1、2021 年辽宁省丹东市东港市中考数学联考试卷（年辽宁省丹东市东港市中考数学联考试卷（3 月份）月份） 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1全球可被人类利用的淡水总量仅占总水量的 0.00003，因此珍惜水，保护水是我们每一位公民义不容辞 的责任，其中数字 0.00003 用科学记数法表示为（ ） A310 4 B310 5 C0.310 4 D0.310 5 2一元二次方程 x23x0 的解是（ ） A0 B3 C0，3 D0，2 3一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A108 B90 C72 D60 4 如图， 下列四个几
2、何体中， 它们各自的三视图 （主视图、 左视图、 俯视图） 不完全相同的几何体是 （ ） A B C D 5 等边三角形绕它的一个顶点旋转 90后与原来的等边三角形组成一个新的图形， 那么这个新的图形 （ ） A是轴对称图形，但不是中心对称图形 B是中心对称图形，但不是轴对称图形 C既是轴对称图形，又是中心对称图形 D既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 6下列调查方式中适合的是（ ） A要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式 B调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式 C环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式 D调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式 7如图，点 E，点
3、 F 分别在菱形 ABCD 的边 AB，AD 上，且 AEDF，BF 交 DE 于点 G，延长 BF 交 CD 的延长线于 H，若2，则的值为（ ） A B C D 8如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线 OB1为边作 正方形 OB1B2C2，再以正方形 OB1B2C2的对角线 OB2为边作正方形 OB2B3C3，以此类推、则正方形 OB2019B2020C2020的顶点 B2020的坐标是（ ） A （21010，0） B （0，21010） C （0，21010） D （21010，0） 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分
4、，共 24 分）分） 9分解因式：2ax28a 10在式子中，x 的取值范围是 11若关于 x 的分式方程+3有增根，则 m 的值为 12一个不透明的袋子中装有 6 个红球和若干个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个 球是红球的概率为，则袋子中有 个黑球 13 一个射击运动员连续射靶 5 次所得环数分别为 8， 6， 10， 7， 9， 则这个运动员所得环数的方差为 14如图，直线 ab，145，230，则P 15如图，直线 yx1 与 x 轴交于点 B，与双曲线 y（x0）交于点 A，过点 B 作 x 轴的垂线，与 双曲线 y交于点 C且 ABAC，则 k 的值为 16如图，正
5、方形 ABCD 的边长为 3，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE2CE，连接 BE过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 102 分）分） 17 （8 分） （1），其中 18（8 分） 在平面直角坐标系中， ABC 的位置如图所示 （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）将ABC 沿 x 轴向左平移 6 个单位，画出平移后得到的A1B1C1； （2）将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的AB2C2，并求出线段 AB 扫过的面 积 19 （10 分）某中学数学兴趣小组为了
6、解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一 类节目 （被调查的学生只选一类并且没有不选择的） ， 并将调查结果制成了如下的两个统计图 （不完整） 请 你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）求本次调查的学生人数； （2）请将两个统计图补充完整，并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）若该中学有 2000 名学生，请估计该校喜爱电视剧节目的人数 20 （10 分）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字 2，3，5，将 三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上 （1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或
7、画树状图的方法 写出所有可能的结果； （2）若两人抽取的数字和为 2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的倍数，则乙获胜这个游戏公 平吗？请用概率的知识加以解释 21 （10 分）某工厂的甲车间承担了加工 2100 个机器零件的任务，甲车间单独加工了 900 个零件后，由于 任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前 12 天完成任务已知乙车间的工作效率是 甲车间的 1.5 倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？ 22 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC 于 E 交 AB 的延长线于点 F （1）求证：
8、EF 是O 的切线； （2）若 AE6，FB4，求O 的面积 23 （10 分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底仰角为 60， 沿坡度为 1：的坡面 AB 向上行走到 B 处，测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，又知 AB10m，AE 15m，求广告牌 CD 的高度（精确到 0.1m，测角仪的高度忽略不计） 24 （10 分）某体育用品店购进一批单件为 40 元的球服，如果按单价 60 元销售样，那么一个月内可售出 240 套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 5 元，销售量相应减少 20 套设销售单价为 x（x60）元
9、，销售量为 y 套 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）当销售单件为多少元时，月销售额为 14000 元？ （3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 25 （12 分）菱形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，MON+BCD180，MON 绕点 O 旋转，射线 OM 交边 BC 于点 E，射线 ON 交边 DC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当ABC90时，OEF 的形状是 ； （2）如图 2，当ABC60时，请判断OEF 的形状，并说明理由； （3）在（1）的条件下，将MON 的顶点移到 AO 的中点 O处，MON 绕点 O旋
10、转，仍满足 MON+BCD180，射线 OM 交直线 BC 于点 E，射线 ON 交直线 CD 于点 F，当 BC4，且 时，直接写出线段 CE 的长 26 （14 分）如图 1，抛物线 yax2+bx1 经过 A（1，0） 、B（2，0）两点，交 y 轴于点 C点 P 为抛物 线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E （1）请直接写出抛物线表达式和直线 BC 的表达式 （2）如图 1，当点 P 的横坐标为时，求证：OBDABC （3）如图 2，若点 P 在第四象限内，当 OE2PE 时，求POD 的面积 （4）当以点 O、C、D 为顶点的三角形是等
11、腰三角形时，请直接写出动点 P 的坐标 2021 年辽宁省丹东市东港市中考数学联考试卷（年辽宁省丹东市东港市中考数学联考试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 1全球可被人类利用的淡水总量仅占总水量的 0.00003，因此珍惜水，保护水是我们每一位公民义不容辞 的责任，其中数字 0.00003 用科学记数法表示为（ ） A310 4 B310 5 C0.310 4 D0.310 5 【分析】乘号前的数应为 3，指数是负数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000 03
12、310 5故选：B 2一元二次方程 x23x0 的解是（ ） A0 B3 C0，3 D0，2 【分析】利用因式分解法解方程 【解答】解：x（x3）0， x0 或 x30， 所以 x10，x23 故选：C 3一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A108 B90 C72 D60 【分析】首先设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n2）540，即可求得 n5，再由多边形的外 角和等于 360，即可求得答案 【解答】解：设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180（n2）540， 解得：n5， 这个正多边形的每一个外角等于：72 故选：C 4 如图， 下列四个几
13、何体中， 它们各自的三视图 （主视图、 左视图、 俯视图） 不完全相同的几何体是 （ ） A B C D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形 【解答】解：正方体的三视图分别为正方形，正方形，正方形，完全相同； 圆柱的三视图分别为四边形、四边形、圆，不完全相同； 圆锥的三视图分别为三角形、三角形、圆，不完全相同； 球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，完全相同 故选：B 5 等边三角形绕它的一个顶点旋转 90后与原来的等边三角形组成一个新的图形， 那么这个新的图形 （ ） A是轴对称图形，但不是中心对称图形 B是中心对称图形，但不是轴对称图形 C既
14、是轴对称图形，又是中心对称图形 D既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：等边三角形绕它的一个顶点旋转 90后与原来的等边三角形组成一个新的图形， 沿着一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形； 找不到一点把图形绕该点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，故不是中心对称图形 故选：A 6下列调查方式中适合的是（ ） A要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式 B调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式 C环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式 D调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式 【分析】调查方式
15、的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查 结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很 多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就 应选择抽样调查 【解答】解：A、了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查，而不能将整 批节能灯全部用于实验； B、调查你所在班级同学的身高，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查方式； C、了解环保部门调查沱江某段水域的水质情况，会给调查对象带来损伤破坏，应该选取抽样调查的方 式才合适； D、调查全市中学生
16、每天的就寝时间，进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不偿失的，采取抽 样调查即可； 故选：C 7如图，点 E，点 F 分别在菱形 ABCD 的边 AB，AD 上，且 AEDF，BF 交 DE 于点 G，延长 BF 交 CD 的延长线于 H，若2，则的值为（ ） A B C D 【分析】 设 DFa， 则 DFAEa， AFEB2a， 由HFDBFA， 得， 求出 FH， 再由 HDEB，得DGHEGB，得，求出 BG 即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD， AF2DF，设 DFa，则 DFAEa，AFEB2a， HDAB， HFDBFA， ， HD1.5a
17、， FHBH， HDEB， DGHEGB， ， ， BGHB， 故选：B 8如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线 OB1为边作 正方形 OB1B2C2，再以正方形 OB1B2C2的对角线 OB2为边作正方形 OB2B3C3，以此类推、则正方形 OB2019B2020C2020的顶点 B2020的坐标是（ ） A （21010，0） B （0，21010） C （0，21010） D （21010，0） 【分析】根据题意，可以从各个 B 点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手 【解答】 解： 由图形可知， OB1， 每一个 B 点到原点
18、的距离依次是前一个 B 点到原点的距离的倍， 同时，各个 B 点每次旋转 45，则八次旋转一周 顶点 B2020到原点的距离（）202021010， 20202528+4， 顶点 B2020的恰好在 x 轴的负半轴上， 顶点 B2020的坐标是（21010，0） 故选：D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 9分解因式：2ax28a 2a（x+2） （x2） 【分析】首先提公因式 2a，再利用平方差进行二次分解即可 【解答】解：原式2a（x24）2a（x+2） （x2） 故答案为：2a（x+2） （x2） 10在式子中，x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根
19、式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案 【解答】解：由题意得，x+10， 解得，x1， 故答案为：x1 11若关于 x 的分式方程+3有增根，则 m 的值为 7 【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为 0，确定出 m 的值即可 【解答】解：分式方程去分母得：7+3（x1）m， 由分式方程有增根，得到 x10，即 x1， 把 x1 代入整式方程得：7m， 解得：m7 故答案为：7 12一个不透明的袋子中装有 6 个红球和若干个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个 球是红球的概率为，则袋子中有 9 个黑球 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符
20、合条件的情况数目；二者的比值就是其 发生的概率 【解答】解：设 有 x 个黑球， 根据题意得：， 解得：x9， 经检验 x9 是原方程的解， 故答案为：9 13 一个射击运动员连续射靶 5 次所得环数分别为 8， 6， 10， 7， 9， 则这个运动员所得环数的方差为 2 【分析】先求出数据的平均数，再根据方差的公式求方差 【解答】解：数据 8，6，10，7，9，的平均数（8+6+10+7+9）8， 方差（88）2+（68）2+（108）2+（78）2+（98）22 故填 2 14如图，直线 ab，145，230，则P 75 【分析】过 P 作 PM直线 a，求出直线 abPM，根据平行线的性
21、质得出EPM230，FPM 145，即可求出答案 【解答】解： 过 P 作 PM直线 a， 直线 ab， 直线 abPM， 145，230， EPM230，FPM145， EPFEPM+FPM30+4575， 故答案为：75 15如图，直线 yx1 与 x 轴交于点 B，与双曲线 y（x0）交于点 A，过点 B 作 x 轴的垂线，与 双曲线 y交于点 C且 ABAC，则 k 的值为 4 【分析】根据题目中的信息，可以用含 k 的式子表示点 C 的坐标，由 ABAC，可知点 A 在线段 BC 的 垂直平分线上，从而可以得到点 A 的纵坐标，从而可以表示出点 A 的坐标，又由点 A 在直线 yx1
22、 上，可以得到 k 的值，本题得以解决 【解答】解：直线 yx1 与 x 轴交于点 B， 当 y0 时，x2， 点 B 的坐标为（2，0） ， 又过点 B 作 x 轴的垂线，与双曲线 y交于点 C， 点 C 的坐标为（2，） ， ABAC， 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上， 点 A 的纵坐标为， 点 A 在双曲线 y上， ，得 x4， 又点 A（4，）在直线 yx1 上， 解得 k4 故答案为：4 16如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE2CE，连接 BE过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为
23、 【分析】先由 SAS 证明OBGOCF，得出 OGOF，BOGCOF，证出 OGOF，由射影定理 求出 BE、BF、CF、GF，再由勾股定理即可求出 OF 的长 【解答】解：在 BE 上截取 BGCF，连接 OG，如图所示： 四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDAD3，BCDABCBADADC90，OBOC， RtBCE 中，CFBE， EBCECF， OBGOCF， 在OBG 与OCF 中， OBGOCF（SAS） ， OGOF，BOGCOF， OGOF， 在 RtBCE 中，BCDC3，DE2CE， CE1， BE， 根据射影定理得：BC2BFBE， 则 32BF，解得：BF， E
24、FBEBF， CF2BFEF， CF， GFBFBGBFCF， 在等腰直角OGF 中，OF2GF2， OF 三、解答题（共三、解答题（共 102 分）分） 17 （8 分） （1），其中 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出 a 的值，代入计算即可 【解答】解：原式 ， 当时， 原式 18（8 分） 在平面直角坐标系中， ABC 的位置如图所示 （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）将ABC 沿 x 轴向左平移 6 个单位，画出平移后得到的A1B1C1； （2）将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的AB2C2，并求出线段 AB 扫过的面
25、 积 【分析】 （1）利用点平移的坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 B、C 的对应点 B2、C2即可；利用勾股定理计算出 AB 的长，然后 根据扇形的面积公式计算 【解答】解： （1）如图 ，A1B1C1为所作； （2）如图，AB2C2为所作； AB3， 所以线段 AB 扫过的面积 19 （10 分）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一 类节目（被调查的学生只选一类并且没有不选择的） ，并将调查结果制成了如下的两个统计图（不完 整） 请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）求本次调查的
26、学生人数； （2）请将两个统计图补充完整，并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）若该中学有 2000 名学生，请估计该校喜爱电视剧节目的人数 【分析】 （1）根据喜爱电视剧的人数是 69 人，占总人数的 23%，即可求得总人数； （2）根据总人数和喜欢娱乐节目的百分数可求的其人数，补全即可；利用 360乘以对应的百分比即可 求得圆心角的度数； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解 【解答】解： （1）6923%300（人） 本次共调查 300 人； （2）喜欢娱乐节目的人数占总人数的 20%， 20%30060（人） ，补全如图； 36012%43.2， 新闻节目在扇形统计
27、图中所占圆心角的度数为 43.2； （3）200023%460（人） ， 估计该校有 460 人喜爱电视剧节目 20 （10 分）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字 2，3，5，将 三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上 （1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法 写出所有可能的结果； （2）若两人抽取的数字和为 2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的倍数，则乙获胜这个游戏公 平吗？请用概率的知识加以解释 【分析】 （1）根据题意直接列表，即可得出所有可能出现的结果； （2）根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的
28、概率，再进行比较，即可得出答案 【解答】解： （1）所有可能出现的结果如图： 2 3 5 2 （2，2） （2，3） （2，5） 3 （3，2） （3，3） （3，5） 5 （5，2） （5，3） （5，5） 从表格可以看出，总共有 9 种结果； （2）不公平 从表格可以看出，两人抽取数字和为 2 的倍数有 5 种，两人抽取数字和为 5 的倍数有 3 种，所以甲获胜 的概率为，乙获胜的概率为 ， 甲获胜的概率大，游戏不公平 21 （10 分）某工厂的甲车间承担了加工 2100 个机器零件的任务，甲车间单独加工了 900 个零件后，由于 任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前 1
29、2 天完成任务已知乙车间的工作效率是 甲车间的 1.5 倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？ 【分析】先设甲车间每天加工零件 x 个，则乙车间每天加工零件 1.5x 个，由题意列分式方程即可得问题 答案 【解答】解：设甲车间每天加工零件 x 个，则乙车间每天加工零件 1.5x 个 根据题意，得， 解之，得 x60， 经检验，x60 是方程的解，符合题意， 1.5x90 答：甲乙两车间每天加工零件分别为 60 个、90 个 22 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC 于 E 交 AB 的延长线于点 F （1）求证：EF 是
30、O 的切线； （2）若 AE6，FB4，求O 的面积 【分析】 （1） 连接 AD、 OD， 如图， 根据圆周角定理由 AB 为O 的直径得到ADB90， 即 ADBC， 再根据等腰三角形的性质得 BDCD，则 OD 为ABC 的中位线，所以 ODAC，加上 EFAC，于是 ODEF，然后根据切线的判定定理得 EF 是O 的切线； （2）设O 的半径为 R，利用 ODAE 得到FODFAE，根据相似比可得，解得 R4， 然后利用圆的面积公式求解 【解答】 （1）证明：连接 AD、OD，如图， AB 为O 的直径， ADB90，即 ADBC， ABAC， BDCD， 而 OAOB， OD 为AB
31、C 的中位线， ODAC， EFAC， ODEF， EF 是O 的切线； （2）解：设O 的半径为 R， ODAE， FODFAE， ，即， 解得 R4， O 的面积4216 23 （10 分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底仰角为 60， 沿坡度为 1：的坡面 AB 向上行走到 B 处，测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，又知 AB10m，AE 15m，求广告牌 CD 的高度（精确到 0.1m，测角仪的高度忽略不计） 【分析】过 B 作 DE 的垂线，设垂足为 G分别在 RtABH 中，通过解直角三角形求出 BH、AH，在 ADE 解直角三角形求出
32、 DE 的长，进而可求出 EH 即 BG 的长，在 RtCBG 中，CBG45，则 CG BG，由此可求出 CG 的长，然后根据 CDCG+GEDE 即可求出宣传牌的高度 【解答】解：在 RtABH 中， tanBAH， BAH30， BHAB，sinBAH10，sin30105， 在 RtABH 中，AHABcosBAH10，cos305， 在 RtADE 中，tanDAE， 即 tan60， DE15， 如图，过点 B 作 BFCE，垂足为 F， BFAH+AE5+15， DFDEEFDEBH155， 在 RtBCF 中，C90CBF904545， CCBF45， CFBF5+15， CD
33、CFDF5+15（155）201020101.7322.7（米） ， 答：广告牌 CD 的高度约为 2.7 米 24 （10 分）某体育用品店购进一批单件为 40 元的球服，如果按单价 60 元销售样，那么一个月内可售出 240 套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 5 元，销售量相应减少 20 套设销售单价为 x（x60）元，销售量为 y 套 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）当销售单件为多少元时，月销售额为 14000 元？ （3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】 （1）由销售单价为 x 元得到销售减少量
34、，用 240 减去销售减少量得到 y 与 x 的函数关系式； （2）直接用销售单价乘以销售量等于 14000，列方程求得销售单价； （3）设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意得：w（x40） （4x+480） ，然后利用配方法求最值 【解答】解： （1）销售单价为 x 元，则销售量减少20， 故销售量为 y240204x+480（x60） ； （2）根据题意可得，x（4x+480）14000， 解得 x170，x250（不合题意舍去） ， 故当销售价为 70 元时，月销售额为 14000 元； （3）设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意得： w（x40） （4x+480） 4x2+64
35、0 x19200 4（x80）2+6400 当 x80 时，w 的最大值为 6400 故当销售单价为 80 元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元 25 （12 分）菱形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，MON+BCD180，MON 绕点 O 旋转，射线 OM 交边 BC 于点 E，射线 ON 交边 DC 于点 F，连接 EF （1）如图 1，当ABC90时，OEF 的形状是 等腰直角三角形 ； （2）如图 2，当ABC60时，请判断OEF 的形状，并说明理由； （3）在（1）的条件下，将MON 的顶点移到 AO 的中点 O处，MON 绕点 O旋转，仍满
36、足 MON+BCD180，射线 OM 交直线 BC 于点 E，射线 ON 交直线 CD 于点 F，当 BC4，且 时，直接写出线段 CE 的长 【分析】 （1）先求得四边形 ABCD 是正方形，然后根据正方形的性质可得EBOFCO45，OB OC，再根据同角的余角相等可得BOECOF，然后利用“角边角”证明BOE 和COF 全等，根 据全等三角形对应边相等即可得证； （2）过 O 点作 OGBC 于 G，作 OHCD 于 H，根据菱形的性质可得 CA 平分BCD，ABC+BCD 180，求得 OGOH，BCD18060120，从而求得GOHEOF60，再根据等 量减等量可得EOGFOH，然后利
37、用“角边角”证明EOG 和FOH 全等，根据全等三角形对应 边相等即可得证； （3） 过 O 点作 OGBC 于 G， 作 OHCD 于 H， 先求得四边形 OGCH 是正方形， 从而求得 GCO G3，GOH90，然后利用“角边角”证明EOG 和FOH 全等，根据全等三角形对应边 相等即可证得OEF 是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边 OE 的长，然后根 据勾股定理求得 EG，即可求得 CE 的长 【解答】 （1）OEF 是等腰直角三角形； 证明：如图 1，菱形 ABCD 中，ABC90， 四边形 ABCD 是正方形， OBOC，BOC90，BCD90，EBOFCO45，
38、BOE+COE90， MON+BCD180， MON90， COF+COE90， BOECOF， 在BOE 与COF 中， ， BOECOF（ASA） ， OEOF， OEF 是等腰直角三角形； 故答案为等腰直角三角形； （2）OEF 是等边三角形； 证明：如图 2，过 O 点作 OGBC 于 G，作 OHCD 于 H， OGEOGCOHC90， 四边形 ABCD 是菱形， CA 平分BCD，ABC+BCD180， OGOH，BCD18060120， GOH+OGC+BCD+OHC360， GOH+BCD180， MON+BCD180， GOHEOF60， GOHGOF+FOH，EOFGOF+
39、EOG， EOGFOH， 在EOG 与FOH 中， ， EOGFOH（ASA） ， OEOF， OEF 是等边三角形； （3）证明：如图 3，菱形 ABCD 中，ABC90， 四边形 ABCD 是正方形， ， 过 O 点作 OGBC 于 G，作 OHCD 于 H， OGCOHCBCD90， 四边形 OGCH 是矩形， OGAB，OHAD， ， ABBCCDAD4， OGOH3， 四边形 OGCH 是正方形， GCOG3，GOH90 MON+BCD180， EOF90， EOFGOH90， GOHGOF+FOH，EOFGOF+EOG， EOGFOH， 在EOG 与FOH 中， ， EOGFOH（
40、ASA） ， OEOF， OEF 是等腰直角三角形； S正方形ABCD4416， SOEF18， SOEFOE2， OE6， 在 RTOEG 中，EG3， CECG+EG3+3 根据对称性可知，当MON旋转到如图所示位置时， CEEGCG33 综上可得，线段 CE 的长为 3+3或 33 26 （14 分）如图 1，抛物线 yax2+bx1 经过 A（1，0） 、B（2，0）两点，交 y 轴于点 C点 P 为抛物 线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E （1）请直接写出抛物线表达式和直线 BC 的表达式 （2）如图 1，当点 P 的横坐标为时，求证
41、：OBDABC （3）如图 2，若点 P 在第四象限内，当 OE2PE 时，求POD 的面积 （4）当以点 O、C、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点 P 的坐标 【分析】 （1）待定系数法即可求得； （2）先把 P 点的横坐标代入直线，求得 DE，从而求得 DEOE，得出EOD45， 因为OACEOD45，OBDABC，即可求得OBDABC； （3）分三种情况：当 ODCD 时，则m2m+1m2，当 ODOC 时，则m2m+11，当 OC CD 时，则m21，分别求解，即可求得 【解答】方法一： 解： （1）由抛物线 yax2+bx1 可知 C（0，1） ， yax2+bx1
42、经过 A（1，0） 、B（2，0）两点， ， 解得 抛物线表达式：； 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， 则， 解得 直线 BC 的表达式： 故抛物线表达式：；直线 BC 的表达式： （2）如图 1，当点 P 的横坐标为时，把 x 代入， 得， DE 又OE， DEOE OED90 EOD45 又OAOC1，AOC90 OAC45 OACEOD 又OBDABC OBDABC （3）如图 2，设点 P 的坐标为 P（x，） OEx，PE 又OE2PE 解得，（不合题意舍去） ， P、D 两点坐标分别为， PD OE ， （4）P1（1，1） ， 设 D（m，m1） ， 则 OD2m2+（1）
43、2m2m+1， OC21，CD2m2+（1m+1）2m2， 当 ODCD 时，则m2m+1m2，解得 m11， 当 ODOC 时，则m2m+11，解得 m2， 当 OCCD 时，则m21，解得 m3，m4， P1（1，1） ， 方法二： （1）略 （2）lBC：yx1，把 x代入， y，即 D（，） ， O（0，0） ， tanEOD（）（）1， A（1，0） ，C（0，1） ， tanOAC1， EODOAC， ODAC， OBDABC （3）设 P（t，） ，E（t，0） ， OE2PE， t2（0） ， 解得：t1，t2（舍） ， P、D 两点坐标分别为， PD OE （4）设 P（t，） ，D（t，t1） ，O（0，0） ，C（0，1） ， OCD 是等腰三角形， OCOD，OCCD，ODCD， （00）2+（10）2（t0）2+（t1）2，t10（舍） ，t2， （00）2+（10）2（t0）2+（t1+1）2，t1，t2， （t0）2+（t1）2（t0）2+（t1+1）2，t1， P1（1，1） ，p3（，） ，p4（，）
