1、2021 届届浙江浙江高考数学预测卷（二）高考数学预测卷（二） 选择题部分（共选择题部分（共 40 分）分） 一一、选择题：本大题共、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。目要求的。 1.已知集合 2 |30 ,| 22AxxxBxx N，则AB( ) A. 1 B.0,1 C.0,1,2 D.1,0,1 2.若(23i)4iz（i 为虚数单位），则在复平面内，复数 z 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若实
2、数, x y满足不等式组 0, 0, 22, x y xy ，则3zxy的取值范围为( ) A.(,3 B.2,3 C.2,) D.3,) 4.函数sinsinyxxx在区间 ,上的图像大致为( ) A. B. C. D. 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A. 8 3 B.8 C. 3 D.12 6.设,m n是两条不同的直线，, 是两个不同的平面， 且直线m， 直线n， 则下列结论正确的是( ) A.“mn”是“n”的充分条件 B.“mnP”是“mP”的既不充分又不必要条件 C.“P”是“mnP”的充要条件 D.“mn”是“”的必要条件 7.已知各项均不相等的等
3、比数列 n a，若 234 3,2,aa a成等差数列， n S为数列 n a的前n项和，则 3 3 S a ( ) A. 13 9 B. 7 9 C.3 D.1 8.在平面直角坐标系xOy中，直线:40l kxyk与曲线 2 9yx交于, A B两点，且2AO AB uuu r uuu r ，则k ( ) A. 3 3 B. 2 2 C.1 D.3 9.已知abc，下列不等式不一定成立的是（ ） A 2 acbabbc B 22 11 ab cc C 2 abcacbc D 2 bac 10.已知aR.设函数 2 22 ,1, ( ) ln ,1. xaxa x f x xax x 若关于x
4、的不等式 0f x 在 R上恒成立，则a的取值 范围为( ) A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e 非选择题部分（共非选择题部分（共 110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，共小题，共 36 分。多空题每小题分。多空题每小题 6 分；单空题每小题分；单空题每小题 4 分。分。 11.设 n S是数列 n a的前n项和，且 111 1, nnn aaS S ，则 n S _. 12.已知 4 n a x x 的展开式中第四项的系数为 120，所有奇数项的二项式系数之和为 512，则实数a _，展开式中的常数项为_. 13.已知 44 2 cossin 3
5、，且 0, 2 ，则sin2_， cos 2 3 _. 14.已知圆锥的顶点为S， 母线,SA SB所成角的余弦值为 7 8 .SA与圆锥底面所成角为 45.若SABV的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_. 15.已知直线:1l mxy，若直线l与直线10 xmy 平行，则实数m的值为_，动直线l被 圆 22 :2240C xyx截得弦长的最小值为_. 16.已知,m n为正常数，离散型随机变量X的分布列如下表： X 1 0 1 P m 1 4 n 若随机变量X的数学期望 7 12 E X ，则mn _，()0P X _. 17.已知(1,2),(1,1)ab，且 a 与ab的夹角为锐角，
6、则实数的取值范围为_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.（14 分）设ABCV的内角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，且coscC是cosaB与cosbA的等差中项. (1)求角C的大小； (2)若2c ，求ABCV周长的最大值. 19. （15 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是菱形，60 ,DABPD平面,1ABCD PDAD， 点,E F分别为AB和PD的中点. (1)求证：直线AF P平面PEC； (2)求PC与平面PAB
7、所成角的正弦值. 20. （15 分） 设 n S是数列 n a的前 n 项和， * 211 3322, nnnn SSSSnn N且 123 2,6,12.aaa (1)求证：数列 1nn aa 为等差数列； (2)求数列 n a的通项公式. 21.（15 分）定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆 12 ,E E，它们的长、短半 轴长分别为 11 ,a b和 22 ,a b，若满足 2121 ,(,2) kk aa bb kkZ，则称 2 E为 1 E的 k级相似椭圆.已知椭圆 22 12 2 1 :1, 4 xy EE b 为 1 E的 2 级相似椭圆，且焦点共轴，
8、 1 E与 2 E的离心率之比为2:7. (1)求 2 E的方程. (2)已知P为 2 E上任意一点，过点P作 1 E的两条切线，切点分别为 1122 ,A x yB x y. 证明： 1 E在 11 ,A x y处的切线方程为 11 2 1 1 4 x xy y b . 是否存在一定点到直线AB的距离为定值?若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由. 22.（15 分）函数 2 11 ( )e 22 x f xxa x . （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求实数 a 的取值范围. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：B 解析：本题考查一元二次不等式的解法
9、及集合的交集运算. 2 |300,1,2,3,22,0,1.AxxxBxxABN故选 B. 2.答案：A 解析：本题考查复数的运算、复数的几何意义.依题意， 4i(4i)(23i)514i 23i(23i)(23i)13 z ，故在复平面内， 复数 z 所对应的点为 5 14 , 13 13 ，位于第一象限.故选 A. 3.答案：C 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（包含边界）所示，目标函数3zxy可化为 1 33 z yx ，作出直线 1 3 yx 并平移，由图可知当直线经过点(2,0)时，在 y 轴上的截距最小，此时 z 取 得最小值 2，无最大值.故选 C. 4.答案：A
10、解析：将,x分别代入sinsinyxxx，得到的函数值均为 0，排除 B，D 选项；又因为当0 x 时， 0y ，排除 C 选项.故选 A. 5.答案：B 解析：由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥， 3 114 164228 323 V. 6.答案：B 解析：nm推不出n，故 A 错误；mnP时，m也可能在平面内，不能得出mP，反之，mP 时，内的直线也不一定与m平行，即不能得出mnP，所以“mnP”是“mP”的既不充分又不必 要条件，故 B 正确；P时，,m n可能是异面直线，不一定平行，反之，mnP时，, 也可能相交，不 一定平行，故 C 错误；时，,m n可能相交，可能平
11、行，不一定垂直，故 D 错误.故选 B. 7.答案：A 解析：设等比数列 n a的公比为 234 ,3,2,qaa aQ成等差数列， 22 324222 2 23,43,430aaaa qaa q qq ，解得1q 或3q .又数列 n a的各项均不相等， 3 1 3 31 31 13 3 1 3, 99 a S q aa .故选 A. 8.答案：C 解析： 直线40kxyk， 即(4)0k xy， 所以直线l过定点( 4,0)P ， 曲线 2 9yx是圆心为原点， 半径3r 的上半圆.如图，过圆心O作OMl于M，则 1 | | | 2 2 AO ABAMABABAB uuu r uuu r
12、，所以 | 2AB . 解法一 R t O A MV中，| 1,| 3AMrOA，所以 2 |312 2OM ，Rt OPMV中， 2 22 sin 42 MPO，所以 4 MPO，直线l的斜率为 tan1 4 ，故选 C. 解法二 易知0k ，则圆心到直线l的距离 222 |4 |4 ( 1)1 kk d kk ， 2 22 2 4 | 2292 1 k ABrd k ，得1k ，故选 C. 9.答案：D 解析： 2 ()()()()()acbabbca cbb bcab cb 因为abc，所以0ab，0cb， 所以()()0ab cb， 则 2 acbabbc一定成立，排除 A； 因为ab
13、，且 2 10c ， 所以 22 11 ab cc 一定成立，排除 B； 因为 2 ()()()()()0abcacbcb acc caac bc， 所以 2 abcacbc一定成立，排除 C； 当3a ， 5 2 b ，1c 时， 2 bac； 当3a ， 3 2 b ，1c 时， 2 bac， 则 2 bac不一定成立 10.答案：C 解析：解法一 当0a 时，不等式( )0f x 恒成立，排除 D；当ea 时， 2 2e2e,1, ( ) eln ,1, xxx f x xx x 当1x 时， 2 ( )2e2ef xxx的最小值为(1)10f ，满足( )0f x ；当1x 时，由(
14、)elnf xxx可得 ee ( )1 x fx xx ， 易得( )f x在ex 处取得极小值(也是最小值)(e)0f， 满足( )0f x 恒成立， 排除 A， B.故选 C. 解法二 若 222 1, ( )22()2xf xxaxaxaaa， 当1a 时， 可得( )f x的最小值为 2 ( )2f aaa， 令( )0f a ， 解得02a， 故01a； 当1a 时， 可得( )f x的最小值为(1)10f ， 满足条件.所以0a . 若1x ， 由( )lnf xxax可得( )1 axa fx xx ， 当1a 时，( )0fx ， 则( )f x单调递增， 故只需(1)0f，
15、显然成立； 当1a 时， 由( )0fx 可得xa， 易得( )f x的最小值为( )lnf aaaa， 令( )0f a ， 解得ea ， 故1ea，所以ea .综上， a的取值范围是0,e. 11.答案： 1 n 解析： 1111 , nnnnnnn aSSSSSS Q，又 1 1 111 1,0,1, n nnn aS SSS 是等差数列，且公差为 1，又 11 1111 1,1(1)( 1), n n nnS SaSn . 12.答案：1；45 解析： 4 n a x x 的展开式的所有项的二项式系数之和为2 , n 且二项展开式的奇数项和偶数项的二项式系数之 和相等，所以 1 251
16、2, n 解得10,n 展开式中的第四项为 7 33 410 4 C, a Tx x 所以 37 10 C120a ，解得1,a 所以 4 n a x x 即 10 4 1 ,x x 其展开式的通项 1r T 10 540 1010 4 1 CC, r rrrr xx x 令5400,r 解得8r ，所以展开 式中的常数项为 8 10 C45. 13.答案： 5 3 ； 215 6 解析： 442222 2 cossinsincoscossincos2 3 Q，又 0,2(0,) 2 ， 2 5 sin21cos 2 3 ， 131235215 cos 2cos2sin2 32223236 .
17、 14.答案：40 2 解析：如图所示，设S在底面的射影为S，连接,AS SS.SABV的面积为 222 1115 sin1cos5 15 2216 SA SBASBSAASBSA， 2 80,4 5SASA.SAQ与底面所成的角 为 45 ， 2 45 ,cos454 52 10 2 SASASSA 底面周长24 10,lAS圆锥的侧面积为 1 4 54 1040 2 2 . 15.答案：1；2 23 解析：由题得 110mm ，所以1m .当1m 时，两直线重合，舍去，故1m . 因为圆C的方程 22 2240 xyx可化为 2 2 125xy，即圆心为1,0C ，半径为 5.由于直线 :
18、10l mxy 过定点0, 1P，所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为 22 25( 2)2 23. 16.答案： 1 18 ； 1 3 解析：由题意知 1 1, 4 7 , 12 mn nm 解得 1 , 12 2 , 3 m n 故 111 , (0) 1843 mnP Xm. 17.答案： 5 ,0(0,) 3 解析：a与ab均为非零向量，且夹角为锐角，()0 aab，即 5 (1,2) (1,2)0,(1)2(2)0, 3 . 当 a 与ab共线时，存在实数 m，使maba， 即 1, (1,2)(1,2),0 22 , m m m ，即 当0时，a 与ab共线. 综上可
19、知，实数的取值范围为 5 ,0(0,) 3 . 18.答案：(1)由题意得coscos2 cosaBbAcC，由正弦定理得sincossincos2sincosABBACC，即 sin()sin2sincosABCCC，易知sin0C ，解得 1 cos 2 C ，所以60C . (2)解法一 由余弦定理得 222222 42cos()3cababCabababab 2 2 2 () ()3 24 abab ab ，得4ab，当且仅当2ab时等号成立，故ABCV周长的最大值为 6. 解法二 由正弦定理得 4 3 sinsinsin3 abc ABC ，故ABCV的周长为 4 34 3 (sin
20、sin)2sinsin602 33 abcABAA 4 3 33 sincos24sin302 322 AAA .0120 ,AQ当60A 时，ABCV的周长取得最大值， 为 6. 19.答案：(1)如图，作FMCDP交PC于M，连接ME， Q点F为PD的中点， 1 2 FMCDP， 又E是AB的中点， 1 , 2 AEABFM四边形AEMF为平行四边形， AFEMP， AF Q平面,PEC EM 平面PEC， AFP平面PEC. (2)如图所示，建立空间直角坐标系，由已知得 3313 13 1 0,0,1 ,0,1,0,0,0 ,0 ,0 ,1 ,(0,1,0) 22222 , 22 PCE
21、ABAPAB uu u ruu u r . 设平面PAB的一个法向量为, ,x y zn， 0, 0, AB AP n n uuu r Q uuu r 0, 31 0, 22 y xyz 取1x ，则 3 2 z ， 平面PAB的一个法向量为 3 1,0, 2 n， (0,1, 1)PC uuu r Q， 设向量n与PC uuu r 所成的角为 ， 3 42 2 cos 147 | 2 4 PC PC n n uuu r uuu r， PC与平面PAB所成角的正弦值为 42 14 . 20.答案：(1)当2n时，由 211 332, nnnn SSSS 得 2n S 11 32, nnn SS
22、S 即 211 32, nnnn aaaa 整理得 211 2, nnnn aaaa 则数列 1nn aa 从第二项起成等差数列. 因为 123 2,6,12,aaa 所以 3221 2,aaaa 符合上式， 所以数列 1nn aa 是等差数列. (2)由(1)知 1 42(1)2(1) nn aann . 当2n时 112211 , nnnnn aaaaaaaa L22(1)222(1)nnn nL ， 又 1 2a 也符合上式， 所以 * (1) n an nnN. 21.答案：(1)由题意得 2 1221 2,4,aabb， 记 1 E与 2 E的离心率分别为 12 ,e e， 则 22
23、2222 22111222 12 22 12 416 , 416 abbabb ee aa ， 所以 2 2 1 1 242 211 4 4 44 1647 b e ebb ，解得 2 1 3b ，则 2 3b ， 故椭圆 22 1: 1 43 xy E，椭圆 22 2: 1 169 xy E. (2)点A在椭圆 22 1: 1 43 xy E上，有 22 11 34120 xy. 假设 1 E在 11 ,A x y处的切线方程为 11 2 1 1 4 x xy y b ，即 11 1 43 x xy y . 联立椭圆 1 E与直线AP的方程得 11 22 11 22 1, 43 361240
24、 1 43 x xy y xx xy xy ， 所以 2222 1111 3612 12412 34120 xyxy ，即直线AP与椭圆相切. 所以 1 E在 11 ,A x y处的切线方程为 11 1 43 x xy y . 由得，过点B的切线方程为 22 1 43 x xy y ， 设 00 ,P x y，则 22 00 1 169 xy ，即 22 00 916144xy. 两条切线都经过点P，则点P满足方程组 1010 2020 1, 43 1, 43 x xy y x xy y 那么点A和点B都在直线 00 1 43 xy xy上， 则直线AB的方程为 00 1 43 xy xy，即
25、 00 3412x xy y. 假设存在一定点, CC C xy到直线AB的距离为定值， 即点C到直线AB的距离 00 00 22 00 3412|3412| 12 916 C CC C xxyyxxyy d xy 为定值，则0,1 CC xyd， 故存在一定点(0,0)C到直线AB的距离为定值 1. 22.答案：（1） 1 ( )e2 2 x fxxa ， 当0a时， 1 e20, 2 x ax 时，( )0, ( )fxf x 单调递减； 1 , 2 x 时，( )0, ( )fxf x 单调递 增. 当0a 时，令( )0fx ，得 12 1 ,ln( 2 ) 2 xxa . 当 1 l
26、n( 2 ) 2 a ，即 e 2e a 时，( ) 0fx ，等号不恒成立，( )f x在 R 上单调递增； 当 1 ln( 2 ) 2 a ，即 e 0 2e a时，( )f x在 1 (ln( 2 ), 2 a ，上单调递减，在 1 (,ln( 2 ), 2 a 上单 调递增； 当 1 ln( 2 ) 2 a ，即 e 2e a 时，( )f x在 1 ,ln( 2 ) 2 a 上单调递减，在 1 ,(ln( 2 ),) 2 a 上单调递增. （2）当0a 时，由 1 可知，( )f x只有一个极小值点 1 2 x ， 且 1e1 0,0 2e2 ffa . 取 3 2 b ，且ln 2
27、 a b ，则e 2 b a ， 22 1111 ( )e 22222 b a f bba bba b 22 33 22 ababa bb ， 因为 3 2 b ，所以 2 3 0 2 bb，则( )0f b ，此时( )f x有两个零点. 当0a 时， 1 ( )e 2 x f xx ，此时( )f x只有一个零点. 当0a 时，若 1 2 x ，则恒有( )0f x ， 当 e 0 2e a时，( )f x在 1 , 2 上单调递增，此时( )f x在 R 上不可能有两个零点； 当 e 2e a 时， 若 1 ln( 2 ) 2 a， 同理可知( )f x在 R 上不可能有两个零点， 若 1 ln( 2 ) 2 a，( )f x在 1 , 2 上 先减后增，此时( )f x在 R 上也不可能有两个零点. 综上，实数 a 的取值范围是(0,).
