1、18.2.3 18.2.3 正方形正方形 新课导入 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四 边形吗？边形吗？ 正方形正方形 正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是 正方形？正方形？ 学习目标 1. 1.能说出正方形的意义及性质能说出正方形的意义及性质. . 2. 2.能说出正方形与其他特殊四边形的关系能说出正方形与其他特殊四边形的关系 （共性与个性）（共性与个性）. . 3. 3.知道正方形的判定方法知道正方形的判定方法. . 推进新课 知识点知识点 1 1 正方形正方形 正方形正方形是我们熟悉的几何图形，它是我们熟悉
2、的几何图形，它的四的四 条边条边都都相等，四个角都是直角相等，四个角都是直角. .因此，因此，正方形正方形 既是既是矩形矩形，又是，又是菱形菱形. . 正方形也是矩形，所以它具有矩形的性正方形也是矩形，所以它具有矩形的性 质，四个角相等，对角线相等质，四个角相等，对角线相等. . 正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形 的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相 垂直，并且每条对角线平分一组对角垂直，并且每条对角线平分一组对角. . 正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形 的性质，即正方形
3、的四条边相等，对角线互相的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相 垂直，并且每条对角线平分一组对角垂直，并且每条对角线平分一组对角. . 正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 是轴对称图形，有是轴对称图形，有4 4条对称轴条对称轴. . 正方形的性质正方形的性质 正方形的四个角都是直角；正方形的四个角都是直角； 正方形的四条边都相等；正方形的四条边都相等； 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分； 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴正方形是轴对称图形，它有四条对称轴. . 那么，如何判定一个四边形是正方形呢？那么，如何判定
4、一个四边形是正方形呢？ 判定一个四边形为正方形的主要依据是判定一个四边形为正方形的主要依据是 定义，途径有两条：定义，途径有两条： （1 1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； （2 2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角）先证它是菱形，再证它有一个角为直角. . 练习 1、（、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，）把一个长方形纸片如图那样折一下， 就可以裁出一个正方形纸片，为什么？就可以裁出一个正方形纸片，为什么？ 解：解：由折叠可知：由折叠可知： BD90，DAB90， 四边形四边形ABCD是矩形是矩形. 又又ABAD，四边形四边形ABCD是正方形
5、是正方形. A B C D （2 2）如果是一个长方形木板，如何从中裁）如果是一个长方形木板，如何从中裁 出一个最大的正方形木板呢？出一个最大的正方形木板呢？ 解：解：在长方形木块较长的一在长方形木块较长的一 边上截取一段等于较短的一条边上截取一段等于较短的一条 边长，即可得到最大的正方形边长，即可得到最大的正方形 木板。木板。 误误 区区 诊诊 断断 误区一误区一 对正方形的定义理解不深，对矩形、菱形对正方形的定义理解不深，对矩形、菱形 的判定不熟练，容易混淆的判定不熟练，容易混淆 1. 1.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，O O是对角线的交点，下列条是对角线的交点，下列条 件中，能
6、判定这个四边形是正方形的是（件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A.A.ADADBCBC，B B= =D D B. B.AD=BCAD=BC，ABAB CDCD C. C.AO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，ACACBDBD D.D.AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，ABAB= =BCBC 错解：错解：A A或或B B或或D D 正解：正解：C C 错因分析：错因分析：对正方形的判定不熟练，对正方形的判定不熟练，A A、B B、D D 只能判断四边形只能判断四边形ABCDABCD是平行四边形或矩形或菱形是平行四边形或矩形或菱形 . . 知识点知识点 2 2 平行四边形
7、，矩形，菱形，正方形平行四边形，矩形，菱形，正方形 例例5 5 求证：正方形的两条对角线把这个正方求证：正方形的两条对角线把这个正方 形分成四个全等的等腰直角三角形形分成四个全等的等腰直角三角形. . 已知：已知：如图，正方形如图，正方形ABCD中，对角线中，对角线AC、 BD相交于相交于O。 求证：求证：ABO，BCO， CDO，DAO是全等的等腰是全等的等腰 直角三角形。直角三角形。 证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形。是正方形。 ACBD，ACBD， OAOBOCOD， ABO，BCO，CDO， DAO都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形， 并并ABOBCOCDODAO. 平平
8、行行 四四 边边 形形 菱菱 形形 正方形正方形 平平 行行 四四 边边 形形 矩矩 形形 正方形正方形 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有 什么关系？与同学们讨论一下什么关系？与同学们讨论一下. . 练习 1. 1.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是一块正方形场地，小华是一块正方形场地，小华 和小芳在和小芳在ABAB边上取定了一点边上取定了一点E E，测量知，测量知ECEC=30m=30m， EBEB=10m.=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？这块场地的面积和对角线长分别是多少？ 解：解：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形
9、， B B=90=90. .在在RtRtBECBEC中，中， BC ECBE 22 900 10020 2（m m） 连接连接AC，在，在RtABC中，中，B=90， AB=BC=20 （m），）， AC= = =40（m） S正方形 正方形ABCD=BC2 = （ （20 ）2=800（m2） 所以正方形的对角线长所以正方形的对角线长40m， 面积为面积为800m2. 2 ABBC 22 800800 2 误区二误区二 考虑问题不全面，出现漏解情况 考虑问题不全面，出现漏解情况 2. 2.如图所示，在正方形如图所示，在正方形ABCDABCD中，中，H H是是DCDC上一上一 点，点，E E是
10、是CBCB延长线上一点，且延长线上一点，且DH=BEDH=BE，请你判断，请你判断 AEHAEH的形状，并说明理由的形状，并说明理由. . A A B B C C D D E E H H 错解：错解：AEHAEH为等腰三角形为等腰三角形. . 理由：理由：四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形. . 所以所以AD=ABAD=AB，D D= =ABE=ABE=9090， 在在RtRtADHADH和和RtRtABEABE中，中， AD=ABAD=AB，D D= =ABEABE，DH=BEDH=BE， RtRtADHADHRtRtABEABE（SASSAS），）， AH=AEAH=AE. .则
11、则AEHAEH为等腰三角形为等腰三角形. . A A B B C C D D E E H H 错因分析：错因分析：本题出错原因在于分析问题时，只本题出错原因在于分析问题时，只 注重注重AHAH与与AEAE之间的数量关系，而忽略了之间的数量关系，而忽略了AHAH与与AEAE之间之间 的位置关系的位置关系. . 正解：正解：AEHAEH为等腰直角三角形为等腰直角三角形. . 理由：理由：四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形. . 所以所以AD=ABAD=AB，D D= =ABE=ABE=9090， 在在RtRtADHADH和和RtRtABEABE中，中， AD=ABAD=AB，D D= =
12、ABEABE，DH=BEDH=BE， RtRtADHADHRtRtABEABE（SASSAS），）， AH=AEAH=AE，DAHDAH= =BAEBAE， HAEHAE= =DABDAB=90=90 则则AEHAEH为等腰直角三角形为等腰直角三角形. . A A B B C C D D E E H H 随堂演练 基础巩固 1. 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是正方形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ） A.A.对角线互相平分对角线互相平分 B. B.对角线互相垂直对角线互相垂直 C. C.对角线相等对角线相等 D.D.每一条对角线平分一组对角每一条对角线平分一组对角 C C 2. 2.
13、满足下列条件的四边形是不是正方形？满足下列条件的四边形是不是正方形？ 为什么？为什么？ （1 1）对角线互相垂直且相等的平行四边对角线互相垂直且相等的平行四边 形形. .（ ） （2 2）对角线互相垂直的矩形对角线互相垂直的矩形. .（ ） （3 3）对角线相等的菱形对角线相等的菱形. .（ ） （4 4）对角线互相垂直平分且相等的四边对角线互相垂直平分且相等的四边 形形. .（ ） 是是 是是 是是 是是 综合应用 3. 3.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD交于点交于点O O， 点点MM，N N分别在分别在ACAC，BDBD上，且上，且OMOM= =ONO
14、N，求证：，求证： BM=CNBM=CN. . 证明：证明：由正方形的性质可得：由正方形的性质可得： OB=OCOB=OC，BOMBOM= =CONCON=90=90， 又又OM=ONOM=ON, , BOMBOMCONCON, , BM=CNBM=CN. . 课堂小结 正方形的性质正方形的性质 正方形的四个角都是直角；正方形的四个角都是直角； 正方形的四条边都相等；正方形的四条边都相等； 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分； 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴正方形是轴对称图形，它有四条对称轴. . 正方形正方形 拓展延伸 如图，四边形如图，四边形AB
15、CDABCD是正方形，点是正方形，点G G是是BCBC上的上的 任意一点，任意一点，DEDEAGAG于点于点E E，BFBFDEDE，交，交AGAG于点于点F F ，求证：，求证：AFAF- -BFBF= =EFEF. . 证明：证明：BAFBAF+ +DAEDAE=90=90， 又又DEDEAGAG，BFBFDEDE，BFBFAGAG， BAFBAF+ +ABFABF=90=90， ABFABF= =DAEDAE. . 又又AB=DAAB=DA，AFBAFB= =DEADEA=90=90, , ABFABFDAEDAE， BF=AEBF=AE，AFAF- -BF=AFBF=AF- -AE=E
16、F.AE=EF. 1. 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2. 2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 课后作业 习题习题18.1 复习巩固复习巩固 1. 1.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是平行四边形，对角是平行四边形，对角 线线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，且，且1=1=2. 2.它是一个矩形它是一个矩形 吗？为什么？吗？为什么？ 解：解：它是一个矩形它是一个矩形. . 理由：理由：1=1=2 2，OB=OCOB=OC， 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形， OA=OCOA=OC，OB=ODOB=OD，OA=OC=OB=ODO
17、A=OC=OB=OD， AC=BDAC=BD. . ABCDABCD是矩形是矩形. . 2. 2.求证：四个角都相等的四边形是矩形求证：四个角都相等的四边形是矩形. . A A B B C C D D 证明：证明：由四边形的内角和定理得，由四边形的内角和定理得， A A+ +B B+ +C C+ +D D=360=360， A A= =B B= =C C= =D D， A A= =B B= =C C= =D D=90=90， 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . 3. 3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对 边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向
18、锯边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯 了两次。就能得到矩形踏板了两次。就能得到矩形踏板. .为什么？为什么？ 解：解：如图如图ABABADAD，CDCDADAD. . ABABCDCD，A A=90=90， ADADBCBC. . 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . A A B B C C D D 4. 4.在在RtRtABCABC中，中，C C=90=90，ABAB=2=2ACAC. .求求A A ，B B的度数的度数. . A A C C B B D D 解：解：取取ABAB得中点得中点D D，连接，连接CDCD， CDCD是是RtRtABCABC斜边上的中线，斜边上的中
19、线， CDCD= = ABAB= =ADAD， ABAB=2=2ACAC，AC= ABAC= AB， AC=CD=ADAC=CD=AD，ACDACD是等边三角形，是等边三角形， A A=60=60，又，又A A+ +B B=90=90， B B=30=30. . 1 21 2 5. 5.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，ACDACD=30=30， BDBD=6.=6.求：（求：（1 1）BADBAD，ABCABC 解：解：（1 1）四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. . ACAC平分平分BCDBCD. . BCDBCD=2=2ACDACD=2=23030=60=6
20、0， BADBAD= =BCDBCD=60=60， 又又ABCABC+ +BADBAD=180=180， ABCABC=180=180- -BADBAD=180=180- -6060=120=120. . （2 2）ABAB，ACAC的长的长. . 解：解：设设ACAC与与BDBD交于点交于点O O， 由（由（1 1）BADBAD=60=60，AB=ADAB=AD. . 知知ABDABD是等边三角形是等边三角形. .AB=BDAB=BD=6.=6. 在在RtRtABOABO中，中，ABAB=6=6，BOBO= = BDBD=3=3， AOAO= = ACAC=2=2AOAO= = 10.39.
21、10.39. 1 2 22 633 3 6 3 O O 6. 6.如图，如图，AEAEBFBF，ACAC平分平分BADBAD，且交，且交BFBF于于 点点C C，BDBD平分平分ABCABC，且交，且交AEAE于点于点D D，连接，连接CDCD. . 求求 证：四边形证：四边形ABCDABCD是菱形是菱形. . 证明：证明：因为因为AEAEBF.BF. DACDAC= =BCABCA，ADBADB= =CBDCBD， ACAC平分平分BADBAD，BDBD平分平分ABCABC， ABDABD= =CBDCBD，BACBAC= =BCABCA， AB=AD=BCAB=AD=BC，四边形四边形AB
22、CDABCD是菱形是菱形. . 综合应用综合应用 7. 7.如图，把一个长方形纸片对折两次，然如图，把一个长方形纸片对折两次，然 后剪下一个角后剪下一个角. .要得到一个正方形，剪口与折要得到一个正方形，剪口与折 痕应成多少度的角？痕应成多少度的角？ 解：解：剪口应与折痕成剪口应与折痕成4545角角. . 8. 8.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一 块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用 剪刀剪下剪刀剪下. .然后把纸板的四边沿虚线折起，并用然后把纸板的四边沿虚线折起，并用 胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了胶带
23、粘好，一个无盖纸盒就做成了. . 纸盒的底面纸盒的底面 是什么形状？为什么？是什么形状？为什么？ A A B B C C D D F F G G E E 解：解：纸盒的底面是矩形纸盒的底面是矩形. . 如图：如图：四边形四边形ABCDABCD是是 正方形，正方形， ADCADC=90=90，EDFEDF=90=90， 同理同理E E= =F F=90=90，四边形四边形DFGEDFGE是矩形是矩形. . 9. 9.如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACBACB=90=90，CDCDABAB 于点于点D D，ACDACD=3=3BCDBCD，E E是斜边是斜边ABAB的中点的中点. .
24、ECDECD 是多少度？为什么？是多少度？为什么？ 解：解：E E是斜边是斜边ABAB上的中点，即上的中点，即CECE是斜边上的是斜边上的 中线，中线，CECE= = AB=AEAB=AE， A A= =ACEACE， CDCDADAD， B B+ +BCDBCD=90=90， A A+ +ACDACD=90=90， 1 2 ACBACB=90=90，A A+ +B B=90=90， A A= =BCDBCD. . ACDACD=3=3BCDBCD，ACDACD=3=3A A， 又又ADCADC=90=90，A A=22.5=22.5 ECDECD= =ACDACD- -ECAECA =67.
25、5=67.5- -22.522.5=45=45 10.10.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是菱形，点是菱形，点MM，N N分别在分别在 ABAB，ADAD上，且上，且BM=DNBM=DN，MGMGADAD，NFNFABAB；点；点F F， G G分别在分别在BCBC，CDCD上，上，MGMG与与NFNF相交于点相交于点E E. .求证：四边求证：四边 形形AMENAMEN，EFCGEFCG都是菱形都是菱形. . 证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形， AB=DA=BC=CDAB=DA=BC=CD，BM=DNBM=DN， AM=ANAM=AN，MGMGADAD，NFN
26、FABAB， 四边形四边形AMENAMEN是平行四边形，又是平行四边形，又AM=ANAM=AN， 所以所以AMENAMEN是菱形是菱形. .同理可证同理可证EFCGEFCG是菱形是菱形. . 11.11.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，ACAC=8=8，DBDB=6=6 ，DHDHABAB与点与点H H，求，求DHDH的长的长. . 解：解：四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. . ACACBDBD，AOAO= = ACAC=4=4 BOBO= = BDBD=3=3， ABAB= =5= =5， S S ABDABD= = S S菱形 菱形ABCDABCD= =
27、ABAB DHDH=12=12， DHDH= = 1 2 1 2 AOBO 22 1 2 11 12 22 ACBD 1 2 24 5 12.12.（1 1）如下图（）如下图（1 1），四边形），四边形OBCDOBCD是矩形，是矩形，O O ，B B，D D三点的坐标分别是（三点的坐标分别是（0,00,0），（），（b b，0 0），（），（0 0 ，d d），求点），求点C C的坐标的坐标. . 解：解：（1 1）四边形四边形OBCDOBCD是矩形，是矩形， OD=BCOD=BC，OB=DCOB=DC，且，且CDCDODOD， CBCB垂直垂直OBOB. .D D（0 0，d d），），B
28、B（b b，0 0），）， C C（b b，d d） （2 2）如下图（）如下图（2 2），四边形），四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，C C，D D 两点的坐标分别是（两点的坐标分别是（c c，0 0）（）（0 0，d d），点），点A A，B B在坐在坐 标轴上，求标轴上，求A A，B B两点的坐标两点的坐标. . 解：解：（2 2）四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形， AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO， C C（c c，0 0），），A A（- -c c，0 0），）， D D（0 0，d d），），B B（0 0，- -d d），）， （3 3）如下图（）如下图（
29、3 3），四边形），四边形OBCDOBCD是正方形，是正方形，O O ，D D两点的坐标分别为（两点的坐标分别为（0 0，0 0），（），（0 0，d d）. . 求求B B ，C C两点的坐标两点的坐标. . 解：解：（3 3）四边形四边形OBCDOBCD为为 正方形正方形, , OD=DC=BCOD=DC=BC， 且且CBCBOBOB，CDCDDODO， 又又D D（0 0，d d），），B B（d d，0 0），），C C（d d，d d）. . 13.13.如图，如图，E E，F F，MM，N N分别是正方形分别是正方形ABCDABCD四四 条边上的点，条边上的点， 且且AEAE= =
30、BFBF= =CMCM= =DNDN. .试判断四边形试判断四边形 EFMNEFMN是什么图形？并证明你的结论是什么图形？并证明你的结论. . 解：解：四边形四边形EFMNEFMN是正方形是正方形. . 证明：证明：四边形四边形ABCD ABCD 是正方形，是正方形， AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA， A A= =B B= =C C= =D D=90=90， 又又AE=BF=CM=DNAE=BF=CM=DN， AN=DM=CF=BEAN=DM=CF=BE， AENAEN BFEBFE CMFCMFDNMDNM， ENEN= =NMNM= =MFMF= =FEFE， 四边形四边形E
31、FMNEFMN为菱形为菱形. . BFEBFE+ +BEFBEF=90=90， BEFBEF+ +AENAEN=90=90。 NEFNEF=90=90， 四边形四边形EFMNEFMN为正方形为正方形. . 14.14.如图，将等腰三角形纸片如图，将等腰三角形纸片ABCABC沿底边沿底边BCBC上上 的高的高ADAD剪成两个三角形剪成两个三角形. .用这两个三角形你能拼用这两个三角形你能拼 成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的 对角线的长对角线的长. . 解：解：能拼成三种平行四边形能拼成三种平行四边形. . （1 1）如图）如图1 1的矩形的矩形
32、. . 其对角线长为其对角线长为m m. . （2 2）如图）如图2 2的平行四边形，的平行四边形， 其两条对角线长分别为其两条对角线长分别为 n n， （3 3）如图）如图3 3的平行四边形，的平行四边形， 其两条对角线的长分别为其两条对角线的长分别为 h h， hn 22 4 nh 22 4 拓广探索拓广探索 15.15.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，G G是是BCBC上任意一上任意一 点，点，DEDEAGAG于点于点E E，BFBFDEDE，且交，且交AGAG于点于点F F，求证：，求证： AFAF- -BF=EF.BF=EF. 证明：证明：四边形四边形AB
33、CDABCD是正方形，是正方形， AB=ADAB=AD，BADBAD=90=90， DEDEAGAG，BFBFDEDE，AFBAFB=90=90， ABFABF+ +BAFBAF=90=90，BAFBAF+ +DAEDAE=90=90， ABFABF= =DAEDAE，ABFABFDAEDAE，AE=BFAE=BF， EF=AFEF=AF- -AE=AFAE=AF- -BFBF. . 16.16.如图，在如图，在ABCABC中，中，BDBD与与CECE相交于点相交于点O O，BOBO 与与ODOD的长度有什么关系？的长度有什么关系？BCBC边上的中线是否一定边上的中线是否一定 过点过点O O？
34、为什么？（提示：分别作？为什么？（提示：分别作BOBO，COCO的中点的中点MM ，N N，连接，连接EDED，EMEM，MNMN，NDND. .） 解：解：（1 1）BOBO=2=2ODOD； （2 2）BCBC边上的中线一定过边上的中线一定过O O点点. . 证明：（证明：（1 1）作）作BOBO中点中点MM，COCO的的 中点中点N N，连，连EDED，EMEM，MNMN，NDND. . EDED是是ABCABC的中位线，的中位线，EDED BCBC， 又又MNMN是是OBCOBC的中位线，的中位线，MNMN BCBC， EDED MNMN，四边形四边形EMNDEMND是平行四边形，是平
35、行四边形， OMOM= =ODOD，又，又OMOM= = BOBO， BOBO=2=2ODOD； （2 2）三角形三边的中线交于一点）三角形三边的中线交于一点. . 1 2 1 2 1 2 17.17.如图是一块正方形草地，要在上面修建两如图是一块正方形草地，要在上面修建两 条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四 部分面积相等，你有多少种方法？并与你的同学部分面积相等，你有多少种方法？并与你的同学 交流一下交流一下. . 解：解：有多种方法：只要小有多种方法：只要小 路交于正方形对角线的交点路交于正方形对角线的交点 且两条小路互相垂直，则满且两条小路互相垂直，则满 足条件足条件. .
