mmRabcab，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则m _. 17.已知函数 32 1 ( )ln 2 f xaxxxxx存在两个极值点，则实数 a 的取值范围是_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.（14 分）已知函数 ( )2sin1(0) 6 f xxa 图象上最高点的纵坐标为 2，且图象上相邻两个最高 点的距离为. (1)求a和的值； (2)求函数 f x在0,上的单调递减区间. 1
7、9.（15 分）已知四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形， 1 2, 3 ABAABADACBDO AO平面 111 ,ABD ABAD. (1)证明： 1 B C P平面 1 A BD； (2)求二面角 1 BAAD的余弦值. 20.（15 分）已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S，且21 nn aS. （1）求 n a与 n S； （2）记 21 n n n b a ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 21.（15 分）过0,1F的直线l与抛物线 2 :4C xy交于, A B两点，以, A B两点为切点分别作抛物线C的 切线 12 ,l l，设 1 l与 2 l
8、交于点 00 ,Q x y. (1)求 0 y； (2)过,Q F的直线交抛物线C于,M N两点，求四边形AMBN面积的最小值. 22.（15 分）已知函数 22 ( )3ln (0)f xxaxax a （1）若( )f x的极小值为 2 2a，求实数 a 的值； （2）若2a ，求证：( )(6)ln8f xxx. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：A 解析： 3 |log (2)2|211Axxxx，|20| 2 m Bxxmx x ，则由AB，得2 2 m ，解 得4m ，则实数m的取值范围是,4. 2.答案：D 解析： 2 2 323 i 23(3)i i aaa zaaa Q是纯
9、虚数， 2 230, (3)0, aa a 得 3 1, 3, aa a 或 1a.故选 D. 3.答案：A 解析： 本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形ABCD是矩形， 设点A在第一象限， 由 22 10 b yx a xy ， 得 1010 , ab A cc ，则 2 102 10 12 ab cc ，即 222 1033abcab，则 1 3 b a 或 3.又因为0ab，所 以 1 3 b a ，则该双曲线的离心率 2 10 1 3 cb e aa ，故选 A. 4.答案：A 解析：因为0,0,4abab ，所以24ab ab剟，从而4ab，充分性成立；反之，0,0,4aba
10、b， 取1,4ab，则4 4ab ，但54ab，必要性不成立.故“4ab ”是“4ab”的充分不必要条件. 5.答案：B 解析：由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥PABC，易求得 111 1 1 222 ABC SAC BC ， 115 15 222 APC SAC AP ， 115 15 222 PBC SBC BP ，由5,2APBPAB，可得 2 2 1213 23 ( 5)2 22222 PAB SAB ，所以该几何体的各个面中PAB的面积最大，为 3 2 . 6.答案：A 解析：因为 41 ( )sin22sin 2 x xx x f xxx ，所以函数( )f x的定义域为 R
11、.又 ()22 sin()22sin( ) xxxx fxxxf x ，所以函数( )f x是偶函数，故可排除 B，D 选项；因为 00 (0)22sin00f，所以排除 C 选项.故选 A. 7.答案：B 解析： 133 ( )1 222 pp Ep ， 2 195 24 222 pp Ep ，所以 22 ( )( )DEE 2 2 531 4 224 pppp ，所以 p 在 1 ,1 3 内增大时，( )E增大，( )D先增大后减小，故选 B. 8.答案：B 解析：由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线 PB与平面ABC所成的角小于直线
12、VB与平面ABC所成的角，而直线VB与平面ABC所成的角小于二面 角PACB的平面角 ，所以；因为AC 平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角大于 直线PB与平面ABC所成的角，即.故选 B. 9.答案：B 解析：本题考查不等式的性质.对于，当0ab，1ab时，()()(1abababb )()121,babb 错误；对于，由 33 ab 22 ()1ab aabb得 22 1 ab aabb .又因 为a 33 0,1,bab所以 33 11,ab 即1a ，所以 2 a 2 22 1 1,1,abbab aabb 正确；对于 ，由eae1 b 得 ee11 e12 eee ab a b
13、 bbb ，所以ln21ab，正确；对于，由lnln1ab得 e,ab则(e1)abb，当 1 e1 b 时, (e 1)1,abb 错误.综上所述，真命题的个数为 2，故选 B. 10.答案：C 解析：由 1 23 nn aS ，可得当2n 时，有 1 23 nn aS ，两式相减得 11 22(2) nnnnn aaSSa n ， 故 1 3(2) nn aa n . 又当1n 时， 2111 23233aSaa， 所以数列 n a是首项为 3，公比为 3 的等比数列，故3n n a . 所以 3 log nn ban，所以 3 n n n bn a . 所以 21 121 3333 n
14、nn nn T L， 231 1121 33333 n nn nn T L， ，得 231 21111 333333 n nn n T L， 化简整理得 31 31 42 23 n n Tn ，因为 31 0 23 n n ， 所以 3 4 n T ，又 1 1 1 0 3 nn n n TT ，所以数列 n T是递增数列，所以 1 min 1 3 n TT，所以 13 34 n T，故 n T 的取值范围是 1 3 , 3 4 ，选 C. 11.答案： 2 31 37 ； 解析： 2sin3cos 6 ， 2 sincoscossin3cos ,3sincos3cos 66 ， 2 3 3s
15、in2cos ,tan 3 .又 222 4 sincos1,sin 7 ， 2 41 cos212sin12 77 . 12.答案：2, 4 ；5 解析： 222 (2)4850a xayxyaQ表示圆， 2 2 20, 1664450, aa aa 解得1a .圆的方程为 22 4850 xyxy ，即 22 (2)(4)25xy.故圆心坐标为2, 4 ，半径为 5. 13.答案：-2；-842 解析： 5 (3)xa的通项 5 5 2 15 C 3 I rrr r Ta x ，所以 25 1 (3)xxa的展开式中的常数项为 5 32a ，解得 2a .所以 25 1 (32)xx的展开
16、式中含 2 x项的系数为 141 5 32C 3 ( 2)842. 14.答案： 15 2 ； 10 4 解析：依题意作出图形，如图所示，则sinsinDBCABC， 由题意知4,2ABACBCBD，则 151 sin,cos 44 ABCABC， 所以 111515 sin22 2242 BDC SBC BDDBC ， 因为 2222 18 coscos 428 BDBCCDCD DBCABC BD BC ， 所以10CD ， 由余弦定理，得 410410 cos 42210 BDC . 15.答案：( 21,1) 解析：在 12 PFFV中，由正弦定理知 2 12 211 sin sin
17、PFPFF PF FPF .因为 1221 sinsin ac PFFPF F ，椭圆离心率 c e a ，所 以 2 1 1PFa PFce ，即 12 PFe PF. 又因为点 P 在椭圆上，所以 12 2PFPFa. 将代入得 2 2 1 a PF e .又 2 acPFac ，所以同除以 a 得 2 11 1 ee e .又01e，所以 211e . 16.答案：2 解析： 由(1,2),(4,2)ab， 得(4,22),|5,| 2 5mmmcabab，58,820mm a cb c.c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角， | c ac b c ac b ，即 58820 52
18、 5 mm ，解得2m . 17.答案： 1 0, 3 解析：由题意得 2 ( )3ln ,fxaxxx 因为函数 ( )f x有两个极值点，所以 ( )fx 有两个变号零点.由( )0fx 得 2 3lnaxxx，即3a 2 ln . xx x 令 2 ln ( ), xx g x x 则 3 12ln ( ), xx g x x 易知函数 12lnyxx 是减 函数，且当1x 时， 0y ，所以当01x时，( )0, ( )g xg x 单调递增；当1x 时，( )0, ( )g xg x 单调递 减.故 max ( )(1)1,g xg 又当 1 0 e x 时, ( ) 0,g x 当
19、1x 时, ( ) 0g x 所以要使( )fx 有两个零点， 需031a， 即 1 0 3 a. 18.答案：(1)当 sin1 6 x 时，( )f x取得最大值为213aa . 又 f x图象上最高点的纵坐标为 2，32a ，即1a . 又 f x的图象上相邻两个最高点的距离为， f x的最小正周期T ， 2 2 T . (2)由(1)得 ( )2sin 2 6 f xx ， 由 3 2 22 , 262 kxkkZ， 得 2 , 63 kxkkZ. 令0k ，得 2 63 x. 函数 f x在0,上的单调递减区间为 2 , 63 . 19.答案： (1)连接 1 AB交 1 A B于点
20、 Q， 连接OQ， 易知 Q为 1 AB的中点，O为AC的中点，在 1 ABCV中， 1 1 2 OQBCP， OQ Q平面 11 ,ABD BC 平面 1 A BD， 1 BCP平面 1 A BD. (2)连接 1 ,AOAO Q平面 11 ,ABDAOAO， 11 ABADQ且O为BD的中点， 1 AOBD， ,AO BDQ平面ABCD且AOBDO， 1 AO平面ABCD. 如图，以O为坐标原点， 1 ,OA OB OA所在直线分别为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 易得 1 ( 3,0,0), (0,1,0),(0, 1,0),(0,0,1)ABDA， 1 (3,0,1)
21、,(3,1,0)AAAB uuu ruu u r ， 设平面 1 A AB的法向量为( , , )x y zn， 则 1 0, 0, AA AB n n uuu r uuu r 30, 30, xz xy 令1x ，得3yz， (1, 3, 3)n. 同理可得平面 1 A AD的一个法向量为(1,3, 3)m， 1 cos, |7 m n m n m n ， 结合图形知，二面角 1 BAAD为钝二面角， 二面角 1 BAAD的余弦值为 1 7 . 20.答案：(1)由2 1, nn aS得21 nn Sa， 当1n 时， 111 21,aSa得 1 1a ； 当2n时， 11 2121 , n
22、nnnn aSSaa 得 1 2, nn aa 所以数列 n a 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 所以 1 2n n a . 所以2121. n nn Sa (2)由(1)可得 1 21, 2 n n n b 则 21 13521 1 1 1222 n n n T L 21 111 35(21) 222n n L， 23 11111 135(21) 22222 n n Tn L， 两式相减得 231 111111 12(21), 222222 n nn Tn L 所以 2311 11111 24(21) 22222 n nn Tn L 1 11 1 22 24(21) 1 2 1 2
23、n n n 1 23 6 2n n . 21.答案：(1)设 1122 ,A x yB x y，直线:1l ykx， 由 2 4 , 1 xy ykx 得 2 440 xkx，所以 12 12 4 , 4, xxk x x 由 2 1 4 2 xyyx，所以 1111 1 : 2 lyyxxx， 即 2 1 11 1 : 24 x lyx x， 同理 2 2 22 1 : 24 x lyx x，联立得 2 1 1 2 2 2 1 , 24 1 , 24 x yx x x yx x 得 12 0 12 0 2 , 2 1, 4 xx xk x x y 即 0 1y . (2)因为 12 2121
24、 ,2 , 2 xx QFABxx yy uuu ruuu r ， 所以 222222 211221 21 20 222 xxxxxx QF AByy uuu r uu u r ， 所以QFAB uuu ruu u r ，即MNAB. 而 2 1212 |2444AByyk xxk， 同理 2 4 |4MN k (易知0k )， 所以 22 22 111 | 8118232 2 AMBN SABMNkk kk ， 当且仅当1k 时，四边形AMBN的面积取得最小值 32. 22.答案：(1)由题意， 22 ( )3lnf xxaxax的定义域为(0,)，且 222 323()(23 ) ( )2
25、(0) axaxaxaxa fxxax xxx .由( )0fx 得0 xa，由( )0fx 得xa， ( )f x在区间(0, )a上单调递减，在区间( ,)a 上单调递增， ( )f x的极小值为 22222 ( )3ln23lnf aaaaaaaa， 则 222 23ln2aaaa，得 2 3ln0aa ， 0,ln0aa，解得1a . (2)当2a 时， 2 ( )212lnf xxxx， 设( )( )(6)lng xf xxx， 则 22 ( )212ln(6)ln26lnlng xxxxxxxxxxx， 则 2 62ln6 ( )22ln1 xxxx g xxx xx . 设 2
26、 ( )2ln6h xxxxx，则( )41(ln1)4lnh xxxxx . 设( )4lnm xxx，则 141 ( )4(0) x m xx xx . 由( )0m x 可得 1 0 4 x，由( )0m x 可得 1 4 x ， ( )m x在 1 0, 4 上单调递减，在 1 , 4 上单调递增， 11 ( )1ln12ln20 44 m xm ，即( )0h x ， ( )h x在(0,)上单调递增. (1)30, (2)42ln20hh ， ( )h x在(0,)上存在唯一的零点 0, x且 0 (1,2)x . 由 2 00000 2ln60h xxxxx，得 00 0 6 ln21xx x ， 当 0 0,xx时，( )0,( )0h xg x ，当 0, xx时，( )0,( )0h xg x ， 22 000000000 ( )26lnln26g xg xxxxxxxxx 2 000 00 636 2111xxx xx ， 易知 2 36 11yxx x 在区间(1,2)上单调递减，故 2 0 36 211 28 2 g x ， ( )( )(6)ln8g xf xxx ，即( )(6)ln8f xxx.
