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2021届浙江省高考数学预测卷(一)含答案解析

1、2021 届届浙江浙江高考数学预测卷(一)高考数学预测卷(一) 选择题部分(共选择题部分(共 40 分)分) 一一、选择题:本大题共、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。目要求的。 1.已知集合 3 |log (2)2 ,|20AxxBxxm,若AB,则实数m的取值范围是( ) A.(,4 B.(,4) C.(,22) D.(,22 2.若复数 2 323 i i aaa z (i为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为( ) A.3 B.3或 1 C.3

2、或1 D.1 3.设双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 的两条渐近线与圆 22 10 xy相交于ABCD, , ,四点, 若四边形ABCD的 面积为 12,则双曲线的离心率是( ) A. 10 3 B.10 C.10或 10 3 D2 10 4.若0,0ab,则“4ab ”是“4ab”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各个面中,面积的最大值为( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 5 2 D. 10 2 6.函数 41 ( )sin 2 x x f xx 的部分图像可能是( )

3、A. B. C. D. 7.随机变量的分布列为 1 2 3 P 1 2 p 1 2 2 p 则当 p 在 1 ,1 3 内增大时,有( ) A.( )E增大,( )D增大 B.( )E增大,( )D先增大后减小 C.( )E减小,( )D先增大后减小 D.( )E减小,( )D减小 8.设三棱锥VABC的底面是正三角形, 侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC 所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角PACB的平面角为,则( ) A., B., C., D., 9.已知0ab,给出下列命题: 若1,ab则1ab; 若 33 1,ab则1ab; 若ee1, a

4、b 则1ab; 若lnln1ab,则1ab. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知数列 n a的首项 1 3a ,前 n项和为 * 1 ,23, nnn S aSn N.设 3 log nn ba,则数列 n n b a 的前n项 和 n T的取值范围为( ) A. 1 ,2 3 B. 1 ,2 3 C. 1 3 , 3 4 D. 1 3 , 4 4 非选择题部分(共非选择题部分(共 110 分)分) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 7 小题,共小题,共 36 分。多空题每小题分。多空题每小题 6 分;单空题每小题分;单空题每小题 4 分。分。 11.

5、若 2sin3cos 6 ,则tan_;cos2_. 12.已知aR,方程 222 (2)4850a xayxya表示圆,则圆心坐标是_,半径是 _. 13. 25 1 (3)xxa的展开式中的常数项为-32,则实数 a 的值为_;展开式中含 2 x项的系数为 _. 14.已知, 4,2ABC ABACBC,点D为AB延长线上一点,2BD ,连接CD,则BDC的面积是 _,cosBDC_ 15.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c.若椭圆上存在一点 P 使 2211 sinsin ac FFPPF F ,则该椭圆的离心率的取

6、值范围为_. 16.平面向量(1,2),(4,2),()mmRabcab,且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则m _. 17.已知函数 32 1 ( )ln 2 f xaxxxxx存在两个极值点,则实数 a 的取值范围是_. 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.(14 分)已知函数 ( )2sin1(0) 6 f xxa 图象上最高点的纵坐标为 2,且图象上相邻两个最高 点的距离为. (1)求a和的值; (2)求函数 f x在0,上的单调递减区间. 1

7、9.(15 分)已知四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形, 1 2, 3 ABAABADACBDO AO平面 111 ,ABD ABAD. (1)证明: 1 B C P平面 1 A BD; (2)求二面角 1 BAAD的余弦值. 20.(15 分)已知等比数列 n a的前 n 项和为 n S,且21 nn aS. (1)求 n a与 n S; (2)记 21 n n n b a ,求数列 n b的前 n 项和 n T. 21.(15 分)过0,1F的直线l与抛物线 2 :4C xy交于, A B两点,以, A B两点为切点分别作抛物线C的 切线 12 ,l l,设 1 l与 2 l

8、交于点 00 ,Q x y. (1)求 0 y; (2)过,Q F的直线交抛物线C于,M N两点,求四边形AMBN面积的最小值. 22.(15 分)已知函数 22 ( )3ln (0)f xxaxax a (1)若( )f x的极小值为 2 2a,求实数 a 的值; (2)若2a ,求证:( )(6)ln8f xxx. 答案以及解析答案以及解析 1.答案:A 解析: 3 |log (2)2|211Axxxx,|20| 2 m Bxxmx x ,则由AB,得2 2 m ,解 得4m ,则实数m的取值范围是,4. 2.答案:D 解析: 2 2 323 i 23(3)i i aaa zaaa Q是纯

9、虚数, 2 230, (3)0, aa a 得 3 1, 3, aa a 或 1a.故选 D. 3.答案:A 解析: 本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形ABCD是矩形, 设点A在第一象限, 由 22 10 b yx a xy , 得 1010 , ab A cc ,则 2 102 10 12 ab cc ,即 222 1033abcab,则 1 3 b a 或 3.又因为0ab,所 以 1 3 b a ,则该双曲线的离心率 2 10 1 3 cb e aa ,故选 A. 4.答案:A 解析:因为0,0,4abab ,所以24ab ab剟,从而4ab,充分性成立;反之,0,0,4aba

10、b, 取1,4ab,则4 4ab ,但54ab,必要性不成立.故“4ab ”是“4ab”的充分不必要条件. 5.答案:B 解析:由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥PABC,易求得 111 1 1 222 ABC SAC BC , 115 15 222 APC SAC AP , 115 15 222 PBC SBC BP ,由5,2APBPAB,可得 2 2 1213 23 ( 5)2 22222 PAB SAB ,所以该几何体的各个面中PAB的面积最大,为 3 2 . 6.答案:A 解析:因为 41 ( )sin22sin 2 x xx x f xxx ,所以函数( )f x的定义域为 R

11、.又 ()22 sin()22sin( ) xxxx fxxxf x ,所以函数( )f x是偶函数,故可排除 B,D 选项;因为 00 (0)22sin00f,所以排除 C 选项.故选 A. 7.答案:B 解析: 133 ( )1 222 pp Ep , 2 195 24 222 pp Ep ,所以 22 ( )( )DEE 2 2 531 4 224 pppp ,所以 p 在 1 ,1 3 内增大时,( )E增大,( )D先增大后减小,故选 B. 8.答案:B 解析:由题意,不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等,因为点P是棱VA上的点(不含端点),所以直线 PB与平面ABC所成的角小于直线

12、VB与平面ABC所成的角,而直线VB与平面ABC所成的角小于二面 角PACB的平面角 ,所以;因为AC 平面ABC,所以直线PB与直线AC所成的角大于 直线PB与平面ABC所成的角,即.故选 B. 9.答案:B 解析:本题考查不等式的性质.对于,当0ab,1ab时,()()(1abababb )()121,babb 错误;对于,由 33 ab 22 ()1ab aabb得 22 1 ab aabb .又因 为a 33 0,1,bab所以 33 11,ab 即1a ,所以 2 a 2 22 1 1,1,abbab aabb 正确;对于 ,由eae1 b 得 ee11 e12 eee ab a b

13、 bbb ,所以ln21ab,正确;对于,由lnln1ab得 e,ab则(e1)abb,当 1 e1 b 时, (e 1)1,abb 错误.综上所述,真命题的个数为 2,故选 B. 10.答案:C 解析:由 1 23 nn aS ,可得当2n 时,有 1 23 nn aS ,两式相减得 11 22(2) nnnnn aaSSa n , 故 1 3(2) nn aa n . 又当1n 时, 2111 23233aSaa, 所以数列 n a是首项为 3,公比为 3 的等比数列,故3n n a . 所以 3 log nn ban,所以 3 n n n bn a . 所以 21 121 3333 n

14、nn nn T L, 231 1121 33333 n nn nn T L, ,得 231 21111 333333 n nn n T L, 化简整理得 31 31 42 23 n n Tn ,因为 31 0 23 n n , 所以 3 4 n T ,又 1 1 1 0 3 nn n n TT ,所以数列 n T是递增数列,所以 1 min 1 3 n TT,所以 13 34 n T,故 n T 的取值范围是 1 3 , 3 4 ,选 C. 11.答案: 2 31 37 ; 解析: 2sin3cos 6 , 2 sincoscossin3cos ,3sincos3cos 66 , 2 3 3s

15、in2cos ,tan 3 .又 222 4 sincos1,sin 7 , 2 41 cos212sin12 77 . 12.答案:2, 4 ;5 解析: 222 (2)4850a xayxyaQ表示圆, 2 2 20, 1664450, aa aa 解得1a .圆的方程为 22 4850 xyxy ,即 22 (2)(4)25xy.故圆心坐标为2, 4 ,半径为 5. 13.答案:-2;-842 解析: 5 (3)xa的通项 5 5 2 15 C 3 I rrr r Ta x ,所以 25 1 (3)xxa的展开式中的常数项为 5 32a ,解得 2a .所以 25 1 (32)xx的展开

16、式中含 2 x项的系数为 141 5 32C 3 ( 2)842. 14.答案: 15 2 ; 10 4 解析:依题意作出图形,如图所示,则sinsinDBCABC, 由题意知4,2ABACBCBD,则 151 sin,cos 44 ABCABC, 所以 111515 sin22 2242 BDC SBC BDDBC , 因为 2222 18 coscos 428 BDBCCDCD DBCABC BD BC , 所以10CD , 由余弦定理,得 410410 cos 42210 BDC . 15.答案:( 21,1) 解析:在 12 PFFV中,由正弦定理知 2 12 211 sin sin

17、PFPFF PF FPF .因为 1221 sinsin ac PFFPF F ,椭圆离心率 c e a ,所 以 2 1 1PFa PFce ,即 12 PFe PF. 又因为点 P 在椭圆上,所以 12 2PFPFa. 将代入得 2 2 1 a PF e .又 2 acPFac ,所以同除以 a 得 2 11 1 ee e .又01e,所以 211e . 16.答案:2 解析: 由(1,2),(4,2)ab, 得(4,22),|5,| 2 5mmmcabab,58,820mm a cb c.c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, | c ac b c ac b ,即 58820 52

18、 5 mm ,解得2m . 17.答案: 1 0, 3 解析:由题意得 2 ( )3ln ,fxaxxx 因为函数 ( )f x有两个极值点,所以 ( )fx 有两个变号零点.由( )0fx 得 2 3lnaxxx,即3a 2 ln . xx x 令 2 ln ( ), xx g x x 则 3 12ln ( ), xx g x x 易知函数 12lnyxx 是减 函数,且当1x 时, 0y ,所以当01x时,( )0, ( )g xg x 单调递增;当1x 时,( )0, ( )g xg x 单调递 减.故 max ( )(1)1,g xg 又当 1 0 e x 时, ( ) 0,g x 当

19、1x 时, ( ) 0g x 所以要使( )fx 有两个零点, 需031a, 即 1 0 3 a. 18.答案:(1)当 sin1 6 x 时,( )f x取得最大值为213aa . 又 f x图象上最高点的纵坐标为 2,32a ,即1a . 又 f x的图象上相邻两个最高点的距离为, f x的最小正周期T , 2 2 T . (2)由(1)得 ( )2sin 2 6 f xx , 由 3 2 22 , 262 kxkkZ, 得 2 , 63 kxkkZ. 令0k ,得 2 63 x. 函数 f x在0,上的单调递减区间为 2 , 63 . 19.答案: (1)连接 1 AB交 1 A B于点

20、 Q, 连接OQ, 易知 Q为 1 AB的中点,O为AC的中点,在 1 ABCV中, 1 1 2 OQBCP, OQ Q平面 11 ,ABD BC 平面 1 A BD, 1 BCP平面 1 A BD. (2)连接 1 ,AOAO Q平面 11 ,ABDAOAO, 11 ABADQ且O为BD的中点, 1 AOBD, ,AO BDQ平面ABCD且AOBDO, 1 AO平面ABCD. 如图,以O为坐标原点, 1 ,OA OB OA所在直线分别为, ,x y z轴,建立空间直角坐标系Oxyz. 易得 1 ( 3,0,0), (0,1,0),(0, 1,0),(0,0,1)ABDA, 1 (3,0,1)

21、,(3,1,0)AAAB uuu ruu u r , 设平面 1 A AB的法向量为( , , )x y zn, 则 1 0, 0, AA AB n n uuu r uuu r 30, 30, xz xy 令1x ,得3yz, (1, 3, 3)n. 同理可得平面 1 A AD的一个法向量为(1,3, 3)m, 1 cos, |7 m n m n m n , 结合图形知,二面角 1 BAAD为钝二面角, 二面角 1 BAAD的余弦值为 1 7 . 20.答案:(1)由2 1, nn aS得21 nn Sa, 当1n 时, 111 21,aSa得 1 1a ; 当2n时, 11 2121 , n

22、nnnn aSSaa 得 1 2, nn aa 所以数列 n a 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 所以 1 2n n a . 所以2121. n nn Sa (2)由(1)可得 1 21, 2 n n n b 则 21 13521 1 1 1222 n n n T L 21 111 35(21) 222n n L, 23 11111 135(21) 22222 n n Tn L, 两式相减得 231 111111 12(21), 222222 n nn Tn L 所以 2311 11111 24(21) 22222 n nn Tn L 1 11 1 22 24(21) 1 2 1 2

23、n n n 1 23 6 2n n . 21.答案:(1)设 1122 ,A x yB x y,直线:1l ykx, 由 2 4 , 1 xy ykx 得 2 440 xkx,所以 12 12 4 , 4, xxk x x 由 2 1 4 2 xyyx,所以 1111 1 : 2 lyyxxx, 即 2 1 11 1 : 24 x lyx x, 同理 2 2 22 1 : 24 x lyx x,联立得 2 1 1 2 2 2 1 , 24 1 , 24 x yx x x yx x 得 12 0 12 0 2 , 2 1, 4 xx xk x x y 即 0 1y . (2)因为 12 2121

24、 ,2 , 2 xx QFABxx yy uuu ruuu r , 所以 222222 211221 21 20 222 xxxxxx QF AByy uuu r uu u r , 所以QFAB uuu ruu u r ,即MNAB. 而 2 1212 |2444AByyk xxk, 同理 2 4 |4MN k (易知0k ), 所以 22 22 111 | 8118232 2 AMBN SABMNkk kk , 当且仅当1k 时,四边形AMBN的面积取得最小值 32. 22.答案:(1)由题意, 22 ( )3lnf xxaxax的定义域为(0,),且 222 323()(23 ) ( )2

25、(0) axaxaxaxa fxxax xxx .由( )0fx 得0 xa,由( )0fx 得xa, ( )f x在区间(0, )a上单调递减,在区间( ,)a 上单调递增, ( )f x的极小值为 22222 ( )3ln23lnf aaaaaaaa, 则 222 23ln2aaaa,得 2 3ln0aa , 0,ln0aa,解得1a . (2)当2a 时, 2 ( )212lnf xxxx, 设( )( )(6)lng xf xxx, 则 22 ( )212ln(6)ln26lnlng xxxxxxxxxxx, 则 2 62ln6 ( )22ln1 xxxx g xxx xx . 设 2

26、 ( )2ln6h xxxxx,则( )41(ln1)4lnh xxxxx . 设( )4lnm xxx,则 141 ( )4(0) x m xx xx . 由( )0m x 可得 1 0 4 x,由( )0m x 可得 1 4 x , ( )m x在 1 0, 4 上单调递减,在 1 , 4 上单调递增, 11 ( )1ln12ln20 44 m xm ,即( )0h x , ( )h x在(0,)上单调递增. (1)30, (2)42ln20hh , ( )h x在(0,)上存在唯一的零点 0, x且 0 (1,2)x . 由 2 00000 2ln60h xxxxx,得 00 0 6 ln21xx x , 当 0 0,xx时,( )0,( )0h xg x ,当 0, xx时,( )0,( )0h xg x , 22 000000000 ( )26lnln26g xg xxxxxxxxx 2 000 00 636 2111xxx xx , 易知 2 36 11yxx x 在区间(1,2)上单调递减,故 2 0 36 211 28 2 g x , ( )( )(6)ln8g xf xxx ,即( )(6)ln8f xxx.